ABCDE

Dans ce cas , on commencerait , comme tout à l’heure , par isoler les facteurs ^5, que l’on construirait par des quatrièmes proportionnelles A’ et B' ; ensuite

DES EXPRESSIONS ALGÉBRIQUES. l5

combinant l’une d’elle, U' , par exemple, avec le dernier rapport il'en résulterait le produit -5-?, qui

se . construirait encore par une quatrième proportionnelle , et donnerait ainsi une nouvelle ligne B". On aurait donc alors

qui se construirait par lè cercle , comine précédemment.

8. Passons aux expressions radicales de la forme x = I / d‘-\- b*.

Celle-ci se construit par les propriétés du triangle rectangle, fig. 8. En effet, soit AB = A, BD=B, et les deux lignes AB, BD , perpendiculaires l’une à l’autre. Alors, en nommant l’hypoténuse AD, X, on aura évidemment

d’où

c’est-à-dire qu’elle satisfera aux conditions demandées.

On construit également par le triangle rectangle l’expression

seulement la ligne X n’est plus l’hypoténuse du triangle, mais un des côtés de l’angle droit. En effet, ayant mené , fig. 9 , deux droites indéfinies perpendiculaires l’une à l’autre, prenez sur l’une d’entre elles, à partir du sommet de l’angle , la longueur DB égale à B; puis , du point B comme centre , avec BA , ou A pour rayon, décrivez un arc de cçrcle qui aille couper l’autre

l6 C0M5TMJCTI0N

branche en A ; alors , si l’on nomme AD , X , on aura évidemment

c’est-à-dire que DA satisfera à la condition proposée.

En combinant cette construction avec la précédente, on pourra construire toute expression de la forme

ït= V^a’+ — c“ — </* + «*... ;

c'est-à-dire dans laquelle le radical se trouvera envelopper la somme ou la différence d’autant de carrés que l’on voudra. Car d’abord, en réunissant les deux premiers carrés, on pourra leur substituer le carré B'* d’une ligne unique, qui sera l’hypoténuse d’un triangle rectangle dont les côtés seront les lignes A.et B. Joignant ensuite B'5 au carré suivant, que nous supposons affecté du signe négatif, la différence B'* — C* pourra encore être remplacée par le carré d’une ligne unique B", qui, cette fois, sera un côté du triangle rectangle dont B' serait l’hypoténuse , et C l’autre côté ; continuant ainsi à réunir les carrés successifs par somme et par différence , on finira par obtenir une ligne unique et définitive , qui sera la valeur de X.

Le même mode de construction peut se combiner avec ceux que nous avons exposés plus haut , et il est nécessaire de le faire lorsque le radical qui exprime l’inconnue x enveloppe , outre des carrés , d’autres

termes de la forme ab,

abc

ou—j-; comme serait, par

exemple, l’expression suivante :

Aqc*

Dans ce cas, le produit -j- devrait cire décomposé

DES EXPRESSIONS ALGEBRIQUES. 17

tn Ç-.c. Le premier facteur se construit par une quatrième proportionnelle ; ainsi , en nommant b' la ligne qui en résulte , le produit — — devient b'c , et

peut être remplacé par le carré b ”3 d’une ligne unique , qui s’obtient comme dans la page i3, au moyen du cercle. Le produit ej , qui est de même forme, peut être aussi remplacé par le carré c"‘ d’une ligne unique ; qui s’obtiendra de la même manière ; alors le radical ne contenant plus que des différences et des sommes de carrés , les seules propriétés du triangle rectangle suffiront pour en achever la construction.

Pour ce qui précède , nous nous sommes bornés à l’exposition des principes généraux. Mais, dans les cas particuliers , les applications de ces principes peuvent souvent être simplifiées, soit par des transformations analytiques qui réunissent plusieurs termes dans une même construction, soit par une combinaison avantageuse des termes à construire , soit enfin par un choix adroit d'inconnues. La résolution des problèmes nous offrira des exemples fréquens de ces simplifications , et nous fournira ainsi l’occasion d’expliquer plus précisément les principaux artifices par lesquels elles s’obtiennent.

g. Au moyen des procédés que nous venons d’exposer , on pourra construire immédiatement toute inconnue qui dépendra d’une équation du premier degré ; car la valeur d’une telle inconnue n’étant jamais exprimée que par les produits ou les rapports des quantités données les unes avec les autres , elle n’exigera pour sa construction que des quatrièmes proportionnelles et des moyennes proportionnelles, deux choses que nous avons appris à obtenir généralement.

