CHAPITRE IL

Application des principes précédens à la résolution et à la construction de quelques Problèmes de Géométrie déterminés.

1 1 . Je prendrai d’abord pour exemples des problèmes qui ne conduisent qu’à des équations du premier degré ; tel est le suivant.

Étant données la base d’un triangle et sa hauteur, trouver le côté du carré inscrit.

Soit, fig. 1 4 , ABC le triangle proposé, dont AC est la base , et BH la hauteur. Puisque les longueurs de ces lignes sont données , représentons la première par b , la seconde par h, l’une et l’autre étant exprimées en parties de l’unité de longueur. Désignons de même

par x le côté DE , ou EF , ou FG , ou GD , du carre inscrit , et cherchons, d’après la nature du problème , quelque relation entre b , h, et l’inconnue x.

C’est à quoi nous parviendrons en considérant que le côté EF du carré devant être parallèle à la base AC, les triangles EBF , ABC , doivent être semblables. Or, dans des triangles semblables, les bases sont entre elles comme les hauteurs ; on aura donc ici

ac : bh :: ef : bi ,

ou en exprimant ces lignes par leurs valeurs numériques ,

En égalant le produit des extrêmes à celui des moyens, cette proportion donne

d’où l’on tire

lix = bh — bx ; bh

La valeur numérique de x se trouve donc complètement déterminée par la condition que nous venons d’écrire en Algèbre, et l’on pourra la calculer d’après cette expression, lorsque les valeurs de b et de h seront données.

Mais on pourra également, d’après cette expression, l’obtenir par une construction géométrique ; car il en résulte évidemment que le côté du carré cherché ou x, est une quatrième proportionnelle h b-^-h, b et h, laquelle pourra se construire par l’un des procédés employés fig. 3, 4, 5. Pour le faire le plus élégamment possible , il faudra , parmi les diverses dispositions de lignes que ces procédés permettent, choisir quelquesunes de celles qui placent la ligne X de manière qu’on puisse l’appliquer avec le plus de simplicité à la figure proposée. Par exemple , en employant le mode de

construction de la figure 5, on pourra, fig. i5, prolonger la base AC ou B d’une quantité CB' égale à H ; puis , élevant au point B' une perpendiculaire B'H' aussi égale à H , on joindra A avec II', et par le point C menant CI' parallèle à B'H' , ce sera le côté du carré cherché , lequel se trouvera ainsi place perpendiculairement à la base AC du triangle. Donc, lorsque celuici sera donné, il n’y aura qu’à mener par le point I' une parallèle à la base AC , et les points où cette ligne coupera les côtés du triangle seront E et F ; de sorte que le carré se trouvera inscrit en même temps que connu.

11 faut remarquer que cette solution n’emploie pour donnée que la base et la hauteur du triangle , sans y faire entrer pour rien l’inclinaison des côtés AB , BC, sur la base. Les deux lignes AC et BH étaient en effet les seuls élémens que nous avions supposés connus. Or, * puisqu’elles suffisent ppur déterminer le côté du carré inscrit, il s’ensuit donc que ce carré est le même pour tous les triangles ABC, AB'C, AB"C, fig. 16, que l’on peut construire avec la base AC et la hauteur BH. De plus , dans tous ces triangles , le lieu où le carré doit être placé sera déterminé par l’intersection des côtés avec la même parallèle menée par I' à la base AC. Seulement on voit, par la figure même, qu’au-delà de certaines limites d’inclinaison des côtés sur la base , l’inscription du carré, dans V intérieur du triangle , devient impossible, parce1 que l’un de ses côtés, tel que E"D" , par exemple , tombe en dehors de l’espace que le triangle contient; et il devient évident, par cela même, que le dernier cas d’inscription intérieure a lieu lorsqu’un des côtés AB ou BC devient perpendiculaire sur la base. Ceci met donc réellement une limitation à la question géométrique. Mais cette limitation ne pouvait pas être indiquée par l’expression analytique de x, parce que la condition de laquelle cette

expression est tirée consiste seulement dans la similitude des triangles ABC , EBF ; similitude qui subsiste encore quand l’inclinaison des côtés AB, BC, sur la base , ne permet plus d’inscrire le carre dans l’intérieur du triangle ABC.

Si , au lieu de donner seulement la base b et la bau- / teur h , on particularisait complètement le triangle ABC dans lequel le carré doit être inscrit, on pourrait pro>fiter des lignes qui composent ce triangle pour construire la valeur de x plus élégamment que nous ne venons de le faire. En effet , si ABC , fig. 19, est le triangle donné , prolongez , comme tout à l’heure , la base AC ou b d’une quantité CB' égale à h , en sorte que AB' soit toujours égale à b+h ; mais au lieu de mener par le point B' une ligne perpendiculaire à la base , menez -en une parallèle au côté BC. Alors toute ligne APQ menée par le point A et terminée à cette parallèle

sera coupée au point P , de manière que le rapport

sera toujours égal à ÿ— — Maintenant, parmi toutes

les sécantes que l’on peut mener de cette manière , à partir du point A , il est facile d’en choisir une AK , dont l’inclinaison soit telle, que la perpendiculaire FG, menée de son premier point d’intersection F sur la base , soit précisément la valeur de x. Car il suffit, pour cela , de prendre le point K de manière que la perpendiculaire KN abaissée de ce point sur le prolongement de la base , soit égale à h ; ce qui se fera en le déterminant par l’intersection d’une ligne BK , menée par le sommet B du triangle parallèlement à la base. En effet, si cela a lieu, on aura à la fois les deux proportions

af : ak :: b : b + A,

AF : AK :: FG : fi;

DE GÉOMÉTRIE DÉTERMINÉS, conséquemment ,

F G : h :: b : b + h; bh

d’où

: h FG =

ce qui est précisément la valeur de x. 11 est facile de voir, à posteriori, que la ligne FG, ainsi déterminée, est en effet le côté du carré inscrit au triangle. Car, par la manière dont la ligne AK est construite, elle se trouve être telle que , si d’un quelconque de ses points, tel que K, on mène deux lignes, l’une perpendiculaire, l’autre parallèle à la base AC, les portions KN, KB, de ces lignes, interceptées entre AC prolongée d’une part, et le côté AB de l’autre , sont égales entre elles. Le sommet F du carré inscrit au triangle ABC , doit donc se trouver sur la ligne AK , puisqu’il doit jouir de cette propriété que FG égale FE ; mais il doit se trouver aussi sur le côté BC du triangle; il est donc l’intersection de ce côté parla ligne AK. Or, pour obtenir le point K, il suffit de mener par le sommet B du triangle une ligne parallèle à sa base , et de prendre sur cette ligne une longueur BK égale à h, puis de joindre AK. C’est donc à cela que se réduit, en définitif, tout l’essentiel de la construction.

On pourrait, avec une égale simplicité, construire a: de manière qu’elle se trouvât donner immédiatement le côté DE du carré qui est opposé à FG. Le procédé , représenté fig. 18 , est absolument analogue au préce'~ dent. Pour cela , prolongez la hauteur BH ou h d’une quantité HB' égale à la base AC ou b du triangle. Alors BB' représentera b -f- h. Cela posé , si du point B' on mène une ligne indéfinie parallèle à AC, toute ligne BPQ menée par le sommet B, et terminée à cette parallèle, se trouvera coupée en P, de manière que le rap BP . , . h

port — sera égal à Donc , si parmi toutes les

sécantes que l’on peut mener de cette manière, on choisit BC', menée par le sommet C' du carré construit sur AC , la ligne DE, parallèle à AC' , sera précisément la valeur de x , puisqu’on aura à la fois

bd : bc' :: a : b + a, bd : bc' :: de : b;

conséquemment ,

de : b :: a : b + a;

d-où DE

ce qui est précisément la valeur de x.

11 arrive souvent, comme dans ces deux exemples, que l’on peut simplifier la construction d’une expression analytique , en substituant aux rapports connus qu’elle renferme, et qui ont lieu entre des lignes données par le problème ,. des rapports équivalens, mais formés par des lignes indéterminées, que l’on choisit ensuite , de mauière que l’inconnue que l’on cherche se trouve placée le plus convenablement possible pour la question géométrique que l’on veut résoudre.

12. Les constructions dont nous venons de faire usage serviraient encore , avec de très légères modifications , pour résoudre un problème analogue au précédent , mais plus général , qui consiste à inscrire dans un triangle, non plus un carré, mais un rectangle dont le rapport des côtés est donné. En effet , soit ABC , fig. 19 , le triangle proposé dont on connaît seulement la base b et la hauteur A ; désignons par x le côté du rectangle cherché qui devra être perpendiculaire à la base , c’est-à-dire DE , et par y , le côté EF , qui lui sera parallèle. La comparaison des triangles semblables ABC, EBF, donnera, comme tout à l’heure,

ac : bii :: ef : bi,

DE GÉOMÉTRIE DÉTERMINÉS. 3l

qui devient ici

d’où l’on tire

hy = bh — bx.

Mais si n exprime le rapport qui doit exister entre les côtés EF et DE du rectangle , il faudra qu’on ait y — nx.

