Reprenons maintenant l’équation générale

Ms* + M'jr* 4- M'x* 4. Hs 4 H>- 4- Wx = o. (2)

Pour en déduire les surfaces dépourvues de centre , il faudra (page 4*6) supposer quelqu’un des trois coefficiens M, M', M", égal à zéro : ces coefficiens ne peuvent cependant pas être tous supposés nuis à la fois , car alors la surface ne serait plus qu’un plan. 11 y aura donc en tout deux cas à examiner, suivant qu’une seule ou deux d’entre les quantités, M, M', M", seront nulles. Nous allons discuter ces deux cas, en supposant que le terme Mz* reste dans l’équation , le

coefficient M e'tant positif. Il suffira de changer convenablement les variables xjz les unes dans les autres, pour en déduire les résultats qui auraient lieu , si M était égal à zéro.

Supposons d’abord M* nul, M' ne l’étant point: alors , ^d’après ce qui a été dit dans l’article 3a4 , on pourra transporter les coordonnées parallèlement à elles-mêmes , de manière à rendre H et H' nuis. L’équation sera donc réduite à la forme

Mz’ 4- M>’-|- HV= o.

Les sections parallèles aux plans dcsjz , des xz , et des xjr, seront

Mza + My + H'« = o,

Mz* +H"x -f- M'/3a= o,

H"x -f- My* = o.

Les deux dernières, qui représentent des paraboles, seront toujours réelles; les premières seront des ellipses ou des hyperboles , selon que M et M’ seront de même signe ou de signe contraire. Les sections principales de la surface auront pour équations

Mz’+M’j-’^o, Mz14-H"x=o, M>* + H*x=o;

et, suivant le signe de M’, la première se réduira à un point, ou représentera deux ligues droites.

Supposons d’abord M' positif, ainsi que M. Les sections parallèles au plan des j^z ne seront réelles qu’autant que H" et a. seront de signe contraire. La surface ne s’étendra donc que d’un seul côté du plan desjz ; savoir, du côté positif, si H' est négatif; de l’autre, s’il est positif : cette dernière disposition est représentée dans la figure i32 ; on y reconnaît aisément l’ellipsoïde de la fig. 128, dont les deux sections principales, parallèles aux xz et au xj-z, sont devenues des paraboles-

DU SECOND ORDRE. ^2g

Prenons maintenant M' négatif ; l’équation de la surface devient

Mz“ — M'j-1 -+■ H'x = p,

et les sections principales seront

Mz3 — M'ja — o, Mza + H*x = o, Mj>-H'x=o,

La première se compose de deux lignes droites AL, AL' (fig. i33). Les deux autres qui sont paraboliques ont leurs branches dirigées en sens contraire, et leur sommet à l’origine des coordonnées. En général, les sections parallèles au plan des jz seront des hyperboles BB'B", CC'C", qui auront leur centre dans l’axe des x; mais d’un côté de ce plan , elles auront leur premier axe B b parallèle aux z, et de l’autre, elles auront le premier axe Ce parallèle aux Ces directions différentes se réunissent dans le plan des j'z , où les sections hyperboliques se réduisent à deux lignes droites AL, AL', comme le représente la figure i33 , où l’on a supposé H' positif. En général, il est aisé de voir que le signe de H" n’influe point sur la forme de la surface, mais seulement sur sa position par rapport aux plans coordonnés. Il est remarquable que les hyperboles représentées par les équations.

Mz3 — My+H"« = o,

lesquelles sont par conséquent les projections. sur le plan des jz des intersections parallèles à ce plan , ont leurs asymptotes parallèles aux lignes droites AL, AL', dont l’équation est

Mz3 — M'jr1 = o .

et qui sont les intersections du plan desj'-z arec la surface. Ainsi les deux plans menés par chacune de ces

43o DES SURFACES

droites et par l’axe de x comprendront toute la surface dans les angles dièdres qu’ils forment de part et d’autre du plan des a j, et ils s’en approcheront sans cesse sans pouvoir l’atteindre. Les surfaces que nous venons de discuter se nomment paraboloïdes.

333. Il nous reste maintenant à examiner le cas où M' et M" seraient nuis à la fois ; alors l’équation (2) devient

Mz1 4- H* 4- H'j 4- H'x = o. (4)

On ne peut, parle simple déplacement de l’origine, faire disparaître que le terme Hz , ce qui ramène l’équation à cette forme

Mz*4-H>4-H''r = 0.

Les traces de la surface sur les plans des jz , des xz et des xj, ont pour équations

Mz’ 4- H'j — o , Mzs4-H“'x=o, H'j 4 H'x = o ;

les équations des sections parallèles à ces plans seront en général

Mz1 -\-H'j + H"- ~ o, Mz’4-ir*+H'/S = o,

H'j 4~ H"x 4- Mys = o.

