BB

a sin 2v sin (j 2v) ’

Ce qui est précisément la valeur trouvée plus haut, pour la distance des deux sommets de la courbe ; cette distance se nomme le premier axe, ou l’axe réel de l’hyperbole. ^

227. Transportons l’origine des coordonnées en A au milieu de l’axe BB' (fig. 85). Soit AP une nouvelle ab-

DE l’hTPERBOI.E. 3oi

cisse quelconque, que nous nommerons -f- x' , et qui sera comptée positivement dans le thème sens que les premières BP, nous aurons

a sin ( i -f- zv) ’

et en remplaçant x par cette valeur, il viendra après les re'ductions

y* cos’ v -f- sin f sin (i -f- iv)x,'x =

a’ sin i sin* v cos* v sin ( ? -f- av) . ’

équation précisément pareille à celle que nous avons trouJSf n° l3®> Pour l’ellipse, avec cette seule différenclwque le produit sin i sin (14-2^), qui forme le coefficient de x *, était alors positif, comme celui de J3 , tandis que dans le cas actuel il est négatif.

En faisant y = o , on trouve

, . asinvcost»)

x = rfc -

sin ( i -f- a*».) ’

ou, ce qui est la même chose,

, a sin ai»

2Sin (i + 2v)’

valeur égale a la moitié de la distance BB’, comme on devait évidemment le.préyoir; mais, en faisant a/ = o , on trouve

. . / sin i

r — ±a sin - .

V sin (t -f- 2i<) ’

valeurs nécessairement imaginaires, puisque sin(i-f av) est une quantité négative, et que sin i, au contraire,' est toujours positif dans toutes les positions du plan coupant. Ce résultat pouvait encore se prévoir aiséJment, puisque nous avons reconnu tout à l’heure que la Courbe n’a pas d’ordonfiées réelles entre les points B et B' (fig. 85.) Malgré cette circonstance,

3oa de l’hyperbole.

l’équation de l’hyperbole prend, comme celle de l'ellipse; une Tonne très élégante lorsqu’on fait

. . a'sinVcosV a*sin*psinr

Aa = T, et B* ;

sin’( i -f- 2p) sm( i -f- iv)

car en multipliant les deux membres de l’équation par le facteur

n’sinV

sin’(T -f- 2p)

on trouve, après avoir supprimé les accens devenus désormais Inutiles ,

k'f1 — B*ar* = — A‘B\

Les quantités ?.A , 2B , se nomment les axes de l'hyperbole , quoiqu’en effet cette courbe ne détermine géométriquement, par son intersection, que le premier d’entre eux. Le point A est le centre de la courbe. Lorsque l’équation de l’hyperbole se trouve ramenée à cette forme, les coordonnées étant rectangulaires, on dit qu’elle est rapportée au centre et à ses axes. Toute ligne menée par le centre, et terminée à la courbe, se nomme un diamètre , et il résulte de la forme symétrique de l’hyperbole, que tous les diamètres se trouvent divisés par le centre en deux parties égales.

228. L’équation de l’ellipse , rapportée aussi à ses axes et au centre, est

Ay> + B'x* = A*B*.

En la comparant à celle de l’hyperbole , on voit que, pour passer de l'une à Vautre , il suffit de changer B en B V — 1 î cela 651 en effet évident d’après la comparaison des valeurs que nous avons attribuées à B* dans ces deux courbes, puisqu’elles ne diffèrent l’une de l’autre que par le signe; mais cette analogie très simple est importante par la facilité qu’elle donne pour

de l’hyperbole. 3o3

passer des propriétés de l’ellipse à celles de l’hyperbole , et réciproquement.

Ce que nous avons vu relativement à la marche des ordonnées dans les deux courbes, est une suite de cette loi ; car, si l’on considère une hyperbole et une ellipse dont les axes seraient les mêmes , et qu’on superpose ces axes , l’ellipse se trouvera comprise tout entière dans les limites entre lesquelles l’hyperbole devient imaginaire; et réciproquement, l’hyperbole aura des ordonnées réelles pour toutes les abscisses auxquelles l’ellipse ne s’étend point.

Lorsque les deux axes de l’hyperbole sont égaux entre eux , son équation devient

y1 — x* = — Aa :

on dit alors qu'elle est équilal'ere.

• Lorsque les deux axes de l’ellipse sont égaux , son équation devient

et elle se réduit à un cercle. L’hyperbole équilatère est donc, entre les hyperboles ordinaires, ce qu’est le cercle entre les ellipses.