10. Mais les mêmes procédés suffisent encore pour 8' Ê '.dit. 2

1$ CONSTRUCTION

construire géométriquement les racines d’une équation du second degré , dont les coefficiens ont des valeurs quelconques, et par conséquent aussi pour obtenir analytiquement la solution géométrique de tous les problèmes qui conduisent à une pareille équation. C’est ce que nous allons montrer en parcourant successivement les différentes formes dont une équation du second degré est susceptible.

Supposons , par exemple , que l’on ait

x* — 2 ax = — b'\ (i)

en résolvant cette équation par rapport à x , on trouve les deux racines

D’abord , la partie radicale de ces expressions peut être évidemment représentée par un côté de triangle rectangle dont la ligne A est l’hypoténuse, et la ligne B l’autre côté. Ainsi, pour l’obtenir, traçons, fig. io, une ligne indéfinie ZZ' ; puis, en un point quelconque de cette ligne, élevons-lui une perpendiculaire à laquelle nous donnerons une longueur BC égale à B ; enfin, du point C comme centre, avec A pour rayon , décrivons une circonférence de cercle qui, généralement parlant, coupera la droite indéfinie ZZ' en deux points X , X', également éloignés du point B. Alors les segmens BX ou BX' représenteront le radical \/ Ai — B’. Conséquemment, si , à partir du point B , l’on porte sur ZZ' une longueur BA égale à A , la longueur AX ou A-f- \/ A* — B“, représentera la première valeur de x ; et AX', ou A — V^A* — BJ , représentera la seconde.

Si la longueur particulière de la ligne B était telle , qu’elle fût égale à la ligne A , il est clair que les deux points d’intersection X, X', se réuniraient en un seul en B, et ainsi le cercle ne couperait pas la droite indé-

DES EXPRESSIONS ALGÉBRIQUES. ig

finie ABX, mais il la toucherait seulement eu ce point. Alors les longueurs BX , BX', devenant nullcs , les deux longueurs AX, AX', deviendraient égalés entre elles et la ligne unique A. Ces diverses modifications de la construction ge'ome'trique sont l’expression fidèle de celles que l’équation proposée subit par la nouvelle relation d’égalité supposée entre les lignes A et B ; car alors il faut supposer aussi a — b , ce qui rend nul le radical [/ a % — 6’, et réduit les deux racines à leur seul premier terme ; de sorte qu’elles deviennen t égales entre elles et à la valeur unique a.

Enfin, si B surpassait A , le cercle décrit du point C comme centre , avec A pour rayon , ne couperait pas du tout la droite indéfinie AB. Les points X , X', ne pourraient donc pas s’obtenir dans cette circonstance, et ainsi la solution de la question proposée serait impossible. C’est aussi ce que l’équation entre les valeurs numériques montre ; car si b surpasse «, la partie radicale \/ à‘ — b', qui est commune aux deux racines, devient imaginaire, et conséquemment les deux racines sont impossibles.

La construction précédente, à laquelle nous avons été conduits parles valeurs des racines, aurait pu également se découvrir d’après l’inspection seule de l’équatiou qui les déterminait. En effet, en changeant les signes de cette équation , elle peut se mettre sous cette forme :

Alors elle montre que la quantité connue b doit être moyenne proportionnelle entre les valeurs de x et de 2 a — x. Cette propriété désigne b comme l’ordonnée d’un cercle dont a a est le diamètre, ctx — x , les deux segmens coupés par l’ordonnée. Donc, si, sur 2 a comme diamètre, onconstruitun pareil cercle AMM'A', fig. 1 1 , on n’aura qu’à élever à ce diamètre une perpen-

CONSTRUCTION

diculaire BC , dont on fera la longueur égale à b ; puis, par le point C ainsi déterminé , on mènera une ligne indéfinie MCM', parallèlement au diamètre AA' ; les points M, M', où elle coupera le cercle , seront les extrémités des ordonnées b. Abaissant donc de ces points les ordonnées elles-mêmes, on aura les points X, X', où elles couperont le diamètre ; et les deux segmens AX , AX', représenteront les deux racines de l'équation proposée.

