f-ecosp

si 1 on fait la même transformation dansl’autre formule, en appelant v l’angle MF’P, on aura également

x' — i* cos v', et, en faisant de même

il viendra

1*— ecosv' ’

équation qui ne diffère de la précédente que par le

306 DE l’ellipse.

signe du terme où e entre à la première puissance. Ces deux formules sont Jes mêmes que nous avons déjà trouvées dans l’article 1 85, où nous les avons déduites immédiatement de l’équation de l’ellipse transformée en coordonnées polaires.

191. Pour ne rien omettre de ce qui peut intéresser relativement aux propriétés de l’ellipse , je vais donner ici la mesure de la surface, quoique cette recherche nous écarte un peu du but analytique que nous nous sommes généralement proposé.

Nous avons vu (n° 142) que si, du centre de l’ellipse, avec un rayon égal au demi-grand axe , on décrit une circonférence de cercle, en nommant y et Y les coordonnées de ces deux courbes , qui correspondent à la même abscisse , on a toujours

Les aires de l’ellipse et du cercle sont aussi dans le meme rapport que ces ordonnées.

Pour le faire voir , inscrivons à la circonférence BMM'B' un polygone quelconque , et de chacun de ses angles menons des perpendiculaires à l’axe BB' (Gg. 6g) : en joignant les points où ces droites rencontrent l’ellipse , on formera un polygone intérieur à cette courbe. Or un quelconque des trapèzes PNP'N' de ce polygone aura pour mesure

iPN + P»')pp,t ou (**•)(= r±yj.

Le trapèze , correspondant PMP'M' dans le cercle , aura pour mesure

<pm+p'm,>pp., „„

Ces trapèzes seront donc entre eux dans le rapport constant de B à A. Les surfaces des polygones inscrits dans les deux courbes seront aussi dans le même rapport; et comme cela a lieu, quel que soit le nombre des côtés de ces polygones , ce rapport sera encore celui de leurs limites ; d’où il suit qu’en désignant par $ et S les aires de l’ellipse et du cercle , on aura

c’est-à-dire que l’aire de l’ellipse est à celle du cercle circonscrit comme le second axe est au premier.

En désignant par sr la demi-circonférence dont le rayon égale 1 , *A’ sera l’aire du cercle décrit sur le grand axe. On aura donc , pour l’aire de l’ellipse, l’expression suivante :

s = a-. AB,

et les aires de deux ellipses quelconques seront entre elles dans le rapport des rectangles construits sur lettrs axes. On parviendrait aü même résultat , en considérant la circonférence décrite sur le second axe.

La même démonstration pourrait s’appliquer à deux courbes quelconques dont les ordonnées , correspondantes aux mêmes abscisses , auraient entre elles un rapport constant; et il en résulte que ce rapport serait aussi celui de leurs aires entre les mêmes limites.

De la Parabole.

192. En prenant sur une des génératrices d’un cône droit à base circulaire, une distance arbitraire a, comptée du centre, et menant par son extrémité un plan coupant , incliné de l’angle i sur la génératrice dont il s’agit , nous avons trouvé pour l’équation gé-

a68 DE LA PAHABOLE.

nérale de l'intersection

y “ cos’ v -f- x*sin i sin ( i + iv) — ax sin iv sin i = o.

Lorsque l’angle i égale i8o° — 2f, le plan sécant devient parallèle à la génératrice opposée ; et, s’étendant à l’infini sur une des nappes du cône, il donne pour intersection une courbe illimitée , qui se trouve tout entière sur cette seule nappe , et qui a reçu le nom de parabole. L’équation particulière de ce genre de courbes s’obtiendra donc en faisant i = i8oe — iv dans l’équation générale. Alors, le terme en x* disparaît , parce que le facteur sin ( i %v ) qui entre dans son coefficient , devient nul. Les autres termes se trouvent divisibles par cosV ; et en supprimant le facteur commun, qui ne peut être supposé nul en général, puisque l’angle v est déterminé par l’ouverture du cône, il reste

y — 4 ax sin* v — o.

Pour avoir les points où elle coupe l’axe des x ( fig. •jo ) , faisons y — o , il viendra x = o ;

c’est-à-dire que cela a lieu dans un seul point , qui est l’origine des coordonnées.

En faisant x = o, on aura les points où elle rencontre l’axe des y. Cette supposition donne

c’est-à-dire que cela n’a lieu qu’à l’origine.

Ainsi , la courbe n’a qu’un point de commun avec les axes des x et des y : ce point est l’origine des coordonnées , et l’on voit qu’elle y est touchée par l’axe des^, puisque les deux valeurs dey deviennent nulles simultanément.

En résolvant son équation par rapport à y, il vient y = - 1 {/ 4axsinV.

