Prenons donc l’équation générale

A -f- B xj -J- Cx’ -f- Dy -f- Ex + F = o ,

dans laquelle, pour plus de simplicité, nous supposerons que x et y désignent des coordonnées rectangulaires (1), et cherchons la situation et la forme des courbes qu’elle représente , suivant les différentes valeurs des coefficiens A, lî, C, D, E. F.

Pour cela , nous la résoudrons par rapport à j , ce qui donnera: ,

^=— ±:— V/(B1 * 3-4ACjx'+2(BD-2AE)x+D“— 4AF.

A cause du double signe du radical , il y a en général deux valeurs de j- ; c’est-à-dire que, généralement parlant , il y a deux ordonnées qui correspondent à la même abscisse. On pourra calculer et construire ces ordonnées lorsque les valeurs données à x rendront le

(1) La perpendicularité des coordonnées offre toujours de l’avan-

tage dans les constructions géométriques, par la simplicité qu’elle apporte dans les expressions des distances des points, qui se trouvent alors données par des triangles rectangles. C'est pourquoi il

faut adopter de préférence ce système, lorsqu'on peut le faire. Mais, h cela près, le mode de discussion que nous employons ici, s’appliquerait également, si le système des coordonnées était oblique, tans qu'il soit besoin de rien changer aux raisonnement.

34a Disccssroî*

radical réel : si elles le rendent nul , il n’y aura qu’une ordonnée ; enfin , si elles le rendent imaginaire , il n’y en aura point du tout , et la courbe ne passera pas audessus de l’abscisse que l’on aura considérée.

Ainsi , pour connaître l’étendue et les limites de la courbe parallèlement à l’axe des abscisses , il faut chercher l’étendue et les limites des valeurs de x qui rendent la partie radicale réelle , nulle , ou imaginaire.

268. Mais cette manière de procéder suppose la résolution de l'équation du second degré effectuée relativement kjr. Il faut donc, pour qu’elle soit applicable, que cette résolution soit possible, c’est-à-dire que le terme jr' ne manque point dans l’équation , ce qui exige que A ne soit point nul. Si A était nul sans que C fût nul, l’équation contiendrait encore le carré dex’. On pourrait donc la résoudre relativement à x ; et l’on appliquerait aux x tout ce que nous allons dire desj" dans le premier cas. Mais , si A et C étaient tous deux nuis , il n’y aurait aucune résolution à faire , et par conséquent ce cas particulier demande à être traité par une méthode différente ; or c’est ce qui est très facile : en effet, l’équation générale se trouve alors réduite à cette forme ,

hxjr -+• Dy -f- Ex -4- F = o ;

transportons l’origine des coordonnées , sans changer la direction des axes, en faisant généralement

x = a+x', jr=.b+/

Ces valeurs de x et de jr substituées dans notre équation , lui donneront la forme suivante :

Bxy-HBa-|-D}?/-HB£>-^-E)x'-f-Baf>-}-D£-i- Eu+F = o.

Or, les coordonnées a et b de la nouvelle origine étant

indéterminées, on peut en disposer de manière à faire évanouir les termes affectés des premières puissances dey et de J ; ce qui donne

Ba-f-D = o, B6 -f- E — o ,

par conséquent a =: — -, 0 — — - ;

et d’après cette détermination , l’équation en x y', se réduit à cette forme ,

Bar'/ — ^ + F= o,

OU Xjr =