B cos XcosY — B" cos Y cos Z I ~ W

2(A* — A')cos Y cos X+B”(cos*Y — cos’X) 1

-f-B' cos Z cos Y — B cos X cos Z J ° ’ à quoi il faudra joindre

cos* X 4- cos’ Y -j- cos* Z — i .

Ces équations éliminées suffisent pour déterminer cos X , cos Y, cos Z; et, comme lesformulesdontnous sommes partis étaient symétriques par rapport aux trois axes des nouvelles coordonnées, on aura, par rapport à chacun d’eux , trois équations semblables aux précédentes ; en sorte qu’il suffit de résoudre ces dernières.

Pour y parvenir, on fera

Cos X = m cos Z, cos Y — n cos Z ; on a alors

cos Z = — . ■ * — ,

et les quantités m, n, se trouvent déterminées par' les équations

2 (A— A') n 4- B (n* — î) 4- B' mn — B” m= o,

Si l’on prend dans la première la valeur de m , qui est au premier degré, et qu’on la substitue dans la seconde, le terme affecté de n disparaît de lui-même , et il reste, pour déterminer ti , une équation du troisième

Digitizf

degré. Cette équation ayant au moins une racine réelle, il en . résultera au moins une valeur réelle pour m, et par 'conséquent pour chacune des quantités cos X, cos Y, cos Z : ces valeurs vérifieront les équations (5) , et il y aura au moins un des axes cherchés qui sera réel.

Supposons que l’on transforme les coordonnées de manière à prendre cet axe pour celui des z, les deux autres axes étant pris , comme on voudra, dans le plan perpendiculaire, et seulement de manière à faire entre eux un angle droit : si après avoir effectué ces transformations dans l’équation proposée, on lui applique ensuite les équations (5) , elles devront se trouver satisfaites en faisant cos X = o , cos Y = o , cris Z = i . Cette supposition donnant B = o , B' = o , il s’ensuit que, si l’on effectuait réellement eette transformation, les rectangles jz,xz, des nouvelles coordonnées, disparaîtraient d’eux-mèmes , et l’équation serait ra menée à cette forme,

Az* + A y + A"x‘ 4- h" xj + L=o;

les coefficiens A, A', A", B", L , étant tous des quantités réelles ; mais , lorsqu’on n’a plus qu’une équation de cette forme , où B et B' sont nuis , les deux premières des équations (5) sont encore satisfaites en supposant cos Z — o; ce qui donne des axes perpendiculaires à l’axe des z. La position de ces nouveaux axes est déterminée par la troisième de ces équations , qui devient

2 (A" — A') cos Y cos X + B" (cosa Y — cosaX)= o, ou, comme on a alors

cos“ X -f- cossY = i ,

tang’X + — -- -ÿ ^ ^ tang X — i = o.

Le dernier terme de cette équation étant négatif et çgal à — i, les deux valeurs de tang X sont réelles, et

/jl2 DES SURFACES

les angles auxquels elles répondent sont X et X-f-go*. Les nouveaux axes des x et des y, déterminés par les équations (5) seront donc réels; l’axe des z, que l’on avait trouvé d’abord, et auquel ils sont perpendiculaires , est aussi réel : on aura donc ainsi trois axes réels et rectangulaires, dont le système satisfera aux équations (A) , (B) , (C) ; c'est-à-dire qu’en y rapportant l’équation générale des surfaces du second ordre, les trois rectangles des coordonnées disparaissent d’euxmêmes de cette équation.

3a3. Quoique ce système de coordonnées soit en général unique pour chaque surface , il pourrait exister entre les coefficiens de l’équation proposée des relations telles, que quelqu’une des équations (5) fût satisfaite d’elle- même ; alors les quantités mets resteraient indéterminées, et il y aurait une infinité de systèmes pareils à ceux que nous considérons : cela arriverait, par exemple , si l’on avait

A = A' = A", B = o, B' o, B" = o; ce qui suppose

a“ -f- jr* -f x1 = R*.

Alors les trois premières équations (5) seraient satisfaites d’elles-mêmes, et il ne resterait qu’à remplir les Conditions relatives à la perpendicularité des trois axes ; alors aussi , de quelque manière qu’on change la direction des coordonnées, en les laissant toutefois rectangulaires, comme les équations (5) le supposent , on n’introduirait jamais les rectangles des variables ; c’est ce qu’il est facile de voir directement par les substitutions. Le cas que nous considérons ici est celui de la sphère , et la propriété dont il s’agit a son analogue dans le cercle, comme on l’a vu précédemment.

