Les directions de la tangente et de la normale

ont , dans la parabole comme dans l’ellipse , des rapports remarquables avec celles des lignes mene'es du foyer au point de tangence : nous allons examiner ces analogies. Pour cela, du foyer F, où y ~ o ,

et x ( fig. 75 ) , menons une ligne droite qui passe

par le point de tangence , son équation sera de cette forme

et la condition de passer par le foyer, dont les coordonnées sont o et - , donnera

L’angle FMT, que cette droite fait avec la tangente à la parabole , a pour tangente trigonoinétrique

u — a 1 -j- au

En substituant , dans cette expression , pour a sa valeur qui est , et pour a celle que nous venons de trouver, observant de plus, que

y% = *px *,l

elle se réduit à ou à a ; d’où il suit que , dans la

parabole , V angle formé par la tangente, avec une droite ynenée du foyer au point de tangence , est égal à V angle de la tangente avec l'axe ; de sorte que le triangle FMT est toujours isoscèle. Conséquemment, lorsque le point de tangence M est donné, on n’a qu’à prendre sa distance MF au foyer de la parabole v

?8o DE LA PARABOLE .

puis la porter sur. l’axe de F vers T, et mener TM ; ce sera la tangente demandée.

20 g Si, par le point de tangence M, on mène une droite MF' parallèle à l’axe , la tangente , prolongée vers /, fera avec cette droite le mêmejangle MTF qu’elle forme avec l’axe en T ; d’où il suit que , dans la para hoir, les droites menées du point de tangence au foyer, et parallèlement à l'axe, font avec la tangente des angles égaux ; propriété qui devait naturellement résulter de ce que la parabole est une ellipse dont le grand axe est infini , et dont les foyers sont par conséquent infiniment éloignés l’un de l’autre.

210. De là résulte un moyen très simple de mener une tangente à la parabole par un point extérieur.

Soient ( fig. 75 ) G le point donné , F le foyer de la parabole , BL sa directrice.’ Du point G comme centre, avec un rayon égal à GF, on décrira une circonférence de cercle qui coupera la directrice en L et L'. De ces points on mènera LM, L'M' parallèles à l’axe; M, M' seront les points de tangence , et GM, GM’ les deux tangentes que l’on peut mener du point donné.

Car, par la nature de la parabole, ML = MF ; de plus , par construction , GF = GL : donc la droite MG a tous ses points également éloignés des points F, L, et ainsi elle est perpendiculaire à la ligne FL. Par conséquent l’angle LMG, ou son opposé /MF', égale l’angle GMF : donc la droite MG est tangente au point M. La démonstration est la même pour GM'.

Si l’on avait seulement besoin de la direction de la tangente, et que le point M dût être très éloigné, Userait plus commode de mener, du point donné G la droite GT, perpendiculaire à FL ; ce serait la tangente demandée.

Si l’on rapproche celte méthode de celle que nous

avons donnée (n° 160), pour mener une tangente à l’ellipse par un point extérieur, on verra qu’elles ne di fièrent l’une de l’autre qu’eu ce que , dans la parabole , le second foyer doit être considéré comme infiniment éloigné du premier ; ce qui rend parallèles à l’axe les lignes qui lui sont menées. La distance AB du sommet de la parabole à la directrice BL n’est autre chose que la différence des lignes F'B, F' A de l’ellipse ( fig. 72 ) , la première étant égale au grand axe AA' ; et voilà pourquoi AB = AF. La directrice BL, de la figure 7 5 représente donc, dans la parabole , la circonférence du cercle, qui serait décrite dans l’ellipse du point F% comme centre , avec le grand axe pour rayon circonférence qui devient une ligne droite, quand le point F' est infiniment éloigné. Alors le point L , où la circonférence décrite du point G , comme centre , avec GF pour rayon , rencontre la directrice BL , répond au point dans lequel cette même circonférence coupait la précédente dans l’ellipse -, et la ligne droite, menée par le point L parallèlement à l’axe, répond à celle que , dans l’eilipse , on mène au second foyer F' .

