AM A
Seconde manière. D’un point quelconque D, pris sur le petit axe CC/ ; fig. 5o , et avec un rayon DO, égal à la différence A — B des deux demi-axes , on décrira un arc de cercle qui coupera BB' quelque part en 0. Par les points 0 et D on mènera OD, et l’on fera DM = AB = A ; le point M sera à l’ellipse.
Car, si du point D, comme centre, l’on décrit le cercle ME, dont le rayon DM = A , on aura
MO = B et PM = QM =? QM.
DM peut être une règle dont la longueur est A, et sur laquelle on marque un point 0, tel que MO = B.
En faisant mouvoir cette règle dans l’angle BAC', le point M décrira un quart de l’ellipse demandée; on aura les autres parties de l’ellipse en plaçant la règle dans les autres angles, et l’y faisant mouvoir suivant la même loi.
144. On vient de voir que, pour tous les pointa situés sur l’ellipse , la valeur de l’ordonnée^ est dpn-
DE l’ellipse.
aée par l’équation
pour un point situé hors de l’ellipse , mais relativement auquel l’abscisse x serait la même , la valeur de j* serait plus grande : on pourrait donc la représenter par l’expression
n* étant une quantité positive. Au contraire , pour un point situé dans l’intérieur de l’ellipse , la valeur de j* serait plus petite , et prendrait la forme
Ainsi , en faisant évanouir le dénominateur A', on voit que l’on aura toujours
hors de l’ellipse , A y1 B*x* — A‘Ba > o ; sur l’ellipse , Ay 4- B’x* — A’B* = o
au dedans de l’ellipse, Ay7 + B'x1 — AaB’ < o.
Par conséquent, pour savoir si un point est extérieur à 1 ellipse , s’il est sur cette courbe , ou s’il lui est intérieur, il suffira d’observer le signe de la quantité
— A*Ba. Cette propriété nous sera fort utile dans la suite.
i45. Si, par le point B' (fig. 5i) , pour lequeljr=o, ’ et x— — A , on mène une ligne droite inclinée d’une manière quelconque, elle aura pour équation (n° 48)
J" — a ix ~h A ).
Si , par le point B, pour lequel j~= o , et x — ~j- A, on mène une autre ligne droite pareillement inclinée d’une manière quelconque, .son équation sera
jr ~ a'{x - A).
Supposons que l’on demande que ces droites se coupent sur l’ellipse : il faudra, pour cela, que leurs équations puissent subsister en même temps et avec celle de cette courbe (n° 109). Or, en les multipliant membre à membre , elles donnent
J* — — ad ( A1 — x*) ;
et , pour que ce résultat s’accorde toujours avec l’équation
il faut qu’on ait
ce qui établit une relation constante entre les angles que forment avec le plus grand axe les cordes menées de ses extrémités. Cette relation ne dépend que du rapport des axes. Dans le cercle , qui est une ellipse dont les deux axes A et B sont égaux entre eux , on a
ad — — 1 ;
et les cordes supplémentaires s’y coupent à angles droits, comme nous l’avons vu dans l’article 109.
Il est visible d’ailleurs qu’en effectuant directement l’élimination , comme dans l'art. 1 1 1 , on trouverait de même, outre la condition précédente, l’équation ad = o , qui signifie que les deux droites pourraient encore se couper sur l’ellipse, si l’une d’elles coïncidait avec le grand axe ; mais cette relation , quoique vraie , est particulière à cette position : elle est par conséquent étrangère à la propriété générale que nous nous proposions de découvrir. C’est pourquoi nous pouvons nous dispenser d’y avoir égard.
Réciproquement, lorsque cette équation a lieu entre les angles que forment deux droites avec l’axe des ab-
scisses , ces droites sont des cordes supplémentaires d’une ellipse dans laquelle le rapport des axes est égal
à g , c’est ce qu’il est aisé de voir en reprenant le calcul précédent d'une manière inverse.
Ces considérations nous conduisent à une propriété assez curieuse de l’ellipse. Imaginons que , sur son grand axe , comme diamètre, on décrive une circonférence de cercle : cette circonférence sera extérieure à l’ellipse , et les lignes menées de ses points aux extrémités du grand axe formeront entre elles des angles droits. Par conséquent , les cordes supplémentaires menées d’un même point de l’ellipse, feront entre elles des angles obtus , puisque leur sommet sera intérieur, à la circonférence.
En faisant la même construction sur le petit axe , les propriétés seront inverses, puisque la circonférence sera intérieure à l’ellipse ; tous les angles formés sur cet axe par les cordes supplémentaires seront aigus.
Il est facile de prouver que , de toutes les cordes supplémentaires que l’on peut mener aux extrémités des axes de l’ellipse , celles qui se coupent au sommet du petit axe forment entre elles l’angle le plus grand , et celles qui se coupent au sommet du plus grand axe forment l’angle le plus petit. Ces propriétés se démontreraient facilement en cherchant l’expression analytique de l’angle formé par deux cordes supplémentaires. Je laisse cette recherche à faire aux élèves qui voudront s’exercer.
