(E°-4CF

J — 2(BE— aCD)’

ce qui doune

.__(Mr, + E)

Quand on aura ainsi déterminé ces deux points, on les joindra par une ligne droite, et elle devra contenir le foyer.

On mènera ensuite par le premier d’entre eux une ligne droite parallèle aux y, par le second une ligne droite parallèle aux x. Ces droites rectangulaires seront tangentes à la parabole cherchée. Comme elles sont respectivement parallèles aux axes des y et des x , leur point d’intersection N fig. 1 14 aura pour coordonnées.*:' et y. Il sera donc connu , et de plus ce sera un point de la directrice. En menant de ce point une droite perpendiculaire à la direction commune des diamètres que la résolution de l’équation de la courbe fait immédiatement connaître, on aura la directrice elle-même. Et enfin prenant la distance perpendiculaire d’un des points de tangence à la directrice , ce sera la distance de ce même point de tangence au foyer. Ainsi l’on connaîtra le foyer en portant cette distance sur la corde qui joint les deux points de tangence. Alors du foyer menant une perpendiculaire à la directrice, ce sera l’axe de la parabole. Connaissant ainsi le foyer, la directrice et l’axe, on construira aisément la courbe entière.

DISCUSSION

Troisième ci.asse. Courbes indéfinies dans tous les sens.

Caractère, B° — 4 AC > o.

287. La discussion de cette classe de courbes est extrêmement facile , après ce qui précède ; car elle se fait précisément parla même marche et par les mêmes procédés dont nous avons fait usage pour les courbes de la première division. Si l’on reprend la valeur générale de j-, qui est

f Bx-f-D ) 2A

î iV (B’-4AC){*>-f2

(BD— 2AE) , D--4AF i (B‘— 4AC) X+B‘— 4AC r

et que l’on représente par x' et x" les deux racines de l’équation

(BD — 2ÀE) , D5 — 4AF

•r’ + 2-pjî ^AC) x + Ba ^AC

on pourra lui donner cette forme

y—— ± -i- v/ (B“ — 4 AC) (.r — Jf) {x — x" ) ;

et, si l’on suppose que x' et x“ soient des quantités réelles, comme B* — 4 AC est une quantité positive, on verra facilement que la courbe est toujours imaginaire entre les abscisses x' et x’, mais qu’elle est toujours réelle hors de ces limites , où elle se trouve touchée par ses ordonnées : forme tout-à-fait analogue à celle de l’hyperbole (fig. n5).

La condition de la réalité des racines x' et x ’ est

(BD — aAE)’ — (B’ — 4AC) (D’ - 4AF) > o.

Nous l’avions déjà obtenue page 35o, pour la réalité des courbes du genre de l’ellipse. On voit donc que

DES EQUATIONS. 3^

le signe seul de la quantité B1— 4AC détermine la tourbe à être fermée et limitée, ou composée de deux branches séparées et indéfinies.

On voit d’ailleurs que les abscisses x' et x\ entre lesquelles la courbe devient imaginaire, répondent à son intersection avec le diamètre qui a pour équation

Voici quelques exemples sur lesquels on pourra s’exercer :

jr‘ — 2xj-—x,i + 2 = o. (Fig. ,,6.)

jr1 — X* + 2X—2J-+Iz=0. (Fig. II 7.)

y — ■’.Tjr — xi—2j-+2X- j-3 = o. (Fig. 118.) y — 7.x* — 2jr + 6z — 3 =0. (Fig. n 9.)

On trouverait , comme dans la page 35o , les conditions nécessaires pour que la courbe coupe les axes des x et des y, ou les touche en un seul point, ou enfin ne les rencontre pas.

288. Dans tous ces exemples l’équation contient les carres jr*, x% des deux variables. Si l’un des deux manquait , il faudrait résoudre l’équation par rapport à celui qui reste , comme nous l’avons dit plus haut • enfin, si les deux carrés manquaient, on ramènerait immédiatement la courbe à '-'ses asymptotes, comme nous l’avons montré n° 268. Cette réduction est également praticable lorsque les deux carrés ;ra, j-3, se trouvent tous deux dans l’équation , ainsi que nous le verrons à la fin de ce chapitre ; mais alors elle exige une analyse particulière; et c’est pourquoi , avant de nous en occuper , nous achèverons de développer les résultats que l’on peut obtenir par la résolution immédiate.