R , ... CM' CM
gp-, c est-à-dire ou qq-> “ s en8Ult que les deux
triangles COM", COM», seront rectangles, l’un en M", l’autre en M» ; ce qui est encore une propriété connue des deux tangentes menées au cercle, à partir d’un même point extérieur.
1 3 1 . Maintenant , si l’on donne à v des valeurs positives ou négatives, telles que {x cos v +y sin v)% devienne moindre que la limite x'a +y* — R“, le pôle O étant toujours extérieur au cercle , la quantité comprise sous le signe radical dans les expressions générales de r, deviendra imaginaire; et, par conséquent, les deux valeurs de r du n° 127 serout imaginaires ellesmêmes. Ceci répond au cas où l’on voudrait mener du pôle O à la courbe des rayons vecteurs qui ne seraient pas compris dans l’angle M"OM* des deux tangentes .
et il est tout simple qu’alors les expressions de ces rayons deviennent impossibles à réaliser. Mais , malgré cette impossibilité, si l’on forme le produit analytique des deux valeurs de r, on trouve toujours qu’il est réel et égal à x'% 4 -y* — R*. Cette propriété bien remarquable n’est pas particulière à l’exemple actuel ; elle tient à ce que, dans toutes les équations qui ont un certain nombre de racines imaginaires , cés racines se présentent toujours par couples de la forme A -f B l/ — i , et A — B^/ — i; de sorte que leur produit A* + B" est toujours une quantité réelle.
i3a. Dans la discussion précédente, lorsque nous avons voulu interpréter les divers résultats fournis par la résolution de l’équation générale en r , nous les avons spécialement appliqués aux fig. 46 et 47, où le pâle 0 était représenté comme situé dans le quadrans des x ny positifs; mais nous aurions pu également les appliquer à toute autre position de ce pôle , en ayant , selon nos conventions générales , l’attention de compter les angles v et u dans le même sens, et de o° à 36o°; c’est ce dont les coinmençans pourront aisément s’assurer , en plaçant le point O dans d’autres quadrans , et recommençant les calculs précédens pour cette nouvelle hypothèse. Cet exercice leur sera utile , en leur apprenant à suivre les formules analytiques dans toute la généralité de leurs applications. Tel est l’objet de la figure 46 bis.
x 33. Puisque l’équation polaire du cercle le caracté. rise, elle doit pouvoir, lorsqu’elle est donnée, faire retrouver ses élémens géométriques , c’est-à-dire la position de son centre et son rayon. C’est aussi ce qui a lieu en effet ; car si l’on donne une équation du second degré en r, qui appartienne à un cercle , cette équation devra être réductible à celle que nous avons plus haut
ai3
obtenue ; ainsi , sa forme la plus générale sera r* + 2 ( A cos v -4- B sin v) r -+- C* = o ; et, en la comparant à l’équation générale
r* -f 2 (x' cos v sin v) r + *'* -4 -J"'* — R* = o, elle donne
Les deux premières égalités feront connaître les coordonnées du centre relativement au pôle des coordonnées angulaires, et ensuite, la troisième fera connaître le rayon du cercle , dont l’expression sera
Seulement, il faudra se rappeler que, d’après les conventions sur lesquelles nous avons établi nos constructions , les valeurs positives de x' et dey sont comptées ici , à partir du centre du cercle en allant vers le point choisi pour pôle ; en sorte qu’il faut changer leur signe si l’on veut les construire à partir de ce dernier point.
De l’Ellipse.
i34. En prenant, sur une des génératrices d’un cône droit à base circulaire, une distance arbitraire a, comptée du centre, et menant par son extrémité un plan coupant, incliné de l’angle i sur la génératrice, nous avons trouvé pour l’équation générale de l’intersection
j-acosV-j-xasin i sin (i’-f-zc») — ax sin 2rsin i — o.
Lorsque l’angle i est compris entre o° et i8o° — 2 v, nous avons vu que le plan coupant rencontre seulement une des nappes de la surface conique , et donne généralement pour intersection une courbe fermée désignée sous la dénomination d ‘ellipse. Nous allons discuter en particulier les propriétés de ce genre de courbe.
ai4 de l’ellipse.
i 35 Cherchons d’abord les points où elle rencontre l’axe des x , fig. 48. Pour les obtenir , il faut faire/ = o, ce qui donne
xa sin » sin (1 -1- 2v) — ax sin 20 sin t = o ; le facteur sin i multiplie tous les termes de cette équation. Comme il est constant, on peut le supprimer, et il reste
x1 sin (* -+- 2v) — ax sin 2v = o ; ce qui donne pour x ces deux valeurs
a sin iv
X ZSZ O » X ’ , 4 . 1 \ y
sin (1 +
ceci nous apprend que la courbe coupe l’axe des x en deux points différens : l’un B , qui est celui que nous avions pris pour origine des coordonnées, l’autre B', situé du côté des abscisses positives , à une distance
■ . a,Sm 2>> Eu effet , cette seconde valeur de x est posin (a -f- 2v) r
sitive dans les circonstances supposées; car l’angle v
formé par les génératrices avec l’axe du cône, étant
nécessairement moindre qu’un angle droit, 2v est
moindre que ibo°; ce qui rend sin 2v positif; et, de
plus, sin (t -f 2v) est également positif, puisque t est
supposé moindre que 180° — 2v.