Si l’on avait simplement

une des équations (5) serait satisfaite d’elle-même ; mais les deux autres ne pourraient pas l’être , à moins qu’on n’eût cos Z= o : il faudrait donc alors qu’un des trois axes , celui des x", par exemple , fût perpendiculaire à l’axe des z ; on aurait ensuite

cos’ Y + cos’X = i ,

c’est-à-dire que les angles X, Y, sont complémens l'un de l’autre , ce qui est une suite de la condition précédente , en vertu de laquelle l’axe dont il s'agit est situé dans le plan des xjr. Mais, pour la détermination des autres angles, il faut recourir immédiatement aux équations (C) , qui deviennent r dans ce cas ,

A cos Z cos Z' -f- A'( cos Y cos Y' -f- cos X cos X') = o , À cos Z cos Z" -f- A'( cos Y cos Y" -f- cos X cos X") = o , A cos Z'cosZ” -f- A' (cos Y'cos Y" -f cos X cos X") = o .

En les combinant avec les équations (B), elles donnent

(A — A') cos Z cos Z' = o ,

( A — A' ) cos Z cos Z1' = o ,

(A — A') cos Z' cos Z" = o ;

et , si l’on n’a pas A = A', il faudra que deux des trois quantités cos Z , cos Z', cos Z*, soient nulles ™e qui met deux des nouveaux axes dans le plan des xy. ■Comme leur situation dans ce plan reste indéterminée, il y aura une infinité de systèmes de coordonnées rectangulaires qui auront tous le même axe des x, et qui auront la propriété de ne point introduire le rectangle des variables dans l’équation proposée ; aussi verronsnous, par la suite , que la surface représentée par cette équation est formée par la révolution d’une courbe du second degré autour de l’axe des z. .

Ou arriverait à des résultats analogues, si. B, B', B*, étant nuis, on supposait A = A', ou A = A" : ces cas se traiteraient comme le précédent.

Si , dans les formules de l’article 32 1 , on veut supposer que l’on ait fait préalablement disparaître les rectangles des coordonnées, l’équation que nous avons nommée (D) ne pourra être satisfaite qu’autant qu’une des quantités A , A', A", sera nulle. Si en outre on suppose les coefticiens C, C’, C", nuis , comme nous l’avons faità la fin du même article, une des trois variables .disparaîtra entièrement de l’équation de la surface ; et comme cette variable est alors absolument indéterminée, il s’ensuit que la surface est, ainsi que nous l’avons annoncé alors, un cylindre droit dont les génératrices sont perpendiculaires à la base , laquelle est une ellipse ou une hyperbole , située dans un des plans coordonnés. Le cas de l’hyperbole comprenant celui des deux lignes droites, le plan se trouve compris parmi ces cylindres.

Des Surfaces du second ordre rapportées à leurs axes.

324. 11 résulte de cette discussion que toutes les surfag^ du second degré qui ont un centre , sont ren- •fermCTS dans l’équation

, M*“ -f- M'jr’ -f- MV“ -f- L = o. . (t)

Mais On peut aussi les réunir avec celles qui n’ont point de centre , dans une formule très simple. E11 effet, si l’on change dans l’équation’ge'nérale la direction des coordonnées sans déplacer leur origine, et en les laissant, toujours rectangulaires, on pourra disposer des indéterminées dépendantes de Cette direction , de manière à faire disparaître les rectangles j-'z , oéz',

y'x‘, des nouvelles variables ; car on aura , pour cela , les mêmes conditions que dans les numéros pre'ccdens. Par cétte opération , la proposée sera ramenée à la forme 1

+ MV‘ 4- Kr + K'/ + K"x' -J- F = o.

Alors , si l’on transporte l’origine des coordonnées sans changer la direction des nouveaux axes , ce qui se fera en supposant ; -

on pourra disposer des indéterminées a, a', a" y de manière à faire disparaître le terme tout connu ; ce qui donnera

Ma’-f-M V’ Ka + VJ a +KV+ F =. o . (a)

Il existera toujours pour ij, a , a“, des valeurs réellés qui satisferont à cette condition, excepté dans le seul cas où la proposée serait elle-même impossible. Ainsi , eh supprimant les accens dont nous n’avons plus besoin , et faisant, pour plus de simplicité ,

aMa + K=H, aMV+,K' ==H\ aM"u" + K" = H'’,

toutes les surfaces du second ordre se trouveront comprises dans l’équation

fl!- • -))• i

... TAziyWy +(MV+:H?+ Hjr+H"x='o , (3)