Il est évident que cette construction assigne précisément à ces racines les mêmes valeurs que nous avons trouvées tout à l’heure ; et même les deux constructions sont identiques, puisque le diamètre AA' de la fig. 1 1 n’est autre chose que le diamètre EF de la fig. io. Mais la nouvelle forme sous laquelle nous venons de la présenter est généralement préférable, parce qu’elle permet de reconnaître les racines à la seule inspection de l’équation, et de les obtenir sans la résoudre.

Si le second membre de l’équation eût été positif au lieu d’être négatif, la construction fût devenue un peu différente. En effet, dans ce cas, on aurait

x* — nMX = b * , (2)

et les deux racines seraient

alors la partie radicale serait représentée non plus par le côté , mais par l’hypoténuse d’un triangle rectangle dont les lignes A et B seraient les côtés. Prenons donc, fig. j 2 , BD égal à B ; puis élevant au point B une perpendiculaire BG égale à A , DC sera la partie radicale commune aux deux racines. Si, ensuite, du point C comme centre, avec CB ou A pour rayon , l’on décrit une circonférence de cercle qui coupe la ligne DG en E', ■ et son prolongement en E, la longueur DE sera égale

à A -f l/A’ -f- B“; ainsi elle représentera la première valeur de x; mais le second segment DE' étant égal à V/Aa + B* — A , ne représentera la seconde racine qu’en changeant son signe ; c’est-à-dire que cette seconde racine sera représentée par — DE'.

Ici l’inversion du signe n’est pas susceptible d’une interprétation directe, parce qu’en admettant, comme nous l’avons reconnu dans une autre circonstance , qu’elle doit représenter une inversion de position , l’on ne voit pas à quoi celle-ci pourrait être rapportée , puisqu’il ne se présente ici aucune quantité dont DE' doive être soustraite. Mais la difficulté de l’interprétation disparaîtra, si l’on considère la valeur actuelle de x comme un cas particulier d’une question plus générale dans laquelle les deux racines seraient

c représentant la valeur numérique d’une nouvelle ligne donnée comme les précédentes. Cette forme des racines ferait dépendre x d’ùne autre équation du second degré, qui serait

x * — 2 (a c) x= b% — 2 ac — c* ;

et il est évident, qu’eu supposant c nul , on retomberait sur les mêmes valeurs que tout à l’heure. Dans ce nouveau cas , la construction de la partie radicale serait absolument la même; c’est-à-dire qu’en prenant encore DB, fig 1 3 , égal à B, et BC égal à A , l’hypoténuse DC représentera le radical \/A* -|- B*. Alors décrivant une circonférence du point C comme centre, avec BG ou. A pour rayon, la longueur DE sera A + l/A* + B* ; et — DE' sera A — V ^ +T‘. Ainsi , pour avoir la première racine , il ne faudra plus qu’ajouter à DE la longueur C, ce qui se fera en portant cette longueur sur le prolongement de CD-;

CONSTRUCTION

de D en F, et FE représentera C -f- A -f ^/a* -f B*- Mais , pour avoir l’autre racine , qui est égale à C + A — V/ A» -f- B* , il est évident qu’il faudra soustraire le segment DE' de la ligne DF , ce qui se fera en portant ce segment sur la ligne DF , à partir du point D, en sens contraire de la position que la construction immédiate lui assignait d’abord. Alors , en supposant que son extrémité tombe en E* , le segment FE" sera égal à C-f-A — y' A’ + B‘ ; c’est-à-dire qu’il représentera la seconde racine. Et ce segment luimême se présentera ainsi avec une valeur positive , si la soustraction est possible, c’est-à-dire si la ligne C ou DF surpasse DE' ; mais avec le signe négatif , si la soustraction ne peut être complètement effectuée, c’està-dire si DE' surpasse DF ; ce cas était précisément celui qu’offrait la question précédente , puisqu’alors la longueur de la ligne C était nulle.

En général, lorsque l'Algèbre attache à une quantité ou à un résultat le signe négatif , c’est toujours l’indice d'une soustraction à faire. Si l’expression analytique dans laquelle cette opération entre, renferme des grandeurs positives sur lesquelles elle puisse être effectuée, alors l’indication du signe est satisfaite ; mais si elle ne peut l’être complètement, le signe reste pour indiquer la partie de l’opération qui demeure à faire encore. Dans ce cas , si l’on veut interpréter le résultat analytique jusque dans l’indication de ce signe , il faut concevoir une question plus générale que la proposée , et dans laquelle il existe des quantités sur lesquelles l'opération de la soustraction indiquée soit complètement possible. Alors, en l’effectuant, vous réalisez le résultat qu’elle indique; eten rendant ensuite milles les quanti tés qui vous avaient servi à le réaliser, vous comprenez ainsi la signification qu’il faut lui attribuer dans tous les cas.

