DE — BF B

On voit alors qu’elle représente une hyperbole dont les axes des x' et des y’ sont les asymptotes , et dont le centre est placé à l’origine nouvelle. Si le système des premières coordonnées xy e st rectangulaire, le second système l’est aussi , puisqu’il lui est parallèle ; et alors l’hyperbole est équilatère, puisque ses asymptotes sont à angles droits.

On aurait pu parvenir directement à ces résultats, en remarquant que l’équation primitive en xy, peut se mettre sous cette forme ,

b(*+Db)(' + D-

DE

car alors il est évident qu’elle coïncidera avec celle de l’hyperbole rapportée aux asymptotes , si l’on fait

x', y , étant de nouvelles coordonnées parallèles aux premières , et ayant leur origine au point dont les coordon-

nées, rapportées a 1 ancien système , sont —

344 DISCUSSION

269. Enfin il se pourrait que les coefiiciens A , B , C, qui contiennent les produits de seconde dimension des variables, fussent tous les trois nuis. Alors l'équation se trouvant réduite au premier degré , ne représenterait plus qu’une simple ligne droite , et il n’y aurait plus lieu à la résoudre par les méthodes du' second degré. Ces cas particuliers n’offrant plus ainsi aucune difficulté, doivent être exclus de la discussion générale; c’«st pourquoi, dans ce qui va suivre , nous supposerons toujours quej- représente la coordonnée dont le carré reste dans l’équation que l’on se propose de discuter, ou , en d’autres termes , nous, supposerons que le coefficient A n’est pas nul.

270. Alors les diverses circonstances qui déterminent la réalité d ejr, et la possibilité ou l’impossibilité de la courbe , dépendent du signe de la quantité

(B* — * 4 AC)x4 + a(BD — 2 AE)x + D1» — 4AF.

Or, on démontre en Algèbre que , dans une expression de ce genre , on peut toujours prendre x assez grand pour que le signe de tout le polynôme ne dépende plus que de celui de son premier terme , qui est ici ( B’ — 4 AC)x* ; et comine le carré x* est toujours positif par lui-même, ce signe sera déterminé par celui de la quantité B1 — 4 AC. Il est visible d’ailleurs qu’il ne changera plus au-delà de cette limite, lorsque l’on prendra pour x des valeurs de plus en plus grandes , parce que le premier terme (B* — 4 A.C) x* surpassera toujours de plus en plus la somme de tous les autres; d’où résultent les conséquences suivantes.

Lorsque B* — 4 AC sera négatif,- il y aura des valeurs de x au-delà desquelles l’ordonnée y deviendra tou- • jours imaginaire , soit que l’on prenne x positif ou né-.

gatif. La courbe sera donc limitée dans le sens des x tant positifs que négatifs.

Lorsque B4 — 4 AC sera nul, le polynôme affecté du signe radical perdra son premier ternie. Alors, si la quantité BD — aAE est positive, on pourra prendre x positif assez grand pour que^- reste toujours réelle, quels que soient la valeur et le signe de D4 — 4 AF. Mais en faisant x négatif, y finira toujours par devenir imaginaire. Ce sera le contraire lorsque BD — 2 AE sera une quantité négative. Ainsi , dans ces deux cas , la courbe s’étendra indéfiniment du. côté des x positifs, ou du côté des x négatifs , et elle sera limitée dans le sens opposé. Cette définition ne s’applique point au cas particulier où BD — 2 AE serait nul en même temps que B4— 4AC; mais il est évident qu’alors l’équation proposéé représente deux droites distinctes, qui deviendraient imaginaires, si D4 — 4 AF était négatif.

Enfin , lorsque B4 — 4AC sera positif, il y aura des valeurs positives et négatives dex, au-delà desquelles l'ordonnée/ sera toujours réelle. La courbe s’étendra donc indéfiniment dans le sens desx tant positifs que négatifs.

En résolvant l’équation générale par rapport à x , au lieu de la résoudre par rapport à y, on trouverait pour 1 axe des y des indications analogues. Il est même facile des assurer qu elles rentreraient algébriquement dans les précédentes ; car lecoefficient de y\ sous le radical , sera encore B' — 4 AC ; et, selon que ce coefficient sera négatif, nul ou positif, la courbe sera limitée dans le sens desj-, ou elle s’étendra indéfiniment dans un seul sens, parallèlement à cet axe, ou enfin elle s’étendra indéfiniment dans les deux sens, du côté des y positifs et négatifs.

271. Nous sommes ainsi conduits à partager les courbes du second ordre , d’après l’étendue et la direction

346 discussion

de leurs branches , en trois classes distinctes , savoir :

Courbes limitées dans tous les sens , ] caractère ,

Courbes indéfinies dans un sensuel] limite'es dans le sens oppose',

Courbes indéfinies dans les deux sens, B1 — 4^^ o.

’|b’-4AC<0; lj B‘ — 4 AC = o ;

L’ellipse , telle que nous l’avons discutée , est comprise dans la première classe ; la parabole , dans la seconde ; l’hyperbole, dans la troisième. Mais nous ne savons pas encore , si elles sont les seules qui s’y trouvent renfermées : c’est une question que nous examinerons par la suite.

Nous allons maintenant discuter en particulier les trois classes de courbes dont nous venons de reconnaître l’existence , afin de déterminer précisément leur forme et leur situation.

Première classe. Courbes limitées dans tous les sens.

