f- tan

Ces valeurs substituées dans A'* et B'a, donnent

A’B’(i + tang’«) p„AaB*(i -f- tangV) A3tang3« -j- B3 ’ A’tangV -p B*

Maintenant, si l’on veut éliminer *' dp la seconde, il n’y a qu'à y remplacer tang *' par sa valeur, déduite de l’équation (1) ; et, apres les réductions , il vient B,a__ A4tang*«-f-Bt A*tang’«-{-B*’ *

a48 de l’ellipse. ,

de sorte que le dénominateur est le même que celui de A'3. Or, si l’on ajoute ces quantités ensemble, le numérateur commun

AaB3 -f- A’ B* tang3* + A4tang3* 4- B4 peut se mettre sous cette forme ,

B3(A3 + B3; + A3tang3«(B3-|- A*), ou enfin (A3 4- B3) (A3 tang3* -f- B3).

Cette somme prend donc alors pour facteur commun le dénominateur même ; et faisant partir celui-ci par la division , il reste

c’est-à-dire que, dans V ellipse, la somme des cairés de deux diamètres conjugués est toujours égale à la somme des carrés des deux axes.

A3 tang « tang *' -f- B3= o,

AB = A'B' sin (*' — *) ,

suffisent pour déterminer trois quelconques des six quantités

lorsque les trois autres sont connues : elles peuvent par conséquent servir à résoudre toutes les questions relatives à la recherche des diamètres conjugue'3, quand on connaît les axes, et réciproquement.

169. En comparant la première de ces équations avec la relation trouvée dans l’àrt. i45, pour que deux droites menées des deux extrémités du grand axe se coupent sur l’ellipse, on voit que les angles «,

, satisfont à cette condition, Il est donc toujours possible de mener , par les deux extrémités du grand

DE l’ellipse. 2ig

axe , deux droites qui se coupent sur l’ellipse , et qui soient parallèles à deux diamètres conjugués donnés j ce qui s’accorde avec ce qu’on a vu dans l’art. i54-

De là il résulte un moyen très simple de trouver deux diamètres conjugués qui fassent entre eux un angle donné, en supposant que l’on connaisse les axes de l’ellipse.

Sur l’un de ces axes on décrira dn arc de cercle capable de l’angle donné. Par un des points où cet arc coupera l’ellipse , on mènera aux extrémités de l’axe des cordes supplémentaires ; elles seront parallèles aux diamètres cherchés. Ainsi, en leur menant des parallèles par le centre de l’ellipse, on aura ces diamètres.

On fera cette construction sur le grand axe , si l’angle donné est obtus ; surle petit, s’il est aigu. Lorsque cet angle sortira des limites assignées pour les diamètres conjugués, le problème sera impossible, et l’arc de cercle ne coupera pas la courbe.

11 est visible que cette construction s’accorde avec les équations précédentes et avec les considérations de l'article i45. On pourrait aisément la traduire en analyse ; et, en la combinant arec l’équation de l’ellipse, on trouverait le nombre des solutions et les conditions d’impossibilité. Je laisse cette recherche à faire aux élèves qui voudront s’exercer.

• 170. Si l’on demandait que les diamètres conjugués

cherchés lussent égaux entre eux, on n’aurait qu’à égaler les valeurs de A'* et de B'*, trouvées dans l’article 166 , en fonction de tang'«; et, après avoir divisé toute l’égalité par le facteur commun A2 — B2, il res-

A2tang,«=B>; d’où tang* = ±^.

CeLte valeur étant substituée dans I équation de con—

a5o i>£ l’ellipsü.

dition entre les deux tangentes , il en résultera

, B tang » —zf

On voit ainsi que les tangentçs des deux angles cherchés sont égales et de signes contraires; l’un des signes étant relatif à un des diamètres, et l’autre à son conjugué. Si donc , par les extrémités des axes de l’ellipse , on mène des cordes BC, B'C (fîg. 60), les diamètres parallèles à ces cordes seront conjugués et égaux.

L’ellipse rapportée à ces diamètres a pour équation

qui est analogue à celle du cercle entre les coordonnées rectangulaires.

rji. Parmi toutes les cordes menées des extrémités B, B' de l’axe à un même point de la courbe (fig. 60), BC et B'C sont celles qui compreunént le plus grand angle : par conséquent , l’angle obtus , formé par les diamètres conjugués égaux, est le plus grand de tous ceux qui sont formés par deux diamètres conjugués. 172. Reprenons maintenant l’équation A'» y* + B'* A'1 B'a.

