V B1 — 4AC

Quelque valeur que l’on donne à x, tant que x — x' ne sera pas nul , la valeur de j- sera imaginaire, à cause de Ba — 4 AC o ; mais, si l’on fait x = x', elle se réduit à une seule valeur, qui est réelle et égale à

— | X—^ — J • Ainsi , dans ce cas , la courbe se réduit

à un point unique , situé sur le diamètre, et dont les coordonnées sont

(Bx' 4- D)

Pour que ce résultat puisse avoir lieu , et que les valeurs de x et de x* soient égales entre elles, il faut que la partie radicale de leur expression , tirée de l’équation qui les donne , s’évanouisse d’elle-même , ce qui exige qu’on ait

(BD — 2AE;’ — (B* — 4AC) (Da — 4AF) - o (9). Cette condition , jointe à la première Ba — 4AC < o, détermine les cas où la courbe se réduit à un point.

Il est facile de voir à posteriori à quoi tient ce ré-

des équations. 353

sultat ; car, en faisant disparaître le radical de la valeur résolue de jr, on obtient, dans le cas actuel, l’e'quation

(aA j + Bx + D)1 — (B* — 4AC) (x — .r')* = o ,

qui est équivalente à la proposée. Or, B1 — 4AC étant négatif, le premier membre est la somme de deux quantités positives, et ne peut jamais devenir nul, à moins que chacune de ces quantités ne soit nulle séparément, ce qui ramène aux valeurs que nous venons d’obtenir.

Voici quelques exemples de ce cas, sur lesquels les élèves pourront s'exercer :

x s +j* == o , jr‘ + x1 — ix + 1 = o.