AB ^ *AB

x, = ±- yf'K-b‘ + B’a4’ ~ ~ \/ A'b' + BV'

Maintenant , si l’on substitue ces valeurs pour x" et y dans l’équation générale de la tangente , laquelle est PSyy" -f- B4X x" = A*B’,

on aura l’équation particulière de la tangente menée à l’ellipse par le point d’intersection N ou N’ que l’on aura considéré. Ce sera évidemment

A? b y -f- B*aa: = ABV/ A4 6* -J- B*a*-

de l’ellipse. a4i

Or, si l’on compare cette équation avec l’équation (3), •on voit que les coefficient des variables x, jr, x', ÿ , sont les mêmes dans toutes deux. Par conséquent, les deux droites que ces équations représentent , sont parallèles l’une à l’autre.

On a vu plus haut qu’en considérant x *, comme

variables , les deux points de contact des tangentes menées d’un point quelconque M', sont situés sur la corde dont l’équation est

A yy -f B-iV = A’B\ (I)

Or, si le point M' était choisi de manière qu’il se trouvât sur le prolongement du rayon mené du centre au point dont les coordonnées sont a et b, le rapport

—deviendrait égal à - .

et la corde représentée ^par

l’équation (i) deviendrait parallèle à la droite représentée par l’équation (3) ; elle serait donc également parallèle à la tangente menée à l’ellipse par le point d’intersection de cette courbe avec le rayon vecteur que nous venons de désigner.

De là résulte une construction bien simple pour trouver la droite qui contient les sommets des couples de tangentes quand on connaît le point de concours des cordes, et réciproquement : car si ce point est donné et désigné par O, fig. 58, menez d’abord du centre A le rayon vecteur AO, que vous prolongerez indéfiniment; ensuite , par le point N , où ce rayon rencontre l’ellipse , menez une tangente à cette courbe; puis, par le point donné 0, menez une corde parallèle à cette tangente; enfin , par l’un des points M" où cette courbe coupe l’ellipse, menez à cette courbe une nouvelle tangente, qui ira rencontrer en M' le prolongement du rayon vecteur AO. Le point M' sera situé sur la droite, dont O est le pôle , en prenant ce terme dans l’acception que 8. Édit. 1 6

2^2 de l’ellipse.

nous lai avons donnée (n° iai ). Alors , par le point M' ainsi déterminé , menez uite ligne LM'L parallèle à la tangente, ce sera la droite cherchée.

Réciproquement , si la droite LL est donnée, il faudra mener à l’ellipse une tangente TNT', qui lui soit parallèle ; ce qui se fera par le moyen des lignes supplémentaires (n° i52). Le point de tangence N étant ainsi connu , on lui mènera du centre de l’ellipse le rayon vecteur AN, qui , prolongé, ira couper la droite en un point M', duquel on mènera à l’ellipse une tangente M'M"; enfin, du point de contact de cette tangente avec la courbe , on tirera la corde M"M", parallèle à la droite donnée M'L; et le point O, où elle coupera le rayon vecteur ANM', sera le point d’intersection des cordes pour les couples de tangentes menées de la droite LM'L.

Cette construction s’accorde évidemment avec celle que nous avons trouvée pour ce cercle dans le n° 121; car la ligne LM'L étant alors perpendiculaire au rayon COM', se trouvait par cela même parallèle à la tangente menée du point N à l’intersection du cercle avec le rayon vecteur.

De l’Ellipse rapportée à ses Diamètres conjugués.