Pour plus de simplicité, nous supprimerons les accens des variables a:', y, en nous rappelant toutefois qu’elles se comptent sur des axes obliques, et nous écrirons

A'ay -f B'ax* = A'*B’*.

Cette relation étant absolument de même forme que celle qui est relative aux axes , toutes les propriétés indépendantes de l’inclinaison des ordonnées seront communes aux axes de l’ellipse et à ses diamètres conjugués.

Ainsi , chaque diamètre divisera en deux parties égales les ordonnées parallèles à son conjugué ; mais

DE L’ELU PSE. i5l

comme ils ne sont pas à angle droit l’un sur l’autre, la courbe ne sera pas symétrique de part et d’autre de chacun d’eux.

De plus, la valeur de y* étant

on aura, en nommant j", ,r", les coordonnées d’un autre point de la courbe ,

A'-f-x, A' — x, sont les distances du pied de l’ordonnée 1WP aux extrémités B, b, du diamètre 6AB (fig. 61) : les carrés des ordonnées aux diamètres conjugués sont donc proportionnels aux produits des segmens qu'elles forment sur ces diamètres.

On tire de là un moyen fort simple de décrire une ellipse lorsque l’on connaît deux de ses diamètres conjugués aA',2B', et l’angle qu’ils font entre eux. Sur le premier BA, par exemple, on décrira une ellipse dont les axes soient 2A' et 2B'; ensuite on inclinera les ordonnées NP, N P' sous l’angle donné,, sans changer leur longueur, et les points M, M', trouvés par ce procédé, appartiendront à la courbe cherchée.

*74- h équation de la ligne droite étant de même forme entre des coordonnées obliques qu’entre des coordonnées rectangulaires, la combinaison de la ligne droite et de l’ellipse rapportée à des diamètres conjugués , dépendra des mêmes formules que dans le cas où cette courbe est rapportée à ses axes; et l’on obtiendra, par conséquent, dans ces deux systèmes, des résultats analogues.

Nommons fi l’angle que forment entre eux les diu-

mètres conjugués 2A' et 2B' (6g. 62). Si, par le point D, pour lequel y = o, et 2 = A', on mène une ligne droite qui fasse avec l’axe AX un angle « , il résulte de l'art. 43 , que son équation sera de cette forme,

sin «

sin (/3 — «)'

Si, par le- point D', pour lequel y = o, etor= — A', on mène une autre droite dont «'soit l’angle avec l’axe des x, on aura

sin «

sin (£ — «')'

Pour que ces droites se coupent sur l’ellipse, il faudra combiner leurs équations avec la suivante,

A!*yx B'*x* = A'‘B'%

qui appartient à cette courbe : mais le système de ces équations étant le même que dans l’art. i45, le résultat entre a et a! sera aussi le même , et il viendra A'* aa + B'a=o

pour la condition, que les droites se coupent sur l’ellipse. Seulement ici a et a ne désignent plus les tangentes trigonométriques des angles que ces droites font avec l’axe des x ; elles expriment les rapports des sinus des angles qu’elles font avec les deux axes des coordonnées.

175. Si l’on vent mener une tangente à l’ellipse par un de ses points, en nommant x", y", ses coordonnées rapportées aux diamètres, on aura

La tangente étant une ligne droite, et devant passer par ce point, son équation sera de cette forme, y— y" — a ( x — x "),

a étant une constante qu’il s'agit de déterminer*

de l’ellipse. a53

Pour y parvenir , on combinera les deux équations précédentes avec celle de l’ellipse, qui est

en raisonnant comme dans l’art. i5o ; mais le système des formules employées étant aussi le même , on trouvera , comme dans ce cas ,

et l’équation de la tangente deviendra

ou , en réduisant

c’est-à-dire quelle aura la même forme que dans le cas des axes. Il est visible que l’expression de la soutangente qui s’en déduit sera aussi la même.

Si, par le centre de l’ellipse, qui est aussi l’origine des coordonnées, on mène une ligne droite, son équation sera de cette forme ,

jrz=ax.