Chassant donc y de la première équation , avec cette valeur , et dégageant x , il viendra

X~ b + nh'’

expression précisément de même forme que dans le dernier problème , à cela près que le rapport n était alors un rapport d’égalité. Les mêmes procédés nous serviront donc encore pour la Construire , comme il est facile de s’en convaincre , et ils donneront lieu à des limitations pareilles. Pour offrir un seul exemple de cette analogie , supposons que l’on veuille employer le mode de construction de la lig. i y ; alors on mènera par le sommet B du triangle, fig. 20 , une ligne parallèle à la base , et l’on prendra sur cette ligne une longueur BK égale à nh ; puis menant AK , qui coupera BC en F , FG sera x , et EF y. On appliquerait avec une facilité égale nos deux autres constructions. Dans cette opération, j’ai supposé que l’on prenait immédiatement nh, puisque n étant un nombre abstrait qui exprime un rapport , nh est un multiple connu de h, et par conséquent une ligne connue. Néanmoins, si l’on voulait obtenir même ce multiple par une construction géométrique, il faudrait remplacer le nombre abstrait n par le rapport géométrique dè deux lignes N et a, dont la seconde , par exemple, serait l’unité de longueur , et la première une ligne égale à n fois cette unité. Alors le produit nh, traduit en lignes,

32 PBOBLÊMES

prendrait la forme ilexprimeraitunc quatrième

proportionnelle aux lignes A, N et H , laquelle se construirait par une quelconque des méthodes exposées fig. 3,4 et 5.

j 3. Il y a des questions géométriques dont la nature semble devoir être beaucoup plus compliquée que les précédentes , et qui cependant, lorsqu’elles sont écrites en analyse, conduisent à des résultats aussi simples; telle est , par exemple , la suivante :

Mener une tangente commune à deux cercles donnés, et situés dans un même plan.

Soient, fig. 21 et 22, C, C' , les centres des deux cercles, CM, C'M', leurs rayons; il y aura deux manières de leur mener une tangente commune ; extérieurement comme dans la fig. 20 , intérieurement comme dans la fig. 21. Considérons successivement ces deux cas.

Dans le premier , fig. 21 , si l’on suppose le problème résolu , et que MM' soit la tangente commune , prolongez cette tangente jusqu’à ce qu’elle aille rencontrer quelque part en T la droite indéfinie CC', menée par les centres , ce qui aura évidemment lieu du côté du plus petit des deux cercles; puis menant à chacun des points de tangence les rayons CM, C'M', les angles CMT , C'M'T, seront droits par la condition du contact avec le cercle; ainsi les deux triangles CMT, C'M'T, seront rectangles ; et comme ils ont , en outre, l’angle T commun , ils seront semblables ; ce qui donnera la proportion

cm : C'M' :: ct : c'T.

Les rayons CM, C'M', sontconnus, ainsi que la distance CC' des centres; nommons donc CM, r ; C'M', r* ; CC7, a , et CT, .r; alors C'T sera a: — a, et la proportion précédente deviendra

..r \ r \\ x x — ay

d’où l’on tire

rx — va — rx ;

et enfin , x = — :

d’où l’on voit que la distance CT ou x est une quatrième proportionnelle aux trois lignes r — r , a, et r. On l’obtiendra donc par une des constructions expliquées fig. 3 , 4, 5; mais la dernière de ces constructions est celle qui s’applique ici avec le plus d’élégance. En effet , par les centres C , C' , fig. 23 , menez deux rayons CN , C'N' , parallèles entre eux , et dirigés d'ailleurs dans un sens quelconque, la ligne NN', qui joindra les extrémités de ces rayons , ira justement couper la ligne des centres au point cherché T ; car les triangles CNT, C'N'T, quoique n’étant plus rectangles en N, N', y auront cependant un angle égal ; et comme ils auront toujours l’angle T commun, ils seront encore semblables, comme tout à l’heure , et donneront précisément la même proportion que nous aviohs établie plus haut. On peut encore faire sentir plus immédiatement l’accord de cette construction avec l’expression algébrique de x, en menant parle point N' une parallèle N'D à la ligne des centres ; car, dans le triangle N'DN ainsi formé, N D représentera a, ND , r — r'; et comme d’ailleurs ce triangle sera pareillement semblable au triangle CNT, on aura, en les comparant l’un à l’autre,

nd : dn' - nc : ct,

OU r — / : a :: r : CT ;

d’où l’on tire ,

c’est-à-dire précisément notre valeur de x. Ainsi lorsque le point T aura été déterminé par cette construction , il ne restera plus qu’à mener de ce point 8' Édit. • 3

une tangente à l’un des deux cercles; cette tangente se trouvera être aussi commune à l’autre ; et comme on peut mener du point T deux pareilles tangentes, l’une au-dessus, l’autre au-dessous de la ligne des centres , on voit que la question géome'trique admettra deux solutions.

Si l’on suppose que le rayon r du premier cercle reste constant, ainsi que la distance des centres, le produit ar restera constant. Mais si l’on fait en même temps varier le rayon r du second cercle, de manière qu’il approche de plus en plus d’être égal à r, la différence r — /deviendra de plus en plus petite , et rendra ainsi la valeur de a: de plus en plus grande, puisqu’elle y entre comme dénominateur. Cela signifie que plus les deux cercles s’approchent d’être égaux , plus l’intersection de leur tangente commune avec la ligne des centres s’éloigne. C’est en effet ce qui est évident par la construction même. Enfin, quand les deux rayons deviennent toutà— fait égaux, le dénominateur r — r est tout-à-fait nul, et la valeur de x devient infinie; c’est-à-dire que la tangente commune MM' et la ligne des centres ne se rencontrent qu’à une distance infinie, ou, en d’autres termes, deviennent parallèles l’une à l’autre.

Eu continuant à faire croître r', notre expression algébrique de x éprouve une modification toute nouvelle. Sa valeur n’est plus infinie , comme tout à l’heure ; mais elle devient négative, de positive qu’elle était d’abord. Cette inversion de signe répond à une inversion de position dans la soutangente CT. En effet, lorsque nous avons formé notre proportion parla comparaison des triangles CMT, C'M'T, fig. 21 ; nous avons considéré le point d’intersection T comme situé du côté du cercle dont le rayon était C’M' ou r'; et ainsi l’expression analytique que nous avons obtenue pour CT ou x, était implicitement conforme à cette

supposition. Maintenant, par le changement que nous introduisons dans la valeur du rayon r , il se trouve que le point T ne doit pas être placé de ce côté des centres , mais du côté opposé ; l’expression algébrique ne peut donc plus continuer à lui donner une valeur conforme à notre première supposition, qui est devenue impossible. Mais comme , dans la nouvelle situation que prend la ligne CT , sa relation avec les rayons et la distance des centres reste essentiellement la même , ia généralité de l’Algèbre fait qu’elle est toujours comprise dans la même expression , dont le signe se trouve seulement modifié comme il aurait dû l’être, et comme il l’aurait été naturellement si l’.on eût établi le raisonnement sur ce nouveau cas, au lieu de lui appliquer par extension la formule qui avait été faite sur le premier , où la soutangente CT avait une position inverse.

La détermination du point T , relatif aux tangentes intérieures , fig. 32 , s’obtiendra par des considérations absolument pareilles, avec les seules modifications qui sont nécessitées par la différente position des lignes et des triangles que l’on compare. Alors, en appelant toujours CT jr, et conservant d’ailleurs les mêmes dénominations que précédemment pour les rayons et la distance des centres, les triangles CMT, C'M'T, seront encore semblables et donneront la proportion

cm : c'M' :: ct : cr,

ou r : r1 x ; a — x ;

d’où l’on tiré

Cette expression se construira d’une manière tout-àfait analogue à celle que nous avons employée poulies contacts extérieurs. Par les centres C, C% fig. 2^,

on mènera deux rayons parallèles CN , C'N', diriges suivant un sens quelconque. On joindra les points N, N', par une droite , et le point T, où cette droite coupera la ligne des centres , sera celui à partir duquel les tangentes doivent être menées. 11 sera en effet facile de voir que cette construction détermine CT par une proportion identique avec celle que nous avons posée pour x. Mais , de plus , on peut également en faire sentir l’accord avec l’expression algébrique de x ; car il n’y a qu’à, parle point H', mener N'D parallèle à la ligne des centres , et la terminer au prolongement deCN. Alors DN' représentera a , ND, r-f-r, et les triangles semblables NDN' , N CT , donneront

r + / : a :: f : ct ;

d’où CT — — ■ -p ,

c’est-à-dire précisément la valeur même que nous avons trouvée pour x.

14. Les questions précédentes , quoique très faciles, peuvent déjà indiquer généralement la marche que l’on doit suivre pour exprimer par l’analyse les conditions des problèmes de Géométrie. C’est exactement la même que l’on suit en Algèbre pour mettre les problèmes numériques en équation.

On commence par reconnaître toutes les lignes connues ou inconnues qui doivent entter dans la solution du problème, et on choisit des lettres pour les représenter. Si l’on a réellement considéré toutes ces quantités, il doit exister entre elles certaines relations , certains rapports qui permettent de les déduire les unes des autres. On cherche , d’après les règles de la Géométrie , quelle marche il faudrait suivre, quelles opérations il faudrait faire pour établir ainsi leur dépendance mutuelle : à mesure que l’on découvre ces opé-

DE CÉOMÉTUTE OtTEBMIXÉS. 3-]

rations, on les écrit algébriquement. Le résultat vous conduit toujours à trouver l’expression algébrique d’une des quantités connues ou inconnues par le moyen des autres; alors vous égalez cette quantité à la lettre qui la représente, précisément comme si vous aviez voulu la vérifier: vous obtenezainsi une équation entre les quantités connues et inconnues du problème; et, lorsque vous avez formé de cette manière autant d’équations que d’inconnues, le reste s’aebève par les règles ordinaires de l’Algèbre.

