APPLICATION

On peut, en généralisant ce résultat, regarder toutes les lignes planes imaginables comme susceptibles d’être ainsi représentées par des équations entre deux variables indéterminées; et, réciproquement, on voit qu’une équation quelconque, entre deux indéterminées, peut être interprétée géométriquement , et considérée comme représentant une ligne plane, dont elle peut faire trouver successivement tous les points.

3i . Cette manière d’envisager les rapports de la Géométrie et de l’Algèbre est beaucoup plus étendue et plus féconde que celle que nous avions considérée d’abord , et qui se bornait aux problèmes de Géométrie déterminés. On peut même la généraliser encore , et l’appliquer aux équations à trois variables qui représentent des surfaces, comme on le verra par la suite ; mais pour le moment, les considérations précédentes nous suffiront. Je ne me proposais ici que de fixer précisément, et de faire bien comprendre cette division qui partage l’application de l’Algèbre à la Géométrie en deux branches distinctes et totalement séparées dans leur objet. Elles l’ont été de même dans l’histoire des Mathématiques. L’invention de la dernière est due à Descartes. Avant ce grand homme , on n’avait appliqué l’Algèbre qu’aux problèmes de Géométrie déterminés. Les premières applications de ce genre avaient même été seulement numériques; car elles se bornaient à trouver et à calculer arithmétiquement la valeur numérique des inconnues d’après leur expression algébrique résolue. Vers la fin du quinzième siècle. Vicie, célèbre analyste français, imagina de représenter ces expressions par des constructions géométriques, comme nous l’avons fait au commencement de cet ouvrage', en les supposant obtenues sous une forme explicite par la résolution de l’équation qui les déterminait. Ces constructions ne pouvaient encore nullement servir pour

de l’algèbue aux i.ieux géométriques.

interpréter les valeurs des incounues dans les équations indéterminées. Descartes fit un pas immense , en montrant que de pareilles équations représentaient des lieux géométriques; et l’on peut dire que, par cette découverte , il créa réellement l’application de l’Algèbre à la Géométrie, dont les constructions de Yiète n’étaient qu’une particularité très bornée. En effet, un problème de Géométrie quelconque, se réduit toujours à trouver un certain nombre de points, de lignes ou de surfaces, dont la position, ou la configuration, satisfasse à certaines conditions données. On peut même considérer la recherche des points comme un problème d’intersection de lignes. Si l’on sait généralement trouver les équations des lignes, d’après l’c'noncé des conditions géométriques auxquelles elles doivent satisfaire , et réciproquement découvrir la forme ainsi que le cours des lignes , lorsque l’équation analytique qui les exprime est donnée, il n’y aura pas de problème de Géométrie , si compliqué qu’il soit, que l’on ne puisse écrire algébriquement à l’instant même, et réduire ainsi à une combinaison d’équations purement analytiques. C’est à l’aide de ce secret que Descartes , à l’âge de vingt ans , parcourant l’Europe dans le simple appareil d’un jeune soldat volontaire , résolvait d’un coup d’œil , et comme en se jouant, tous les problèmes géométriques que les mathématiciens de divers pays s’envoyaient mutuellement, sous la forme de défis publics, suivant l’usage de ce temps-là.

3a. L’application de l’Algèbre à la Géométrie, lorsqu’elle est ainsi envisagée, n’exige plus , dans chaque problème, la recherche de quelque artifice ingénieux, ou même de quelque condition particulière qui conduise à l’énoncé algébrique; elle n’est plus que l’usage immédiat d’une même méthode, toujours uniforme et directe dans ses procédés. Ces avantages sont dus à ce

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qu’elle remonte aux éle'mens simples qui constituent, toutes les questions géométriques, et qu’elle en combine les énoncés algébriques , précisément comme la Géométrie les assemble pour former la question proposée. C’est ce que l’on comprendra parfaitement, d’après l’exposition graduelle que nous allons en offrir.