21 1. La propriété énoncée n° 208 peut servir encore pour mener à la parabole une tangente parallèle à une droite donnée ; car cette droite étant connue, on aura l’angle qu’elle forme avec l’axe de la parabole : représentons-le par i ; alors si MT f fig. 75) est la tangente cherchée, l’angle MTF devra aussi être égal à i. Mais, le triangle MFT étant isoscèle, Ton auraencoreTMF=t. Conséquemment l’angle supplémentaire MFX, sera égal à 2 i, comme extérieur au triangle MTF. Cet angle sera donc connu;, et, en le construisant , on aura la direction du rayon vecteur MF, qui , par son intersection avec la courbe , donnera le point de tangence M.

28a . DE LA PARABOLE.

212. Si l’on considère les cordes qui joignent les points où la parabole est touchée par chaque couple de tangentes menées d’un même point extérieur, les intersections de ces cordes offrent des propriétés absolument analogues à celles que nous avons trouvées pour le cercle et pour l’ellipse dans les n°* 122 et 161 .

En effet , pour chaque couple de tangentes menées d’un même point extérieur, dont les coordonnées sont x',y (Cg. 76), les coordonnées x" ,y" des deux points de tangence 'sont déterminées par la combinaison des équations •

(«/ y y — py + x') > y* = ^px" ■ w

On peut donc obtenir ces coordonnées par l’intersection de? lieux géométriques que ces équations représentent , en y considérant y et x" comme variables : alors la seconde est la parabole même à laquelle les tangentes sont menées ; et la première , qui est linéaire , appartient nécessairement à la droite indéfinie qui passe par les deux points de tangence.

Si l’on veut que cette droite passe aussi par un point donné O , dont les coordonnées soient a et b , il faudra que ces coordonnées étant prises pour x " et y", satisfassent à son équation , de sorte que l’on ait

by — p{a x'). (3)

Maintenant, si , sans changer a et b, on fait variera:' et y, de manière que cette condition soit toujours remplie , il est sûr que la corde qui en résultera passera toujours par le point donné , dont les coordonnées sont a et b. Or, ce mode de variation place le point de départ des tangentes sur la ligne droite représentée par l’équation (3), en y regardant x et y comme variables. Donc , si de tous les points de cette droite , que l’on peut construire d’après son équation >

011 mène deux tangentes à la parabole , et que , pour chaque couple pareil , on tracé la corde qui passe par les deux points de tangence , toutes ces cordes se couperont en un même point , qui sera celui dont les coordonnées sont a et b.

Si, par ce point commun d’intersection , l’on mène une droite OM , parallèle à l’axe de la parabole , son équation sera

en la combinant avec l’équation de cette courbe , qui est

•T* — i.px , /■ .iui -

on aura les coordonnées du point M où elle la coupe. Désignons-les par x , j-, il vient

Maintenant si l'on substitue ces valeurs pour x ", jr“ dans l’équation générale de la tangente

on aura l’équation particulière de la tangente TMT', menée à la parabole par le point M. Or cette équation sera

Si on la compare avec l’équation (3) , on trouve que les coefficiens des variables x et j" sont les mêmes dans l’une et dans l’autre. Par conséquent , la droite polaire que l’équation (3) représente , est parallèle à la tangente TMT'.

On a vu plus haut qu’en considérant jr”, x" comme variables , les deux points de contact des tangentes menées d’un point quelconque extérieur à la parabole

2®4 de la parabole.

sont situés sur la corde dont l’équation est

Or, si ce point extérieur était choisi de manière qu’il se trouvât en M', sur le prolongement de la droite OM dont l’équation est y = b , alors , y' serait égal à b ; et ainsi la corde HTM", représentée par l’équation (i), deviendrait parallèle à la droite polaire représentée par l’équation (3). Cette corde M'M® serait donc également parallèle à la tangente TMT', ce qui suffit pour la construire , puisqu’on sait d’ailleurs qu’elle doit passer par le point 0.

