I -f- aa

ou , en mettant pour a et * leurs valeurs ,

A ’f* + B’ x"2 — B» ex"

A2 cf — (A1 — B2) x"f ’

cette quantité se réduit à

cf'

en observant que le point de tangence est sur l’ellipse et que A* — B2 = c\ ' . ’

Pareillement, si de l’autre foyer F', pour lequel j=o et x — — c, on mène au point de tangence une ligne droite, elle aura pour équation

I/angle F'MT de cette droite avec la tangente à l’ellipse , aura pour tangente trigonométrique

-——-7, qui se réduit à

i+"« 1 cf

quand on y met pour a et * leurs valeurs.

Les angles FMT, F AIT, ayant leurs tangentes trigo— nomé triques e’îîa,es et de signes contraires, sont supplémens l’un de l’autre : ce qui donne

FMT + F'MT r= 180°; et comme on a aussi

F'MT f F'M<= i8o°,

il en résulte

FMT = F'Mt.

Ce qui nous apprend que, dans V ellipse , les droites

238 de l’ellipse.

menées du point de tangence aux deux foyers ,font avec la tangente, et du même côté de cette ligne, des angles égaux.

11 suit de là que la normale divise en deux parties égales l'angle formé par les deux rayons vecteurs menés des foyers à un meme point de la courbe.

160. Cette propriété fournit une construction très simple pour mener une tangente à l’ellipse par un point donné.

Supposons d’abord que ce point soit sur l’ellipse.

On mènera les rayons vecteurs FM, F'M (fîg. 5y ) ; ou prolongera l’un des deux, par exemple, F’M, d’une quantité MK égale à FM. Joignant K et F, la ligne MT, perpendiculaire à FK , sera la tangente demandée ; car, d’après cette construction, les angles TMF,TMK,FMi, sont égaux entre eux.

On peut aisément s’assurer qu’en effet la droite MT ne rencontre la courbe qu’au point M; car, pour tout autre point t de cette tangente , on aurait F/ = iK , et

Fi + F<> FMK;

et comme F'MK = 2A , le point t n’appartient pas à l’ellipse.

Si le point donné, d’où l’on doit mener la tangente, est extérieur à l’ellipse , et situé , par exemple , en t ; alors du point F comme centre avec un rayon F'K égal au grand axe 2A, on décrira un arc de cercle; du point t, comme centre avec un rayon iF, on décrira un autre arc de cercle qui coupera le premier en K. Menant F'K, le point M sera le point de tangence ; et, joignant M et t par une ligne droite, on aura la tangente demandée.

En effet , d’après cette construction , /F = iK ; de plus, FM -f- MF = 2A, et F'M -f- MK = 2A ; on a

donc

DE l’ellipse.

MF = MK.

La ligne M/ est donc perpendiculaire sur le milieu de FK : donc les angles FMT, F'M/, sont égaux , et la droite /MT est tangente à l’ellipse.

Les cercles décrits des points F' et /, comme centres, se coupent généralement en deux points. Cette construcl tion donnera donc les deux tangentes /M, /M', que l’on peut mener à l’ellipse par un point extérieur.

16t. En transportant ici les raisonnemens que nous avons faits (n° 121) sur les intersections des cordes qui joignent les points de tangence correspondans à un même point extérieur, on en verra naître des propriétés absolument analogues à celles que nous avons trouvées alors pour le cercle.

En effet, pour chaque point extérieur M' (fig. 58),

d’où l’on mène deux tangentes à l’ellipse, les coordonnées des deux points de tangence M", M", sont

déterminées par la combinaison des équations

(O Ay^-f BV**— A‘B% Ay',-j-B’x"*=A*B1. • (2)

On peut donc obtenir ces coordonnées par l’intersection des deux l.eux géométriques que ces équations représentent, en y considérant et f comme variables et^ , a/, coordonnées du point M', comme des constantes données. Alors, la seconde est l’ellipse même a laquelle on mène les tangentes; et la première étant linéaire , appartient nécessairement à la droite qui passe par les points de tangence simultanés.

Si l’on veut que cette corde passe par un point donne O dont les coordonnées soient a et b , il faudra que ces coordonnées, étant prises pour x" et y" satisfassent à son équation , de sorte que l’on ait

A 'bf + B’ox' = A“B*. (3)

2 '{o DE L’ELLIPSE.

Maintenant si, sans changer a et b, on fait varier y etx' coordonne'es de M', de manière que cette condition soit toujours remplie, il est clair que la corde qui en résultera passera toujours par le point dont les coordonnées sont a et b. Or, ce mode de variation place le point M' sur la ligne droite représentée par l’équation (3) , en y regardant^' et x' comme variables. Donc, si , de tous les points de cette droite que l’on peut construire d’après son équation , on mène deux tangentes à l’ellipse , et que , pour chaque couple pareil , on trace la corde qui passe par les deux points de tangence, toutes ces cordes se couperont en un même point 0 , qui sera celui dont les coordonnées sont a et b.

Si , par ce point d’intersection et le centre de l’ellipse, on conçoit une ligne droite AO, que nous nommerons rayon vecteur, son équation sera

En combinant cette équation avec celle de l’ellipse A4y -f B’x“ = A*B%

on aura les coordonnées des points N , N', on elle rencontre cette courbe. Désignons-les par x, , : leurs

valeurs seront