Si celte droite passe par le point de tangence , il faudra que l’on ait

j"—dx"\ d’où

Cette valeur de à étant multipliée par celle de a , qui convient à la tangente, il vient

En comparant cette relation avec le résultat de l’article précédent , on voit que le point de tangence est sur

254 DE l’ellipse.

une ellipse rapportée à des diamètres conjugués parallèles à ceux de la proposée , et dont le rapport est le même. Cette ellipse passant par l’origine des coordonnées et par le point où la tangente rencontre l’axe des x, un de ces diamètres est la distance de ce point à l’origine.

176. Ceci fournit un moyen de mener une tangente à l’ellipse par un point pris sur cette courbe, sans connaître ses axes (fig. 63) ; pour cela, de ce point M, menez au centre le diamètre AM; et alors, par l’ex- v trémité D' d’un autre diamètre quelconque , tel que DD', menez D'N parallèle à AM : MT parallèle à DN, sera la tangente demandée. Cela se prouve aisément eu appliquant ici le raisonnement dont nous avons fait usage dans l'art. i53.

Les données employées dans cette construction sont un diamètre DD’ et le centre A. Or, ces deux choses sont faciles à déterminer lorsque l’ellipse est donnée ; car , à travers cette ellipse , tracez deux parallèles quelconques terminées à la courbe ; et , par le milieu de ces lignes, menez une droite : ce sera un diamètre qui passera conséquemment par le centre. Menez deux autres parallèles dans une autre direction, vous aurez un second diamètre , qui passera aussi par le centre ; et ainsi le centre sera déterminé par l’intersection de ces diamètres.

' 197. Si l’on mène le diamètre AM', fig. 63, parallèlement à la tangente MT, la tangente au point M' sera parallèle à D'N , et par conséquent à AM : les deux diamètres AM, AM', seront donc conjugués l’un à l’autre, et l'angle M'AM, compris entre eux, sera égal à l’angle D'ND formé par les deux cordes supplémentaires qui leur sont respectivement parallèles.

Ainsi, pour avoir deux diamètres conjugués qui

DE i. 'ellipse. ' 2 55

fassent entre eux un angle donné, il faut , sur un diamètre quelconque DD', décrire un arc de cercle capable de cet angle (fig. 65). Par le point N, où l’arc coupera l’ellipse , on mènera aux extrémités du diamètre les cordes DN , D'N, qui seront respectivement parallèles aux diamètres cherchés : on pourra dohc mener ceux-ci , puisque le centre de l’ellipse est d’ailleurs connu.

178.51 les diamètres demande's sont les deux axes de l’ellipse, leur angle est droit, et l’arc de cercle devient concentrique à la courbe (fig. 66). Ainsi, pour trouver les axes d’une ellipse donnée , lorsque l’on connaît son centre, il faut, sur un quelconque de ses diamètres , décrire une circonférence de cercle ; par un des points d’intersection mener des cordes aux extrémités du diamètre, et , par le centre , des parallèles à ces cordes s ce seront les axes demandés.

17g. Il serait facile, en suivant la marche que nous avons tenue, de revenir de l’équation

relative aux diamètres conjugués , à celle qui appartient aux axes : on retomberait ainsi sur les relations que nous venons d’établir, et il devient par conséquent inutile que nous nous y arrêtions plus long-temps.

Sur l’Équation polaire de l’Ellipse et sur la mesure de sa surface.

180. L’ellipse n’est pas, comme le cercle, unecourbe symétrique dans tous les sens autour de son centre. C’est pourquoi , lorsque nous la rapporterons à des coordonnées polaires , composées d’un rayon vecteur r et

2 56 de l’ellipse.

d’un angle v formé par ce rayon avec une droite fixe , nous pouvons prévoir que l’équation ainsi transformée , devra, outre les éléinenspropres à l’ellipse même , renfermer des termes qui dépendront de la position de «es axes par rapport à la droite fixe , d'où on compte les angles v. Le mélange de ces deux sortes de données fait qu’il devient avantageux, pour la simplicité, de ne pas introduire les coordonnées polaires dans l’équation de l’ellipse rapportée à ses axes , mais dans l’équation relative à deux diamètres conjugués, dont l’un soit parallèle à la droite d’où l’on veut compter les angles v.

