IDENTITÉ DES COURBES DU SECOND DECRÉ

de l’angle ». Mais ces deux valeurs seront telles, que si l’une est a , l’autre sera 90° -f- a ; et par conséquent elles ne donneront qu’un seul système de coordonnées , qui sera le système des deux axes de la courbe. Rien n’empèche d’établir cette même relation dans la parabole , puisque la condition B* — \ AC n'empêche pas d’en déduire la valeur de tang 2». Il existera donc pour la parabole un système de coordonnées rectangulaires qui satisfera aussi à l’équation (1). Maisune seule deces coordonnées x' ouj-' sera un diamètre, puisque, dans le cas de la parabole , on ne peut pas satisfaire simultanément aux équations (a) et (3) avec des valeurs finies de a et de b. Par conséquent la courbe ne sera symétrique qu’autour d’une des deux lignes qui composeront le système des coordonnées : elle le sera autour des x' si l’on emploie l’équation (a) qui fait disparaître la première puissance de ÿ , et autour des j-' si l’on emploie l’équation (3) qui fait disparaître la première puissance de x . L’une etl’autre combinaison donnentégalement pour diamètre la même ligne physique, qui est l’axe même de la parabole.

Identité de toutes les Courbes du second degré avec les Sections du second degré.

307. Les courbes que nous venons de découvrir en discutant l’équation générale du second degré, nous ont offert la plus grande analogie avec les sections du cône , et même s’y sont fréquemment ramenées. Il est intéressant de savoir au juste jusqu’où s’étend cette analogie ; pour cela , nous n’avons pas de moyen plus sûr que de reprendre l’équation générale ,

Kjr* + Bxjr -f- C.t* -f Djr 4- Ear-f- F = 0, et de la réduire par la transformation des coordonnées

AVEC LES SECTIONS CONIQUES. 38j

k une forme plus simple, qui permette de reconnaître la nature géométrique des courbes qu’elle renferme, sans toutefois limiter en rien leur généralité.

Pour cette discussion nous pouvons admettre que l’équation contient au moins le carré d’une des deux variables,^4 ou a:4; car, dans le cas particulier où ces deux carrés manquent, nous avons vu , n° ?.68 , que la courbe est une hyperbole dont les asymptotes sont parallèles aux axes des coordonnées.

Nous pouvons également supposer que le système des coordonnées x , y, est rectangulaire ; car, s’il ne l’était pas, on pourrait transformer les coordonnées de manière à le rendre tel ; et cette opération ne changerait point le degré de l’équation , puisque , dans les formules de transformation , les anciennes ordonnées obliques x, y, seraient des fonctions linéaires des nouvelles , et réciproquement.

3o8. Ceci accordé , résolvons l’équation par rapport à la variable dont elle contient le carré : et, supposant , par exemple , que cette variable soit^, nous aurons .t

J"=— ^(B*4-D)± ^(B4— 4AC)ar“4-2(BD-2AE)x+Da-4AF',

selon ce que nous avons vu précédemment , page 346.

La partie commune aux deux racines, est l’ordonnée d’un diamètre rectiligne de la courbe, lequel aurait pour équation,

.r= — ^ (Br + D),

et la partie affectée du double signe exprime l’ordonnée de la courbe , comptée à partir de ce diamètre parallèlement aux y : essayons de construire ces divers résultats.

3S8 IDENTITÉ DES C0ÜR8ES Dü SECOND DEGRÉ

D’abord notre diamètre coupe l’axe des jr à une distance — de l’origine des coordonnées : et sa direction forme avec l’axe des x un angle dont la tangente trigonométrique est — ^ ; menant donc deux axes

rectangulaires des coordonne'es AX, AY , fig. 127, qui aient en A leur origine commune , prenons sui; le second une longueur AD égale à — ; et, par le point

D, menant une ligne droite indéfinie LDX', qui forme avec l’axe AX l’angle LOX , ayant pour tangente trigonométrique — “ ; cette ligne sera notre diamètre.

Alors si, pour abréger, on nomme « l’angle LOX, on devra avoir

tang « ==■ — ,

sur quoi il ne faut pas oublier que , d’après les premiers principes de l’application de l’Algèbre à la Géométrie, les lettres A, B, D, ainsi que D,E, F, et les variables x et y sont censées exprimer des nombres abstraits qui sont les rapports de certaines lignes à l’unité de longueur. De sorte qu’il faut rétablir ces rapports sous leur forme géométrique , à la place de chaque lettre, quand on veut effectuer les constructions.

3og. La direction que nous avons donnée au diamètre OX' dans notre figure, est tracée particulièrement pour le cas où A, B, D, seraient des quantités positives ; mais elle peut servir de type pour représenter tout autre cas quelconque , en faisant correspondre les changemens de position de la droite OX' aux changcmens de valeurs et de signes, des lettres A, B, D... Seulement, comme nous allons tout à l’heure faire usage

AVEC LES SECTIONS CONIQUES. 38g

du point d’intersection D, il est bon d’examiner si la distance AD a toujours une valeur finie. Or, cela est

très facile ; car son expression étant — — , on voit

qu’elle ne deviendra infinie que si A est nul , c’est-àdire si le carre' de la variable y n’entre pas dans l’équation proposée. Mais puisque , dans les cas que nous avons à discuter, l’équation doit contenir au moins le carré d’une des deux variables , nous pouvons toujours admettre que nous opérons sur celle dont le carré reste, et que nous la prenons pour y. Alors nous devrons admettre que A n’est pas nul ; et par conséquent le point d’iiitersection D de l’axe des y avec notre diamètre se trouvera toujours à une distance finie de l’origine A.

3io. Cela posé, considérons un point quelconque M de notre courbe , pour lequel AP soit x et PM soit ; si l’on prolonge PM jusqu’à sa rencontre avec le diamètre OX', la distance PP' représentera

et par conséquent P'M représentera la partie radicale de la valeur de y. Or, l’équation d’une courbe doit toujours se simplifier quand on la rapporte à un diamètre, à cause de la disposition symétrique qui en résulte dans les ordonnées. Pour- profiler ici de cet avantage, rapportons notre courbe à de nouvelles ordonnées dont l'une soit DP' et l’autre P'M. Désignons la première par ■+■ x', la seconde par -\-y’. Alors , puisque l’angle LOX est exprimé par », son supplément POP' le sera par 180" — a. Nous aurons ainsi évidemment

x = — x'cos*, y— — ^{Bx-f Dj-f-y,

expressions qui , étant substituées dans la valeur résolue de y, donnent

/■'= — - y' (B* — 4AC)eos?«c.;r'J — a(BD — 3AE)cos*.x'-pDa — 4AF;

ou , en élevant au carré les deux membres, et faisant disparaître le dénominateur,

4A*y*=(B*— 4AC)cos‘«.^’— 2(BD— aAE)cos«.*'+D!,-4AF(2)

Maintenant , le polynôme du second degré qui forme le second membre de cette transformée peut s’écrire de la manière suivante :

(B'-ÜOco...

La quantité variable comprise entre les parenthèses

deviendra un carré parfait si on lui ajoute

(BD— aAE)* , „ , . 5

(B*— ^ÀCÿ’côs^ ; °r’ Cest ce que 1 on Pourra falre “» par compensation, l'on retranche hors des parenthèses

la quantité équivalente (Ba — AACjcos*»— 2 A ^ — n (B*- 4AC),cos"«>

laquelle se réduit à ^r— à l’aide de cette trans-

formation , l’équation en ÿ devient

4Ay^(B'-4AC)e.,-.{I--(B.4ac)g-

BD— aAE) » » (BD-aAE)*