Jusqu’à présent nous avons tiré de la seule

équatiou de la parabole les propriétés qui la caractérisent : réciproquement, ces propriétés nous conduiraient à l’équation de cette courbe.

Proposons-nous, par exemple, de trouver une courbe telle , que les distances de chacun de ses points à une droite et à un point donné soient égales entre elles.

Soient (fig. 81) F le point donné, BL la droite donnée. Prenons pour axe des abscisses la ligne FB, perpendiculaire à BL, et plaçons l’origiue au point A, milieu de BF, que -nous ferons égal à p ; les ordonnées seront parallèles à la droite BL.

Pour chaque point M qui appartiendra à la courbe cherchée , nous aurons , en nommant r la ligne FM ,

Éliminant r, il viendra <'

équation à la parabole.

Cette courbe était également caractérisée par l’équation -, ,, „ ,

car les distances r étant variables en même temps que l’abscisse xi peuvent convenir successivement à tous ses points , et se détermineront pour chacun d’eux dès que x sera connu.

22a. Si nous transportons l’origine des x au loyer F, pour lequel

il faudra, en nCnnmant x les nouvelles abscisses ,

a itiK -tta' ;

394 de la parabole.

qu’on ait

valeur qui , étant substituée pour x, donne r = x' -\-p.

223. Si l’on introduit, au lieu de l’abscisse x', l’angle MFX que forme le rayon vecteur avec l’axe du côté où celui-ci s’étend à l’infini, on aura

x' = r cos v,

et l’équation précédente devient

d’où l’on tire

1 — cos *>

C’est la même équation que nous avons déjà obtenue plus baut.

224. Quoique l’aire totale comprise entre les branches de la parabole soit indéfinie , on peut cependant évaluer d’une manière algébrique une portion quelconque de cette aire comprise entre des limites données d’abscisses.

Considérons , en effet (fig. 82), le segment parabolique APM terminé par l’abscisse AP comptée sur l’axé , et par l’ordonnée PM ou y* Si l’on mène les droites MQ , AQ , la première parallèle , la seconde perpendiculaire à l’axe , on formera le rectangle APQM, dans lequel l’aire du segment parabolique APM se trouvera comprise, et cette aire sera égale aux deux tiers du rectangle, comme nous allons le de'montrer.

Pour cela , concevons un polygone rectiligne quelconque MM'M"... inscrit à la parabole ; des sonuapts çe polygone , menons des parallèles aux lignes Al-^et

PM , elles représenteront les abscisses et les ordonnées de ces sommets : ces lignes , prolongées , formeront les rectangles PP'/>M', P'P'j/M"... qui seront intérieurs à la parabole, et les rectangles QQ'yM', Q'Q'y'M'... qui lui seront extérieurs. En représentant les premiers par P,P',P%.., les derniers par ou aura P=y (*—*'), p=x'{j— /);

ce qui donne

or les points MM'. à. appartiennent à la parabole : ainsi on a

y = *px, y =2px';

ce qui donne

en substituant ces valeurs, le rapport de P à p devient

p y(y-ya)^jr-i-y

p y*y— yi y

Les mêmes raisonnemens pouvant s’appliquer successivement à tous les côtés du polygone , on aura cette suite d’équations

etc.

Le polygone MM'M'... étant absolument arbitraire , on peut espacer ses sommets de manière qu'en désignant par « une constante quelconque prise à volonté,

on «il toujours '

et ainsi de suite : cela revient à faire décrpjtreT-, y, jr'....y suivant une progression géométrique. D’après cette supposition très permise , les rapports précédens deviennent

c’est-à-dire qu’ils seront tous égaux entre eux , quelle que soit la valeur de « : on aura donc aussi , en composant ces rapports

P -|- p’’ + P" -4. etc.

P + p' Hr p" ■+■ . • • etc. ~ 2 *’

Le numérateur du premier membre est la somme des rectangles inscrits à la, parabole ; le dénominateur est la somme des rectangles circonscrits. A mesure que u diminue , le rapport de ces quantités approche de plus eu plus d’être égal à 2; et l’on peut prendre « si petit, que la différence soit moindre que toute quantité donnée : mais en même temps la somme des rectangles approche de plus en plus d’être égale aux segmens curvilignes inscrits et circonscrits à la parabole. Par conséquent , la limite de leur rapport est égale au rapport de ces segmens ; et ainsi, en représentant le segment inscrit par S, le circonscrit par s, 011 aura

DE l’hïPERBOLE. , 2f)7

ce qui dqnne

et enfin , en divisant ces équations membre à membre ,

S -f- s est la somme des segmens inscrits et circonscrits à la parabole : c’est par conséquent la surface du rectangle APMQ. Ainsi l'aire du segment parabolique APM est les deux tiers du rectangle construit sur l abscisse AP et l'ordonnée PM.

22Ô. Les courbes, qui sont telles que l’on peut assigner ainsi, algébriquement la valeur d’une portion quelconque de leur aire , se nomment courbes quarrables. On voit que la parabole est de ce nombre. Il n’en est pas de même de l’ellipse, dont l’aire renferme l’expression de la circonférence du cercle.

De l’Hyperbole.