De lâ résulte une construction bien simple pour trouver la droite qui contient les sommets des couples de tangentes, quand on connaît le point de concours des cordes , et réciproquement. Car, si ce point est donné et désigné par 0 ( fig. 76 ) , menez d’abord la droite indéfinie OM, parallèlement à l’axe de la parabole ; ensuite , par le point M >où cette parallèle rencontre la courbe, menez à celle-ci une tangente TMT' ; puis, par le point donné 0, menez une corde M"M", parallèle à cette tangente ; enfin , par l’un des points M", M®, où cette corde coupe la parabole, menez à celte courbe une nouvelle tangente qui ira rencontrer la droite OM quelque part en M' ; alors, par le point M' ainsi déterminé , menez une droite LM'L parallèle à la tangente TT', ce sera la droite cherchée dont 0 est le pôle , en prenant ce mot de pôle dans l’acception qui lui a été donnée n° 122»

Réciproquement, si la droite LL est donnée, et que l’on veuille trouver son pôle , il faudra mener à la parabole une tangente qui lui soit parallèle , ce qui se fera par le procédé indiqué n° an. Le point de tangence M étant connu , on mènera par ce point une parallèle indéfinie MM' à Taxe de la parabole ;

DE LA PABABOLE. 2y5

el , par le point M', où elle coupera LL , on mènera à la parabole une tangente M'M". Enfin , du point de tangence M", on mènera une corde parallèle à la droite donnée LL, et le point 0 , où cette corde coupera la droite M'M indéfiniment prolongée, sera le point commun d’intersection des cordes pour tous les couples de tangentes qui aurout leur sommet sur la ligne LL.

Cette construction s’accorde évidemment avec celles que nous avons trouvées dans les n“ 122 et 161 soit pour le cercle, soit pour l’ellipse, et elle n’est que le développement des analogies qui existent entre ces courbes et la parabole.

Lorsque le point de concours 0 est donné sur l’axe de la parabole , la tangente TT', la corde M"M*, et par conséquent la droite polaire LL, deviennent perpendii ulaires à cet axe. Alors la soutangente étant double de l’abscisse , le point M' se trouve à une distance du sommet de la parabole, égale à l’abscisse du point 0. Il suit de là que la directrice de la parabole est la ligne polaire de son foyer.

De la Parabole rapportée à ses diamètres.

2t 3. Nous allons maintenant chercher les systèmes de coordonnées obliques , relativement auxquels l’équation de la parabole conserve la même forme que lorsqu’elle est rapportée à son axe. Pour cela , il faut reprendre les formules générales.

.t —a + * cas cos a , y=b+ jr’sin « + ysin

car il ne suffirait pas , comme on le verra tout à 1 heure , de changer la direction des coordonnées sans déplacer 1 origine. Ces valeurs étant substituées dans l’équation

y = *px,

elle devient

j''ïsinstt'4-2Tysiin«sin«' -f-a/’sinV-l-Æt* — 2 ap 1 4. 2(ôsin«' — p cos«')j-'-J-2(ôsin« — pcosx)x ] °"

Pour qu’elle conserve la forme qu’elle avait d’abord , il faut qu’on ait

sin«'sin«=o, sina«=o, Asin*' — pcosj»'=o, b* — iap—o, elle se réduit alors à

sin’«

La seconde des équations précédentes nous apprend que sin * = o , c’est-à-dire que l’axe des x est parallèle à* l’axe des x. Tous les diamètres de la parabole sont donc parallèles à son axe.

Les deux autres équations donnent

b%--ïap, tang x = t.

La première (fig. 77 ) montre que les coordonnées a et b de la nouvelle origine A' satisfont à l’équation de la parabole. Cette origine est donc elle-même un point de la courbe.

La seconde détermine l’inclinaison de l’axe des ÿ , relativement à l’axe des x; elle fait voir que cet axe est tangent à la parabole au point A'.

Pour plus de simplicité, nous supprimerons les accens des variables x' et jr’ , en nous rappelant toutefois qu’elles représentent des coordonnées obliques : nous

ferons , de plus , — — = p' ; ip sera le paramètre du

diamètre auquel la courbe est rapportée , et l’on aura

ai 4. Les deux valeurs dey, pour la même abscisse , étant égales et de signes contraires , chaque diamètre

divise les ordonne'es qui lui correspondent en deux parties e'gales.

2i5. La valeur précédente de tang «' donne

En substituant ce résultat dans l’expression de p' , on trouve

ou

/=2fl+p,

Or, on a vu, dans l’article 199; que a +?- est la dis-

tance du foyer de la parabole au point de la cotirbe dont l’abscisse, comptée du sommet sur l’axe, est égale à a. Ainsi , dans la parabole , le paramètre ctun diamètre quelconque est quadruple de la distance du foyer al’ origine de ce diamètre. Cette propriété subsiste également pour l’axe.