' l’brigine des coordonnées étant sur un point de là sur-

face. • vi .. • « ■ > -• ■ iiy

L’équation (2) ne déterminé qu’une des coordonnées a a! a” de la nouvelle origine ; on peut en conséquence disposer des deux autres pour rendre nuis deux "des cocffîciens H, H', H"; niais cétte réduction n’est app/licable qu’à celles des ‘ variables dont li carré se trouve aussi dans l’équation ; car, si M, par exemple, était nul , l’indéterminée a disparaîtrait de la valeur

4l6 DES SURFACES

de H, qui se réduirait alors à une quantité toute connue. ysi'itrj

Cette circonstance nous fournit: un moyen très simple de reconnaître dans l'équation (3) les surfaces qui n’ont pas de centre ; car , ces surfaces ije pouvant se ramener à la forme de l’équation (î), si l’on essaie de déterminer les arbitraires a , a, a", de manière à ce que les premières puissances des trois variables disparaissent en même temps, quelques-unes de ces quantités devront devenir infinies dans le cas des surfaces dépourvues de centre : or on aurait , pour les déterminer, les équations

iMa -f-K = o, iM'a +K' = o, aM"o" -f- K* = o.

Il faudrait donc qu’une , au moins, des trois quantités M,M',M", fût nulle, celle qui lui correspond parmi les quantités K, K', K", ne l’étant pas. Ainsi, quand nous voudrons considérer dans l’équation (3) les surfaces dépourvues de centre , nous devrons supposer que cette équation a perdu quelques-uns des termes qui contiennent les carrés des variables ; modification analogue à celle qu’offre la parabole daus les sections coniques.

325. L’équation générale étant ainsi ramenée, dans tous les cas, à sa forme la plus simple, examinons plus particulièrement la nature des diverses surfaces qu’elle représente , en commençant d’abord par celles qui ont un centre , et qui sont par conséquent comprises dans la formule

Mz4 -f- M'y +M,i, + L = o.

Cette équation , étant résolue par rapport à une quelconque des trois variables x , jr. z, donnerait pour elle deux valeurs égales et de signes contraires. Il suit delà que chacun des plans coordonnés divise ces sur-

faces en deux portions égales et symétriques. Les traces de la surface sur ses plans se nomment sections principales , et les axes rectangulaires qui déterminent ce système de coordonnées s’appellent axes principaux.

Si nous coupons la surface par des plans parallèles aux plans coordonnés , ce qui revient à supposer successivement x , j-, z, constantes, les intersections, qui seront des courbes du second degré rapportées à leurs axes et' au centre , détermineront la forme et le cours de la surface. La nature de ces intersections dépendra évidemment des signes des coefficiens MM'M" : or, en supposant M positif, ce que nous ferons toujours, il peut arriver qu’on ait

M' et M" positifs ,

M' positif, M" négatif,

M’ négatif, M* positif,

M' et M" négatifs,

Les trois derniers cas donneront toujours deux coefficiens de même signe, le troisième étant de signe différent : ils rentreront par conséquent les uns dans les autres , et conduiront aux mêmes résultats , en changeant convenablement les variables les unes dans les autres. Il suffira par conséquent de considérer séparément le premier cas et le dernier.

3a6. M, M', M”, étant positifs, si l’on fait successivement

», étant des constantes, les intersections de ces plans avec les surfaces auront pour équations

Mz“ + M'y -f MV 4. L = o,

Mz‘ + M"*’ + M'/3a + 1 = 0,

M'y + M'.r* + My + L = o.

8e Édit. ir

Toutes ces intersections seront alors des ellipses qui auront leurs centres sur les axes des x , y, z. Les traces de la surface, sur les plans coordonnés , s’obtiendront en faisant «=o , jS = o, y = o,et elles auront pour équations

Mjs“ -f- M'^1 4 L = o,

Mza 4 M".t*4 L = o,

M".xa4 L = o.

Si L est positif, toutes les intersections parallèles aux plans coordonnés seront imaginaires , ainsi que la surface ; si L est nul , elles se réduiront à un seul point , qui sera l’origine des coordonnées ; enfin si L est négatif et égal à — V , elles seront réelles tant que les quantités

— L' + MV, — L' + M'Æ*, — L' 4 My«,

seront négatives ; elles se réduiront chacune à un point, quand ces quantités deviendront nullcs, et deviendront imaginaires , de même que la surface , au-delà de cette limite. Ainsi, dans le cas que nous considérons , la surface est fermée : la nature de ces intersections lui a fait donner le nom d 'ellipsoïde.