D’abord , tous les problèmes de Géométrie imaginables, et même en général toutes les considérations géométriques, portent sur les positions relatives des points de l’espace. Notre premier pas doit donc avoir pour but de chercher comment ces positions peuvent être exprimées et fixées par un énoncé analytique.

L’espace, tel que les géomètres le considèrent, est une étendue indéfinie dans laquelle on conçoit que tous les corps sont placés. On ne peut donc y déterminer le lieu absolu des corps , mais seulement leurs situations relatives, qui sont les seules dont la connaissance nous soit nécessaire ; et , pour cela , on rapporte ces points à des objets fixes, dont on suppose que la position est connue.

Sur un plan, on conçpit deux droites AX, AY (fig. 4) » faisant entre elles un angle quelconque donné : tout point M, situé dans le plan , est déterminé lorsqu’on connaît les longueurs des droites MQ , MP, menées de ce point parallèlement aux lignes AX , AY, et terminées à ces lignes ; car par les propriétés des parallèles, AQ=PM, et AP=QM. On peut donc, en connaissant ces valeurs , mener les droites PM etMQ , qui , par leur intersection , déterminent le point M.

Dans l’espace, on conçoit trois plans YAX, XAZ, ZAY (fig. 5) , faisant entre eux des angles donnés. Un point quelconque M se trouve déterminé de position , quand on connaît les longueurs des droites MM', MM", MM", menées par ce point parallèlement aux intersections des trois plans , et terminées à ces plans ;

de l'algèbre aux lieux géométriques. 77 car alors on peut mener trois plans parallèles à ceux-ci, et sur lesquels le point M se trouve.

Avant d’examiner les conséquences qui résultent des conventions précédentes , il est bon d’observer qu’en général nous prendrons les mots plan et ligne droite dans leur acception la plus étendue; c’est-à-dire qu’en général nous entendrons , par ligne droite, une ligne droite indéfiniment prolongée, et par plan, un -plan indéfiniment étendu. Lorsqu’il sera nécessaire de considérer des portions limitées de plans ou de droites, nous en avertirons, comme nous venons de le faire; mais ces abstractions seront toujours déterminées par les conditions particulières de la question proposée.

Des Points et de la Ligne droite considérés sur un Plan.

33. Lorsque les points M, M', d’un plan , sont rapportés à deux lignes fixes, AX, AY ( fig. 4 ) » menées dans ce plan , les longueurs QM , Q’M', ou leurs égales AP, AP', se nomment abscisses ; et les distances PM, P'M' , ou leurs égales AQ , AQ', s’appellent ordonnées. La ligne AX , sur laquelle se comptent les longueurs AP, AP', se nomme Y axe des abscisses; la ligne AY s’appelle l’axe des ordonnées. Les ordonnées et les abscisses se désignent encore par la dénomination générale de coordonnées ; les lignes AX , A Y, sont alors les axes des coordonnées , et le ppiut A, où elles se coupent, en est l’origine. Le choix des axes est absolument arbitraire ; et l’on peut, à volonté, compter les abscisses ou les ordonnées sur l’uu ou sur l’autre.

34. Représentons en général par x les abscisses , et par y les ordonnées; x et y seront des variables qui prendront diverses valeurs pour les difTérens points que l’on devra considérer. Si , par exemple , ayant

mesuré les longueurs AP, PM, qui déterminent le point M, on trouve la première égale à a, et la seconde égale à b , on aura, pour fixer la position de ce point, les deux équations

et comme elles suffisent pour cet objet, nous les nommerons les opérations du point M.

Si*, l’abscisse AP restant la même , l’ordonnée PM diminue, le point M s’approche de plus en plus de l’axe AX ; si PM ou b devient nulle , le point M tombe en P sur l’axe des x lui- meme ; et ses équations deviennent

Si l’ordonnée PM restant la même, l’abscisse AP diminue , le point M s’approche de plus en plus de l’axe AY, avec lequel il finira par coïncider, lorsque AP deviendra nulle ; ce qui donne

pour les équations d’un point tel que Q , situé sur l’axe même des jr.