La véritable difficulté de ces sortes de problèmes n’est pas proprement de trouver les relations qui existent eritre les lignes, car ces relations sont naturellement indiquées par l’énoncé de la question. Nous verrons même que l’on peut toujours, sans aucun artifice particulier, obtenir l'expression de ces rapports, et mettre les problèmes en équation , en désignant d’une manière analytique la marche et la combinaison de toutes les lignes qui donnent par leurs intersections les quantités cherchées. Mais, ce qui exige une adresse particulière , ce qui fait proprement l’art de l’analyste, c’est de découvrir la route la plus expéditive pour passer des connues aux inconnues , et de saisir, parmi tous les rapports qui les unissent, ceux qui sont plus propres à être exprimés par le calcul. J’aurai , dans lè cours de cet Ouvrage , de fréquentes occasions d’appliquer ces remarques et d’en montrer la vérité par des exemples : pour le moment , je ne veux que la faire pressentir.

>5. Jusqu’ici les questions que nous avons traitées ne dépendaient que d’équations du premier degré. Nous allons maintenant en considérer de même quelques-unes qui dépendent du second. Une des plus simples que l’on puisse se proposer est la suivante.

Construire un rectangle dont on connaît la surface et la différence des côtés.

Soit x le plus grand des côtés inconnus de ce rectangle , ia son excès sur le plus petit côté ; en sorte que l’expression de celui-ci soit x — ia. Nommons b le côté du carré dont la surface doit être la même que celle du rectangle , la condition de cette égalité immédiatement énoncée en langage algébrique , donnera l’équation

x(x — 2 fl) = b' , OU X'1- — 2ÛX = ô* , de laquelle on tire pour x ces deux valeurs :

x = a-{- \Za%-Y-b*, x — a — ÿa* + 6*.

Ce sont précisément les mêmes que nous avons déjà considérées, page 20, et que nous avons construites par la fig. 12. La première est représentée par DE dans cette figure ; la seconde l’est par — DE'. Or, il est facile de vérifier que a -f- \^a' + b', ou DE, est en effet le plus grand côté du rectangle demandé ; car si l’on en retranche la différence donnée 2a , le reste — fl Ÿ1 a“ -|- b1 devra exprimer le plus petit côté » et, en effet, le produit de ces deux quantités , l’une par l’autre, produit qui exprime la surface du rectangle, se trouve égal à b1 , comme l’énoncé de la question l’exigeait.

Ce calcul nous apprend , de plus, que la seconde valeur de x, ou a — l/a1 -f- b*, étant prise avec un signe contraire , représente le plus petit côté du rectangle ; c’est aussi ce qu’il est facile de confirmer par la construction même; car nous avons vu que cette seconde racine, prise avec un signe contraire, est représentée par DE' , fig. 12. Or, dans le cercle E'BE , le produit de la sécante entière DE , par sa partie extérieure DE' , est en effet toujours égal au carré de la tangente DB, lequel est ici égal à b% , puisque dans la construction l’on a pris DB égal à b. Mais on peut se demander pourquoi ce petit côté , que l’on n’avait pas pris pour

DE CÉ0MÉT1UE DÉTEHM1SÉS. 3g

inconnue et que meme ou n’avait pas eu l’intention d’introduire immédiatement dans les conditions analytiques, s’y est cependant trouvé compris, seulement avec une inversion de signe. C’est que l’Algèbre, par sa nature , ne donne pas seulement la valeur des inconnues que l’on a eu V intention de chercher, et que l’on a voulu déterminer en les assujettissant à la condition exprimée par l’équation dont on les fait dépendre ; mais, en vertu de sa généralité, elle donne en même temps les valeurs de toutes les inconnues qui peuvent satisfaire à la condition analytique que l’on a établie; et cela arrive ainsi, parce que cette condition est la seule chose qui spécifie réellement la nature du problème que l’on a voulu résoudre, et qui en détermine l’énoncé définitif, quelle que puisse être la multitude et la diversité des considérations qui ont servi de passage pour y arriver. Dans la question actuelle , par exemple , ayant pris pour inconnue le plus grand côté du rectangle cherché, nous avons trouvé que sa valeur dépendait de l’équation

x’ — 2 ax = b* ;

c’est-à-dire que cette valeur étant substituée au lieu de x, devra satisfaire à l’égalité que l’équation exprime. Or, si, parmi toutes les combinaisons analytiques que l’on peut former avec les lettres a et b , il en existe quelqu’une qui, sans représenter le grand côté de notre rectangle, ou même sans avoir aucun rapport géométrique avec sa construction , soit cependant telle, qu’étant substituée au lieu de x, elle satisfasse aussi à la même équation dont ce côté se trouve dépendre, il est évident que cette combinaison , que nous n’avions pas en vue , et que nous n’avions peut-être même pas soupçonnée, nous devra être également donnée par la résolution générale de notre équation. C’est là préci-

4o PROBLÈMES

sèment et: qui arrive dans la question actuelle, où la fonction a — \/ a* b' , quoique n’exprimant point le

grand côte de notre rectangle, se trouve neanmoins être une racine de la même équation du second degré, à laquelle la valeur de ce côté doit satisfaire. 11 faut bien que la résolution générale de l’équation nous la donne en même temps que cette valeur. Maintenant, par quelle rencontre arrive-t-il que la fonction dont il s’agit, étant prise avec un signe contraire , représente le petit côté de notre rectangle? C’est que s'il nous avait plu de représenter ce petit côté par — x, comme nous aurions bien été les maîtres de le faire, la nouvelle inconnue xse serait trouvée dépendre de la même équation du second degré, à laquelle le grand côté est assujetti. En effet , dans' cette supposition , le plus grand côté eût été exprimé par — x+i a-, et en multipliant cette expression par — x, puis égalant le produit au carré b * , nous aurions eu pour déterminer x ,

— x ( — x + ia) =b*, ou x 1 — lax ~ b1 ;

c’est-à-dire précisément la même équation que cidessus. Ainsi, quoiqu’en formant cette équation nous n’ayons eu en vue que le plus grand côté de notre rectangle, la résolution algébrique doit en déduire aussi l’expression du petit côté en changeant son signe, puisque, ainsi modifiée , elle y satisfait également. Mais nous devons conclure de là , comme conséquence générale, que, lorsqu’on a résolu complètement l’équation algébrique de laquelle dépend un problème de Géométrie , il faut discuter successivement les racines ainsi obtenues, en les appliquant à la question particulière que l’on a voulu résoudre, afin de reconnaître parmi ces racines celles qui expriment réellement l’inconnue que l’on cherche , et celles qui expriment d’autres quantités applicables ou non au même problème , mais

de géométrie DÉTERMINÉS. 41

analytiquement dépendantes de la même e'quation.

16. On aura un exemple de ces solutions analytiques tout-à-fait étrangères, dans la question suivante : Partager une ligne donnée en deux parties telles , que la première soitmoyepne proportionnelle entre la ligne ehtière et l’autre partie.

Soit, fig. 25, BD la ligne donnée, dont nousreprésenterons par b la longueur; appelons x lepremier segment inconnu DX ; puisqu’il doit être moyen proportionnel entre DB , qui est b , et BX , qui est b — x, on aura

xa — . b (b — x), ou x'‘ -f- bx = b‘ ; ce qui donne pour x les deux racines

Ces expressions sont un cas particulier de celles que nous avons considérées page 24 , et que nous avons construites fig. 12; seulement la ligne BC, qui alors avait une valeur quelconque égale à a, se trouve ici égale à -j b-, c’est-à-dire à la moitié de BD. Le système de construction sera donc le même, à cette seule circonstance près. Ainsi à l’extrémité de la ligne BD, fig. 25, on élevera une perpendiculaire BCégale à - b, ou à la moitié de BD; puis , joignant les points D et C, la ligne DC

représentera la partie radicale y/ b1 -f- — . Alors , si ,

du point C comme centre, avec BC pour rayon , vous décrivez une circonférence de cercle , la ligne DE' re-

présentera la première racine -f- y/ -f- et

la ligne DE , prise avec un signe contraire, c’est-à-dire — DE , représentera l’autre racine — ^ — y/ b* -f- — ;

il ne reste donc plus qu’à faire l’application de ccs

lignes à notre problème géométrique. Or, ilestfacilcde

yoir que la racine positive DE' y satisfait, et représente

le premier segment DX : car d’abord, étant plus petite

que la ligne entière b, elle peut s’en soustraire; de

plus , si l’on effectue cette soustraction , le reste sera

— y 0’+ — ; etce reste, toujours positif, étant mul-

Zb% / b*

tiplié par b , donnera pour produit b y 6"-J — - ,

ce qui est en effet égal au carré de — ^ \/ b ‘+~ ,

ou de DE', comme l’exigent les conditions fondamentales du problème. Si donc du point D comme centre, avec DE' pour rayon , vous décrivez une circonférence de cercle qui viendra couper la ligne donnée DB en X , le segment DX, égal à DE', sera le premier segment cherché, et le reste BX sera l’autre segment. Cette construction est précisément celle que l’on donne dans les élémens de Géométrie, pour couper une ligne donnée en moyenne et extrême raison. En effet , les conditions d’une telle opération sont exactement celles que nous avons établies par notre énoncé.