Les deux premières représentent des paraboles égales et parallèles aux sections principales qui leur correspondent : leurs sommets , toujours situés dans le plan des xj, sont placés sur la ligne droite

suivant laquelle le plan des xj rencontre la surface. On voit, de plus, que les sections parallèles au plan des xj sont des lignes droites parallèles entre elles , et à la trace de la surface sur ce même plan. Il est aisé de re-

connaître à ces caractères que la surface dont il s’agit est un cylindre parabolique dont les droites génératrices sont parallèles au plan des xy, les projections de ces génératrices sur ce plan faisant avec l’axe des x

un angle qui a pour tangente trigonoinétrique — — .

D’après ce que nous avons dit sur la nature des surfaces cylindriques , il est clair que , si nous transformons les coordonnées de manière à prendre un de leurs axes parallèles aux génératrices, une des trois variables x, y, z j disparaîtra d’elle-même. Ici donc, puisque la direction des génératrices est parallèle au plan des xy, il faudra conserver l’axe des z , et changer seulement ceux des x et des y, en les laissant rectangulaires , ce qui se fera à l’aide des formules

x — x' cos * — y sin * , y — x' sin * -f-y' cos «.

En effet, en substituant ces valeurs dans l’équation de la surface , elle devient

Mz‘-f- (H'cosa — H "sin*) j'' -f- (H 'sin* + H''cos*).r'= o. La variable x' disparaîtra en faisant

H' sin * ■+■ H" cos * = o ;

ce qui donne

lang *=— gp.

Le nouvel axe des x devient ainsi parallèle à la génératrice qui a pour équation

et l’équation transformée de la surface devient

c’est-à-dire qu’elle se réduit à l’équation d’une parabole perpendiculaire à x .

334 ■ Lorsque l’on coupe les surfaces du second degré par des plans diversement inclinés , les intersections sont des courbes du second ordre dont la nature est toujours facile à caractériser, en les rapportant à des coordonnées prises dans le plan coupant lui-même.

Pour cela , reprenons les formules

x = mx -j- m'y -(- mV, y= nx' -f-n' j nV, z=px+py+p'z',

qui serventgcnéralement à la transformation des coordonnées en trois dimensions. Si l’on substitue ces valeurs dans l’équation d’une surface, cette surface se trouvera rapportée aux nouvelles coordonnées x'y'z ; et, pour trouver son intersection par un plan donné, il suffira de combiner son équation avec celle de ce plan. Or, si les coordonnées x y' sont prises dans le plan coupant lui-mêine, la troisième coordonnée z' lui sera perpendiculaire, et l’équation de ce plan sera x' == o. Ainsi , pour trouver l’équation de son intersection avec la surface , il suffira de faire z nul dans cette dernière, après l’avoir transformée.

Ou , ce qui revient au même , il suffira d’y substituer pour x,y, z, les valeurs suivantes

x=mx -\-m'y , y — nx' -f- n'y , z—px'+p'y',

que l’on obtient directement lorsqu’on suppose z' nul.

Il ne reste plus qu’à déterminer le^coefficiens m,m',

n, n',p,p', d’après la position des axes dans le plan coupant. Pour plus de simplicité, nous supposerons que les x sont comptées sur la ligne AX' (fig. 1 3^) > qui représente la trace de ce plan sur celui des xy ; et nous prendrons pour axe des y une droite AY' menée dans le plan coupant, perpendiculairement à cette trace : alors, si nous commençons par considérer les points situés sur l’axe AX', pour lequel y est nul' les valeurs respectives de x , y, z, deviendront

x=mx, y=nx', z~px.

». .tj J « j

Mais, puisque l’axe AX' est dans le plan des xy, si l’on nomme <p l’anghi X'AX , on aura pour les points situés sur cet axe

x = x' cos <p, yz=x'smtp, z=o.

par conséquent

m =: cos <p , n=sin <p , p~o.

Si l’on considère de même, en particulier, les points situés sur l’axe AY', on aura pour ces points x’ ~ o, ce qui donne

x=m.y, y=ny z=Py.

Soit M un quelconque des points dont il s’agit. Si l’on mène MM', M'P', respectivement parallèles aux axes des z et desj-, MM' sera z, P'M', — jr- AP', x, et AM, y ; l’angle MAM' sera celui que le plan donné forme avec celui des xy : en le nommant ) , on aura

z =y sin « , AM' =y cos f ,

y — — AM' cos <p = — y cos fl cos <p, x — AM' sin <p z=y' cos fl sin <p ;

8e Edit. 28

ce qui donne

m' — cos ê sin p , ri— — cosScosp, />'=sinô;

et, en re'unissant ces valeurs particulières, oa en tire généralement, pour tous les autres points du plan