Enfin , si l’abscisse AP et l’ordonnée PM deviennent nulle* en même temps, le point M coïncide avec le point A , origine des coordonnées , et l’on a x — o, y = o,

pour les équations de cette origine.

35. On voit, par cette discussion , qu’en supposant aux variables x et y toutes les valeurs positives possibles, depuis zéro jusqu’à l’infini, on peut exprimer la position de tous les points placés dans l’angle YAX.

Quant aux points compris dans les autres angles formés par les axes, ils répondent aux valeurs négatives des variables x et y.

Pour le démontrer, concevons qu’au lieu de prendre

YA pour axe des jr, on prenne , dans le même plan , une autre ligne qui lui soit parallèle ; par exemple , la ligne Y' A' (fig. 6), pour laquelle nous supposerons que la distance AA', à l’ancien axe , est donnée et exprimée par A. Nommons x ’ les nouvelles abscisses comptées sur le même axe AX , mais à partir de la nouvelle origine A'. Cela posé, si nous considérons un point quelconque M situé dans l’angle Y'A'X , nous aurons

AP = AA' + A'P, ou x = A + x';

mais, si nous considérons un point M' situé dans l’angle Y'A'A, et que nous représentions encore son abscisse A'P' par la variable x', en lui supposant toutefois une valeur quelconque , nous aurons

AP' = AA' — A'P' , ou x — A ~ x';

d’où l’on voit que , si l’on veut rendre la même formule analytique

applicable à la fois aux points situés dans l’angle XA'Y', et aux points situés dans l’angle AA'Y', il faut regarder pour ceux-ci les valeurs de a/ comme négatives ; en sorte que le changement de signe réponde à leur changement de position par rapport à l’axe A'Y\

Pour confirmer cette conséquence , et faire voir encore plus clairement comment la formule précédente peut lier les différens points du plan , supposons que l’on considère d’abord un point situé sur l’axe A'Y' lui-même : pour ce point x sera nulle , et la formule

x = A x’ donnera x = A.

C’est la valeur de l’abscisse AA' par rapport aux axes AX , AY.

Mais si l’on veut que cette même équation convienne aussi aux points situés sur l’axe AY, considérons un quelconque d’entre eux ; son abscisse x sera nulle , et

la formule précédente donnera

A -f- x' «= o , ou x = — A ; ce qui est encore la valeur de l’abscisse AA', en la supposant rapportée à l’axe A'Y'. L’expression analytique de cette abscisse devient donc positive pour l’axe AY, et négative pour l’axe A'Y', quand on suppose les points du plan liés entre eux par l’équation

Ce résultat s’applique également aux valeurs négatives de x, et prouve qu’elles appartiennent aux points situés du côté de l’axe AY, opposé aux valeurs positives; car quel que soit celui de ces points que l’on considère , si on le représente par M", on pourra toujours mener un nouvel axe A"Y", qui se trouvera placé par rapport à l’axe AY, comme celui-ci l’était précédemment lui-même par rapport à l’axe A'Y'.

En transportant l’axe AX parallèlement à lui-même, et fixant la nouvelle origine en A* ( fig. 7 ) ; faisant AA"=B, et nommant / les nouvelles ordonnées comptées à partir de l’axe A"X", on aura

pour les points situés dans l’angle YA"X", et J — B — f

pour ceux qui sont situés dans l’angle AA”X'' ; en sorte que , pour comprendre les uns et les autres dans une même formule analytique , il faut regarder les valeurs négatives de jr' comme correspondantes à des points situés du côté de l’axe A"X" opposé aux y positives ; et, comme cela s’applique également aux axes AX , AY, on en doit conclure que les changnmens de signe de la variable y répondent au changement de position des points de part ou d’autre de l’axe des abscisses.