D2 — 4AF 2 (BD — 2AE
elle peut se mettre sous la forme
r=— (B— t D)±-t \é 2 (BD — 2AE ) (x — x').
Si BD — 2AE est positif, tant que l’on fera x plus grand que x', le facteur x — x' sera positif, et le radical sera réel ; il deviendra nul , quand x sera égal à x ; enfin, quand x sera moindre que x’, le facteur
Discussion
x — x' deviendra négatif, et le radical sera imaginaire. La courbe s’étend donc à l’infini dans le sens des x positifs , depuis l’abscisse x = x' . L’ordonnée correspondante à cette abscisse servira de limite , et touchera la courbe. •
Les résultats seront contraires,, lorsque BD — 2AE sera une quantité négative. La courbe s’étendra indéfiniment dans le sens des x négatifs, et sera limitée dans le sens opposé.
Dans ces deux cas, la ligne droite qui a pour équation
(Bx + D)
r = ha
sera un diamètre de la courbe , en donnant à cette expression le sens que nous lui avons attribué dans l’article 272.
280. On arriverait à des résultats semblables, en résolvant l’équation par rapport à x ; l’équation du diamètre serait alors
T tër+E)
d’où, en tirant la valeur dej-,
2Cx E
Or, Ba — étant nul , 011 a 2C B B 2A'
Ainsi l’équation de ce diamètre devient . Bx E
J = — ÏI“B :
c’est-à-dire qu’il est parallèle à l’autre diamètre
Bx D
y ~~ ~ 2Â iA
que l’on avait trouvé en résolvant l’équation proposée par rapporta^ : nouvelle analogie de la courbe que nous examinons avec la parabole dont tous les diamètres sont parallèles entre eux.
281. Quant à la position particulière de cette courbe, et à sa situation par rapport aux axes, elle dépendra des valeurs des coefficiens AB. ... On la découvrira en suivant la marche que nous avons appliquée dans le n° 274» aux courbes du genre de l’ellipse, et on arrivera à des conséquences analogues.
282. Au reste, la condition caractéristique du genre de courbe que nous considérons ici est très facile à reconnaître; car, lorsque B’ — 4^C est nul, les trois premiers termes A y2 -f- B xy -f- Cx* de l’équation générale forment un carré parfait , qui est celui de la quantitéj-l/A + r |/C.
283. Voici quelques exemples sur lesquels on pourra s’exercer :
y2 — 2 xy -j- x* -j- x — o.
y2 — ixy -f- x' -f- 2y = o.
y2 — 2 xy -j- x1 4- xy + 1 = o.
y‘ — 9 xy x1 — 2y — 1 = o.
y* — 2 xy -f- x2 — 2 y — 2X ~ o.
(Fig. 102.) (Fig. io3.) (Fig. 104.) (Fig. io5.) (Fig. 106.)
284. Si la quantité BD — aAE, qui multiplie x sous le radical, était nulle, la valeur dej' deviendrait
l/Da — 4 AF.
Alors la courbe dégénère en deux lignes droites parallèles entre elles; et, selon que la quantité D* — 4-A-F est positive , nulle ou négative , ces droites sont toutes deux réelles, ou se confondent et se réduisent à une seule, ou enfin deviennent toutes deux imaginaires.
DISCUSSION
Dans ce cas , l'équation générale est décomposable en facteurs du premier degré, et peut se mettre sous la forme
{ 2Ajr+ Bx-fD+V/ D^4AF \ { 2 Ajr +Bx + D— \ZÏÏ‘— 4AFj=o.
En voici quelques exemples :
— axy-f-x’ — 1=0. . . .1 Deux lignes f (Fig. 107.) JJ+4-rJ'+4'r*— 4=0- • • J droites. I (Fig. 108.) j*-2xj‘+ar*-f-H^--2x-f-i=ro) Une seule f(Fig. 10g.)
J* — 4xT‘f 4jr’ = ° i ligne droite. t(Fig. 110.)
2xy + x*-+- 1 r=o. . .5 Deux droites r (Fig. 111.) y* + y ■+ 1 = 0 J imaginaires. ( (Fig. 1 ta.)
2.85. Il résulte de cette discussion , que les courbes du second ordre, comprises dans la deuxième classe , pour laquelle- B’ — 4^Cestnul, sont en general indéfinies dans un seul sens , comme la parabole , mais peuvent cependant donner comme variétés deux lignes droites parallèles, ou une seule droite, ou deux droites parallèles imaginaires.
En admettant que ces courbes soient réellement des paraboles, ce qui en effet sera démontré plus bas , on peut se proposer, comme nous l’avons fait pour l’ellipse, de tirer de l’équation générale toutes les données nécessaires à leur construction géométrique. Mais ici nous ne pouvons plus employer la considération du centre, puisque celui de la parabole est infiniment éloigné de tous les points de son périmètre ; et par conséquent il faut y suppléer par quelque autre propriété tirée de la nature de cette courbe, qui permette d’arriver facilement et promptement à sa description. Or, il en est une qui rèmplit parfaitement ces conditions, c’est que dans la parabole , lorsque deux tangentes sont perpendiculaires l'une à l’autre , la ligne droite menée par les deux points de tangence
passe par le foyer , el le point d'intersection des deux tangentes est sur la directrice. Cette propriété n’ayant pas encore été remarquée, du moins à ma connaissance , je vais la démontrer d'abord.