162. On peut trouver une infinité de systèmes de coordonnées obliques relativement auxquels l’équation de l’ellipse conserve la même forme qu’elle vient de nous offrir en la rapportant à ses axes; c’est-à-dire qu’en nommant x' , y', ces nouvelles coordonnées, l’équation transformée ne contienne, comme l’équation primitive , que les carrés des variables x'*, y'% avec un terme constant. En supposant d’abord conditionnellement une telle réduction possible, il est facile de voir

DE L’ELLIPSE. 2:p

que tous les systèmes dont il s’agit, devront avoir leur origine placée au centre même de l’ellipse; car si l’on considère un point quelconque de cette courbe, dont les coordonnées ainsi exprimées soient + x' et -J .y puisque l’équation transformée ne doit contenir que les carrés de ces variables, elle se trouvera également satisfaite par les points dont les coordonnées seraient -a:', + /; - —f. + y. c’est-à-dire

par les points qui seraient situés d’une manière symétrique dans les autres angles formés par les axes des coordonnées. Ainsi, toute ligne droite menée par cette origine , ser a coupée des deux côtés par la courbe à des distances égales ; propriété qui , dans l’ellipse, n’appartient généralement qu’au centre, seul point autour duquel elle est symétriquement disposée.

Les axes de coordonnées obliques dont nous supposons ici l’existence, couperont donc toujours l’ellipse suivant deux diamètres inclinés l’un sur l’autre d’un certain angle convenable pour la réduction dont il s’agit. Les diamètres qui se combinent ainsi ensemble sont dits conjugués.

Pour reconnaître si l’ellipse a plusieurs systèmes de diamètres conjugués, et quelles sont leurs positions, reprenons son équation rapportée au centre et aux coordonnées rectangulaires, laquelle est

Ay + B*jt* = À‘B*;

de plus, puisque les diamètres conjugués, s’il en existe doivent se couper au centre de l’ellipse, il suffira d’employer les formules

x=x'cos«-fy cosa, >- = a:'sin«-f-<rsin«',

qui servent à passer d’un système de coordonnées rectangulaires à des coordonnées quelconques qui ont la même origine. En substituant ces valeurs de x et de

a44 DE l’ellipse.

dans l’équation de l’ellipse, qui est A y* + Ba*»= AaBa,

elle devient

f (AîsinV-f-B’cosV}y'*-J-(Assin’*+Bsco&î*).i.-'a 1

( 2 (A*sin *sin«' -f B1 cos* cos*') x'f } A a '

Pour que cette équation soit de même forme que celle qui est relative aux axes , il faut qu’elle ne contienne point le rectangle x ÿ des coordonnées. Il faut donc profiter de l’indétermination de a et de *' pour faire disparaître ce terme , en rendant son coefficient nul, ce qui donne la condition

Aa sin «sin*' -f- B4 cos a cos a' = o, (i)

et alors l’équation de la courbe se réduit à (A>sina«,+Bacos,«'lj-'a 4- (Aasina*-)- B'cos’*) x'a= AaB‘.

i63. Cherchons à interpréter les résultats que nous venons d’obtenir. La condition qui existe entre « et * ne suffit pas pour déterminer ces deux angles ; elle fait seulement connaître l’un d’eux quand l’autre est connu. On peut donc prendre l’un des deux à volonté, et par conséquent il existe une infinité de systèmes de coordonnées obliques tels que ceux que nous cherchons.

Un de ces systèmes est celui même des axes de l’ellipse ; car la relation de * et de *' est satisfaite quand on suppose sin * — o, et cos *' = o; ce qui fait coïncider les x avec les x , et les^ avec lesj'. Aussi, par ces suppositions , retombe-t-on sur l’équation aux axes. On satisferait encore aux conditions données , en faisant sin «' = o , cos « = o ; ce qui donnerait encore l’équation aux axes, avec cette seule différence, que les x' coïncideraient avec lesjr, et lesjr' avec les x.