Maintenant, si nous discutons l’autre racine, qui est toute négative, nous voyons d’abord que cette particularité nous la désigne comme n’étant pas applicable à

la question géométrique que nous nous sommes proposé de résoudre. Car ayant supposé dans notre construction que le segment BX devait être porté de D vers B , si l’Algèbre lui donne une valeur négative, cela signifiera donc qu’il doit être porté en sens contraire de notre supposition , c’est-à-dire de D vers X', sur le prolongement de BD. Alors ce résultat n’est plus applicable à la question que nous avions en vue , puisque la ligne

donnée DB ne se trouve plus partagée comme nous le demandions. Maisil offre la solution d’une autre question à laquelle nous n’avions pas songé, et qui se trouve dépendre de la même équation ; et cette question est : une droite BD étant donnée , trouver hors de cette ligne et sur son prolongement un point X' tel, que la longueur DX' soit moyenne proportionnelle entre la ligne donnée BD et la longueur totale X'B. En effet, supposons qu’il nous plaise de représenter le segment inconnu DX' par — x, comme nous sommes les maîtres de le faire , puisque l’on peut choisir à volonté les dénominations algébriques par lesquelles on désigne les quantités inconnues : alors la longueur totale X B sera — x~{-b , et son produit par h sera b [b — x). Orr puisque ce produit doit égaler le carré de DX', qui est + x\ on aura , pour déterminer l’inconnue x, l’équation

x* — b (b — x), ou x% -f- bx == b% ;

c’est-à-dire précisément la même que nous avions obtenue en cherchant la solution d’un problème bien différent. D’après cela, quand nous résolvons généralement cette équation, et que nous découvrons toutes ses racines , nous devons obtenir aussi bien celles que nous avons eu dessein de chercher, que celles qui sont étrangères à la recherche particulière qui nous occupe; et ainsi l’emploi seul de ces racines peut nous faire discerner celles qui sont spécialement applicables au problème géométrique que nous nous sommes spécialement proposé.

17. Voici maintenant une autre question aussi intéressante par les artifices analytiques dont elle fournit l’exemple , que par l’élégance des constructions auxquelles elle conduit.

Étant donné deux droites indéfinies XX', YY', fig. 26, qui se coupen t perpendiculairement en C , et un point M placé dans 1 angle YCX', à uue distance égale et connue de ces deux droites , on demande de ineuer par ce point une ou plusieurs lignes droites MQP, telles que la portion PQ, comprise entre les lignes YY', XX', soit égale à une longueur donnée c.

Du point donné M, menons les perpendiculaires MA, MB, aux deux lignes XX', YY'. Par les conditions du problème, ees perpendiculaires seront égales entre elles et données ; je représente leur longueur par a.

Maintenant, prenons pour inconnue la distance AP, comprise entre le pied de la première perpendiculaire et le point P, où la droite cherchée coupera la ligne indéfinie XX'. Appelons cette distance inconnue x.

Alors la distance CP sera x — a; et les triangles semblables MAP, QCP , donneront cette proportion s

ap : am :: cp : cq,

ou x a y. x — a ' CQ ;

d’où l’on tire

Ayant ainsi les expressions de CP et de CQ , il ne nous reste plus qu’à écrire que , dans le triangle rectangle QCP , l’hypoténuse PQ doit avoir pour longueur c ; cette condition donne

CQ* + CP* = PQ“ , aê(x —

Voilà donc une équation qui , étant résolue, déterminera l’inconnue x.

Or, il est évident que, lorsqu’on aura délivre' cette équation du dénominateur x' qui entre dans le premier membre, elle se trouvera être du quatrième degré en x\ et par conséquent elle semble devoir excéder la portée des méthodes de résolution qui réussissent pour les équations du second degré. Mais cette difficulté n’est qu’apparente , parce que la forme particulière de l’équation permet de l’éluder. Pour cela , sans faire disparaître le dénominateur x' , il n’y a qu’à développer tous les carrés indiqués , et effectuer en uicrae temps la division par x*. On trouve ainsi

a 1 -f- — -f- xl — 2<7.r -4- a1 = c*

ou , ce qui est la même chose ,

at /a’ \

— 2fls -f- x1 — 2<z f — -f- x j = c*.

Or, les trois premiers termes sont précisément le carre

fl* ■ ■ •

de f- x ; c’est-à-dire de la seule fonction de x qui

entre dans le reste de l’équation , et qui ne s’y trouve qu’à la première puissance. Si donc on égale cette fonction à une nouvellednconnue z , en faisant

z se trouvera assujetti à l’équation z* — 2<az = c*.

Celle-ci n’étant que du second degré, peut aisémenjse résoudre , et donne pour racines

11 ne restera donc plus qu’à prendre successivement z égal à chacune de ces valeurs qui sont entièrement

connues , et les valeurs correspondantes de x se de'duiront de la relation

qui , en faisant disparaître le dénominateur x , donne l’équation du second degré

x* — xz = — a’.

Les deux valeurs de z sont faciles à construire. D’abord, le radical représente l’hypoténuse d’un triangle

rectangle dont a etc sont les côtés. Ayant donc formé «ette hypoténuse, qui est représentée par BH, fig. 27, on la portera, à partir du point B , sur MB, prolongée vers Z', et sur BM , prolongée vers Z" ; alors MZ' représentera la racine positive a \/ a* ca ; et la lon-

gueur — MZ", c’est-à-dire MZ" portée dans un sens contraire à MZ', comme le montre la Ggure, représentera la racine négative a — \/ a* -|- c*.

Pour avoir maintenant les valeurs de x correspondantes à chacune de ces racines , considérons d’abord la première, que nous désignerons spécialement par z'. En la substituant dans notre équation en x , celle-ci, après avoir changé ses signes, pourra se mettre sous la forme

Alors , en l’interprétant sans la résoudre , on voit que a représente l’ordonnée d’un cercle dont z' est le diamètre , tandis que x et z' — x sont les deux segmens coupés par l’ordonnée. Donc, sur MZ' ou z' comme diamètre , décrivez une circonférence de cercle : l'intersection de cette circonférence par la ligne indéfinie XX', donnera les deux valeurs de x correspondantes à z', lesquelles se trouveront immédiatement représentées par AP, AP'.

Passons maintenant à la seconde valeur de a. Celle-ci Étant essentiellement négative , nous la représenterons par — a", de sorte que -f- z° sera une quantité égale à -a + 1/ ou à MZ". Cette nouvelle valeur — a"

étant substituée au lieu de z dans l’équation en x , il vient

x’“-f-z"x = — a’, ou x (z“ -f- x) s= — a*.

Ici le signe positif du second terme en x donne lieu à une particularité nouvelle ; c’est que les valeurs de x qui pourront satisfaire à cette équation , seront nécessairement négatives; car si on les supposait positives, le premier membre x%-\-z“x serait entièrement positif, et conséquemment il ne pourrait pas être égal à — a' , comme il doit l’être. C’est aussi ce que montreraient les expressions mêmes des valeurs de x, si on les déduisait par la résolution de l’équation , et qu’on y supposât a* positif. Pour représenter cette particularité dans la construction géométrique, il suffira de prendre les valeurs de — x du côté opposé à celui où nous avons porté les valeurs positives. Supposant donc qu'on ait soin de le faire , représentons ces valeurs par 4- x' , c’est-àdire substituons — x' au lieu de + x dans notre équation en a", il viendra

— x\z“ — x) = — a'À, ou x'(a" — x') = à1.

Ainsi, dans ce cas comme dans le précédent, a se trouve désigner l’ordonnée d’un cercle dont a* est le diamètre, et x ', a" — x1, les deux segraens de l’ordonnée. Donc sur MZ" ou a", comme diamètre, décrivez une pareille circonférence , et les points P", P", où’elle sera coupée par la ligne indéfinie XX', donneront les distances AP", AP", qui seront les deux valeurs de x correspondantes à la valeur négative de a.

Maintenant, par le point donné M, et par chacun

des points P, P', P", P', ainsi détermines , on pourra mener autant de droites , qui satisferont également à la condition analytique énoncée par l’équation

Or, pour ces quatre droites , soit que l’on suppose x positif ou négatif, la fonction {x — a)\ représentera toujours le carré de la distance CP , laquelle devient CP' pour la seconde solution, et CP", CP", pour les

deux autres; de meme, le terme - — — représen-

tera toujours le carré de CQ ou de CQ , ou de CQ" , ou de CQ", comme il est facile de le vérifier immédiatement par la similitude des triangles CP'Q' et AP'M; CP'Q' et AP'M ; CP*Q" et AP"M ; en ayant soin d’assigner aux lignes AP", AP*, des signes négatifs , pour indiquer leur situation opposée aux AP, AP7, que nous avons considérées comme positives. D’après cela, l’équation précédente exprimera toujours que , pour ces quatre droites sans distinction , le carré de la partie interceptée dans l’angle droit est égal au carré de c, et comme elles passent d’ailleurs toutes par le point donné M, il s’ensuit qu’elles offriront autant de solutions effectives du problème géométrique proposé.

