f- cos v
c’est l'équation polaire de la parabole. On voit d’après cela que l’équation polaire
A( i — e*) t -h e cos v
peut représenter en général toutes les' sections coniques, pourvu que les deux constantes A, e, y soient modifiées convenablement. Sous cette forme elle est fort employée dans l’Astronomie.
a63. En reprenant ici la même marche que nous avons suivie pour l’ellipse, nçus pouvons déduire l’équation de l’iiyperbole d’une seule des circonstances qui la caractérisent.
Proposons-nous, par exemple , de trouver une courbe telle, que la différence des distances de chacun de ses points, à deux points donnés, soit constante et égale à 2 A.
Soient F, F', les points donnés ( fig. 97 ). Plaçons l’origine en A, au milieu de la droite FF', que nous ferons égale à 2C; et, supposant que M soit un point de la courbe dont les coordonnées AP, PM, seront représentées par x et y, nommons r et /, les distances 8' Edit. aa <
338 de l’hyperbole.
FM , F'M ; nous aurons :
r»==r*-f (x— c)a, ra=j-‘ 4-(x4-f)% r — r=2À. En opérantici comme dans l’ellipse, on trouvera d’abord r1 + /* = a( ra + + O . r'* — r* — t(cx,
et par suite #
„ . cx
Substituant ces valeurs de r et r' dans [r1-}-/*, il vient
qui peut se mettre sous la forme
Aa (j"1 4- ■*’) — c’xa = Aa(A* — c’).
Cette forme est exactement la mcine que nous avons trouvée précédemment pour l’ellipse n° 187. En supposant x nul , elle donne
ja = Aa — ca.
C’est le carré de l’ordonnée y qui passe par 1 origine des coordonnées^ et x. Mais , dans le cas actuel , où c est nécessairement 'plus grand que A , cette ordonnée est imaginaire , et peut être représentée par B V — r, B étant une quantité réelle. On a donc, par cette substitution ,
• ca = Aa + Ba;
et il en résulte l’équation
— BV = — AaBa ,
qui est celle de l’hyperbole rapportée au centre et à ses axes.
264. On pourrait, au moyen de ce qui précède, et en plaçant l’origine des x à l’un des foyers, former pour l’hyperbole une équation polaire analogue à celle
DE l’hyperbole. 33g
que nous avons obtenue précédemment. En effet , si l’on reprend l’équation
ex
et que l’on transporte l’origine des x au foyer F, d’où les rayons r émanent, on aura, en substituant x'-f-c pour x
Les nouvelles abscisses x' sont comptées, à partir du foyer F, dans le même sens que les précédentes , c’està-dire qu’elles sont positives dans le sens FX, en s’éloignant du sommet de la courbe , et négatives dans le sens opposé. Introduisons, au lieu de l’abscisse x' l’angle MFP formé par le rayon vecteur FM , et le prolongement du grand axe du côté des abscisses positives : 'en nommant cet angle y , le triangle MFP rectangle en P, donnera
x' =z r cos y.
Substituons maintenant cette valeur dans
r zsz — A -J-
l’équation
et faisons comme pour l’ellipse = e, ce qui rendra
ici e plus grand que l’unité , puisque c est plus grand que A dans l’hyperbole ; nous aurons alors
i — e cos v
Cette équation est analogue à celle que nous avons trouvée n® 1 90 pour l’ellipse ; mais cependant avec cette différence remarquable, que l’équation polaire de 1 ellipse donnait tous les points de cette courbe, en substituant a 1 angle v toutes les valeurs , depuis o
aa. .
3^6 DlSCl'SSfOK
jusqu’à 36 o® ; au lieu que , dans le cas de l’byperbole, l’équation polaire que nous venons d’obtenir n’appartient qu’à la branche MBM' que nous avions considérée , et qui est située du côté des abscisses positives.
265. Nous avons vu que l’hyperbole équilatère est, par rapport aux autres hyperboles , ce qu’est le cercle par rapport aux ellipses. En appliquant ici ce que nous avons dit à la fin de l’article 191 , on pourra comparer l’aire d’une portion déterminée d’hyperbole quelconque à l’aire correspondante d’une hyperbole équilatère qui aurait le même premier axe ; et il en résulte que ces aires, comprises entre les mêmes ordonnées, sont entre elles dans le rapport du second axe au premier. 11 suit de là que , pour toutes les hyperboles qu ont le même premier axe, ces aires sont dans le rapport des seconds ; mais leur mesure absolue ne peut s’obtenir que par le moyen des logarithmes, et la méthode qu’il faut suivre pour y arriver ne saurait trouver place ici.
Discussion des Equations.
266. Nous venons de discuter avec détail les équations particulières de l’ellipse , de la parabole et de l’hyperbole sous leurs formes les plus simples. Nous avons vu comment on peut en déduire la configuration de ces lignes , la direction de leurs branches , celles des droites qui les touchent , en un mot, toutes leurs propriétés. Mais les équations des lignes courbes ne se présentent pas toujours sous une forme aussi facile à interpréter. Elles sont le plus souvent composées d’un grand nombre de termes qui masquent les résultats les plus remarquables, ou ceux que l’on aurait le plus d’intérêt de découvrir. Il est donc utile de savoir dégager ces résultats simples de la complication
DES ÉQUATI0W3. 34 t
qui les enveloppe ; et l’on y réussit toujours en suivant la marche générale que nous venons d’indiquer dans les chapitres précédais ; mais, comme l’usage de cette méthode deviendra plus facile par quelques exemples, nous allons l’appliquer à la discussion de l’équation générale du second degré, à deux indéterminées; cequi réunira sous un seul point de vue tous les cas que nous avons considérés jusqu’à présent.