En faisant isto, on aura les points où la courbe coupe l’axe des/ ; cette supposition donne
jr*= o,
c’est-à-dire que cette rencontre à lieu à l’origine même des coordonnées. De plus, l’équation/1 = 0 donnant deux valeurs nulles pour,/, on peut considérer l’axe des,/ comme rencontrant la courbe en deux points qui se confondent en un seul , c’est-à-dire qu’il lui est tangent. Pour suivre de plus près la marche de la courbe.
uc l’ellipsc. 2l5
prenons en général la valeur de y , nous aurons
r — zt — — l/ — x* sin i sin (*' — au) -f- ax sin 2v sin i. cos v
Ces deux valeurs étant égales et de signes contraires , la courbe est symétrique de part et d’autre de l’axe des x.
Si l’on suppose x négatif, y devient imaginaire; car les coefficiens sin i sin (i + 2v), et s*n s,n 1 étant des quantités positives, cette supposition rend négatifs tous les termes compris sous le radical. La courbe ne s’étend donc pas du côté des abscisses négatives, et elle est limitée , dans ce sens , par l’axe des y.
Lorsque l’on suppose, au contraire, y positif, les valeurs de^y sont réelles tant que l’on a
ou
x* sin (i + 2v) < ax sin 2v;
a sin 2v
sin (» 2v)
Mais elles deviennent imaginaires au-delà de cette limite ; car , si l’on a
a sin 2v
X ^ sin (i -f- 2v) *
on en tire
X * sin « sin (i -f- au) > ax sin w sin i ;
ce qui rend la quantité soumise au radical , négative. Par conséquent , la courbe ne s’étend , du côté des abscisses positives , que depuis l’origine des coordonnées
iusqu’à l’abscisse a sin 2 v 0|y eUe coupe l’axe J n sin (1 + 2v) r
des x. Alors les deux valeurs de y deviennent nulles en même temps , et l’ordonnée prolongée est tangente à la courbe. Ainsi , les deux branches qui la composent, après s’être jointes à l’origine B des coordon—
dk l’ellipsk.
née*, s’étendent symétriquement, l’une au-dessus r l’autre au-dessous de l’axe des abscisses, se rejoignent de nouveau sur cet axe , en B', et rentrent ensuite sur • elles-mêmes ; de sorte que la courbe est fermée, comme le représente la fig. 48.
i36. Transportons l’origine des coordonnées en A,
au milieu de la ligne a sm ,? — . à égale distance des
u sm(< +• zv) 0
deux sommets B, B', mais comptons les nouvelles abscisses positivement vers AB et non pas vers AX comme précédemment ; alors, si AP est une de ces nouvelles abscisses , que nous représenterons par + x', l’ancienne abscisse sera BP, ou -f-x, et l’on aura toujours
a sin ï.v ,
2 sin (i -f- 2.v)
Substituant pour x sa valeur dans l’équation de la courbe , il vient
y* cos“ v -f- x'* sin i sin ( i -f- au)
a’sinVcosVsin i sin ( i -f- -xv) '
En faisant^- = o , on retrouve
a sin v cos v sin (t -f- 2^ )’
ou x' — ±. AB,
comme cela devait être : mais ici la courbe rencontre en deux points le nouvel axe des^, représenté par A Y' dans la figure ; car, en faisant x' = o , on a
» i • , / sin i
r =• ±: a sin i> 1/ -7-: . , r.
J V sin(i-f-2t0
C’est la limite de la courbe dans le sens des ordonnées.
t3y. L'équation de l’ellipse prend une forme très
élégante quand on y introduit les coordonnées des
points B, B', C, C', dans lesquels elle coupe ainsi les
DK l’ellipse. 1 1 7
nouveaux axes des x et des y. En effet , si l’on suppose
a'sin'V cos’d ^ a' sin'v sin i
sin’ {J. -f iv ) ’ sin ( i -f- 2e) ’
on n’aura qu’à multiplier tous les termes de l’e'quation en y et x' par
a' sinV sin!( i + îv)’
et , en supprimant l’accent de x', dont nous n’avons plus que faire , on trouvera
A’\r“ + Ba:r’ = A‘Ba.
