B“ — 4 AG — ( B* — 4AC

K* désignant uue quantité essentiellement positive. En substituant cette valeur de dans l’expression

générale de J", celle-ci devient

Bx-4-D 2 A

Elle peut se mettre sous la forme Bx -f- D

iV/(n.-4AC){(,+ ™^)+K-};

et , en faisant évanouir le radical, on en tire l pn ,*F >“

(aA^'+Bx-t-D)’ — (Bs — 4AC)|x-f— ^ J -(B*-4AC)K’=o,

équation équivalente à la proposée : mais B1 — 4AC étant négatif, elle est composée de trois quantités positives dont la somme ne peut être nulle, à moins que chacune d’elles ne soit nulle séparément. On peut bien remplir cette condition pour les deux premières, en posant les équations

, i n i n j BP— aAE

2A^ + Bx + D = o, x+B^T4ÂC = 0’

qui détermineront x et y. Maisla troisième quantité K*, qui ne contient que les coefficiens ABC , ne peut être nulle d’elle-inéine , du moins en général , et c’est ce qui rend l’équation impossible.

Si cependant la quantité K était nulle, on aurait alors deux équations du premier degré pour déterminer x eljr, et l’équation représenterait un point; mais

cette supposition exige qu’on ait entre les coefficiens ABC. . . la relation

(BD — 2AE)“ - (B’ — 4AC) (D* — 4 AF) = o ;

ce qui nous ramène au cas que nous venons de discuter précédemment, et dans lequel les valeurs de x' et de x" étaient égales entre elles.

Voici quelques exemples dans lesquels l’équation proposée est impossible :

jr*+Xjr+x'+{x+y+i—o, y'+x'+ix+z — o.

On voit en effet que ces équations peuvent être mises sous la forme

(a^+x+0“+3x’-f3=o, r’-f(*+i)*+i==io.

Jusqu’iéi nous n’avons résolu l’équation proposée que par rapport kj; maison trouverait des résultats absolument analogues en la résolvant par rapport à x, et l’on arriverait aux mêmes conditions. C’est ce que l’on pourrait aisément vériûer à posteriori, mais on peut le voir immédiatement, d’après la forme même de la quantité

(BD — 2AE)a — (B» — 4AC) (D* - 4 AF), à laquelle se rapportent toutes les conditions précédentes; car cette quantité étant développée, réduite, et divisée par 4A, devient

AE* -f- CD1 + FBa — BDE — 4AFC.

Et, sous cette forme , on voit qu’elle reste la même quand on y change A en C, et D en E; ce qui revient à changer jr en x dans 1 éojuation générale.

278. Il résulte de la discussion précédente , que les courbes du second ordre, comprises dans la première

classe, pour laquelle B1- 4AC est négatif, sont en

general des courbes fermées comme l’ellipse. Mais les

DISCUSSION

conditions secondaires donnent lieu à trois variéte's , qui sont le point isolé, la courbe imaginaire, et le cercle.

En admettant que ces courbes soient re'ellcinent des ellipses, ce qui en effet sera démontré plus bas, on peut facilement tirer de l’équation proposée toutes les données nécessaires pour les construire géométriquement. 1

Le moyen le plus simple d’y parvenir consiste à déterminer le centre de la courbe , ainsi que la direction et la grandeur de deux diamètres conjugués. On a vu dans l’article 173 que ces données suffisent pour construire géométriquement une ellipse ; or, on peut aisément les obtenir en résolvant l’équation proposée, comme nous l’avons fait dans les articles 272 et 273.

D’abord , rien de plus facile que de trouver le ceutre; il est placé au milieu de tous les diamètres : or, d’après l’article 272 , nous connaissons déjà un diamètre situé sur la droite indéfinie , dont l’équation est

(Bx+D)

les extrémités de ce diamètre ont pour abscisse x , x", n° 273 « ce sont les limites de la courbe dans le sens des x ; les ordonnées correspondantes^-', jr", ont donc pour valeurs

, (B.r' + D) (Bx" + D)

y ~ ÏA ’ * 2A ’

la longueur de ce diamètre est la distance des deux points dont les coordonnées sont x\ y ; x",y" ; elle est

donc exprimée pari/ ( x " — x')* + ( jJ‘ — J"')”» du moins en supposant les coordonnées rectangulaires. Si l’on met dans cette expression , au lieu dej ■' et leurs

valeurs en x’ et x", elle se réduit à

le centre est au milieu de ce diamètre. En désignant ses coordonnées par X et Y, on aura

on connaîtra donc les coordonnées. Nous avons vu, article 274» qu’aux extrémités de ce diamètre la tangente de la courbe est parallèle à l’axe des y. Par conséquent, si nous menons par le centre un diamètre parallèle à cet axe, il se trouvera conjugué au précédent. Les ordonnées de la courbe aux extrémités de ce nouveau diamètre seront les valeurs de y correspondantes à l’abscisse du centre , c’est-à-dire à X , et par conséquent on les obtiendra en mettant pour X

1 x' + xm , .

sa valeur — - — ■ , dans 1 expression générale de y de

1 article 273 : on aura ainsi

la différence de ces coordonnées sera

i/ 4AC — B® ;

c’est la longueur du second diamètre parallèle aux y çt conjugué au précédent. Avec ces données on construira l’ellipae ; si x ” et x' sont imaginaires, les deux diamètres seront imaginaires aussi, et il n’y aura pas de courbe ; si x" = x', les longueurs des deux diamètres seront nullcs , et la courbe se réduira à un point ; enfin, si 4AC — = B* -f- 4A“, les deux diamètres conj 11—

358 discussion

gués seront égaux entre eux. Ces diverses modifications répondent ainsi aux mêmes conditions analytiques que nous avons déjà remarquées.

Si l’on désigne par a l’angle que le premier diamètre conjugué forme avec l’axe des x, on aura, d’après son équation ,

tang *— — , cos.=^~.

Le second diamètre est perpendiculaire à l’axé des x : si l’on désigne par « ,1’anglç qu’il fait avec le premier, on aura donc

par conséquent

Or, on a vu dans l’article 166 que le rectangle des deux axes est égal à celui de deux diamètres conjugués multiplié par le sinus de l’angle a qu’ils comprennent. Ici le rectangle des deux diamètres est

{x" • v'WT&i

ainsi en nommant 2 a , 2 b, les deux axes de l’ellipse , et mettant pour sin et sa valeur , on aura