Il y aura toutefois cette différence entre elles , que l’inscription des deux droites PQ , P'Q', dans les angles extérieurs au point M , sera toujours possible , quelle que soit la longueur donnée c , au lieu que l’inscription des deux autres droites P"Q", P"Q*, situées dans l’angle YCX', où le point M se trouve, ne pourra pas toujours se réaliser. En effet, pour les deux premières, le diamètre. MZ' du cercle qui les donne étant exprimé par a + y/ a‘ -f- c% sa moitié , qui est le rayon de ce cercle, surpassera toujours a ou MA. Ainsi, la

circonférence de ce cercle sera toujours réellement coupée par la droite XX', quelle que puisse être la longueur de la ligne PQ ou C qu’il s’agit d’inscrire. Mais il n’en est pas ainsi des deux solutions AP", AP'", données par l’autre cercle. Car le diamètre de celui-ci étant exprimé par — a -f~- {/ -t- c‘ f peut , à cause de l’opposition de signe des parties qui le composent, être ou n’être pas plus grand que 2a. S’il surpasse 2 a, le rayon surpassera a, et le cercle sera réellement coupé par la ligue XX', en deux points P"P", dilférens l’un de l’autre, qui donneront des valeurs réelles et distinctes de x, représentées par AP" et AF". Si ce diamètre devient égal à 2a , ce qui arrivera quand on auraca=8aa, le cercle touchera seulement la droite XX', et les deux points P”P'", se réunissant en un seul, ne donneront qu’une solution, dans laquelle les deux droites P"MQ", P"MQ", viendront se confondre ; enfin , si la ligne donnée c devient encore moindre que cette limite, c’est-à-dire inférieure à o a\/ 2 , le cercle construit sur MZ' 11e coupera plus la ligne XX', et les deux valeurs correspondantes dex deviendront imaginaires; de sorte que la ligne C 11e pourra plus être inscrite dans l’angle YCX', où le point M se trouve, quoiqu’elle continue toujours à pouvoir l’être dans les deux autres quadrans.

Si l’on veut voir géométriquement pourquoi la valeur de c , donnée par la condition

ca = 8 à1 ,

offre la limite d’inscription possible dans l’angle YCX', il n’y a qu’à la construire; elle est évidemment la diagonale d’un carré dont le coté est 2 a. Prenons donc sur la figure 27, AL = «, et BL' = a; LI/ sera la longueur cherchée de c. Or, la droite LL', telle qu’elle se trouve ainsi placée , passe évidemment par le point M ;

8' édit. 4

5o PROBLÈMES

elle satisfait donc à la condition d’inscription demandée ; et par conséquent , elle offre cette dernière solution , dans laquelle les lignes P"Q ", P'Q’*, Unissent par se confondre. Aussi est-elle unique de son espèce , puisqu’elle est perpendiculaire au rayon CM, mené du point donné M au sommet de l’angle YCX ; et c’est en vertu de cette condition qu’une droite plus petite qu’elle ne peut pas être inscrite dans cet angle , en passant par le même point.

Il nous reste à expliquer pourquoi cette question , qui se trouve ainsi comporter quatre solutions différentes, et qui eu effet conduit à une équation du quatrième degré , se trouve pourtant résoluble par des formules du secoud. Cette particularité tient d’abord à ce que la disposition du point M étant symétrique par rapport aux quadrans YCX, Y'CX', s’il existe une solution possible dans le premier de ces quadrans, il en existe nécessairement , pour le second, une absolument pareille ; de sorte que ces deux solutions se trouvent liées l’une à l’autre par cette relation ; et de même, dans le quadrans YCX', où le point M se trouve, s’il y a une solution possible, pour laquelle la droite inscrite forme un certain angle avec l’axe CY, il en existera nécessairement une seconde, pour laquelle la droite fera un angle exactement pareil avec l’axe CX' ; en vertu de la position symétrique du point M relativement à ces deux axes. Cette relation de symétrie propre à ces deux solutions, les a pareillement réunies dans le calcul en un seul groupe ; et , comme la condition relative à chaque groupe était différente , l’équation générale , qui exprimait à la fois l’une et l’autre , s’est laissée décomposer en deux facteurs du second degré , ayant le coefficient de leur second1 terme rationnel, lesquels nous ont donné chaque groupe séparément , par la résolution d’une seule équation du second degré.

DE GÉOMÉTRIE DÉTERMINÉS. 5l

1 8. On peut donc inférer de cette considération , que si l’on choisissait pour inconnue quelque quantité qui eut, pour les deux solutions de chaque groupe, une valeur unique, la détermination de cette inconnue ne conduirait qu’à une équation du second degré , dont la résolution ferait connaître les deux valeurs inégales qu’elle doit avoir dans les deux groupes. Cela arrive en effet ainsi , et nous allons en donner des exemples. Or, cette remarque èst très importante à faire dans tous les problèmes. Car les inconnues qui ont le plus petit nombre de valeurs, sont généralement les plus avantageuses à choisir , comme étant celles qui conduisent aux équations les moins élevées. Mais, pour qu’elles offrent réellement cette utilité, il faut encore qu’elles remplissent une autre condition, de laquelle on ne peut jamais s’assurer tout-à-fait que par le calcul meme; et cette condition est que les raisonnemens et les équations qui servent à déterminer l’inconnue que l’on a choisie, ne se trouvent pas appartenir aussi à quelque autre quantité pareillement inconnue, que l’on pourrait aussi bien choisir à sa place; comme cela nous est , arrivé, par exemple , lorsque nous avons voulu construire un rectangle , connaissant la différence de ses côtés et sa surface. Car alors, quel que fût celui des deux côtés que nous prissions pour inconnue, l'autre se trouvait é{ja— lement donné parla meme équation ; et pareillement, lorsque nous avons cherché le premier segment d’une ligne coupée en moyenne et extrême raison, nous avons trouvé que la condition algébrique à laquelle nous étious conduits, renfermait aussi la solution d’une question toute différente , que nous n’avions nullement songé à y comprendre. Or, quand il en est ainsi , la résolution de l’équation par laquelle la condition algébrique est exprimée, doit donner nécessairement pour 1 inconnue autant de valeurs qu’il y a de manières d’y

satisfaire ; et conséquemment , le degré de cette équation doit se trouver plus élevé qu’il ne le serait, si l’on avait pu énoncer isolément les conditions particulièrement propres à la seule inconnue que l’on voulait découvrir. En appliquant ces remarques à la question géométrique que nous considérions tout à l’beure , on conçoit que , si une pareille complication s’introduisait dans la recherche de quelque inconnue que l’on aurait choisie uniquement à cause de sa relation commune avec un même couple de droites inscrites, ce serait vainement que l’on fonderait sur ce choix l’espérance d’une solution plus simple ; car l’intervention des inconnues étrangères qui se trouveraient comprises dans le même énoncé algébrique, éleverait de nouveau l’équatiou finale que la symétrie de l’inconnue aurait dû abaisser.

iQ. Je vais maintenant donner des exemples de ces divers accidens analytiques ; et, pour commencer par un cas où l’abaissement désiré s’opère , je supposerai que l'on prenne pour inconnue le rayon du cercle inscrit aux deux triangles P''CQ", P*CQ* compris dans le quardrans YCX', fig. 28. Ce rayon leur sera évidemment commun, puisqu’ils sont égaux. Même, à cause de la symétrie de leur situation relativement aux deux droites CY, CX', il n’y aura qu’un seul cercle inscrit pour ces deux triangles; et il aura son centre sur la droite CM, qui divise l’angle commun YCX' en deux parties égales. Ce rayon semble donc réunir tous les avantages qui peuvent simplifier la détermination des inconnues.

Désignons-le par r ; et , du centre O menant des perpendiculaires OD, OE, OF, sur les trois côtés du triangle, il est clair qu’en vertu des conditions de tangence, P*F sera égal à P"D , et Q"F à Q"E ; en outre , à cause de l’angle droit-ECD, lps longueurs CD et CE seront l’une et l’autre égales à r. Ainsi , P"Q" devant être égal à la longueur donnée C , le périmètre du triangle

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serïi c^-c^-srj ou 2C-f*2/’j cl celte ijuautitc inulti— pliée par le rayon r, donnera le double de la surface du triangle, laquelle sera exprimée par 2cr-+-2r\ Mais on peut aisément l’exprimer encore d’une autre manière ; car , en vertu de la similitude des triangles MBQ", P''CQ", le côté MB ou a du carré inscrit est égal au produit des côtés CP", CQ", divisé par leur somme, laquelle est, comme on vient de le voir, égale à c -f- 2/\ Ce produit, qui exprime aussi le double de la surface du triangle, sera donc égal à a(c-\-ir) ; ainsi, l’on devra avoir

2 cr 4- 2 r1 = ac ■+■ n.ar , ac

ou r* -f* (e — a)r — — ;

équation qui n’est que du second degré en r.

Or, ici 011 peut se demander pourquoi cette équation s’élève même au second degré ; car il semble qu’elle devrait être du premier, puisque le rayon cherché n’a qu’une seule valeur pour les deux triangles sur lesquels nous avons établi nos raisonneinens. Mais on va voir qu’une seule des racines , qui est positive , représente notre rayon ; tandis que la seconde , qui est négative , étant prise avec un signe contraire, représente le rayon O'D' d’un autre cercle , dont le centre serait en O' sur le prolongement de la droite CM , et qui toucherait extérieurement les côtés des triangles CPQ , CP'Q' , situés hors des quadrans où se trouve le point M.

