2AE — BD 2CD — BE

JP — 4 AC ’ ~ B^~4AC

et ces valeurs sont uniques : elles deviennent infimes^

DES ÉQUATIONS. 3g,

quand B5 — est nul; ce qui signifie qu’alors il n’v a pas de centre , ou , en d’autres termes , qu’il est placé à une distance infinie de l’origine. Ce cas est celui de la parabole, comine l’indique l’équation B* — 4AC= o, qui forme le caractère de cette courbe. Dans ce cas, les deux droites qui déterminent le centre par leur intersection , deviennent parallèles , puisque leur point d’intersection est infiniment éloigné. Si, de plus, un des

numérateurs est nul en même temps que B3 /[AC

ces deux suppositions rendent aussi nul l’autre numérateur, et les valeurs précédentes de a et A deviennent indéterminées; alors il faut revenir aux équations mêmes qui les déterminent, et y introduire ces suppositions. Or, il est facile d’en déduire que, dans ce cas, les deux équations en a et b se réduisent à une seule et par conséquent ne suffisent pas pour déterminer ces deux quantités. Il y a donc , dans ce cas particulier, une infinité de centres qui sont tous situés sur une même ligne droite : mais aussi , dans ce cas, la courbe se réduit à deux droites parallèles, comme on l’a vu dans l’article 284; et tous les centres se trouvent surla ligue droite qui est intermédiaire eutre elles.

3o2. L existence des lignes diamétrales que nous avons reconnue dans les courbes du second ordre s’étend aussi aux courbes de tous les degrés. Généralement on. appelle diamètre d’une courbe une droite telle qu’elle coupe en deux parties égales toutes les cordes menées parallèlement les unes aux autres, dans la courbe, sous une certaine inclinaison. D’après cela, si l.on prend un diamètre pour axe des abscisses, et que l’on dirige l’axe des ordonnées parallèlement aux cordes qu’il divise en deux parties égales, l’équation transformée devra être telle que, si elle est satisfaite par un certain couple de valeurs tel que -f x et -\-y\

382 DISCUSSION

elle le soit encore par le couple + x et — f, c’est-àdire par la même ordonnée prise en sens contraire pour la même abscisse. Conséquemment pour savoir si une courbe proposée est susceptible d’un ou de plusieurs diamètres, il faut changer les directions actuelles des coordonnées de la manière la plus générale, par exemple , au moyen des formules

x=a-Hx'cos*-hr' cos«', b+x sin« -f j-Vin.',

en supposant, par exemple, les coordonnées primitives x rectangulaires; puis, après la substitution de ces valeurs, on cherchera à déterminer a, b, * et * de manière à faire disparaître tous les termes affectés des puissances impaires d’une des variables, sans que ces variables elles-mêmes cessent d’être indéterminées. Si la chose est possible, la direction de l’autre variable sera un diamètre de la courbe proposée.

3o3. Pour donner un exemple de cette méthode, appliquons-la aux courbes du second ordre , dont l’équation générale est

ky* -f B.rjr -t-Gx5 -f- D/ + E-r 4" F= O.

En y faisant la substitution indiquée, on trouvera que la transformée contient généralement trois termes, où l’une des nouvelles variables, x',j- , entre à une dimension impaire , et ces termes sont

f 2Asin«sin*'-fB(sin«cos*'-f sin* cos«)-f aCcosacos*' }x‘j' -f- { (?.A b 4- B« + D) sin» -f- (?C a -j- B b -f E) cos« } x

+ |(2A64-Ba4-D)sina'4-(aCa4-Bù4-E)cosct .

Pour que l’axe des x\ ou l’axe des f, devienne un diamètre , il faut toujours que le terme affecté du produit x ' y disparaisse , puisqu’il contient une puissance impaire de chacune d’elles. Il faudra donc toujours

qu’on ait

2Ccos«cos*,+B(sin*'cos«4-sin«eos«)+2Asin(,sin«';=:;o . ou ce qui revient au même 2C + B(tanga'-f- tang«) tang*tang*' = o. (i)

Ensuite, si c’est l’axe des x' que l’on veut rendre un diamètre , il faudra que le coefficient du terme en ÿ disparaisse , ce qui exigera que l’on fasse

0*A6-4-Ba-+- D)sin«' -f- (2Ca -f- C6-j-E)cos*'=o. (2)

Mais si l’on veut donner cette propriété' à l’axe des y il faudra rendre nul le coefficient de x', ce qui exigera que l’on fasse

