A l’aide de ces formules , on peut mener une

2’jb de la parabole.

tangente à la parabole par un point quelconque dont les coordonnées seraient x', jr’, et qui ne serait pas pris sur cette courbe.

Car, ce point devant être sur la tangente , il faudrait qu’il satisfît à cette équation ; ce qui donnerait

/j" =/> (*' + *"); en y joignant la relation

y = 2 px\

on {iourra, au moyen de ces deux équations, déterminer les inconnues x",y", c’est-à-dire les coordonnées du point de tangence , qui seront en général du second degré ; puis , en les substituant dans l’équation de la tangente , celle-ci se trouvera détermiuée , et passera par le point donné. L’élimination de x“ entre les deux équations précédentes donne

/* — ^yy.= — *px-

y" aura donc en général deux valeurs , qui seront réelles , si la quantité

y» — 2 px?

est positive. Cette, condition sera satisfaite toutes les fois que le point donné sera extérieur à la parabole ; et l’on pourra alors mener deux tangentes. Si le point est sur la parabole même , il n’y en aura qu’une seule; enfin , s’il lui est intérieur , il n’y en aura plus du tout, et le problème sera impossible. Nous donnerons plus loin des moyens géométriques très simples pour tracer les deux,tangentes dans les cas où elles sont réelles.

ao5. Pour avoir le point où la tangente rencontre l’axe des x , il faut faire ^=0 , dans l’équation

jry"=zp(x 4-**),

ce qui donne

x sa — x*.

C’est la valeur de AT ( fiy , y5) : en lui ajoutant l’abscisse AP, abstraction faite du signe , nous aurons la soutangente

PT = n c"-,

c’est-à-dire que , dans la parabole , la soutangente est double de l’abscisse. Ceci fournit un procède' très simple pour mener uue tangente à cette courbe , quand on connaît le point de tangence Ou seulement son abscisse AP.

La valeur de PT étant susceptible de croître indéfiniment, le point T s’éloigne de plus en plus du sommet de la courbe , à mesure que x“ augmente.

206. Si l’on voulait tenir compte du signe de AT quand on cherche la valeur de la soutangente PT , il semble , au premier coup d’œil , que l’on aurait

PT = AT + AP =— x“ + x" = o ;

ce qui donnerait la soutangente constamment égale à zéro , résultat absurde : mais ce n’est là qu’une erreur de signe qui vient de ce qu’en ajoutant AP à AT dans la figure , pour avoir PT, on ne tient pas compte de la position de ces lignes par rapport à l’origine commune, tandis que, dans l’expression analytique, cette position est observée. Cette contradiction cesse lorsque l’on fait abstraction du signe — dans la quantité — x“ , qui exprime la valeur analytique de AT , eu égard à sa situation par rapport à l’origine des coordonnées, et voilà pourquoi on parvient ainsi au résultat véritable.

Ces modifications, qu’il faut quelquefois faire subir aux expressions analytiques , pour en déduire les valeurs absolues des quantités géométriques, ne tiennent pas, comme on vient de le voir, à une imperfection de l’analyse ; elles sont , au contraire , une suite nécessaire de sa grande généralité ; car, l’analyse donnant à

la fois les valeurs absolues et leurs positions relatives qui sont indiquées par les signes 4* et — , il faut la dépouiller de cette propriété, et faire abstraction de ces signes , quand on veut combiner les valeurs absolues des quantités indépendamment de leur situation par rapport à l’origine commune.

207. Occupons-nous maintenant de mener use normale à la parabole. Cette normale étant une ligne droite , et devant passer par le point de tangence , son équation sera de la forme

Mais , de plus , elle doit être perpendiculaire à la tangente , pour laquelle on a

Il faut donc qu’il existe entre a et a la relation ad -(-1=0,

qui donne

Alors l’équation de la normale devient

En y faisant y nul , et prenant la valeur de x — x", on aura la sounormale , qui sera

d'où l'on voit que, dans la parabole , la sounormale est constante et égale à la moitié du paramètre. Cette propriété fournit encore un autre moyen de mener une tangente à cette courbe, quand on donne le point de tangence ou seulement l’abscisse de ce point.