En effet, ces deux racines sont

Afin de les simplifier, nous les multiplierons par 2;

ce qui donnera les diamètres des cercles que nous venons de désigner. Nous aurons ainsi

La première de ces expressions est toujours positive, puisque surpasse toujours (c — ay ; la seconde,

au contraire, est toujours négative. Pour les construire, prenons, flg. 29, CC' égale à la longueur donnée c, et menons C'B; ce sera la partie radicale. Maintenant, du point C' comme centre avec C'A ou c — a pour rayon, décrivons une circonférence de cercle qui coupera la droite indéfinie BC' en deux points 1,1'; alors BJ représentera la valeur positive de 2r, et — BI' représentera la valeur négative. En décrivant deux arcs de cercle du point B comme centre avec ces deux longueurs , on reportera la première en BL , la seconde en BL' ; et , en divisant celles-ci en deux parties égales, leurs moitiés NB , N'B , seront les deux valeurs cherchées de [•. Si des points N, N', on mène NO, N'O', parallèles à CY, et terminées à CM , les points 0,0', seront les centres des cercles cherchés. Cette interprétation est évidente , quant à la valeur positive de r, qui exprime l’inconnue même sur laquelle notre équation est établie; mais il faut en prouver la réalité pour la valeur négative que nous n’avions pas alors considérée. Or , cela est très facile , en cherchant de même directement l’équation qui déterminerait le rayon D'O', fig. 28. Pour l’obtenir, nommons ce rayon /. Comme il doit toucher les trois lignes CY', CX, MPF', fig. 28, PF' sera égal à PD', et QE' à QF'. O11 aura, en outre,

CP = r'+PD', CQ = QE' — r', QF' = c +• PF' ; conséquemment ,

CP— CQ=2r— QE'-fPD'=2r'— QF'-FPF'=2/-c.

Ici , c’est la différence des côtés qui se trouve exprimée en fonction du rayon, au lieu de leur somme , que nous avions précédemment obtenue. Cela suffit pour exprimer de même la surface du triangle CPQ touclié par le cercle ; car elle est égale à la somme des triangles QO'C , QO'P, moins le triangle CO'P. Ainsi , le double de cette surface aura pour valeur

r'(PQ -f- CQ — CP), au icr — ari*.

Mais on peut encore en avoir une autre expression en cherchant le rectangle des côtés CQ, CP ; car les triangles semblables MAP, QCP, donnent

o. * CP -f- a )! CQ ï CP ; d’où l’on tire

CP X CQ = a(CP — CQ) = lar — ac ;

égalant donc cette expression à la précédente, il viendra , pour déterminer ri ,

2cri — 2r'“ = aari — ac , ou ri* — (c — a)/ — — •.

Cette équation est précisément pareille à celle que nous avons obtenue en r, avec la seule différence de signe du second terme , et elle aurait coïncidé avec elle, si , au lieu de représenter le rayon O'D' par -f- ri, nous l’eussions représenté par — ri, comme nous avions toute liberté de le faire. Ainsi , l’on voit que la seconde racine de l’équation en r étant prise avec un signe contraire, représente réellement le rayon du cercle qui touche extérieurement les triangles CPQ, CP'Q', comine nous l’avions annoncé. D’après cela , ayant ces rayons, il ne reste plus qu’à décrire autour des points O, O', les circonférences des cercles qui leur correspondent; et les' tangentes menées du point M à ces circonférences, seront les droites demandées,

lesquelles seront évidemment sujettes aux mêmes limi-r tâtions que notre premier mode de solution nous avait fait découvrir.

On arriverait encore à une équation qui ne serait que du second degré, si l’on prenait pour inconnue le sinus de l’angle CMP, ou CMP', fig. 27, formé par les droites symétriques MP, MP', avec la droite CM, et il est facile d’en voir la raison , en appliquant à cet angle les considérations générales exposées plus haut. Alors, en le représentant par u , et désignant CM par b , on trouverait

sm’u - sin u = -,

L’une des racines de cette équation se rapporte aux droites PQ, P'Q' ; l’autre aux droites P"Q", P*Q", comme on peut aisément s’en convaincre. Mais au lieu de nous arrêter à ce calcul, il sera préférable de donner l’exemple d’un cas dans lequel l’abaissement que le choix symétrique de l’inconnue aurait dû produire, est empêché par l’intervention des racines étrangères à celle que l’on a voulu trouver.

C’est ce qui arriverait, par exemple, si l’on choisissait pour inconnue la longueur totaleMPQouMP'Q', fig. 27, comptée à partir du point M ; longueur qui n’a cependant qu’une seule valeur pour les deux solutions MPQ, MP'Q' ; et qui n’en a non plus qu’une, mais différente de la précédente , pour les deux solutions MP''Q'', MP*Q"; de sorte qu’elle semble devoir dépendre d’une équation du second degré. Toutefois, si l’on cherche cette longueur, et qu’on la nomme z, les triangles semblable? MAP, QCP, donneront les deux proportions

mp : ma :: pq : cq, mq : ca :: pq : CP,

qui , en représentant toujours MA ou CA par a, et la longueur donnée PQ par c , deviennent :

z : a :: c : CQ; d’où cq = — ,

z — c ! a ;; c : CP; d’où CP = — .

il * T *■

Après quoi, formant la somme des carrés de CP et de CQ , et l’égalant au carré c*, pour exprimer que le triangle CPQ est rectangle, tout devient divisible par c’ , et il reste

équation qui , après être délivrée de ses dénominateurs , devient du quatrième degré en z.

La raison de cette bizarrerie apparente, c’est que la condition analytique exprimée par cette équation , convient encore , et tout aussi bien , à la détermination du segment MQ de la droite MPQ; car si l’on prenait ce segment pour inconnue , et qu’on l'exprimât par — z, comme on serait parfaitement le maître de le faire , on trouverait pour sa détermination précisément la même équation en z , que nous venons d’obtenir pour MP. Cela est même facile à voir immédiatement , car cette équation ne change pas quand on y change -f- z en z — c ; ce qui revient précisément à prendre' MQ au lieu de MC pour inconnue. A la vérité , le segment MQ n’ayant non plus qu’une seule valeur pour chaque couple de solutions, il ne dépendrait que d’une équation du second degré, si la condition qui le détermine pouvait s’énoncer isolément. Mais, se compliquant avec la condition relative à la ligne totale , qui à aussi deux valeurs , l’équation composée qui résulte de cette combinaison s’élève nécessairement au quatrième degré.

Néanmoins ,1a même raison de symétrie qui , dans notre première solution , nous a permis de séparer les couples de racines relatifs à un même groupe, aura encore ici un effet semblable ; car si , après avoir fait disparaître les dénominateurs de l’équation en z , on développe son premier membre , elle pourra être mise sous celte forme

Alors on voit que le produit z(z — c) , est réellement la seule fonction inconnue qui s’y trouve comprise ; de sorte que si l’on fait

z(z — e) = az' ,

z' étant une nouvelle inconnue, eelle-ci se trouvera déterminée par l’équation

z'a — a az' = c* ;

d’où l’on tire pour z' ces deux valeurs :

lesquelles sont précisément les mêmes que nous avons construites par les lignes MZ', MZ", dans la fig. 27. Maintenant, si nous employons la première, qui est positive , elle donnera à l’équation en z deux racines, l’une positive, représentant MP, et l’autre négative , représentant — MQ. Or, la condition généralement exprimée par cette équation, donne la proportion suivante :

Donc , si on l’applique à la racine positive MP ou + z , auquel cas MQ représente z — c , 011 voit qu’enjoignant les points P et Z', les deux triangles MZ'P, MBQ, doivent être semblables ; d’où il suit que le premier

DE GÉOMÉTRIE DÉTERMINÉS. 5g

sera rectangle en P, puisque le second l’est en B. Le point P appartiendra donc à la circonférence du cercle décrit sur MZ' comme diamètre ; et , puisque , par la nature du problème, il appartient aussi à la droite indéfinie AX , il devra se trouver à leur commune intersection. A la vérité , cette condition seule ne le dé- •terminerait pas complètement, puisque la droite AX a généralement deux points d’intersection P, P', avec la circonférence décrite sur MZ' ; mais les comparaisons des triangles sur lesquelles nous avons fondé l’équation en z, ne s’appliquent qu’aux seules sécantes qui coupent la droite CB entre les points C et B ; de sorte que, pour elles , AP doit surpasser AC, ce qui lève l’indétermination. La longueur AP étant ainsi connue, on pourrait aussitôt construire la sécante MQ', qui, d’après nos premières remarques , doit faire le même angle qu’elle avec la droite CM ; mais la chose se trouvera toute réalisée; en menant MP* au second point d’intersection de AX avec la circonférence ; car, en Vertu de la disposition symétrique de la figure , la seconde sécante MP' doit se trouver égale au segment MQ, ou à la racine négative de l’équation en z , prise avec un signe contraire. Cette relation est facile à vérifier par l’analyse, en formant immédiatement l’équation qui détermine cette seconde sécante, d’après la comparaison des triangles MQ'B, CP'Q' ; car en représentant MP' parz, cette équation se trouve être

c’est-à-dire, précisément la même que la précédente, en changeant -f- z en — z.

Jusqu’ici, nous n’avons employé que la valeur positive de l’inconnue auxiliaire z', valeur que nous avons construite par MZ' Maintenant, si nous employons de

6o PROBLÈMES

même la valeur négative MZ", en la désignant par — z“ , pour introduire explicitement son signe, l’équation en z deviendra

z(z — e) = — az *.

En la résolvant, on pourra voir que les deux racines, lorsqu’elles seront réelles , seront toutes deux positives , et moindres que c. Or, étant mise en proportion , cette équation donne

Alors, si on l’applique à une sécante telle que MP*, celle-ci étant supposée représenter z , l’autre segment MQ* représentera c — z ; la proportion montre donc que si l’on joint les points Z" et P", le triangle Z"P*M devra être semblable au triangle MBQ", et conséquemment, que l’angle en P* doit être droit. Cette condition place le point P* à l’intersection commune de la droite indéfinie AX' avec la circonférence décrite sur MZ" comme diamètre; et l’intersection de ces deux lignes donne aussi le point P" relatif à l’autre sécante, située dans l’angle X'CY, parce qu’en vertu de la symétrie de la figure , la longueur MP" de cette sécante se trouve égale à MQ*, ou au second segment de la précédente, qui est lui-même la seconde racine de l’équation en z.