-f-D) sin a-f-(2Ca-j-BÆ-J-E) cos*r=o. (3) Examinons ce que ces équations nous indiquent. D’abord, quelque soit celui des deux axes des coordonnées que l’on choisisse pour diamètre, on voit qu’il faudra toujours poser l’équation (,) , et y joindre seulement! une des deux autres. Maintenant, 1 equation(i) ne détermine qu’une relation entre les angles a et «' • et lorsque l’un d’eux est donné-, elle assigne toujours à 1 autre une valeur réelle , puisque chacune des deux tangentes de « ou de «' n’y entre qu’au premier degré. Or après qu’elle est ainsi satisfaite, la seconde équation’ soi t (a), soit (3), peut 1 etre seulement par les valeurs de aeti dont on dispose ; ainsi , quelque direction que l’on donne à ,1a droite sécante , dont on veut faire un diamètre, l’équation C*) assignera toujours une direction de cordes qui seront coupées par elle en deux parties égalés; et la seconde équation (2) ou (3) entrq a et b sera 1 équation de ce diamètre relativement aux pre’ miers axes des coordonnées sur lesquels les a et b sont comptées. 1

Ces deux dernières équations sont évidemment toutes

discussion

deux satisfaites lorsque l’on pose

aAi + Ba+D = o, aCa -fBA -f E = o. (i)

Ainsi , les valeurs de a et b données par ces deux conditions appartiennent évidemment à un point qui se trouve sur tous les diamètres. Mais ce sont précisément ces mêmes conditions qui déterminent le centre. Donc , tous les diamètres des courbes du second degré passent par leur centre, et réciproquement toute ligne droite menée par le centre, dans les courbes du second degré, est un diamètre, puisque, sa direction étant donnée , les équations (a) et (3) sont satisfaites , et que la direction des cordes est ensuite déterminée en quantités réelles par l’équation (i).

3o4- Supposons que, dans une courbe quelconque , on ait trouvé une direction de coordonnées telle, que l’axe des x' et celui des/ soient l’un et l’autre des diamètres ; je dis que l’équation transformée en x' et/, ne contiendra que des puissances paires de chacune de ces variables. En effet, si l’axe des x' est un diamètre, l’équation ne devra contenir que des puissances paires de/, et si l’axe des / est uu diamètre , elle ne renfermera que des puissances paires de x . Conséquemment si ces deux caractères ont lieu à la fois , l équation ne renfermera que des puissances paires de x et de/.

3o5. Cette condition est toujours remplie dans les courbes du second ordre, lorsque 1 origine des a: ,y , est placée au centre et que leurs directions satisfont à l’équation (i). Car, dans ce cas, les premières puissances de x' et de/ ayant disparu , ainsi que le terme en x'/, l’équation se trouve ramenée à ne contenir que les carrés des variables. Les systèmes de diamètres que l’équation (i) donne dans cette circonstance sont

des équations. 385

donc toujours des diamètres conjugués, en prenant ce terme dans l’acception du n° 162. Mais la condition de passer parle centre limite re'ellement cette propriété à l’ellipse et à l’hyperbole, seul cas où les équations (4) peuvent être toutes deux satisfaites en donnant aux coordonnées a et b de 1a nouvelle origine des valeurs finies.

3o6. Lorsqu’il est possible de réduire ainsi la transformée à ne contenir que les puissances paires des variables , il est clair que , s’il existe un couple de valeurs +x , qui y satisfasse , on pourra également y satisfaire avecles autres couples — x , -hy'; — *', -y';-{~x\ — ; c’est-à-dire que les quatre angles formés par les intersections des axes coordonnés renfermerontchacun un point dont les coordonnées seront pareilles, au signe près, et qui se trouvera sur la courbe. Si les coordonnées*',^', sont rectangulaires , les angles dont il s’agit deviendront des quadrans égaux entre eux , et la forme de la courbe sera identiquement la même dans tous, de sorte qu’on pourrait superposer cfcs quatre parties les unes sur les autres. Dans ce cas , on dit que la courbe est symétrique autour des deux axes coordonnés. Cela a lieu, par exemple, pour l’ellipse et l’hyperbole, lorsque les coordonnées sont dirigées suivant les axes mêmes de ces courbes. Alors la rectangularité des*' et des y donne «'= go -}-« ; et, en éliminant*' de l’équation (1) à l’aide de cette condition , il reste «

— aC sin «cos « -f- B (cos* « — sin* «) -}- 2 A si n «cos « = o ; d’où l’on tire

(A — C) tang 2« -f-B —o, (5)

équation qui donnera toujours pour tang 2* une valeur réelle; d’où l’on déduira deux valeurs aussi réelles 8e Edit. t.5