216. L’équation de la parabole étant de la même forme par rapport à ses diamètres que par rapport à son axe, les propriétés indépendantes de l’inclinaison des coordonnées seront communes dans ces différens systèmes.

Ainsi, pour décrire une parabole lorsque l’on connaît le paramètre d’un de ses diamètres et l’inclinaison des ordonnées correspondantes , on décrira une autre parabole sur ce diamètre pour axe avec le paramètre donné, et ensuite on inclinera convenablement les ordonnées de cette courbe, sans changer leur Iongueur.

217. Si x",y % sont les coordonnées d’un point quelconque de la courbe , on aura

jr"=2/>V;

et l’équation de la tangente à ce point sera de cette forme

Le système de ces formules est le même que dans l’art. ao3 ; et , comme il faut les combiner de la même manière, on en déduira un résultat analogue , qui sera

et l’équation de la tangente deviendra

yf = p'(x + x’).

Elle aura donc la même forme que lorsque la courbe est rapportée à son axe. Il en sera de même de l’expression de la soutangente , et l’on en déduira , comme dans le n° 20 5, qu’e//e est double de l’abscisse correspondante. L’abscisse est alors comptée sur le diamètre, à partir du point où il coupe la courbe.

11 suit de là que pour mener, par un point donné M de la parabole ,' une tangente à cette courbe (fig. 78), il fâut construire l’ordonnée PM au diamètre A'X', qui peut être quelconque, puis prendre A'T=A'P, et mener MT : ce sera la tangente demandée.

En prenant une marche inverse de celle que nous avons suivie, il serait facile de rapporter la parabole à son axe quand on a son équation rapportée à un de ses diamètres. Comme cela n’a aucune difficulté, nous ne nous y arrêterons pas.

Sur l’Équation polaire de la Parabole, et sur la mesure de la surface.

218. Tous les diamètres de la parabole étant parallèles à son axe , ou ne gagnerait rien à la rapporter à l’un d’eux , plutôt qu’à l’axe, avant de la transformer

vn coordonnées angulaires. Reprenons donc son équation relative à l’axe, qui est

jr‘ = ^px;

puis , représentons par x', y' , les coordonnées rectilignes AP'jP'O du point 0 (fig. 79), où l’on veut placer le pôle des coordonnées angulaires. De ce pôle, menons à un point quelconque delà courbe, un rayon vecteur OM, que nous nommerons r, et désignons par e l’angle MOX' formé par ce rayon avec une ligne fixe et donnée OX', laquelle forme elle-même un angle « avec l’axe AX de la parabole. Les formules générales de l’article 100, deviendront applicables à ces constructions , et donneront pour les valeurs des anciennes coordonnées xy y , en fonction des nouvelles ,

x==ar,-l-rcos(v +■<*), y— y' -4-rsin (*>+•«).

Substituant dans^l’équation de la courbe, il vient sin*(e+«) r“-t-2 [j-'sin (e-f-^-^pcos^-h»)] r+y'*~—2px'= o

C’est l’équation polaire la plus générale de la parabole. Ainsi , en lui comparant terme à terme une équation polaire du second degré , qui serait supposée appartenir à cette courbé , on verrait si l’identité est réelle ; et dans le cas où elle aurait lieu , la comparaison des coefficiens déterminerait a:' * , elp, c’est-à-dire

les coordonnées du sommet de la parabole , la direction de son axe par rapport à la ligne fixe OX' et son paramètre : cette comparaison est tellement facile, que nous ne nous y arrêterons point, et nous -chercherons plutôt à appliquer l’équation à quelques cas simples, dont la discussion achève de compléter ce que nous avons déjà dit précédemment sur l’emploi des coordonnées polaires.

219. Nous choisirons ponr un de ces cas celui où la b* Edit. 19

2g0 DE LA PARABOLE.

ligne OX', à partir de laquelle le» angles se comptent, serait parallèle à l’axe même de la parabole (fig. 80). Dans ce cas, «est nul, et l’équation en r et v devient ' simplement

r*sin* P-f- 2(j'/sinp — /> cos v)r+y* — ipx'=o.