20. Les nouvelles inconnues que nous avons choisies dans ces dernières façons de traiter le problème , nous conduisent donc , par une route toute différente , aux mêmes résultats que la première nous avait donnés. Cet accord doit avoir lieu , en effet , quelle que soit l’espèce d’inconnue que l’on choisisse ; mais il peut exister une très grande inégalité dans la manière plus ou moins simple dont elles le donnent. En général, les remarques que nous avons faites sur les causes qui çoin-

DE GÉOMÉTRIE DÉTERMINÉS. 6l

pliquent les équations dont les inconnues dépendent, montrent qu’il faut soigneusement éviter de choisjr pour inconnues des quantités dont la détermination conduit à la même équation que l’on obtiendrait en prenant pour inconnues d’autres quantités différentes d’elles ; ce qui arrive quand les unes et les autres ont des relations semblables avec les diverses données du problème. Alors il faut rejeter également toutes ces inconnues, et en prendre une qui en soit un élément commun, tel qu’en le connaissant, on puisse, par des constructions ou par des opérations simples, déterminer ensuite séparément les diverses inconnues. Car, toute l’indétermination qui compliquait la recherche algébrique de ces inconnues , n’existera plus pour l’élément unique dont il s’agit ; et , en conséquence , on pourra espérer de l’obtenir plus simplement qu’aucune d’elles. Mais c’est l’adresse seule de l’analyste qui, guidée par les considérations précédentes, peut lui indiquer un pareil choix dans chaque problème , et l’on ne saurait donner de règle fixe pour le prescrire.

21. Je vais confirmer ces réflexions par un dernier exemple, qui , en même temps qu’il achèvera de faire sentir leur justesse , aura l’avantage de montrer comment l’Algèbre , en rassemblant dans les mêmes équations des questions géométriques très diverses et en apparence très indépendantes les unes des autres, découvre ainsi entre elles des rapports généraux que l’exanien isolé de chaque question par la seule synthèse géométrique n’aurait jamais pu faire apercevoir.

Un point M, fig. 3o, est donné arbitrairement dans un angle connu ACB. On mène par ce point une droite quelconque MQP , terminée à la branche AC , considérée comme indéfinie ; puis , on demande d’exprimer analytiquement les relations qui existent entre les segmens MP, MQ, de la ligne sécante, et les parties

6?. PKOBLÉMES

CP, CQ, coupées sur les branches de l’angle, pour toutes les positions possibles du point donné M.

On voit que cet énoncé a beaucoup de rapport avec celui du problème que nous venons de résoudre ; mais il est beaucoup plus général , en ce qu’il n’assigne pas à la ligne sécante d’autre condition que d’être menée par le point M , et terminée à la branche XX' ; aussi ne suffit -il point pour la terminer entièrement. Mais, cela seul, qu’elle soit menée ainsi et ainsi limitée, établit déjà certaines relations entre les segmens formés, soit sur les branches de l’angle , soit sur la sécante même ; de sorte que ces relations, quand on les a généralement exprimées par l’analyse, deviennent des élé— mens de solutions communs à toutes les questions particulières dans lesquelles on achève de déterminer la sécante, en l’assujettissant à quelque nouvelle condition.

Or, cette nouvelle condition elle-même, quelle qu’elle puisse être, étant exprimée en analyse, se réduira toujours à établir quelque relation de plus , qui devra exister en même temps que les précédentes. Ainsi , en la combinant avec elles, on obtiendra la résolution du problème particulier qu’elle achève de définir, sans qu’il soit nullement besoin de recommencer pour ce cas les raisounemens généraux.

Établissons maintenant les données sur lesquelles ceux-ci reposent. Il faut d’abord fixer la position du point M dans l’angle ACB. On peut le faire de beaucoup de manières différentes. Une des plus simples , et que nous adopterons , consiste à mener par ce point deux droites parallèles aux deux branches de l’angle, et à prendre pour données les longueurs MA , MB, ou CA , CB . des côtés du parallélogramme ainsi formé. Il est visible, en effet', que ces deux lignes sont parfaitement disposées pour former avec les côtés de l’angle et la droite inscrite des triangles semblables, qui donne—

ront des rapports simples eutre les quantités dont on veut établir les relations. D’après cela , nous représenterons CA par a, CB par a', et nous les considérerons comme connues. Nous nommerons aussi AP, x\ CQ, x' ; MP, z ; MQ , a'. Ces quatre quantités seront les indéterminées du problème.

Cela posé , si l’on compare les deux triangles semblables MAP, QCP, ils donneront ces deux proportions :

ma : ap :: cq : cp, mp : ap :: mq : ac,

«' : x :: x ; x — a, z : x :: z : a -, d’où l’on tire

(il xx — a{x — a) , z'x = az. (2)

Il reste maintenant à exprimer que les trois droites CP , CQ , PQ , ou x — a, x', et z — z', constituent un triangle dans lequel l’angle PCQ a une grandeur connue, que nous désignerons par i; cela est facile, d’après le théorème de Géométrie qui donne le cosinus d’un angle quelconque d’un triangle en fonction des trois côtés. On aura ainsi .

cos i =

CPV CQ* — PQ’ 2.CP.CQ :

ou , remplaçant les signes par leurs expressions algébriques, et faisant disparaître le dénominateur.,

(3) x'1 + (a: — a)* — 2.x' {x — a) cos i=(z — z )*.

. 22. Les trois équations (1) , (2), (3), renferment

toutes les relations résultantes des conditions générales auxquelles est assujettie une sécante quelconque, menée du point M et terminée à la branche AC de l’angle QCP.

Ces équations renferment quatre indéterminées indé-

pendantes x, x , z et z\ Si l’on se donne entre ces quantités une équation de plus , qui sera l’expression de quelque condition nouvelle à laquelle la sécante MP devra satisfaire, on aura autant d’équations que d’inconnues; et par conséquent, chacune de celles-ci pourra être déterminée entièrement par l’élimination.

a3. Supposons , par exemple , que la nouvelle condition fut relative aux seuls segtnens formés sur les branches de l’angle ; alors l’équation qui l’exprimera, ne contiendra que x et x', sans z ni z' . On pourra donc la combiner immédiatement avec l’équation (i) ; et chacune des inconnues x, x', se trouvera complètement déterminée. Si l’on peut résoudre les équations qui les donnent, on connaîtra leurs valeurs, qili, substituées dans (2I et (3), donneront z et z'.

Par exemple, si la somme des deux segmensCP, CQ, doit être égale à une ligne donnée b , l’expression analytique de cette condition sera

et, en l’employant pour chasser x de l’équation (1), il viendra

équation tout en x' . Celle-ci , disposée sous la forme de produits, devient, en changeant les signes,

Alors on voit que \/ a b est l’ordonnée d’un cercle dont a -J- a -J- b est le diamètre , et dans lequel x' , , a + a -f- b — x ', sont les segmens coupés par l’ordonnée. On peut donc aisément construire x' d’après cette indication, et tel est l’objet de la fig. 3i , dans laquelle BD représente la ligne donnée b. D’abord . en décrivant un cercle sur CD comme diamètre , et me—

nant du point B l’ordonnée BH , ce sera l/ a' b. Alors , par le point H, menez à CB une parallèle, sur laquelle vous projetterez les points C et D, en C', D' par des perpendiculaires; puis, ajoutez D'A' égal A CA, C'A' sera le diamètre du cercle cherché. Il ne restera plus qu’à le décrire , et les points Q , Q', où il coupera la branche CB prolongée indéfiniment , seront ceux par lesquels il faudra mener les sécantes MQ, MQ', qui satisferont aux conditions analytiques exprimées par l’équation en x . On voit qu’elles seront au nombre de deux ; mais la première , qui donne CQ et CP, tous deux positifs, répond seule au problème géométrique proposé. La seconde ; qui donne CQ', positif, mais CP' ou x — a, négatif, répond au cas où l’on aurait demandé que la ligne b fût égale , non pas à la somme , mais à la différence des segmens CQ' et CP', ce dernier étant pris dans l’angle ACB , supplément de BCX.

Si l’on demandait que CQ — CP fût égale à cette même ligne b , on aurait pour condition analytique

x' — (x — a) = b ; ce qui conduirait à l’équation

x'a — (a' -f -b — a)x = — a' b, ou

La construction serait donc la même que tout à l’heure, avec cette seule différence , que le diamètre du second cercle serait C'D' — D'A', au lieu de C'D' -f- D'A' ; de sorte que, pour l’obtenir, il faudrait porter D'A' ou a, en sens contraire de ce que représente la fig. 3i.

24. Ou trouve dans plusieurs auteurs une autre question qui se résout avec la même facilité que les précédentes ; elle consiste à mener la sécante MP (fig. 3o) , 8* Edit. 5

sous une inclinaison telle , que la surface du triangle CQP soit égale à un carré donné h'.

Pour exprimer cette condition analytiquement, il faut considérer que si , du sommet Q du triangle CQP, on mène une perpendiculaire à la base CP , cette perpendiculaire , qui sera la hauteur- du triangle , aura pour longueur CQ sin i , ou x' sin i. La surface du triangle sera donc exprimée par j (x — a)x’ sin i; et si l’on veut qu’elle soit égale à h *, il faudra qu’on ait

i(x — a)x' sin i~h%, ou (x — a)x' — - — r.

