AV

Faisant évanouir les dénominateurs, et réduisant, on obtient

c’est-à-dire que les points cherchés sont au nombre de deux , situés sur le grand axe de l’ellipse, à des distances de son centre égales entre elles, et exprimées par

rt l/A’ — B’. Celte quantité s’appelle ordinairement Y excentricité comme elle est constante pour chaque ellipse, nous la désignerons en général par la lettre c. à laquelle nous conserverons désormais cette signification. Pour qu’elle soit réelle , on voit qu’il faut que A

52 8 DE l’ellipse.

surpasse B ; c’est-à-dire que les points F, F, soient pris

sur le plus grand des axes.

1 48. Cette valeur de c ou de x , qui exprime la distance des points F, F', à l’origine , est très facile à construire ; il suffit (tig. 52) de décrire , de l’extrémité C „du petit axe , comme centre , une circonférence de cercle dont le rayon CF soit égal au demi- grand axe A de l’ellipse. Cette circonférence coupera le grand axe en deux points ; qui seront évidemment F et F : ces points se nomment les foyers de l’ellipse ; leur distance eau centre de la courbe se nomme Y excentricité. Quand A = B , la valeur de c est nulle ; les deux foyers se réunissent en un seul , placé au centre de la courbe , ' et l’ellipse se réduit à un cercle.

11 est facile de voir qu’en faisant x — ± 1/ A“ — B*

dans l’équation de l’ellipse, on trouve y=±-^- :

c’est-à-dire que, dans l’ellipse, la double ordonnée, qui passe par le foyer, est égale au paramètre.

i4g. Les propriétés précédentes donnent un moyen simple et commode pour décrire une ellipse quand on connaît son grand axe et la position de ses foyers.

On prendra du point B (fig. 53), une longueur quelconque BK sur l’axe BB' ; du point F, comme centre, avec BK pour rayon, on décrira un arc de cercle ; du point F', comme centre , avec B'K pour rayon, on décrira un autre arc de cercle ; le point M, où ces arcs se coupent, appartient à l’ellipse.

Il est avantageux de décrire les arcs de cercle audessus et au-dessous de l’axe : par ce moyen , ou trouve à chaque opération deux points de l’ellipse, et l’on en obtient quatre quand on porte successivement la même ouverture de compas à chacun des foyers.

de l’ellipse. avg

Cette méthode est la plus expe'ditive que l’on connaisse pour décrire l’ellipse par points : il est visible qu’on peut l’employer lorsque l'on connaît les deux axes , puisque alors on trouve aisément la position des foyers.

Elle a cependant un léger inconvénient , c’est de ne pas donner les points de l’ellipse pour des abscisses déterminées ; ce qui est quelquefois nécessaire : mais alors on peut trouver ces points par les autres procédés que nous avons décrits.

Lorsque l’ellipse doit être fort grande, comme cela a lieu quand on opère sur le terrain, on fixe aux foyers FF' les extrémités d’un cordeau dont la longueur est égale au grand axe , et que l’on tend par le moyen d’un piquet; on fait glisser ce piquet de manière que le cordeau soit toujours tendu, et la courbe se trouve tracée quand il a fait ainsi une révolution tout entière.

i5o. Occupons-nous maintenant de mener une tangente à l’ellipse, dont l’équation est

ky -f B*x' = A’B*.

Soient x" , y", les coordonnées du point de tangence; elles vérifieront la relation

Ay“‘ + BV* — A‘B\

La tangente étant une ligne droite , et devant passer par ce point , son équation sera de cette forme

Il ne reste plus qu’à déterminer a.

Pour y parvenir, nous chercherons les points où cette droite , considérée comme une sécante , rencontré la courbe; et nous écrirons qu’ils se réunissent en us seul. Dans ces points, les trois équations précédentes

a3o de l’ellipse.

ont lieu en même temps : retranchant les deux premières l’une de l’autre , on a

A-’ il—j") (. r+j“) 4- b* (x — x") (x + x") = o.

En mettant pour y sa valeur y" -f- a (x — x") , tirée de l’équation de la droite , on trouve

(x — x") { A* [2 ay" -f- (x — x") ] 4 {x 4* x") } — °*

Une des racines de cette équation est

x = . r", et donne y —ÿ‘,

parce que le point donné est commun à la tangente et à la courbe : supprimant le facteur (x — x"), il reste

A* [2ay" + (x — x") ] -f- B* (x 4- x*) = o.