226. En prenant sur qrje des génératrices d’un cône droit, à base circulaire, une distance arbitraire a , à partir du centre, et menant par ce point un plan coupant incliné de l’angle i sur la génératrice , nous avons trouvé pour l’équation de l’intersection

y cos’p-J- ars sin i sin (1 -j- 2v) — oursin 20 sin i zz p.

Lorsque l’angle i surpasse 1 80 — 10, ce qui rend i -f- ai> plus grand que 180° et sin (f -f- av) négatif, nous avons vu que le plan coupant rencontre les deux nappes de la surface conique, et donne généralement pour intersection une courbe appelée hyperbole, laquelle est composée de deux brandies séparées , qui s’étendent indéfiniment sur chaque nappe du cône. Nous

allons discuter en particulier les propriétés de ce genre de courbe.

Pour avoir les points où elle coupe l’axe des x , faisons j»- == o : le premier terme disparait ; tous les autres sont divisibles par sin » ; et, en supprimant ce facteur, il reste

x' sin (j -f- ai») — ax sin 2v = o ;

ce qui donne pour x deux valeurs

asm

^ ' sin ( J + nv) ’

c’est-à-dire que cela a lieu dans deux' points diffé— rens, dont l’un B (fig. 85) est l’origine même des coordonnées, et l’autre B' est situé sur l’axe des abscisses, à une distance de cette origine égale à

a sin 7.v ....

- — -, et par conséquent négative, puisque

sin (i -f- 2i>) est négatif dans les limites de direction que nous avons assignées au plan coupant.

En faisant x = o, on aura les points où la courbe coupe l’axe des^ ; cette supposition donne

c’est-à-dire que cela n’a lieu que dans un seul point,

3ui est l’origine des coordonnées ; mais comme les eux ordonnées s’y réunissent , l’axe desj' est tangentà la courbe.

Résolvons maintenant l’équation par rapport kj, nous aurons

j=t± l/ — a?’ sin i sin (* +2 v) -j- ax sin iv sin i.

Les valeurs de y étant égales et de signe contraire, la courbe est symétrique au-dessus et au-dessous de l’axe des x.

Comme le facteur sin (t -f- w) est négatif, le terme — a:1 sin zsin (t 4- iv) sera toujours positif, quel que soit x ; mais le signe du second terme pourra varier. Cependant, lorsque x sera positif, ce terme sera egalement positif; ainsi la quantité radicale sera alors réelle, quel que soit x, et la courbe s’étendra dans ce sens indéfiniment. Mais il n’en sera pas de même du côté des x négatifs. En effet, lorsque x deviendra négatif, et commencera à croître dans ce nouveau sens, vers BX', le terme axsin i sin 2v>, devenu négatif, l’emportera d’abord sur le terme — x* sin i sin (j-f-av), qui reste toujours positif ; de sorte que la partie radicale de l’expression de^ deviendra imaginaire, l'our bien voir les limites dans lesquelles cela aura lieu, il n’y a qu’à mettre cette expression sous la forme suivante,

1 / ...... . a sin 2P ~j

J cos v V v ' L sm(t-f-2p)J

Dans la supposition actuellement faite sur i -f- 2^ le produit — sin t sin (1 + 21») a toujours une valeur constante et positive ; il suffira donc de considérer les variations de signe qui peuvent provenir des autres facteurs. Or le premier de ces facteurs étant x lui-même , devient négatif avec cette variable ; mais quant au se-

. a sin 2p ...

cond , comine : — y. est une quantité post-

. sin (1 -f- 2p) 1 r

tivé , il ne peut devenir négatif, à moins que la valeur négative attribuée à x ne surpasse cette quantité ; et pour toutes les valeurs plus petites de x, il sera positif, ce qui rendra toute la quantité affectée du radical négative , et y imaginaire. On voit donc que cette imaginante subsistera du côté des abscisses négatives depuis

x = o, jusqu’à x

a sin

sin (1 -f- 21/) ’

3oo

DE l’hyperbole.

c’est-à-dire depuis B jusqu’à B'. Mais pour toutes les valeurs négatives de x, plus grandes que cette seconde limite, les deux facteurs variables qui entrent sous le radical seront tous deux négatifs, et donneront par conséquent un produit positif ; de sorte que y redeviendra réelle pour toutes ces valeurs. Ainsi, à partir de ce terme , qui répond au point B', la courbe s’étendra Indéfiniment , tant au-dessus qu’au-dessous de l’axe des abscisses, comme elle le faisait du côté des x positifs , à partir du point B.

Il résulte de cette discussion que l’hyperbole est une courbe composée de deux parties séparées, telle que la représente la figure 85, où l’origine des coordonnées est supposée placée au point B. Nous avions , en effet, prévu cette forme, d’après la disposition du plan coupant dans le cône (fig. 36 et 37).

Si l’on considère, dans ces mêmes figures , le triangle BB'C , où la ligne BB' est la partie de l’axe des x comprise entre les deuk nappes du cône, il est évident que l’on a l’angle CBB' = 180 — i, et l’angle BCB' = 1808 — 2v\ conséquemment le troisième angle CB'B = i -f- iv -, — 180°. De plus, nous avons désigné par a le côté CB de çe même triangle. On pourra donc obtenir BB', en établissant la proportion des sinus aux côtés opposés, et en le faisant, on trouvera