La construction de cette surface se déduit aisément des considérations précédentes (fig. 128). En effet, BC, CD , DB , représentant ses trois sections principales , la section B'D', faite par un plan B'PD' parallèle à celui des jrz , sera une ellipse qui aura son centre au point P, et dont les axes seront les ordonnées PB', PD', menées par ce point aux deux sections principales situées dans les plans des xz et des xjr. Pour chaque point M pris, sur la droite PD', l’ordonnée M'M de l’ellipse B'D' sera celle de la surface. Nous n’avons représenté dans la figure que la portion qui est renfermée dans l’angle trièdre des coordonnées positives.

Lorsqu’on fait simultanément y = o et s= o ,. dans l’équation de cet ellipsoïde n° 325 , la valeur de x représente l’abscisse AC des points où l’axe des x rencontre la surface : on trouve ainsi

AC = -\Z:w-

Cette double valeur indique deux points d’intersection situés de part et d’autre , et à des distances égales, de l’origine des coordonnées. On trouvera de même , en faisant successivement j^=o et x=o; puis x=o et z=o,

Le double de ces valeurs forme ce qu’on appelle les axes de la surface : on voit qu’ils ne sont réels , que si L est négatif, puisque M , M', et M", sont tous trois positifs par supposition.

L’équation de l’ellipsoïde prend une forme très élégante lorsqu’on y introduit ces axes. Si l’on représente par A , B, C , la moitié de leurs longueurs, respectivement parallèles aux x , y, z, on aura

et , en tirant de ces rapports les valeurs de M, M', M'', l’équation de la surface dévient

ou, en faisant disparaître les dénominateurs

A“B’z* + A’Cy + B’C’x3 = A’B’C* ;

sous cette forme , on voit aisément que les sections

principales sont des ellipses dont les axes sont A et B, A et C, B et C.

327. Prenons les plans coupans perpendiculaires au plan des xy, et passant par l’axe des z , leur équation sera

y — ax »

En outre, si l’on adopte pour coordonnées (6g. 129) l’augle N AC et le rayon AN, que nous représenterons respectivement par <p et r, on aura

x ~ r cos y — r sin p.

Substituant ces valeurs dans l’équation de la surface , on aura celle de l’intersection rapportée aux coordonnées r et z, qui sera

Mza r‘ (M' sin’ ip -f- M" cos’ <p) -{- L = o.

Elle représente en général des ellipses différentes, suivant les différentes valeurs de tp. Mais, si M' =M", les axes AC , AD , situés dans le plan des xy, deviennent égaux , l’angle $ disparait , et l’on a simplement

Mz’ -f M'r“ -f- L = o.

Toutes les sections faites dans la surface par des plans menés par l’axe des z , sont donc alors égales entre elles et aux deux premières sections principales. En outre , la troisième devient une circonférence de cercle , et il en est de même de toutes les intersections parallèles au plan des xy. La surface est donc alors formée par la révolution de l’ellipse BC ou BD autour de l’axe des z. On voit , par ce procédé , qu’en général , pour qu’une surface soit de révolution autour de l’axe des z, il faut que x etj^ entrent dans son équation ; de manière que z n’y soit fonction que de r ou de x% -hy*-

La supposition de M = M' ou de M = Mff donnerait

DU SECOND ORDRE. 4a 1

des ellipsoïdes de révolution autour des autres axes. Enfin , si M = M' = M", les trois axes A , B , C , sont égaux ; l'équation de la surface devient

Elle est alors de révolution par rapport aux trois axes : on reconnaît aisément la sphère à cette propriété.

328. Généralement, à mesure que les quantités M , M”, M", diminuent , L restant le même , les axes qui leur correspondent augmentent, et l’ellipsoïde s’étend davantage (Gg. 128). Enfin, si l’une d’elles, M* par exemple , devient nulle , les deux autres restant finies et positives, l’axe correspondant, qui est ici AC, devient infini ; alors l’ellipsoïde se change en un cylindre dont l’axe se confond avec celui des x , et dont l’équation est

Mz1 -f- M'^3 -j- L = o.

La base de ce cylindre est l’ellipse BD située dans le plan des zj\ et la coordonnée x disparaît de l’équation de la surface , parce que la forme cylindrique se trouve précisément caractérisée par son absence , qui rend identiques toutes les sections pour lesquelles cette variable a une valeur constante quelconque.