Pour que la droite soit tangente, il faut que la seconde valeur de x soit x* , comme la première , ce qui exige qu’on ait

k'ay" 4 B3x" = o ; d’où a — —

En substituant cette valeur dans l’équation de la tangente à l’ellipse , elle devient

Bax"

ou , en réduisant,

A yf + Bsxx* = A“B\

Comme il n’y a qu’une seule valeur de a, on 11e peut mener par chaque point de l’eUipse qu’une seule tangente à cette courbe.

1 5 1 . On peut ici , comme dans le cercle , prouver que la droite ainsi déterminée est tout entière hors de l’ellipse ; car , si l’on reprend les équations

DE l’ellipse. 23 I

k'yy" + B’arr" = A*B’,

A y* + B*x"a = ASB*,

et qu’on retranche de la seconde le double de la première , le résultat pourra être mis sous la forme

A» (y— y y -f- B“ (x—x"y SS A y* + Ba x* — Aa B*.

La quantité A y -f- B*x* — A’B* , étant ainsi généralement égale- à la somme de deux carrés , est donc constamment positive pour tous les points de la droite, excepté pour celui dont les coordonnées sont x" et y“ : tous ces points , excepté celui de tangence, sont donc situés hors de l’ellipse.

i52. Si , par le centre et par le point de tangence on mène ùn diamètre , son équation sera de la forme y = a'x.

La condition de passer par le point de tangence donnera

On vient de voir que la valeur de a , qui convient à la tangente , est

En multipliant l’une par l’autre les valeurs de a et de a' , on trouve

Ce résultat étant conforme à la condition obtenue dans l’art. 1 45 , nous apprend ( fig. 54 ) que la tangente MT , et le diamètre AM , qui passe par le point de tangence , ont la propriété d’être les cordes supplémentaires

d’une ellipse dont le rapport des axes est -g , comme dans l’ellipse proposée.

a3a . de l’ellipse.

Ceci fournit un moyen très simple pour déterminer ]a direction de la tangente ; car, si l’on tire deux cordes supplémentaires quelconques, et qu’on désigne par*,*", les tangentes trigonométriques des angles qu’elles font avec l’axe, ou aura toujours entre elles la relation

On peut mener une de ces cordes parallèle au diamètre qui passe par le point de tangence , alors on aura

d’où résulte aussitôt

ce, = a ;

c’est-à-dire que l’autre corde sera parallèle à la tangente.

i53. Ainsi, pour mener une tangente à l’ellipse par un point M donné sur cette courbe (fig. 54), il faut mener, de ce point au centre, le diamètre AM: par l’extrémité B' de l’axe BB', tirer la corde B'N parallèle à AM ; MT , parallèle à BN , sera la tangente demandée.

On voit , par cette construction même , que , si l’on mène le diamètre AM' parallèle à la corde BN ou à la tangente HIT , la tangente de l’ellipse au point M' sera parallèle à la corde B'N, ou au diamètre AM.

Il est évident que le même procédé peut servir pour mener une tangente à l’ellipse, parallèlement à une droite donnée ; car soit DE cette droite ; par l’extrémité B du premier axe, on meDera une corde BN qui lui soit parallèle ; puis on joindra B'N j et par le centre , menant AM parallèle à B'N , M sera le point de tangence cherché. Il ne restera donc plus qu’à mener par ce point une droite MT, parallèle à la ligne donnée DE, ce sera la tangente demandée ; et, comme on peut répéter la

de l’ellipse. a33

même ope'ration de l’autre côté de l’axe de l’ellipse , il est évident qu’il y aura deux tangentes parallèles qui satisferont également à la question.

1 54. Lorsque deux diamètres sont disposés , comme AM , AM' ( fig. 54) , de manière que chacun d’eux soit parallèle à la tangente menée à l’extrémité de l'autre , on les nomme conjugués. L’angle MAM', formé par deux diamètres conjugués , est évidemment égal à celui des deux cordes supplémentaires BN , B'N , qui leur seraient respectivement parallèles.

