f-ecos v

ou bien

A (1 - Q l — • e cos v

La première répond au cas où les angles v sont comptés depuis le sommet de l’ellipse le plus voisin du foyer qui sert de pôle , et la seconde répond au cas où les angles v sont comptés , toujours dans le même sens , à partir du sommet le plus éloigné. L’une et l’autre forme sont souvent usitées en Astronomie pour le mouvement des planètes , parce que ces astres décrivent * des ellipses dont lesoleil occupe un des foyers.

186. La forme générale que nous avons trouvée plus haut pour l’équation polaire de l’ellipse, peut servir à.

reconnaître si une équation donnée entre r et p, appartient à une ellipse ; et, dans le cas où cela a lieu , elle peut servira déterminer les élémens de l’ellipse , c’està-dire les valeurs des axes, leurs positions, et celle du centre, relativement au point choisi pour pôle. C’est une recherche sur laquelle les élèves pourront s’exercer.

187. Dans ce qui précède, nous avons déduit de la seule équation de l’ellipse toutes les circonstances de son cours; réciproquement, une seule de ces circonstances qui serait particulière à l’ellipse , suffirait pour faire retrouver son équation.

Proposons-nous, par exemple , de trouver une courbe telle , que la somme des distances de chacun de ses points à deux points donnés , soit constante et égale à 2A.

Soient F, F', les deux points donnés, fig. 68. Plaçons l’origine des abscisses en A, au milieu de la ligne FF7, que nous représenterons par 2c; puis, supposant que M soit un point de la courbe, nommons AP, ar, PM, j-, et désignons par r, /, les distances FM et F'M : nous aurons, pour les équations du problème ,

rJ‘=Jr'‘+(c—xy, r'a=ra-f-(cq-2r)%“

Ajoutons et retranchons successivement les deux premières équations membre à membre , il viendra

r*-f- — r'a — r'= ^cx.

La seconde de celles-ci peut se mettre sous cette forme, (r'+r) {r — r) = !\cx.

'Substituant pour r' + r sa valeur tirée de l’équation r' -f- r — 2 A. ,

de l’ellipse.

il vient

d’où, en vertu de la précédente, on tire

Mettant ces valeurs daus l’équation qui donne r’-f-r’, il vient

C’est le carré de l’ordonnée de la courbe à l’origine. Comme c est nécessairement moindre que A, d’après les données de la question, cette ordonnée est réelle , et en la représentant par B , on a

Si l’on tire de ce résultat la valeur de c, et qu’on la substitue dans l’équation de la courbe, cette équation devient

qui est l’équation d’une ellipse rapportée au centre et à

ses axes.

188. Avant qu’on eût éliminé les quantités r et r', l’ellipse était caractérisée par l’une ou l’autre des équations

aussi bien qu’elle l’a été ensuite par l’équation en coordonnées rectangulaires à laquelle nous sommes parver

ou A* (y + x3) — c3 x3 = A* (A» — c3). Lorsqu’on fait x nul , cette équation donne y =- A’ — c».

Ay + B3x3 = A3B“

264 de l'ellipse.

nus ; car les distances r et r étant variables en même temps que l’abscisse x , peuvent convenir successivement à tous les points de la courbe, et servir à les déterminer lorsque a: est connu. On peu* donc regarder les variables r et x , ou / et x , comme formant un véritable système de coordonnées qui ne sont plus rectangulaires ; mais il faudra se rappeler que l’origine des rayons vecteurs est différente dans ces deux systèmes ; car ils partent de F', lorsque l’on prend l’équation

et de F, lorsque l’on emploie la seconde

189. Si l’on veut aussi compter les abscisses x, non plus comme nous l’avons fait,- à partir du centre, mais à partir du même point, que l’on prend pour l’origine des r ou r', il faudra faire une nouvelle transformation ; par exemple , si l’on veut que ce soit à partir du point F' en nommant d une nouvelle abscisse positive telle que F'P, on aura

ce qui donne

Dans le second cas , si l’on nomme x’ une nouvelle abscisse positive , telle que FP, on aura

ce qui donne

✓ = a-c^JL>.

Les x' positifs de la première de ces suppositions

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de l’elupse. a65

donnent pour r les mêmes valeurs que les x' négatifs de la seconde, et réciproque meut ; en effet, cette correspondance est une conséquence nécessaire de la forme symétrique de l’ellipse par rapport à ses deux foyers ; car la portion de cette courbe située à droite du foyer F, estidentique avec celle qui est à gauche du foyer F, et de même pour les parties opposées.

190. Çes équations où l’origine est à l’un des foyers, prennent une forme très élégante , lorsqu’on y introduit, au lieu de l’abscisse x’, les angles MFP ou MFP, formés par le rayon r ou r avec l’axe. En effet, soit v l’angle MP P, on aura dans la dernière équation, ou l’origine est au foyer F,

x1 — r cos v.

Si , de plus , on fait

c = Ae, .

e sera le rapport de l’excentricité au demi-grand axe , et par la substitution de ces valeurs , l’équation devient

r = A — e (r cos v -f~ Ae) , ou , en tirant la valeur de r,