On voit de nouveau , par cet exemple , qu’en général une équation qui ne renferme que deux des trois variables x , y, z , représente un cylindre lorsqu’elle est prise dans toute sa généralité. C’est ainsi que l’équation d’un plan perpendiculaire à un des plans coordonnés se réduit à l’équation de sa trace sur ce plan.

Si aux suppositions précédentes on ajoute que M — M’, l’ellipse BD devient une circonférence de cercle ; et l’on a alors le cylindre droit à base circu-

laire , tel qu’on le considère dans les élémens de Géométrie.

Enfin, si M' est nul, l’équation se réduit à M z* -J- L = o ,

ce qui donne

elle représente alors deux plans , parallèles au plan des xjr, et situés de part et d’autre de ce plan, à la distance AB.

329. Considérons maintenant le cas où M' et M' sont négatifs, M étant toujours suppose positif. Dans ce cas, l’équation de la surface prend cette forme

Mz* — M'/ — M V + L = o;

et les intersections parallèles aux plans coordonnés ont pour équations

Mza — M'y — M V + L = o ,

Mz4 — M"x4 — M'0’ + L = o ,

M'y* 4- M*xa— My — L = o ,

Les deux premières sont des hyperboles, les dernières sont des ellipses : on a alors pour les traces de la surface

Mz4 — My -(- L = o , Mz4 — M"x4 -+■ L = o ,

M'/ + MV-L = o.

Les intersections parallèles aux plans des xz et des jrz sont toujours réelles : il n’en est pas de même des intersections parallèles au plan des xj ; elles ne peuvent être toujours réelles que lorsque L est une quantité positive : si L est négatif et égal à — L', elles seront imaginaires pour toutes les valeurs de y , qui rendront

la quantité 1/ — My’ positive; quand cette quantité sera nulle , elles se réduiront à un point , et au-delà elles seront toujours réelles. Ainsi , dans ces deux derniers cas , la surface s’étend indéfiniment dans tous les sens ; mais sa forme n’est pas la même.

Lorsque L est positif (fig. i3o) , les deux sections principales, qui sont des hyperboles , ont pour second axe l’axe des z : elles sont donc placées comme le représente la figure : alors tous les plans parallèles à celui des xy rencontrent la surface suivant des ellipses.

En cherchant, comme dans l’artile 326, les intersections de cette^surface par les axes coordonnés des xyz, on trouvera ses trois axes, dont les deux premiers seront réels, et le troisième imaginaire : si on les représente respectivement par A , B , C [/ — i , et qu’on introduise ces valeurs dans l’équation de la surface, elle prend la forme suivante :

AaB‘z» — A'-C’j-’ — B’CV -f A2B:Ca = o, ou en divisant par le produit A*B*C*, z‘ y'1 x*

CF ~ ÏF — ÂT ~ — 1 ’

ce qui est mie forme analogue à celle du n° 3a6.

Lorsque L est négatif au contraire, les hyperboles résultantes des sections principales ont pour premier axe l’axe des z , elles sont donc placées comme le représente la fig. r 3 1 : alors la surface est imaginaire entre B et B' ; par conséquent, les plans parallèles au plan des xy ne la rencontrent point dans cet intervalle, audelà duquel ils donnent constamment des ellipses.

Dans ce cas, si l’on cherche ics trois axes de la surface relativement aux xyz , on trouvera le dernier réel,

DUS 80RFACCS

et les deux autres imaginaires. En les représentant respectivement par A V — i , B |/ — i etC, l’équation de la surface deviendra

A‘BV — A'Cy— B!Csx* — AaB!GJ = o, ou

On voit maintenant en quoi diffèrent ces deux surfaces que l’on nomme hjrperboloïdes .

Lorsque M' = M", on a A = B ; elles deviennent toutes deux de révolution autour de l’axe des *.

Si M" devient nul, L ne l’étant pas, l’axe AG devient infini , et l’équation se réduit à

Mz* — 'My~(-L=:o.

Elle représente alors un cylindre perpendiculaire au plan des zj", et dont la base , ou la section par ce plan, est une hyperbole. La situation de cette base, et par conséquent celle du cylindre autour de l’axe des x, dépend du signe de L.