Si le pôle est sur la courbe même , on a y*— 2/>x' = o;

alors une des valeurs de r est nulle, et l’autre devient

•x(p cos v — y sin v) r - — . . •

sm’ v

Si cette seconde valeur de r était nulle , le rayon vecteur serait tangent à la courbe ; pour cela , il faudrait qu’on fît

p cos v— y sinv=o,

ou

tang‘,=y;

en effet , ceci est la relation trouvée fems le n° 2o3 pour l’inclinaison de la tangente sur l’axe.

Reprenons l’équation générale en r*, et supposons quel’on y fasse seulementy =o ; le pôle sera alors placé sur l’axe de la parabole, et l’équation en r deviendra

r* sin* v — 2 p eos v. r = 2 px\ qui donne pour r ces deux valeurs ,

p co s v db \ / 2 pxr sin* v ±r cos’v

sin’ v *

La quantité comprise sous le radical peut se mettre sous la forme M%\hpî- - '

elle ne peut pas devenir indépendante de v, à moins que l’on ne fasse

DE I.A PARABOLE. 2g t

ce qui met Poriginc des rayons vecteurs au foyer de la parabole. C'est donc dans ce cas seulement que le rayon vecteur peut être exprimé rationnellement en fonction de l'abscisse. Alors , la partie radicale de r devient «in* t» -J- />’ cos’ v, ou v/p“; ce qui rend l’extraction possible, et il en résulte ces deux racines : .

r—P (ço»i/4- i) r ±=.j>(cpsy—i): ,

sin" i> sin* v

. ,,'J | •! .. ff. ni

C est à quoi l’on aurait pu, parvenir! directement , en, mettant tout de suite dans l’équation générale relative

aux coordonnées angulaires, les valeursj-sso, x'=^,

qui placent l’origine de ce système au foyer de la courbe. Maintenant, de ces deux valeurs de r, la seconde doit être rejetée ; car toutes les valeurs possibles d’un cosinus étant moindres que i, cos v — i sera toujours négatif, et donnera son ligne au rayon vecteur r. Reste donc la première valeur. Pour celle-ci , on voit , par le même principe, qu’elle donnera toujours r positif, quel que soit y. On peut la simplifier en observant que sin’ v est égal à i — cos’ v, ou au produit (1 -f-cosi')(i — cos v) ; de sorte qu’en supprimant le facteur commun t -f-cos v, il reste

t — cos V ’

c’est l’équation polaire de la parabole, en plaçant l’origine au foyer, df cette courbe , et comptant les angles v, A partir de l’axe , du côté où il s’étend indéfiniment. Aussi v tsao donne-t-il r infini , parce que le rayon vecteur r se confondant alors avec cette partie infinie de l’axe, ne rencontre pas la courbe. Mail toute autre valeur de v, depuis o° jusqu’à 36o°, don-

nera de» valeurs finies pour r. Quand v = go°, cos v est nul, eir=p -, quand k = i8o°, cos k = — i, et

r — -. En effet, dans le premier cas, le rayon vecteur

est l’ordonnée qui passe par le foyer, et que nous avons vue être égale au demi-paramètre. Dans le second, r est la distance du foyer au sommet de la courbe ;

distance que nous avons vue être égale à ^ ou au quart

de ce même paramètre. En général , l’équation polaire renferme toutes les propriétés de la courbe , et les donnerait par la discussion.

220. Cette équation aurait pu sedéduirede l’équation polaire de l’ellipse convenablement modifiée. En effet, en plaçant l’origine des rayons vecteurs au foyer P fig. 57, et comptant les angles v, à partir du sommet le plus éloigné de l’eU^e , nous avons trouvé, n° i85

— ecos v

Pour faire coïncider cette équation avec celle de la parabole, il suffit de faire

et de supposer ensuite. Ainfini , d’où e == 1 ; ce qui allonge indéfiniment l’ellipse. Ces deux modifications sont faciles à interpréter géométriquement. En effet, la quantité A (1 — e’) est le produit des deux facteurs A (i ■*— e)fet 1 -f- e; dont le premier (n° 197)» représente la distance du sommet de l’ellipse gau foyer le plus proche. Ainsi quand on suppose à la fois A infini et e = 1, dans le produit A (1 — e4), on obtient simplement le double de Cette distance dans la parabole ; ce qui donne encore une quantité finie.