Soit donc(fig. 67) OX', cette ligue, et CA', CB', deux diamètres conjugués, dont le premier lui est parallèle : l’angle B'CA', sera déterminé par la nature de l’ellipse s nous le nommerons 0. Du point 0 choisi pour pôle, menons OP' parallèle à CB’, et nommons x', ÿ , les longueurs CF, P'O ; ce seront les coordonnées rectilignes du pôle relativement aux deux diamètres. En répétant la même construction pour un point quelconque M de l’ellipse , nous formerons de même ses coordonnées rectilignes CP, PM, que nous désignerons généralement par x,j, et l’on aura ainsi en général

CP=CP' + Q0y PM — OP' + QM.

Or, QO et QM sont les côtés du triangle obliquangle OQM , dans lequel l'angle 0 est v, l’angle Q est 1800 — 0, et le côté OM est r; ce qui donne

MQ

rsin v sin a ’

QO =

rsin (* — v) sin u

En substituant ces valeurs dams les relations précédentes , et remplaçant les autres lignes par les expressions analytiques que nous leur avons attribuées, il vient

rsin (œ — v)

DE l’ellipse. 25 7

ce sont les valeurs des coordonnées parallèles aux diamètres conjugues, en fonction des coordonnées polaires r et v. Il ne reste plus qu’à les substituer dans l'équation de l’ellipse rapportée à ces diamètres. En représentant CA.' par A', et CB' par B', cette équation est

A'*/+ B'*je*= A'aB'*.

1 8 1 . Avant d’effectuer la sub3titutiou, il est bon dé nous rappeler que les valeurs de A', de B', et de.*, sont liées avec les longueurs et la positrç& dés axes de l’ellipse, au moyen des trois relations Apurées n° 167 ; car « est représenté dans ce S équations par & — <*, c’est-à-dire par la différence des angles que le premier axe de l’ellipse forme avec les deux diamètres conjugués que l’on considère. On pourrait donc , à l’aide de ces relations, déterminer les trois quantités A', B',*, si l’on connaissait les longueurs A et B des deux demiaxes de l’ellipse et l’angle a, que le premier de ces axes forme avec la droite OX', d’où l’on Compte les angles v. Or, réciproquement , on obtiendra A et B et «, si A', B', et a étaieut données. En effet, dans ce cas, les deux dernières relations citées détermineraient A et B ; et en éliminant * de la première , au moyen de sa valeur a.' = a. « , elle donne

Aa tanga«-f- (A* — Ba) tang a tan g « -f-B’=o j

ce qui fera connaître tang «, et par suite, l’angle a. lui-même.

182. Ceci convenu, chassons les coordonnées rectilignes x,y, de l'équation de l’ellipse, en les remplaçant par leurs valeurs en r et v. Le résultat, ordonné suivant les puissances de v , est 8* Edit.

A',sinap -4-B'asin‘(«— 0

— J-2 k'°y sin v

sina»

-j-2B,aa:'sia (• — p)

-r— + A' y* sin*

— A'aB'

Si l’ellipse se changeait en un cercle d’un rayon R , on aurait généralement A'=B'=R, et l’angle « des deux diamètres conjugués deviendrait égal à 90°, ce qui donnerait sin* = 1, et sin(« — p) = cos p. Alors le coefficient de ra deviendrait égal à 1 , et l’équation divisée par A'a, se réduirait à

sin p-f- a:' cos p) r -\-x 1 Ra=o;

ce qui est, en effet, le résultat trouvé , n» ia5, pour l’équation polaire du cercle. On voit que , dans ce cas, il ne reste plus aucune trace de l’angle a , qui , dans l’ellipse , sert à déterminer la position du premier axe, relativement à la ligne d’ou l’on compte les angles P; et, en effet, en vertu de la forme symétrique du cercle , la direction de cet axe est absolument indéterminée , puisqu’il est le même partout autour du centre. ‘

Mais , à cette seule modification près , qui dépend de la différence des deux courbes, on peut appliquer en tout point à l’équation générale trouvée ci-dessus pour l’ellipse , le mode de discussion que nous avons suivi pour l’équation polaire du cercle, page ?.o5 et suivantes. On pourra en déduire de même la marche de cette courbe, ses limites et toutes ses propriétés relatives au point choisi pour pôle , soit que ce pôle se trouve situé sur le contour même de l’ellipse, ou dans 1 intérieur, ou aü dehors. Les élèves feront bien de s’exercer à développer cette analyse.