A mesure que L positif ou négatif diminue, M,M',M", restant les mêmes, l’intervalle BB' (6g. i3i) et l’ellipse CDD' (ûg. i3o)se resserrent; en6n, quand L est nul, les points B et B' se confondent à l’origine A des coor» données ; et l’ellipse CDD' se réduit ;\ un point qui est cette même origine. Les hyperboles données par les plans des xz et des yz deviennent alors des lignes droites; et finalement les hyperboloïdes se réduisent tous deux à un même cône ABB', fig. i35 , lequel ressemble au cône droit des élémens de Géométrie , à cela près que les sections ABB' perpendiculaires à son axe sont des ellipses; son centre est en A à l’origine des coordonnées : dans ce cas , l’équation se réduit à

Mz* — M'jr’ — M"x’ ~ a.

Les sections de la surface par des plans parallèles aux plans des xz ou desjrz , sont encore des hyperboles qui ont leur centre sur l’axe des^ ou sur l’axe des x. On pourrait doue concevoir encore ce cône comme ayant pour base une hyperbole situe'e dans un plan parallèle à un des deux pre'ce'dens ; et alors il serait engendré par le mouvement d’une ligne droite assujettie à passer toujours par l’origine des coordonnées , et par des points différens de cette hyperbole. Si M' est nul, ce cône se réduit à deux plans passant par l’origine des coordonnées, et perpendiculaires au plan des y z.

On peut encore s’assurer que la surface précédente est conique , en menant les plans coupans par l’axe des z; alors ils auront pour équation

y ■= x tang f> ;

ce qui donne

x — r cos f> , y = r sia ç.

Ces valeurs, substituées dans l’équation générale des hyperboloïdes, donneront pour l’intersection

Mz’ — r* (M' sin* f> -f- M" cos’ f) — L = o ,

qui appartient en général à l’hyperbole. Mais dans le cas où L = o , elle représente deux lignes droites menées par l’origine ; ce qui est le caractère des surfaces coniques, puisqu’elles sont engendrées par le mouvement d’une droite assujettie à loucher toujours une courbe donuée, et à passer toujours par un même point. Ici les droites correspondantes à un même plan coupant font des angles égaux avec l’axe des z ; ce qui tient à ce que l’axe du cône passe par le centre de l’ellipse qui lui sert de base , et est perpendiculaire au plan qui la contient.

Tant que M' et M" sont différentes l’une de l'autre* les droites données par l’équation

Ms* — r* (M' sin* 1 p -f- M" cos* f ) = o,

font des angles différens avec l’axe des z suivant les valeurs de <p : mais , lorsque M'== M", on a

Ms* — r*M' := 0 ;

l’angle disparaît, et toutes les génératrices font des angles égaux avec l’axe des z 1 ainsi, dans ce cas , la surface devient un cône droit à base circulaire , ayant pour axe l’axe des z.

330. Le cône elliptique que nous venons de considérer est , par rapport aux liyperboloïdes , ce que sont les asymptotes de l’byperbole par rapport à cette courbe. En effet, si l’on représente par z, z', les coordonnées respectives de ces deux surfaces pour les mêmes valeurs de x et de^, on aura

M>* 4- M'a:* M>* + M"ar,J — L

ce qui donne

La différence entre ces ordonnées , supposées de même signe , sera positive ou négative suivant le signe de L : par conséquent , le cône sera intérieur à l’hyperboloïde, si L est positif; extérieur, si L est négatif. Cette différence sera d’autant plus petite, que les valeurs des coordonnées z et * seront plus grandes : ainsi le cône approchera toujours de plus en plus de chacun des hyperboloides , sans pouvoir jamais les atteindre.

33 1. Les hyperholoïdes ont encore plusieurs pro-

priétés remarquables qui les rapprochent des surfaces coniques. Si l’on considère les hyperboles

Mz* - My> — M"«t* + L— o,

qui sont données par les plans coupans parallèles au plan des yz, on voit qu’en supposant L positif (fig. 1 3o), elles auront leur second axe parallèle aux z , tant que

sera une quantité positive, ce qui arrivera quand le plan coupant passera entre le centre et le point C. Quand cette quantité deviendra nulle , elles se réduiront à des lignes droites , ce qui arrivera à l’extrémité de l’aie AC; enfin , pour des distances plus grandes du centre , elles auront leur premier axe parallèle à celui des z. On peut suivre la même marche sur les hyperboles parallèles aux plans des xz , et l’on trouvera également que le plan mené à l’extrémité de l’axe AD , perpendiculairement à l’axe des y , rencontre aussi la surface suivant deux lignes droites. Ceci est un cas particulier d’une propriété plus générale que nous développerons par la suite.