Discussion
alors on voit que , si les coordonnées y et x sont rectangulaires, elle repre'sente une hyperbole équilatère,
qui a pour coordonnées du centre — + — , et pour
j)» 4aF
puissance ^ cas est aua^°8ue à ce^u*
du cercle, dans la première classe des courbes, ar-
ticle 275.
294. Il résulte de cette discussion que les courbes du second ordre, dans lesquelles Ba — ^kC est positif, sont toujours des courbes composées de deux branches séparées et indéfinies : elles comprennent comme variétés deux lignes droites qui se coupent, et l’hyperbole équilatère.
2q5. On voit, par ce qui précède, comment il est possible de déduire de l’équation d’une ligne courbe sa (orme, son étendue , ses limites, et toutes les sinuosités de son cours. La marche que nous venons de suivre est générale, et s’appliquerait également à toutes les courbes algébriques. Il est donc très utile de s’en bien pénétrer, et de s’en rendre l’usage familier par des exemples. Mais aussi c’est tout ce qu’il faut retenir; car il serait inutile , et même nuisible , de fixer dans sa mémoire les conditions particulières qui ont lieu entre les coefficiens suivant les diflérens cas , et il faut plutôt se laisser naturellement conduire à ces conditions par la suite toujours semblable des raisonnemens.
296. En admettant que les courbes comprises dans cette classe soieut réellement des hyperboles , comme nous allons tout-à-l’heure le prouver, il est facile de les construire géométriquement d’après leur équation ; car on peut ici, comme pour les ellipses, déterminer très simplement leur centre , ainsi que la direction et la longueur de deux diamètres conjugués.
Il n’est pas même besoin pour cela d'aucun nouveau, calcul ; il suffit d’opérer ici comme nous l’avons fait alors, en ayant égard à l’analogie qui existe entre l’ellipse et l’byperbole , ainsi qu’aux différences qui les séparent. En résolvant d’abord l’équation , par rapport kj, on obtiendra un premier diamètredont la longueur sera
Ensuite, en la résolvant par rapport à r, on aura le second diamètre parallèle auxj', lequel aura pour longueur
Celui-ci sera imaginaire , car nous supposons B3 — 4AC positif, comme cela doit en effet avoir lieu dans l’hyperbole. Si donc on représente la moitié de ce diamètre par B l/ — i , et la moitié du premier par A', ces données suffiront pour construire l’hyperbole; car l’angle des deux diamètres est connu, et en le représentant par ai on aura ici comme dans l’ellipse
sin » —
aA
On pourra de même obtenir les valeurs des deux axes de
l’hyperbole ; car en les représentant par a et b j/ t ,
puisque l’un d’entre eux doit être imaginaire , on aura également
ab l/ — i
V 4AC - Bs ;
(*"— xy
DISCUSSION
ce qui donne
expressions absolument pareilles à celles que nous avons trouvées pour l’ellipse , page 35g.
29,. Mais on peut aussi construire , pour ce cas , l’équation générale en y mettant les asymptotes en évidence ; en effet reprenons la valeur résolue
z(BD— 2AE) , (D' — 4 AF) > (B“-4AC) X+'Bi=4ÂC‘ V
B1 — 4AC étant par supposition une quantité positive différente de zéro, faisons-la sortir de dessous le radical général avec le facteur :r% en écrivant l’équation de la manière suivante ,
— saE) D' — 4af
4aC)x (B“ — 4ACjx*
maintenant développons le second radical en série par la formule du binôme appliquée à l’exposant j (*) ; et
(*) Pour cela , il faut sc rappeler que l’on a en general , n étant quelconque ,
(1 -f-*în= 1 -f-nz H z* \ ** — cto.
Ainsi , dans le cas où n sera - , on aura
(• + *)* = 1 + - * — -f- — etc.
Dans le cas actncl , la quantité qui représente z est
3(BD— aAE) , (D*— 4AF) a^BD-aAE) , (D*— 4AF) ) .
(b*-4A(J)a- ' (B*— 4AC)* > ’ 0“ x J ( B*— 4 AC) a<B*- 4 AC)x f ’
ordonnons le résultat par rapport aux puissances de - ;
il est aisé de voir que les premiers termes seront
(BD-2AE) (Da-4AF) (BD-aAE)»
1 ■ (B*4AC)x 2(B‘— 4AC):r‘+2(B— 4AC)'Jx1
et tous les termes qui suivront ceux que nous avons écrits, contiendront au dénominateur des puissances de x de plus en plus grandes. Or, en effectuant sur tous ces termes la multiplication par le facteur commun
— i/B“ — 4ÂC , le premier i donnera un produit
qui aura pour facteur x , le second qui est déjà divisé par x, donnera une quantité constante; et tous les autres qui sont divisés par des puissances de x supérieures -à la première , garderont encore en dénominateur des puissances de x de plus en plus grandes. Ainsi, en ordonnant toute la série relativement à ces trois sortes de termes, on aura
1 f „ , (BD — 2AE)J x
i f n. / * Vu. (BD — aAE)” 1
bŒ1D 4 + (B*— 4AC) j
4AxV/Bi— 4AC( rfc etc.
Maintenant, à mesure que l’abscisse x deviendra plus grande , soit qu’on la prenne positive ou négative, les termes qui la contiennent en dénominateur, devien-
ne forte que ses diverses puissances contiennent toujours au déno-.
minateur les puissances successives de - . En la substituant donc
jpours et se bornant aux trois premiers tetmes , on aura le résultat «nonce dans le texte.
3;6 DISCUSSION
«Iront de plus en plus petits, tandis que le premier terme qui en est indépendant restera constant, et que le second terme qui la contient en nume'rateur, acquerra une valeur de plus en plus considérable. Ainsi, à mesure que cet accroissement de x aura lieu , l’ordonnée jr de la courbe approchera de plus en plus de se réduire à ses deux premiers termes, c’est-à-dire de se confondre avec l’une ou l’autre des deux droites qui auraient pour équation
t f n (BD— 2AE)) x .
ou bien
jr
iii- D+%=^l+â<-B+ </B,-4iCJ-
Ces droites sont donc les deux asymptotes de l’hyperbole que l’équation représente. Elles ne peuvent être réelles qu’autant que Ba — 4^C est positif; car s’il était négatif, le radical qu’elles contiennent deviendrait imaginaire. Aussi avons-nous vu que, dans ce dernier cas , l’équation appartient à une ellipse , courbe qui n’a' pas d’asymptotes.
398. On ne pourrait pas non plus appliquer ces formules au cas ou B’ — 4^G serait nul; parce qu’alors les termes de la série qui contiennent toutes les puissances successives de cette quantité en dénominateur devenant infinis, la série de ces termes serait infinie elle-même au lieu d’être convergente, et ainsi cette forme de développement cesserait d’être possible. Aussi en remontant, pour ce cas, à l’expression primitive de avant qu’elle' fût développée, on voit que la supposition de B* — 4AC nul fait disparaître le terme en. 1* et réduit cette expression à
des équations.
r ± — 1/2 (I5D—a AE)ar-f- Dr— 4 A F, J 2A 2A
or le radical peut bien encore se de'velopper en série ordonnée suivant les puissances inverses de x\ car il suffit pour cela de mettre le terme \/ 1 (B D — 2AE ) x en facteur commun , et de réduire en série le radical