Caractère, B1 — 4^ < °- 272. Pour discuter cette classe de courbes , reprenons la valeur générale de y, qui est

— — \J ( g' — 4A.C)a: J -J- a(BD — 2 AE) x -j- D* — 4 A 1' .

Cette expression nous apprend que, pour trouver les

points de la courbe , il faut construire pour chaque ab-

„ 1 . . , . (B-r-fD)

scissc AP (fig. 98) une ordonnée égalé a | aA J >

ce qui déterminera un certain point tel que N , audessus et au-dessous duquel on devra ensuite porter la quantité que ,1e radical représente ; d’où il suit que chacun de ces points N , divise en deux parties égales

la droite correspondante MM' qui se termine à la courbe. <■

Cette quantité — qui varie avec chaque

valeur de x , est l’ordonnée d’une ligne droite qui aurait pour équation

r (Bx-fDl

Par conséquent, cette droite est le lieu de tous les points N que nous venons de considérer ; ainsi elle divise en deux parties égales toutes les droites menées parallèlement à l’axe des^, et terminées à la courbe. Ou peut donc , à cause de cette propriété , lui donner le nom de diamètre. Ce résultat s’étend à toutes les courbes du second ordre.

273. Cherchons maintenant la limite de la courbe dans le sens des x. Pour cela , il est très utile de décomposer en facteurs le polynôme qui est sous le signe radical. Or, on peut écrire ainsi la valeur de jjf

(Bx+D)^ 1 4 //Da , (BD— 2AE) , D-4AF>^

aA '~2AV(B ^AC\ + B‘— 4AC +B'-4AC/ ’

, et si l’on représente par x' et x" les deux racines de . l'équation

, .(BD-2ÀE) , D*-4AF__

+ B‘ — 4AC +Ba — 4AC — ’

on pourra ensuite lui donner cette forme

(Bx+D)^ 1 2A 2A

l/(Ba — 4AC) (x — x') (x— x") •

Alors on voit que la réalité ou l’impossibilité des j dépendra uniquement des signes que prendront les facteurs x — x', x — x"; et par conséquent les limites

348 Discussion

de la courbe dépendront des valeurs de x' et de x'.

Or, ces racines peuvent être réelles et inégales , ou réelles et égales, ou enfin toutes deux imaginaires. Nous allons discuter successivement ces trois cas.

a74- Si elles sont réelles et inégales, lorsque les valeurs de x tomberont entre x' et x", les facteurs x — x', x — x", seront de signe contraire, et leur produit (x — x')(x — x") sera négatif. Or comme B’ — 4^-C est

aussi négatif, par hypothèse, la quantité

(B1 — 4 AC) (x — x') (x — x") sera positive; par conséquent , l’ordonnée y aura deux valeurs réelles.

Lorsqu’on fera x = x' ou x = x", le radical s’évanouira , et les deux valeurs dc^ se confondront en une

seule , qui sera réelle et égale à

Bx + D

. Danscecas,

il n’y aura rien à porter au-dessus ni au-dessous du diamètre pour avoir les ordonnées de la courbe; et, par conséquent, les abscisses x' et x* appartiennent aux points où la courbe rencontre son diamètre.

Enfin, lorsque l'on prendra x positif ou négatif, mais plus grand que x' et que x", les deux facteurs x — -x', x — x", seront positifs aussi bien que leur produit (x — x') (x — x");çt, à cause de B“ — 4 AC négatif, la quantité (B1 — 4AC)(x — x) (x — x“ ) sera négative : ce qui rendra les deux valeurs de^ imaginaires.

On voit donc, par cette discussion, que la courbe est continue entre les abscisses x et x", et qu’elle ne s’étend pas au-delà. Si , aux extrémités de ces abscisses, on élève des perpendiculaires indéfinies sur l’axe des x, ces droites comprendront toute la courbe, et même elles lui seront tangentes, puisque l’on peut les considérer comme des sécantes dont les deux points d’intersection sc confondent en un seul.

des équations. 34g

En résolvant l’équation proposée , par rapport à x, au lieu de la résoudre par rapport à jr, on arriverait à des conclusions semblables , pourvu toutefois que le carré de x’ y entre ; on trouverait la courbe limitée entre deux valeurs dey, aux extrémités desquellès on pourrait mener deux droites parallèles à l’axe des abscisses , et qui renfermeraient la courbe en la touchant.

On aura donc ainsi quatre points de la courbe; et, si l'on veut , on en pourra trouver un plus grand nombre entre les limites où elle s’étend. Par exemple, si l’on veut connaître les points où elle coupe l’axe des x , on fera j" nul dans l’équation proposée; ce qui donnera

Car* •+• Ex -f- F = o.

Les racines de cette équation seront les abscisses des points d’intersection ; et , suivant qu’elles seront réelles et inégales, ou réelles et égales, ou imaginaires, la courbe coupera l’axe des x en deux points, ou le touchera en un seul , ou ne le rencontrera pas.

De même , en faisant x = o , on aura

Ar’-r Dy-fF = o,

et les racines de cette équation donneront les points où la courbe rencontre l’axe des y.

Cette courbe sera donc toujours fermée, comme l’ellipse ; mais sa position par rapport aux axes des coordonnées dépendra des valeurs particulières des coefficiens AB... ; et, d’après ce. qui précède, on pourra aisément la découvrir dans chaque cas particulier. Pour ne laisser aucune incertitude à cet égard, nous avons formé ici le tableau de ces diverses conditions.

DISCUSSION