Soit M'AM" (fig. n3), une parabole dont A est le sommet, AX l’axe, F le foyer; en appelant a p son paramètre , et la supposant rapportée à des coordonnées rectangulaires x et y, dont la première soit prise sur l’axe à partir du sommet A , son équation sera
y' — 2/JX ;
et la distance du foyer F au sommet de la courbe sera
égale à ou au quart du paramètre. Cela posé , si par
le foyer F nous menons une ligne droite quelconque , l’équation de cette droite sera de la forme
a étant la tangente trigonométrique de l’angle qu’elle forme avec l’axe de la parabole. Pour avoir les points d’intersection de cette droite et de la courbe , il faut combiner leurs équations ; et d’abord , en éliminant x, on aura , pour les y communs ,
les deux racines de cette équation sont les deux ordonnées des deux points d’intersection ; en les désignant par y, y", leur produit sera égal au terme indépendant de j-; on aura donc
yy"——P\
Or, si par chacun de ces points, marqués M' et M" dans la figure, on conçoit une tangente à la parabole, et que l’on désigne par a et a“ les tangentes trigonomé-
DISCUSSION
triques des angles que ces droites forment avec l’axe AX , on aura par l’article 2o3 ,
Par conse'quent
P‘ / jr '
Si, dans ce résultat, on met pour ÿ'y" sa valeur — il vient
ce qui signifie que les deux tangentes ainsi menées aux deux points d’intersection sont perpendiculaires l'une à l’autre.
La réciproque de cette proposition est également vraie , c’est-à-dire que toutes les fois que deux tangentes à la parabole sont perpendiculaires l’une A l’autre, la corde qui joint les points de tangence passe par le foyer. En effet, s’il en était autrement, par un quelconque de ces deux points, tel que M' ou M“, menez une corde qui passe par le foyer : elle ira couper la courbe en un autre point M*, dont la tangente sera perpendiculaire à la tangente menée parM“, si c’est M" que l’on a choisi. Donc, puisque la tangente menée par M' est supposée jouir aussi de cette propriété, il faut que les points M" et M' coïncident ; car, dans la parabole, jamais deux tangentes ne peuvent être parallèles l’une à l'autre sans coïncider.
Maintenant il reste à démontrer la seconde partie de la proposition, c’est-à-dire que, lorsque deux tangentes de la parabole sont perpendiculaires l’une à l’autre, leur point d’intersection est situé sur la directrice. Pour cela, désignons par x ,ÿ , x" , j~“, les coordonnées des deux points de tangence ; les équations de*
deux tangentes seront (n° 2o3)
JJ —P (* + *') , jjr“ = p(x -f x") .
Dans le point où ces lignes se coupent, les y et les x leur sont communs ; ainsi l’on aura les coordonnées de ce point en combinant les équations précédentes. Or si on les divise membre à membre, y disparaît, et il vient
d’où l’on tire
c’est l’abscisse du point d’intersection des deux tangentes. Mais elle peut être simplifiée en considérant que les deux points de tangence sont sur la parabole ; car l’équation de cette courbe leur étant appliquée donne 1 ’
y a = ipx, j“‘ — 2pX".
tirant de là x' et x" en fonction de y et y", puis, les
substituant dans l’expression de x, le facteur?-" y'
devient commun aux deux termes du second membre. On peut donc le faire disparaître, après quoi il reste
Cette expression est générale pour tous les couples de tangentes quels qu’ils puissent être; mais ici les deux tangentes que nous considérons sont perpendiculaires l’une à l’autre ; ce qui donne , comme on l’a vu tout à l'beure ,
fj“=—p\
Faisant donc usage de cette relation pour particulariser l’expression précédente , elle se réduit à
DISCDSSIOT
c’est-à-dire qu’alors l’abscisse du point d’intersection est située Lors de la parabole, à une distance du sommet de cette courbe égalé à — i-t ce qui est précisément la distance de la directrice à ce même sommet. Ainsi l’intersection des deux tangentes perpendiculaires s’opère sur la directrice comme nous l’avions annonce'.
286. Pour appliquer ces propriétés à la construction de l’équation générale , dans le cas où elle exprime une parabole, fig. 11 4, il faut considérer que, lorsqu’on résout cette équation par rapport à jr , on obtient un diamètre dont les ordonnées sont parallèles aux y ; et, qu’en la résolvant par rapport à x, on obtient un diamètre dont les ordonnées sont parallèles aux x, c’està-dire perpendiculaires aux précédentes, du moins lorsque le système des coordonnées x et y est rectangulaire, ainsi que nous le supposons en général dans cette discussion ; or les tangentes à l’origine des diamètres sont parallèles à ces ordonnées; par conséquent elles sout aussi perpendiculaires entre elles; et ainsi la ligne qui joint les points de tangence contient le foyer de la parabole.
Les coordonnées de ces deux points de tangence sont faciles à calculer, car ce sont les limites de la courbe dans ces différons sens ; d’abord pour celui dont la tangente est parallèle aux jr, nous avons trouvé dans l’article 27g