*' sin t

Employant cette relation pour chasser x de l’équation , il vient

asmt asm i

On pourrait construire immédiatement cette équation par une sécante de cercle ; mais on obtiendra des résultats plus simples en la résolvant. Elle donne ainsi pour x ces deux valeurs :

a sin i h‘

a sin i

V a’ sin* i

V a’ sin’ i

2a h* a sin *’ 2a h“ a sin i

La partie commune aux deux racines peut aisément se construire. En effet , si, par lepointC(fig. 32), on mène une droite indéfinie A’CD, perpendiculaire à CB ou AM, la distance CA étant a, et l’angle A’ AC étant i , CA' sera a sin i. Alors, à partir du point C, prenez sur CY' la longueur CH égale à h, côté du carré donné, et menez HD perpendiculaire à A'H ; CD sera évidemment égal à

: ; et puisque cette partie est prise négativement

a sin »

dans les deux racines , on devra la porter dans ce sens

sur la ligne des x' ; c’est-à-dire en CD'. Or, cette quantité' étant connue , la construction du radical devient bien facile ; car on peut le mettre sous la forme

a sin ija sin i ’

où il n’exprime plus qu’une moyenne proportionnelle entre deux lignes connues . Alors , sur BY, prenez BB' égal à CB oua' ; puis, surD'B', comine diamètre, décrivez une circonférence de cercle, qui coupera quelque part en E la perpendiculaire A'CD indéfiniment prolongée. La corde D E sera la moyenne proportionnelle cherchée. 11 ne restera plus qu’à porter cette corde à partir du poiut D' sur la ligne des x , tant du côté positif que du côté négatif ; et par les points Q , Q', ainsi déterminés, menant du point M deux sécantes, MP, MP', les deux triangles CQP, CQ'P', qui en résulteront, satisferont également à la condition demandée, que leur surface soit égale au carré h7.

Ce problème servirait , si l’on demandait de partager un triangle donné CDE )fig. 33), en deux parties égales, ou généralement qui fussent entre elles comme m à n, au moyen d’une sécante menée d’un point donné M. En effet , dans ce cas, la surface CDE étant connue , si on la représente par s , celle du triangle CPQ devra

être — — — ; de sorte qu’en substituant cette quantité m -j- n a

au carré h* , on découvrira la sécante MQP qui y satisfait j et la subdivision proposée se trouvera effectuée , si le point P ainsi obtenu tombe en dedans de la base CE du triangle; autrement , elle sera impossible, du moins à partir de l’angle C ; et il faudra l’essayer de même à partir de l’angle D.

a5. Je- ne chercherai pas à multiplier davantage ces applications particulières; celles qui précèdent suffisent

pour montrer comment il faudrait employer toute autre relation qui serait donnée entre ret Chacun pourra aisément s’en proposer de nouveaux exemples, et il sera utile de s’exercer à eu construire élégamment les résultats. Je me bornerai ici à faire observer que ceux que nous venons d’obtenir, en supposant le poinlM extérieur à l’angle donné YCX ou i , s’appliquent également au cas où il serait supposé intérieur , pourvu que l’on introduise cette modification dans les formules et dans les constructions qui en dérivent ; ce qui consisterait à rendre a négatif dans les premières , et à porter dans les autres la ligne a en sens contraire de la direction suivant laquelle elle est employée dans les fig. 3 1 et 32. Eu appliquant, par exemple, cette in version au dernier problème (fig. 32), on verra qu’il offre ainsi des cas d’impossibilité qu’il ne comportait pas d’abord.

26. De même que les équations générales(i), (2), (3), de la page 63 , nous fournissent une relation entre les seuls segmen6 x — a etx' pris sur les branches de l’angle donné , elles nous peuvent donner aussi une relation entre les seuls segmens 2 et z', formés sur la sécante MQP. En effet, l’équation (2) donne déjà la valeur de x , exprimée en z et z . En substituant cette valeur dans l’équation (1) , on en tirera x' , exprimée de la même manière ; et au moyen de ces résultats , chassant x et x' de l’équation (3) , on aura une relation entre z et z'. En opérant ainsi , l’équation finale devient divisible par z — z', et il reste

2 aa

— r- cos t zz

Ainsi , dans le cas où la nature particulière de la question géométrique proposée fournirait une relation entre z et z" seuls, on pourrait la combiner directement avec celle-ci, et l’on en tirerait zet z par l’élimination.

DK GÉOMÉTRIE DÉTERMINÉS. 69

Toutefois , d’après les raisons exposées page 5^ , les solutions ainsi obtenues seront généralement plus compliquées que celles où l’on détermine d’abord les segmensx, x , formés sur les brandies de l’angle.

27. Toutes ces équations se simplifient et deviennent beaucoup plus faciles à traiter, lorsque les deux quantités a, a, deviennent égales entre elles, c’est-à-dire lorsque le point M se trouve placé à égale distance des deux branches CY, CX' de l’angle donné. Pour en offrir un exemple assez remarquable , je vais proposer de résoudre dans cette supposition, mais avec une valeur quelconque de l’angle BCX , le même problème que nous avons résolu, p 44> el* supposant cet angle droit; c’està-dire que je demanderai de mener la sécante MQP (fig. 3o), de manière que la partie PQ, interceptée entre les branches de l’angle, ait une longueur donnée c.

Cette condition exprimée eu analyse , donne immédiatement l’équation

qui , combinée avec celle que nous avons obtenue tout à l’heure entre z et z' , suffit pour déterminer ces deux inconnues. L’élimination conduit ainsi à une équation du quatrième degré en zou z', comme on devait s’y attendre ; mais, lorsqu’on suppose a = a', cette équation se laisse aisément résoudre en deux facteurs rationnels, en prenant pour inconnue le produit zz , comme dans la page 58. Néanmoins , on arrive à des résultats d’une discussion plus facile, en se servant de l’équation (3) page 63 , après en avoir chassé x’ par le moyeu de sa valeur prise dans l’équation (1). En effet, en effectuant cette élimination , et remplaçant z — z' par sa valeur c , qui est donnée , on trouve

a,%{x — ay x *

cos i = c*.

7 O PHOM.KMFS

Si l’on développe cette équation après avoir l'ait a — a , les termes peuvent se ranger dans l’ordre suivant :

at /a1 \ . /a* \

— + — 2û( f-x J — 2a cos i 1— -\-x J

~ ca — 4 a* cos * ;

ce qui revient à

^ — 2a(i -f cos *) x ^=c’ — 4a’ cos».

On voit donc qu’ici , comme dans la page 45 , on n’a

qu’à faire

et l’on aura pour déterminer Ç , l’équation

Ç1 — aa ( i + cos i ) Ç = c* — 4 a% cos i , qui , étant résolue , donne pour Ç les deux racines

4 = o(l 4- cos t) + + u‘(l — cos t)*f

Ç’ = a(i -f- cos ») — y/ c* -f- à‘(i — cos t-)’.

Ces expressions sont bien aisées à construire. En effet, si du point A (fig. 34), on mène la perpendiculaire indéfinie N’AM' sur la ligne MB prolongée aussi indéfiniment , Ta distance MM' sera a cos i ; et par conséquent, BM' sera a-f-acost, c’est-à-dire la partie commune des deux racines. Maintenant si , du point C, on mène de même , à BM , la perpendiculaire iudéfinie CGC', MG , sera a — acos i, ou a(i — cos i).

Donc , sfl’on prend sur le prolongement de cette perpendiculaire une longueur GC', égale à la ligne donnée C, l’hypoténuse MC' sera la partie radicale. Il ne reste plus qu’à porter cette hypoténuse à partir du point B sur la ligue MB , du côté des abscisses positives

DE GÉOMÉTRIE DÉTERMINÉS. ’Jl

en Z', et du côte des négatives en Z". Alors la première valeur de Ç se trouvera représentée par M'Z' ; et la seconde le sera par M'Z",

Maintenant, Ç étant connu, l’équation en x et £ devieut

x * — xÇ — — aa, et peut se mettre sous la forme

xiÇ — x) — a*;

d’où l’on voit qu’ici , comme dans le problème plus particulier de la page 46 , a représente l’ordonnée d’un cercle dont Ç est le diamètre, et x, Ç — x , les deux segmens coupés par l’ordonnée. Ayant donc pris sur M'A une longueur M'N' égale à a, on mènera par le point N' une parallèle à Z'MZ" ; puis , sur M'Z' et M'Z", comme diamètre, on décrira deux circonférences de cercle, dont les intersections avec cette parallèle donneront les valeurs cherchées de x, qu’il ne faudra plus que projeter sur la branche X'CX par des perpendiculaires. On aura ainsi généralement quatre valeurs de x, et par conséquent, quatre sécantes, qui satisferont aux conditions demandées ; mais avec cette particularité, que les deux solutions données par le cercle M'Z' seront toujours réelles, tandis que les solutions données par le cercle M'Z" pourront devenir imaginaires pour certaines limites de longueur de la ligne donnée. Tous ces résultats sont parfaitement analogues à ceux que nous avons trouvés, page 46, pour le cas particulier de l’angle droit, et l’on voit qu’ils n’ont pas été plus difficiles à construire.

28. Je termine ici ce chapitre, en faisant observer que les constructions géométriques doivent être considérées seulement comme un moyen élégant de peindre les solations des problèmes, et non pas comme un procédé suffisamment rigoureux pour trouver les valeurs