22g. Si par le point B', pour lequel y = o , et x — — A (fig. 86), on mène une ligne droite inclinée d’une manière quelconque, elle aura pour équation.

Si par le point B , pour lequel j1, =0, et x — -4- A , on mène une ligne droite pareillement inclinée d’une manière quelconque , elle aura pour équation

jr— a' (x — A).

Pour que ces deux droites se coupent sur l’hyperbole, il faut que leurs équations puissent subsister en même temps, et avec celle de cette courbe. Or,

3o4 i>e i.’hïpekbole.

en les multipliant membre à membre, elles donnent

jr* = ad (j:’ — A’) ;

et, pour que ce résultat s’accorde avec l’équation de l’hyperbole mise sous cette forme

il faut qu’on ait

ceci établit donc une relation constante entre les angles que forment avec le grand axe les lignes menées des deux sommets de la courbe à un de scs points. 11 en résulte que ces angles ont toujours leurs tangentes trigonomélriques de meme signe.

Lorsque l'hyperbole est équilatère, A=B, il vientalors

aa'srs i ;

c’est-à-dire que , dans l’hyperbole équilatère, les droites menées du même point de la courbe aux extrémités du grand axe , font cOec lui des angles aigus , dont r ouverture est dirigée dans le même sens, et dont la somme est égale à un angle droit.

Les droites, menées de la même manière dans le cercle , font aussi avec l’axe des angles aigus dont la somme est égale à uir droit ; mais leurs ouvertures sont dirigées dans des sens contraires.

a3o. Si l’on introduit les expressions des axes A et B dans l’équation de l’hyperbole du n° 226, où l’origine était au sommet , en prenant pour A la valeur a sine cos e

posittve — gin (t -fiv) ’ eUe devient

-Jj, (‘'I -f- 2A.r),

DE l’hyperbole.

et peut se mettre sous la forme B*

y* — ji(* + 2À)*.

x et x -f- 2 A sont les distances du pied de l’ordonne'e PM aux sommets B et B' de la courbe (fig. 85). Ou. voit donc , par cette équation , que les carrés des ordonnées sont entre eux comme les produits de ces distances. On aurait pu tirer directement ce résultat de l’équation rapportée au centre; car, soient x,jr-, x',jé, les coordonnées de deux points quelconques situés sur la même hyperbole ; on aura , pour le premier,

pour le second,

Divisant ces équations membre à membre , on aura

ou , ce qui est la même chose ,

qui exprime la propriété que nous venons de démontrer en transportant l’origine au sommet de la courbe.

a3 1. En changeant les x en jr, et les y en x , dans l’équation

A y — Bax’ = — AaB%

elle devient

A'x1 — By = — A’B*, ou Sy-AVsa A*B*.

Cette transformation n’influant que sur le choix des 8* Édit. 20

30g de l’btpeksolk.

axes l’équation précédente doit encore appa» tenir à la même hyperbole ; et l’on peut aisément le vérifier en la discutant. Mais, ici, la supposition de ,r = o donne r réelle; etj-=o donne * imaginaire, parce aue la courbe rencontre le nouvel axe des ordonnées, et ne rencontre point l’axe des abscisses : elle est alors «lacée comme le représente la courbe ponctuée de la figure 86, son premier axe étant bb< . Dans cette situation , on dit qu’elle est rapportée à son second axe, narce que c’est sur celui-ci que les abscisses sont comptées. On voit qu’il n’en eSt pas de l’hyperbole comme de l’ellipse , dont l’équation garde la même forme , quel que soit celui de ses axes qu’on prenne pour axe des abscisses , et cela vient de ce que l’ellipse est symétrique par rapport à ses deux axes , au heu que l’hyperbole ne l’est pas relativement aux siens, puisqu’elle n’en rencontre qu’un seul.

23a. L’analogie de ces deux courbes nous conduit ' naturellement à chercher s’il n’existe pas dans 1 hyperbole des points correspondans aux foyers de 1 el hpse. Pour les découvrir , rappelons-nous que, dans 1 ellipse, leur abscisse avait pour valeur ±. V A1— B* : ce sera donc ±: pour l’hyperbole , en changeant B

enB j/Zrr. En effet, si l’on suppose , pour plus de

simplicité , ______

et qu’on prenne deux points F, F' sur l’axe (Dg. 87), à cette distance du centre de l’hyperbole, on trouve

fm- = + (« - •>• = r- <*’- *■>+*■- “* + e' ;

d’où l’on tire , après les réductions faites ;