La dénomination que nous donnons ici à ces diamètres, s’accorde avec les conditions énoncées dans l’art. 1 24 ; car nous prouverons tout à l’heure que l’équation de l’ellipse, lorsqu’elle leur est rapportée, conserve la même forme que par rapport à ses axes.

155. ” L’équation de l’ellipse étant symétrique relativement à ses deux axes, les propriétés que nous venons de démontrer seront communes à l’un et à l’autre , et l’on pourra leur appliquer la même construction relativement aux cordes supplémentaires.

156. Pour avoir le point où la tangente rencontre l’axe des x ( fig. 55), il faut supposer^ = o dans son équation ; qui donne alors.

x ae — 5

SW', i \ f

c’est la valeur de AT. Si l’on en retranche AP ou x ", on aura la distance PT , du pied de l’ordonnée au point où la tangente rencontre l’axe des abscisses. Cette distance se nomme souiangente ; son expression est ici

PT = JL.,

Cette valeur est indépendante du second axe B -, elle est

334 DE l'ellipse.

donc la même pour toutes les ellipses qui ont le même premier axe A , et qui sont concentriques avec celle que nous considérons : elle convient par conséquent encore au cercle décrit du point A , comme centre , avec un rayon égal au demi-grand axe. Ainsi , en prolongeant l’ordonnée MP de l’ellipse jusqu’à sa rencontre avec le cercle en M', et menant à ce, point la tangente M'T, MT sera la tangente à l’ellipse au point M.

Cette construction s’appliquerait également au second axe , sur lequel l’expression de la soutangente serait indépendante de la valeur du premier.

157. Les formules précédentes peuvent encore être employées lorsque la tangente doit être menée par un point extérieur à l’ellipse , et dont les coordonnées sont connues. En effet , en les supposant représentées par t y , elles doivent vérifier l’équation de la tangente; ce qui donne

( « ) A y y + BV x" = A*B*.

On a d? plus , le point de tangence étant sur l’ellipse ,

(2) A y* -f BV* = A“B*.

En regardant x",y, comme inconnues, ces deux équations suffiront pour les déterminer, et l’on substituera ensuite leurs valeurs dans l’équation trouvée ci-dessus pour la tangente. Il est facile de déduire de ces formules un résultat analogue à celui que nous avons obtenu pour le cercle dans l’art. 1 19. De plus , en éliminant j“ entre elles, ou trouve

(Ay* -f BV*) x'* — 2 A*B Vx" — A< {j' *— B’ ) =0.

Cette équation, qui est du second degré, donnera pour x" deux valeurs; et ces valeurs seront réelles lorsque la quantité

A4BV“ -|- A4 { (y*— B1) (Ay* + BV*) } ,

de x’eixipse. 235

qui entrerait sous le signe radical , sera positive. Or, en réduisant cette quantité , elle devient

A y* (A y* + Baa?'a — ASB’).

Ainsi , les deux valeurs de x' seront réelles lorsque la quantité A’j/“ -J- Bax'J — ASB* sera positive ou nulle, c’est-à-dire lorsque le point donné sera situé hors de l’ellipse , ou sur cette courbe même. Dans ce cas , chaque valeur réelle de x“ donnera une valeur de y egalement réelle : il y aura donc deux points de tangence. Ainsi , par un point M' donné hors de l’ellipse , on peut toujours mener deux tangentes à cette courbe, et l’ou n’en peut mener davantage. Nous aurons bientôt des moyens faciles pour les construire géométriquement.

i58. Occupons-nous maintenant de mener une normàle à l’ellipse : puisque cette normale est une ligne droite qui passe par le point de tangence , son équation sera de la forme

Mais, de plus, elle doit être perpendiculaire à la tangente , pour laquelle on a

Ba *'

Il faut donc qu’il existe entre a et a' la relation aa! 4-i=o,

qui donne

Alors l’équation de la normale devient

Pour avoir le point où elle rencontre l’axe des x, il

236 de l’eli.ipse.

faut supposer^ nul; et elle donne alors (fig. 56)

C’est la valeur de AN : en la retranchant de AP, qui est représenté par x", on aura la distance du pied de l’ordonnée au pied de la normale. Cette distance se nomme sounormale ; et, d’après l’expression précédente, on trouve pour sa valeur