Ce sont là les seuls systèmes de diamètres conjugués qui puissent être rectangulaires. En effet, supposons

DE l’ellipse. 2.^5

qu’il y en ail d’autres, ils devront, ainsi que les précédées, satisfaire à la condition

« — • = go°, ou *' = 90° + a ; ce qui donne

sin al = sin go° cos « -f- cos go* sin* = -f cos a ,

cos al = cos go° cos a — sin go° sin a. = — sin a ;

or, ces valeurs étant substituées dans l’équation de condition

A1 sin a sin al -f- B* cos a. cos al = o, elle devient

(Aa — Ba) sin a. cos * = o ;

et comme on ne peut pas disposer des quantités A et H qui sont données par la nature tle l’ellipse que l’on considère, on ne peut y satisfaire qu’en faisant^in«=o,. ou cos a = o; suppositions qui nous ramènent précisément aux deux cas que nous venons d’examiner, et qui nous conduisent toujours à Péqtoation aux axes.

Si l’ellipse se changeait en uq cercle, on aurait A=B, et l’équation de condition se trouverait satisfaite d’ellemême, quelque valeur que l’on voulût donner h l’angle a. Ainsi , dans le cercle ,. tous les systèmes de diamètres conjugués sont rectangulaires, au lieu que dans l’ellipse , les axes seuls jouissent de cette propriété.

164. On pourrait voir également, par la seule analyse , que les systèmes des coordonnées qui peuvent réduire l’équation de l’ellipse à contenir seulement les carrés des variables , ont nécessairement leur origine à son centre. Car si l’on prenait les formules de transformations les plus générales, on trouverait que les termes qui transportent l’origine, introduisent dans la transformée les premières puissances des variables , et doir-

a46 de l’ellipse.

vent nécessairement être nuis pour que ces puissances disparaissent.

i65. En faisant successivement^ = o, x = o, on aura les distances de l’origine des coordonnées aux points dans lesquels la courbe coupe les diamètres auxquels elle est rapportée. Si l’on représente ces distances par A' et B', la première étant comptée sur l’axe des x' , la seconde sur celui desj'', on trouve

A1sini«-|-Bi‘cos’*’ A'sin'*'-f B“cos*a

et l’équation de la courbe devient

2A', 2 B', représentant les longueurs des deux diamètres conjugués. On appelle paramètre d’un diamètre une troisième proportionnelle à ce diamètre et à son con- 2B'“

jugué : d’après cela , —^7- est le paramètre du diamètre sA’*

aA', et — «y- est celui de son conjugué aB'. Nous ne B

ferons pas un usage particulier de ces quantités, et nous n’en parlerons que parce qu’elles, sont fréquemment employées dans les traités synthétiques.

166. Si l’on multiplie l’une par l’autre les valeurs de A'’ et de B'“, il vient

^’B 1 — A4sinVsiu'*4-AlB"(sina«cosV-f cos’asinV'j-j-B’COs’acos'

résultat qui peut se mettre sous la forme

A'*B (A’sinâ'sin*-)- B*cos«'qos#)* -f- Â*B*sin’(«— •«)

La première partie du dénominateur s’évanouit en vertu de la relation qui existe entre «'et a; et, en réunissant les autres termes, on a simplement

de l’ellipse.

qui

i donne

sin*(*' — *)' AB = A'B'sin (*' — «).

«' — « est l’expression de l’angle B' AC' que formentles deux diamètres conjugues entre eux ( fig. 5g). Par conséquent, A'B' sin («' — *) exprime l’aire du parallélogramme AC'R.'B' : cette aire est donc égale au rectangle ACRB formé sur les axes ; d’où résulte ce théorème que , dans l'ellipse , le parallélogramme construit sur deux diamètres conjugués quelconques , est équivalent au rectangle construit sur les axes.

167. L’équation de condition entre les angles *, «', étant divisée pas cos » cos *', devient

A3 tanga tang*'-j-Ba = o. (1)

Avec son secours , on peut aisément éliminer l’angle » de l’expression deB'a, ou l’angle «de l’expression de A'“; pour cela, il n’y a qu’à transformer ces expressions de manière à y introduire les tangentes des arcs au lieu de leurs sinus et cosinus, ce qui est facile, puisqu’on a toujours

sin'« :

sm‘« :

tari;;3*