,83 je me bornerai ici à l’examen d’un cas qui pré-

DE 1,’ei.LIPSE. a5g ,

■sente des résultats particulièrement propres à l'ellipse. C’est celui ou le point choisi pour pôle serait un des foyers mêmes de cette courbe, les angles v étant comptés à partir du premier axe AB, fig. 68.

Dans ce cas, les deux diamètres conjugués A', B', sur lesquels se comptent les coordonnées rectilignes x', y du pôle, deviennent les axes mêmes de l’ellipse, que nous désignerons par A et B; de plus, leur angle a est droit, et l’équation (i) ainsi modifiée, devient

AasinVl r,-f-2A,y$ini' ) r-f- Ay^-f-B^x'^ AaB*. 4*Bacos,vj -f-2Bax,cosi' (

Il reste encore à exprimer que le pôle coincide avec un des foyers de l’ellipse. Or, pour cela, il faut savoir dans lequel des deux foyers on veut le placer. Car, ayant pris, par supposition, les x' et les x positifs du même côté du centre où les angles r> commencent, c’està-dire vers AX, l’abscisse du foyer F, situé de ce côté, sera positive, et celle du foyer F', situé de l’autre côté du centre, sera négative ; en sorte que, si c’est F que l’on veut choisir, les coordonnées du pôle seront

et, si c’est F', elles seront

Quelle que soit celle de ces deux valeurs qu’on adopte, le carré de x' sera toujours le même ; et , en y joignant la condition dey nul, l’équation (t) deviendra

(Aa sin’ v -f- B’réosV) r1 -f- 2B“x'cos v. r=B*.

Si onia résout par rapporta r, on trouve sous le radical la quantité

B1 (A’sin’ v -f- B’ cos1 vj-f-B+x^cos* v, qui , en mettant pour a?'* sa valeur Àa — B*, se rè-

26o DE L’ELLIPSE.

duit à

•A'B * (sin* v -f- cos’v) ou A*B * ;

ce qui donne pour r ces deux valeurs rationnelles ,

B’(*'cosv — A) B» (x’ cos »-»- A)

r==“ ‘ A,*in*‘»+BacoaV 6 r A’sinV+B'cosv'

Ces deux valeurs peuvent encore être mises sous une forme plus simple ; car on a

AasinV-j-B’cos’i'=A* — (A* — B’)cosV=Aa — ar^cosV.

Or, la quantité A“—x'acosV est le produit des deux facteurs A — x'cos v, A + x'cos v, et chacun de ces facteurs se trouve aussi au numérateur dans l’une ou l’autre des expressions précédentes de r; ainsi, en le supprimant , on aura pour r ces deux expressions plus simples ,

Ba B1

r k-\- x' cosv' A — x'cosv

11 faut maintenant discuter ces valeurs dans les deux suppositions où l’on prendrait pour pôle le foyer F situé du côté des x positifs, ou le foyer situé du côté des x négatifs.

i84- Commençons par le premier cas : x! étant positif et moindre que A, le produit de x‘ par cos v, qui est toujours une fraction, sera également positif et moindre que A; ainsi, quelque changement de signe que cos v subisse dans les différens quadrans , les deux dénominateurs A — |- -r' cos v, A — x' cos t>, resteront toujours positifs; or, le carré B* qui forme le numérateur des deux racines, est toujours positif par luimême ; ainsi, la première valeur de r où il est affecté du signe -f- , sera toujours positive , et donnera des

de l’ellipse. 261

points réels de la courbe ; tandis que la seconde , qui a un numérateur négatif — B“, donnera toujours des valeurs négatives, et ne devra pas être employée. Tous les points de la courbe seront donc alors donnés par la première valeur de r.

La même chose arrivera encore dans le second cas où le pôle est placé an foyer F'. Alors x' est négatif ; mais le produit x cos v est toujours moindre que A ; de sorte que ces deux dénominateurs restent positifs. La première valeur de r est donc encore la seule positive, par conséquent la seule qui donne des points réels de la courbe. Ainsi , elle est , dans tous les cas , la seule qu’il faille employer , quand on compte les angles v continuement de o à 36o°, comme nous sommes convenus de le faire.

i85. Si, pour plus de simplicité , on fait

^1— — = e", on aura B* = A“(i-~e*), et x'= =fc Ae, A4

les deux signes + et — répondant aux deux positions du pôle en F ou en F'; ces valeurs étant substituées dans l’expression positive de r, elle devient