Les quàntite's 2 A et a B se nomment les axes , et le point A le centre de l’ellipse. Lorsque son e'quation se trouve ramenée à cette forme, les coordonnées étant rectangulaires , on dit qu’elle est rapportée au centre et à ses axes. Si ces axes sont égaux , on a simplement jT1 + x* = A%
équation d’un cercle. Le cercle est donc une ellipse dont les axes sont égaux. On voit même , d’après l’équation de l’ellipse , qu’elle est également symétrique, comme le cercle, dans les diflférens quadrans. A mesure que nous avancerons dans l’examen des propriétés de ces courbes , nous reconnaîtrons de plus en plus leur analogie.
t38. Pour distinguer les deux axes de l’ellipse , on a coutume d’appeler l’un le premier ou le grand axe , et l’autre le second. Il suffirait de changer / en a:, et réciproquement dans l’équation de cette courbe, pour que le premier axe devînt celui des ordonnées, et le second celui des abscisses ; on aurait alors A**' + B’j” = A’B\
L’équation de l’ellipse ne change donc pas de forme lorsqu’on la rapporte à ses axes , quel que soit celui d’entre eux qu’on prenne pour l’axe des abscisses. Ce
ai8 de l’ellipse.
résultat analytique est une conséquence de sa symétrie
autour de son centre.
i3g. Toute droite, telle que mAM, menée parle centre de l’ellipse , et terminée de part et d’autre à cette courbe , se nomme un diamètre : il est aisé de voir que les diamètres se trouvent tous divisés au centre , en deux parties égales. C’est une conséquence de la forme symétrique de la courbe.
aB*
i4o. La quantité — se nomme le paramètre de la A
courbe 1 c’est une troisième proportionnelle aux deux axes.
Si Ton se reporte à l’art. io5, page 17a, et à lafig. 35, qui représente la section elliptique dans le cône , on verra aisément que , dans le triangle CBB', formé par Taxe de l’ellipse avec les deux arêtes opposées du cône, qui passent par les sommets de cette courbe , l’angle au sommet du cône est égal à 2p, et l'angle CBB' est égal à 1. Ainsi, la distance CB étant a, le côté BIT de a sin 2v 2 a sin v cos i>
sin( i -f- 9,v ) ’ sin ( * + ip ) ’
voilà pourquoi nous avons trouvé tout à l’heure que cette quantité , qui est égale à 2A , représente la distance des sommets de l’ellipse.
ce triangle est égal à
1 4 1 - En introduisant les expressions des axes A et B dans l’équation
cos’p -f- x’sin £ sin (1 -f- 20) — ax sin iv sin i ss o ,
où l’origine des coordonnées est au sommet B de la courbe, ce qui s’opère à l'aide du même multiplicateur dont nous avons fait tout à l’heure usage, elle devient
A’j'1 -f Bajr' — aBaAx = o, et peut se mettre sous la forme
J' = ( aAx — x‘ ).
Si donc ou désigne par x' y, x*,y“ , les coordonnées de deux points quelconques de l’ellipse , on aura
J*1 ~~ x" ( aA — x") 5
c’est-à-dire que les carrés des ordonnées sont entre eux comme les produits des distances BP, B'P, du pied de ces ordonnées aux sommets de la courbe.
142. L’équation de l’ellipse , rapportée à son centre et à ses axes , peut être mise sous cette forme
Ba <
y = Jî ( A4 — *’)•
. Si , du point A , comme centre avec un rayon AB égal à A ( fig. 49), on décrit une circonférence de cercle, son équation sera
Donc , en représentant par y et Y les ordonnées de 1 ellipse et du cercle qui correspondent aux mêmes abscisses , on aura généralement
Selon que B sera moindre ou plus grand que A, y sera moindre ou plus grand que Y. Par conséquent , si , du centre de l’ellipse, avec des rayons égaux à chacun de ses axes, on décrit deux circonférences de cercle, l’ellipse comprendra la plus petite, et sera comprise dans la plus grande (fig. 49).
Il suit de là que les deux axes de l’ellipse sont , 1 un le plus grand , l’autre le plus petit de tous ses diamètres.
En vtfrtu de la relation précédente , il suffit , pour
DE L ELUSSE.
trouver les ordonnées de l’ellipse , quand on connaît celles du cercle décrit sur un de ses axes, de diminuer ou d’augmenter ces dernières dans le rapport de B à A. Cette propriété donne plusieurs moyens de décrire une ellipse par points , lorsque l'on connaît les deux axes.
*43. Du point A , comme centre , et avec les rayons AB , AC, égaux aux deux demi-axes A et B, on décrira ' deux circonférences de cercle ( fig. 4g) ; ensuite on mènera un rayon quelconque ANM, et on abaissera du point M une perpendiculaire MP sur l’axe AP ; menant ensuite, du point N , NQ parallèle à AB, le point Q sera à l’ellipse , car il est visible que l’on aura AN R
PQ = TTiï = T PM'