DE LA PARABOLE. 26g

Ces deux valeurs étant égales et de signes contraires , la courbe est donc symétrique au-dessus et au-dessous de l’axe des x.

x négatif donne toujours .y imaginaire, puisque a est une quantité positive , ainsi que sin’p : la courbe ne s’étend donc pas du côté des abscisses négatives , et elle est limitée, dans ce sens , par l’axe des j.

x étant positif , les valeurs de y sont toujours réelles, et d’autant plus grandes que x est plus grand. La courbe s’étend donc indéfiniment de ce côté de l'axe des x , et elle a la forme représentée fig 70. Puisqu’il n’y a d’ordonnées réelles que dans ce sens , nous supposerons désormais x toujours positif.

Le rapport du carré de l’ordonnée y' à l’abscisse x étant , d’après l’équation précédente , le même pour tous les points de la courbe, il s’ensuit que, dans la parabole , les carrés des ordonnées sont entre eux comme les abscisses correspondantes .

ig3. La ligne indéfinie AX se nomme l’axe de la parabole ; le point A ei) est le sommet, et le coefficient constant t\a sina w s’appelle le paramètre.

Pour abréger, nous écrirons dorénavant 2 p au lieu de 4 a sinV ; et l’équation de la parabole sera ainsi

y% = ipx.

194. Nous venons de voir que l’axe AX coupe en deux parties égales toutes les cordes que l’on peut mener dans la courbe parallèlement aux jr. Mais il serait impossible de trouver une ligne droite qui coupât en deux parties égales les cordes parallèles aux x, puisque ces cordes sont toutes infinies en longueur-. Il n’en est donc pas ici comme dans l’ellipse , qui avait deux axes rectangulaires doués de cette propriété et passant par son centre; la parabole «’en a qu’un seul

2ro DE LA PAKAB0LE.

parallèle aux x; ou, si l’on veut, l’autre, parallèle aux y , est infiniment éloigné.

ig5. En se rappelant la marche que nous avons suivie dans l’art. >44» relativement à l’ellipse, on prouvera aisément que la quantité^* — 2 px est positive hors de la parabole, nulle sur cette courbe, et négative dans son intérieur.

196. On peut décrire très simplement la parabole de la manière suivante ( fig. 71 ). On portera sur l’axe AX , du côté des abscisses négatives , et à partir de l’origine, une distance AB égale à ip , ou au paramètre de la parabole. D’un point quelconque C , pris sur le même axe pour centre , et d’un rayon égal à CB , on décrira une circonférence de cercle. Du point P, extrémité de son diamètre, on élevera la perpendiculaire indéfinie PM ; et , menant par le point Q la parallèle QM à l’axe des x, le point M sera à la parabole.

Car, par cette construction ,

PM = AQ, et AQa— AB.AP, d’où MPS=2/7.AP.

197. On a vu , eu traitant des sections du cône , que la parabole n’est qu’une ellipse infiniment allongée. Comme cette analogie peut nous être fort utile pour prévoir avec facilité les propriétés de cette courbe , il importe de la vérifier.

Considérons donc One ellipse dont les axes soient 2À , 2B (fig. 72). En plaçant l’origine au sommet A et en comptant les x positives vers AX, son équation sera B1

y* = p (aAx — x* ).

La distance CF du centre de l’ellipse à ses foyers est

a» jp ; en la retranchant du demi -grand axe A,

on a la longueur AF, dont l’expression est

af = a — y/ A» •— B*.

DE T.A PABABOLE. 27I

C’est la distance AF du sommet de la courbe au foyer le plus proche. Introduisons cette quantité comme une

constante que nous représenterons par - , il viendra

d’où l’on tire

Pl

Substituant cette valeur dans l’équation de l’ellipse ; elle devient

(2Aar — x') ;

ou , en développant

Si, dans cette équation, nous donnons successivement à A différentes valeurs , p restant toujours le même , nous aurons une suite d’ellipses dont les grauds axes seront tous différons , mais qui auront toutes la même position du foyer F, et la même distance du foyer au sommet de la courbe. Or, en augmentant ainsi le grand axe , l’ellipse s’allonge de plus en plus , sans que les ordonnées de ses difTérens points augmentent dans le même rapport. En effet , considérons un de ces points dont l’abscisse soit x , a: étant une quantité finie, et voyons quels sont les changcmens de l’ordonnée correspondante. A mesure que A augmente , x restant le meme , les termes qui se trouvent divisés par A et par Aa , dans la valeur de je*, diminuent ; enfin , lorsque l’on suppose A infini , x restant fini , ces termes deviennent plus petits que toute quantité donnée, et

la valeur d ey* se réduit à sou premier terme , qui est

indépendant de A ; on a donc alors

équation d’une parabole. Les ordonnées de cette parabole approchent donc de plus en plus d’être égales à celles des ellipses , à mesure que A augmente ; et l’on peut prendre A si grand , que la différence , megurée à une distance quelconque du sommet de la courbe , soit moindre que toute quantité donnée.