Ici , comme dans le cas précédent , la signification et les valeurs des racines auraient pu être reconnues par la seule inspection de l’cquation proposée, sans qu’il fût besoin de la résoudre. En effet , cette équation x1 — 2ax = b*

pouvait être mise sous la forme

Alors il devient évident que l'inconnue -f- x peut se construire par cette propriétédu cercle : le produit de la sécante entière -f-x, par sa partie extérieure + x — 2 a égale le carré de la tangente b. Ainsi , ayant décrit un cercle , fig. 12 , avec un rayon CB égal à a , on lui mènera en un point quelconque B une tangente à laquelle on donnera une longueur BD égale à b ; puis , par le point D et le centre C menant la sécante DCE, la sécante entière DE représentera -f- x , et sera ainsi l’une des racines de l’équation.

Mais cette même construction donne aussi l’autre racine en changeant son signe. En effet , écrivez — x' à la place de -f-x dans l’équation proposée, elle deviendra

Alors la racine positive -f-x' sera représentée par la partie extérieure DE' de la même sécante que nous venons de construire tout à l’heure ; par conséquent la quantité — x' ou + x le sera par — DE'; ainsi, les deux lignes-}- DE, — DE', sont les deux racines de l’équation primitivement proposée. C’est en effet à ce résultat que nous avait déjà conduits la construction des valeurs mêmes des racines ; seulement l’interprétation immédiate de l’équation est plus rapide. Toutefois lorsque les coefficiens sont composés de plusieurs lettres , il est quelquefois plus avantageax de construire les racines mêmes , à cause des réductions qui s’opèrent dans la quantité affectée du signe radical.

a4 CONSTRUCTION

Dans tous les exemples préce'dens nous avons considéré des équations ou le coefficient de la première puissance de .rétait censé négatif. Mais si ce coefficient était positif, les mêmes principes s’appliqueraient également à la construction des racines. Supposons en effet que l’on eût

xa 2 ax — bx , (3)

la résolution de cette équation donne pour les racines ces deux valeurs :

x = — a+ x = — a — l/c*-l-ia.

La première se construit précisément comme dans la fig. 12, et elle est représentée par DE'; la seconde étant prise négativement, est représentée par DE, ou, si on l’énonce sans changer son signe , elle est représentée par — DE.

Ainsi , toute la différence qu’il y a entre la construction de cette équation et celle de l’équation

x* — lax = b 1 (2)

qui avait donné naissance à la fig. 1 2 , c’est que la ligne DE qui représentait la racine positive de celle-ci, représente maintenant la racine négative de l’équation (3) ; tandis qu’au contraire , la ligne DE' qui représentait la racine négative , représente maintenant la positive. Le signe seul de cette représentation est donc interverti, et non les valeurs mêmes. Cette inversion est en effet l’expression fidèle de la dissemblance analytique qui existe entre les deux équations ; car la seconde n’est autre chose que la première , dans laquelle on a changé -f-x en — x; c’est-à-dire dans laquelle on a changé la racine positive eu négative, et réciproquement. On voit encore que la construction qui donne ces racines 'peut se conclure immédiatement par l’inspection de l’équation (3) elle-même, sans qu’il soit besoin de la résoudre. Car il suffit, comme tout à

l’heure, de la mettre sous la forme ar (x -f- 2<ï) = b *.

Alors l’inconnue -f- x peut être considérée comme la partie extérieure d’une sécante dont la partie intérieure est 2 a, la longueur de la tangente correspondante étant b ; ce qui s’accorde précisément avec la construction à laquelle nous avous été conduits en considérant l’expression même de la racine positive , laquelle était — a- f- \/ a' -f- b‘.

L’autre racine s’obtiendra pareillement, en observant que si l’on change -f-x en — a:', notre équation devient x’ (a/ — i a) = b ■*.

Alors elle montre que -j- x' a précisément la propriété attachée à la sécante entière DE; d’où il suit que — DE représente — x1 , et par conséquent -f- x , c’est-à-dire la seconde valeur de l’inconnue x.

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