DJ — 4 AF ,+2(BD-2AE

au moyen de la formule du binôme j mais comme x ne sort pas de dessous le premier radical , parce qu’il s’y trouve seulement à la première puissance , il s ensuit que les premiers termes de la série , qui contiendront les puissances ascendantes de a:, ne représenteront pas des lignes droites, mais des lignes courbes dont l’équation sera

y— — ± -i- j/2(BD-2AE)r. (4)

Ainsi, dans le cas de B* — 4 AC nul, la courbe cherchée n’a point d’asymptote rectiligne, comme nous pouvions le penser d’avance , puisque alors elle est une parabole; mais plus x augmente, plus elle approche de se confondre avec une autre parabole, qui est celle à laquelle la valeur de .y se réduit, et qui est représentée par l’équation (4).

29g. En revenant au cas où les asymptotes rectilignes existent , il est clair que leur mutuelle intersection doit donner le centre de l’hyperbole. Ainsi en considérant les x et y comme communes dans les équations (1) et (2) des asymptotes , l’élimination donnera les coordonnées-du centre , lesquelles auront pour valeur

2AE — BD x B‘ — 4 AC’

2CD — BE y Ba — 4AC

378 Discussion

C’est ce que l'on aurait pu prévoir directement par l’équation de la courbe même , comme nous le verrons tout à l’heure. Quoi qu’il en soit, à l’aide de ces coordonnées, 011 connaîtra le centre de la courbe, et on pourra le construire. On pourra également construire ses deux asymptotes d’après leurs e'quatious. Il ne restera donc plus qu’à trouver un seul point de la courbe ; car cela suffira ensuite pour trouver toutes les autres, comme on l’a vu n” 260. Or, cette première détermination est extrêmement facile; car, l’hyperbole étant indéfinie dans tous les sens , il est impossible que deux axes rectilignes et rectangulaires de coordonnées se croisent dans le plan où elle se trouve, sans que l’un d’eux au moins la rencontre quelque part. On cherchera donc les intersections de ces axes avec elle, en faisant successivement ar = o , ouj-=o dans son équation. 11 y aura toujours au. moins une de ces suppositions qui donnera des racines réelles, et qui fournira ainsi le premier point dont on a besoin pour trouver ensuite tous les autres au moyen des asymptotes.

Sur les Centres et les Lignes diamétrales des Courbes planes.

3oo. J’ai dit tout à l’heure que les coordonnées du centre de l’hyperbole pouvaient s’obtenir directement d’une manière plus simple que par l’intersection des deux asymptotes. Comme ce résultat est général pour toutes les courbes , je vais en placer ici la démonstration.

Ce que l’on appelle le centre d’une courbe , c’est un point tel que, si l’on mène une droite quelconque qui y passe et qui se termine à la courbe, les points d’intersection sont toujours symétriquement disposés des

DES ÉQUATIONS 3^g

deux côtés du centre, c’est-à-dire eu nombre égal et

également distans.

En supposant cette condition satisfaite , concevons l’origine des coordonnées transportée au centre même. Alors, si l’on représente par -f- x , y', les coordon-

nées d’un quelconque des points d’intersection , qui satisfont à la lois à l’équation de la courbe et à l’équation de la droite menée parle centre , il faudra que la courbe ait encore un autre point, dont les coordonnées soient — x', — y ; c’est-à-dire que son équation soit encore satisfaite quand on y substituera ces nouvelles valeurs, au lieu de -f- x et -}-y; et cela, sans qu’il en résulte aucune détermination particulière de ces quantités. Cette condition se trouvera remplie si l’équation de la courbe ne contient que des termes variables de dimension paire ; c’est-à-dire tels , que la somme des expo— sans de x et de y, forme toujours un nombre pair dans chaque terme. Car alors ces termes ne changeront pas quand on changera simultanément les signes des deux variables ; et il est aisé de voir que la condition de leur constance ne peut être remplie d’une autre manière; car si l’équation contenait des produits variables de dimension impaire, les termes qui en seraient affectés changeraient de signe en même temps que les variables x, y ; par conséquent , si l’équation était satisfaite par certaines valeurs de ces quantités, elle ne pourrait plus l’être généralement par les mêmes valeurs prises en signes contraires. D’après cela , pour savoir si une courbe donnée dont on a l’équation , jouit de la propriété d’avoir un centre , il n’y a qu’à chercher s’il existe, sur le plan où elle se trouve, un point tel, qu’en y fixant l’origine des coordonnées, la condition analytique qui caractérise un centre soit satisfaite, c’est-à-dire que l’équation transformée se réduise à ne contenir que des termes varia- • *

DISCUSSION

blés de dimension paire. 11 faudra donc pour cela substituer, au lieu de x, des expressions de la forme x = a + x', jr = b+y,

dans lesquelles a et b désignent les coordonnées indéterminées de la nouvelle origine, et voir si, en disposant de ces quantités, on peut faire en sorte que les dimensions impaires de x' et de y' disparaissent de l’équation transformée.

3oi. Par exemple, si l’on effectue cette substitution dans 1 équation du second degré la plus générale,

Ar1 + B-rf + Cx’ + Djr + Ex -f F = O , on trouve que la transformée contient généralement deux termes de dimension impaire; savoir. ..... (aA b -j- Ba-j- D )y', et (2Ca + M + E) x' . Ainsi , pour que ces termes disparaissent, il faut disposer des quantités a et A de manière qu’on ait

2AÆ -f- Ba -f- D = o 2Ca + BA -f- E =0,

et alors l’équation rapportée à la nouvelle origine deviendra

Ay^+Bxy+C^+A^'-fBai-fC^-fD^+Efl-ft^o.

En effet , sous cette forme, 011 voit qu’elle ne change plus quand on y substitue — y et — x', au lieu de +y et x , ce qui est le caractère du centre.

Les relations qui existent entre les coordonnées a et b de la nouvelle origine sont du premier degré , et représentent deux lignes droites : ces droites ne pouvant se couper qu’en un seul point , il s’ensuit qu’il n’y a qu’un seul centre dans les courbes du second ordre. En effet, ces équations donnent pour a et b les valeurs suivantes :