198 D’après cela, il devient naturel de penser que le foyer commun de toutes ces ellipses jouit , dans la parabole, de quelques propriétés analogues, autant toutefois que peut le permettre la correspondance de leur forme : c’est ce que le calcul va confirmer, comme on le verra tout à l’heure. Aussi ce point se nomme-t-il le foyer de la parabole; et, conformément au calcul que nous venons de faire sa distance AF au sommet de la

courbe est^ , c’est-à-dire qu’elle est égale au quart du paramètre.

199. En cherchant les propriétés de ce point, il est visible qu’il ne faut s’attacher qu'à celles qui sontcom. patibles avec les modifications que les ellipses subissent pour dégénérer en paraboles. Par exemple , on ne doit ptus chercher la propriété relative à la somme des distances , puisque le second foyer se trouve éloigné indéfiniment ; mais on peut se proposer de voir si la distance du foyer aux divers points de la courbe est encore exprimée , en fonction de l’abscisse, d’une manière rationnelle. Or, il est facile de s’en assurer; car FM étant cette distance ( fig. 73), on a

FM==r,+ (*— ' f) — 2px+x*—px -f-^r — ^r-f ~ ) î

tToi'i l’on tire

La distance d’un point quelconque de la parabole au foyer est donc exprimée , comme dans l’ellipse , par une fonction rationnelle de l’abscisse. De plus, sa valeur est égalé à l’abscisse du point que l’on considère , augmentée de la distance du foyer au sommet de la courbe. Par conséquent , tous les points de la parabole sont à égale distance du foyer et d’une ligne BL

menée parallèlement à l’axe des y, à une distance -

du sommet : cette droite se nomme la directrice de la parabole.

200. De là résulte un second moyen de décrire une parabole dont le paramètre est connu.

De part et d'autre du point A ( fig. 73 ) , on portera sur l'axe AX les longueurs AB, AF, égales entre elles et au quart du paramètre de la parabole : le point F en sera le foyer. Par un point quelconque P de l’axe, on élevera une perpendiculaire indéfinie PM , puis, prenant la distance BP, du point F comme centre , avec cette distance pour rayon , l’on décrira un arc de cercle qui coupera la droite PM en deux points M , m ; ces points seront à la parabole.

En effet, d’après cette construction , on a

FM = AP 4- AB = a:

201. On peut aussi , d’après la même propriété, décrire, une parabole par un mouvement continu , comme le représente la fig. 74.

Pour cela , on placera contre la directrice BL une équerre mobile EQR ; puis , prenant un fil d’une lon- 8* Édit. 18

2^4 de lA PARABOLE.

gueur constante , égale à QE , on fixera une de ses extrémités en E , et l’autre en F, au foyer de la parabole ; on tendra ensuite ce fil par le moyen d’un style qu’on appliquera contre la ligne QE alors en faisant glisser l’équerre le long de la directrice , le style glissera le long de QE , et décrira la parabole.

En effet , on aura toujours

FM + ME = QM -f- ME , ou QM = MF.

202. Il est également facile de s’assurer que la double ordonnée qui passe par le foyer de la parabole est égale à 2/j , c’est-à-dire au paramètre.

203. Cherchons maintenant à mener une tangente à la parabole , dont l’équation est

J* = ipx.

Soient x", jr“ , les coordonnées du point de tangence qui est supposé donné , on aura

j“‘ — ->px"\

et la tangente devant passer par ce point , son équation sera de cette forme , >

jr —jr" = a(x—x").

Il s’agit de déterminer a.

Cherchons les points où cette droite, considérée comme sécante, rencontre la courbe. Pour ces points, les trois équations précédentes doivent subsister en même temps. Retranchant les deux premières l’une de l’autre , il vient

(y-f) Cjr 4 ■ y") — 2p(x — x").

Mettant pour jr sa valeur tirée de l’équation de la droite , le résultat est

{ iay" + a2 ( x — x") — 2/j } (ar — x“ ) = o.

Cette équation est satisfaite quand x — x" = o ,

parce que le point qui a pour coordonnées x", y } est une des intersections de la droite avec la courbe : supprimant ce facteur , il reste

T-ay* + a' (x — x") — 2/7 = 0.

Les deux intersections de la tangente avec la courbe devant se confondre en une seule , la seule valeur de x doit encore être x", comme la première. L’équation précédente doit donc être satisfaite quand x = x", et J =2" ; ce qui exige qu’on ait

et l’équation de la tangente devient

En faisant disparaître le dénominateur 2", et observant que

ci. •» « ; ; < «

on peut lui donner cette forme

Si l’on double cette équation , et qu’on la retranche de la précédente , on trouve

ou , en ajoutant de part et d’autre j**,

(r— — *px-

La quantité^1 — 2 px est donc constamment positive pour tous les points de la tangente , excepté pour celui dont l’ordonnée est j" . Tous ces points, excepté celui de tangence, sont donc extérieurs à la parabole ( n° i95). • “ . •