CHAPITRE III

Des Problèmes de Géométrie indéterminés.

29. Les méthodes que nous venons de parcourir n’avaient pour but que des problèmes déterminés j c’està-dire dans lesquels l’inconnue n’était susceptible que d’un certain nombre fini de valeurs ; mais on peut aussi se proposer des questious de Géométrie indéterminées , qui soient susceptibles d’une infinité de solutions.

Par exemple , si l’on considère une ligne quelconque AMM', tracée sur un plan ( fig. J , pl. III) , et que , de plusieurs points de celte ligne , on mène des perpendiculaires MP, M'P', sur une droite indéfinie aX , donnée dans le plan , ces perpendiculaires auront certainement une longueur déterminée, qui dépendra de la nature de la ligne AMM', de sa position , et de la distance des points MM' entre eux. Si donc on prend sur la droite AX nn point fixe A pour point de départ , chaque longueur AP aura sa perpendiculaire correspondante PM, qui résultera du concours de toutes ces circonstances ; et la relation qui subsistera entre les AP et les PM, dans les diverses parties de la ligne AMM', déterminera nécessairement la forme de son cours.

Or, il serait très possible que ce rapport fût de nature à être toujours exprimé par une même équation entre les AP et les PM , auquel cas cette équation ser-

DE L’ALGÊBaE AUX LIEUX GÉOMÉTRIQUES. ’jS

virait à trouver une quelconque de ces quantités par le moyen de l’autre , lorsque celle-ci serait donnée.

Si l’on savait, par exemple, que dans toute l’étendue de la courbe , chaque AP, étant comptée à partir d’un certain point connu , A (fig. 2) , est égale à la longueur de PM qui lui correspond ; alors , en représentant généralement les premières par la lettre x , les dernières par la lettre j', on aurait entre elles la relation jr = x.

Dans ce cas, la suite des points M, M'..., forme évidemment une ligne droite inclinée de 45u sur l’axe AX.

Si l’on savait, au contraire, que, dans toute l’étendue de la ligne AMM' (fig. 3), chaque PM est moyenne proportionnelle entre les distances du point P a deux points fixes A et B , pris sur l’axe AB , alors , en représentant toujours AP par x , PM parj-, et nommant 2 a la distance AB , on aurait, d’après la condition proposée , y = x{ia — x), ou y = 2 ax — x’.

Cette équation fait connaître jr, lorsque l’on se donne x , et réciproquement. Elle suffit donc , pour trouver autant que l’on voudra de longueurs PM et de points M, M ... qui seront tous sur la ligne proposée. D’ailleurs, d’après la propriété sur laquelle nousraVous établie, il est évident que cette ligne est une circonférence de cercle décrite sur AB comme diamètre.

3o. Puisque chacune des équations

j- — x, y = 2 ax — x* peut servir à trouver autant de points que l’on voudra sur la droite ou sur le cercle dont elles énonceqt une propriété générale, il est évident que ces équations sont équivalentes à la construction actuelle de ces lignes, et qu’elles peuvent être employées pour les représenter.