146. A mesure que nous avançons dans l’examen des propriétés de l’ellipse, nous voyons paraître une analogie frappante entre cette courbe et la circonférence du cercle. Guidés par cette analogie, cherchons à la rendre complète en comparant de plus en plus ces deux courbes dans leurs diverses propriétés.
aa4 de l’ellipse.
Le cercle en offre une bien remarquable , c’est que les distances de tous ses points à son centre sont égales entre elles. Il est évident que cette propriété n’a plus lieu dans l’ellipse ; mais cependant on y retrouve quelque chose d’analogue. Si , sur le grand axe de cette courbe , de part et d’autre de son centre , on marque deux points F, F', dont les abscisses soient dz{/ A‘ — B*, fig. 5a , la somme des distances de ces points à un même point de la courbe est toujours constante.
Cette propriété est bien facile à démontrer. En effet; soient généralement x , jr, les coordonnées d’un point quelconque M de la courbe, et nommons x' l’abscisse positive ou négative des points assignés , laquelle • sera ici rt A’ — B* ; on aura, en appelant D’ie carré de la distance MF' ou MF ,
En mettant pour y sa valeur en x tirée de l’équation de l’ellipse, et substituant pour x'* sa valeur A* — B1 , cette expression devient ,
D’=B’ — R ^ 4-xa — 2xx'-f A* — ^ x*
2Xx'A*;
ou , en substituant, au lieu de A* — B“, sa valeur x'* ,
— 2xx' 4- Aa = ^A — ;
le second membre étant un carré parfait, on peut extraire sa racine , et l’on a pour D ces deux valeurs
l’extraction de la racine nous donne un double signe, parce qu’en effet, n’ayant pas introduit d’élément angulaire , il dépend de nous de considérer toutes les
distances D comme des quantités positives ou comme des quantités négatives , pourvu que nous soyons toujours fidèles à la convention que nous aurons une fois adoptée. Comme ordinairement le signe — est employé pour marquer une opposition de direction, nous choisirons le signe + , ce qui donnera
Maintenant il ne nous reste plus qu’à substituer successivement dans cette expression les deux valeurs données de x', c’est-à-dire d; \/ A* — B*; et en nommant D', D", les deux valeurs de D que cette substitution donne , nous aurons
B- , A - D- = A + î»^EE.
ce sont les distances MF, MF' d’un point quelconque de la courbe aux deux points assignés. La première , provenant de la substitution de j/ Aa — Ba pour x',
appartient au point F situé du côté des x' positifs ; l’autre, provenant de la substitution de — j/A* — B* pour x', appartient au point F' situé du côté des x négatifs. On peut facilement vérifier cette distinction ; car, en faisant x=+A, D' et D" deviendront les distances des deux points F, F', au sommet de l’ellipse qui est situé du côté des abscisses positives; or, dans ce cas , x' et x" deviennent
D' = A — l/A^B% D" = A + l/A’ - B-, valeurs qui sont évidemment conformes à l’interprétation que nous leur avons attribuée. En ajoutant les expressions générales de D' et de D", la variable x disparaît , et l’on a
8e Édit. ,5
c’est-à-dire que la somme des distances D", D', est
égale au grand axe de l’ellipse, comme nous l’avons
annoncé.
Les points F, F', ainsi choisis sur le grand axe , se nomment les foyers de l’ellipse. On leur a donné ce nom à cause d’une propriété physique dont ils jouissent , et que nous ferons connaître plus tard.
On voit , de plus, que la distance D', D", de chacun de ces points à un point quelconque de la courbe est exprimée rationnellement en fonction de l’abscisse x. C’est une propriété qu’ils possèdent exclusivement et qui les caractérise.
x 47 • En effet, si l’on se proposait de déterminer sur le plan de l’ellipse un point doué de cette propriété, en désignant par y' et J ses coordonnées inconnues , et nommant toujours D sa distance à un point quelconque de l’ellipse , on aurait généralement
d» = (* — x')* + (y— yy,
ou, en développant les carréset mettant pour y sa valeur w B* — — — tirée de l’équation de l’ellipse
/A 9 / iwT
D*— ----JT1— 2XX'+ ar'»+y,+B!‘— iy'\J Ba — ,
il est impossible que D devienne rationnelle en x , à
moins que le radical
ne disparaisse du
second membre , car ce radical lui-même est irréductible , c’est-à-dire que l’on n’en peut pas dégager x. Or, pour qu’il disparaisse sans donner de valeur particulière à x , il n’y a pas d’autre parti à prendre que de rendre son coefficient nul. C’est-à-dire que le point, ou en général les points qui satisfont à la question , ne
peuvent être situés que sur l’un des axes de l’ellipse. Avec cette modification il vient
il nous reste encore x d’indéterminée; ainsi nous pouvons en disposer de manière à rendre le second membre un carré parfait et positif. C’est même la seule manière de remplir la condition exigée , que D soit rationnelle en x et réelle. Pour cela , il faut assimiler ce second membre au carré d’un binôme, tel que a-\-bx ; c’est-à-dire à a* -*r o.abx + b'x* ; alors, en comparant les termes semblables , nous aurons
Aa
2 ab — — 2x', a' = B1 -J- x'* ;
la seconde condition donne a*—- j- , et en éliminant b
Adx'*
au moyen de la première , il en résulte a* = — — — ; substituant dans la troisième , il vient
