En substituant ces valeurs dans l’équation générale
M z1 + M y + M'*‘ + Hz + B> 4- H"x= o ,
qui comprend toutes les surfaces du second ordre , p. 4'5, on aura l'équation de l’intersection , qui sera évidemment du second degré en x ,yt et l’on pourra reconnaître sa nature d'après les méthodes que nous avons données.
On pourra même disposer des indéterminées desquelles dépend la position du plan coupant, pour obtenir à volonté les diverses formes d’intersections qui seront compatibles avec la nature de la surface. Si , par exemple, on demande que l’intersection soit une circonférence de cercle , il suffira , pour cela , que les coefficiens dejp'1 et a:'* soient égaux et de même signe celui du rectangle x' y' étant nul. Or l’on verra aisément, par la substitution effective , que ces conditions donnent les deux équations suivantes
Msina«+ M'cosaôcosa;p-f-M"cosaôsin*ip — M'sin’p — M"cosaip=o , (2)
sin <p cos <p cos 0 ~ o , (3)
lesquelles doivent servir à déterminer les angles 6 et <p.
La seconde est satisfaite en supposant cos t ~ o ; ce qui donne sin t = 1, et fl = go° : cette valeur, substituée dans la première , donne
M — M' sina <p — M" cosa <p = o ;
d’où l’on tire
Alots 1 angle fl étant droit , le plan coupant est perpendiculaire au plan des x y : cette valeur de tang <p n’est réelle qu’autant que la quantité
est positive. Ainsi, dans ce cas seulement, la supposition 6 = 0 est admissible. Cela, n'a pas lieu, par exemple , quand M' = M". Alors , en effet , la surface est de re'volution autour d’un axe parallèle à l’axe des * , comme on peut aisément le voir en transportant les coordonnées x et y parallèlement à elles-mêmes , et il devient impossible de la couper suivant un cercle par un plan parallèle à cet axe , à moins qu’on n’ait aussi M — M'=M"; ce qui est le cas de la spbère.
L’équation (3) est encore satisfaite en faisant
sin<p=o, ou cos p = o.
La première supposition donne le plan coupant perpendiculaire au plan des yz ; la seconde le rend perpendiculaire à celui des xz. Dans le premier cas, on aura
dans le second,
Chacune de ces valeurs de fl ne sera admissible qu’autant que la fraction qui s’y trouve affectée du signe radical sera positive. Or, il est aisé de voir qu’en prenant M positif, ce qui est toujours permis, les trois quantités
IT-Zm' ’ M"— M’ M' — M’
ne peuvent pas être négatives en même temps , d’ou il suit qu’une au moins des suppositions précédentes sera possible : or, chacune d’elles donne deux valeurs de tang 6 ou de tang <p , et par conséquent il en résultera, dans chaque cas, deux positions du plan coupant qui donneront des circonférences du cercle.
Il suit de là , i°. qu’en général , par chaque point d’une surface du second degré on peut toujours faire passer deux plans qui la coupent suivant une circonférence de cercle.
2®. Lorsque l’on a fait disparaître de l’équation dp la surface les rectangles des cordonnées , les plans coupans qui donnent des cercles sont perpendiculaires à l’un des plans coordonnés.
3°. Comme les conditions précédentes ne déterminent que les angles fl et <p, et non pas les coordonnées a, b, c, il existe pour chaque surface une infinité de plans qui donnent des cercles de rayons divers ; et ces plans sont tous parallèles entre eux , puisque leurs die'— mens angulaires 6 et p sont les mêmes. Quant aux indéterminées a, b, c, on peut en disposer pour que l’origine des coordonnées x', y, se trouve au centre inême du cercle suivant lequel la surface est coupée. Cette condition, qui rend les coefficiens de x' et de y nuis , donne , entre a , b , c , deux équations linéaires ; d’où il suit que, pour chaque surface, les centres de tous ces cercles sont situés sur une même ligue droite.
a et b étant supposés déterminés par ces deux équations, c reste encore arbitraire ; mais, pour que les cercles dont il s’agit soient réels, il faut que le dernier ternie de l’équation transformée en x'1 elj' * soit de signe contraire aux deux autres. Cette condition , qui limite les valeurs de c, pourra toujours être remplie pour chaque surface , excepté dans les points de l’espace où elle ne s’étend pas. 11 suit de là que toute surface du second degré peut être engendrée par le mouvement d’un cercle toujours parallèle à lui-même, et variable de rayon.
Pour achever de montrer 'l’usage de ces formules , appliquons-les au cène elliptique droit de la figure i35, qui s’obtient lorsque l’équation générale est réduite à
Mz* — M 'jr% — M":r * = o ,
comme on l'a vu dans la page 4a4-
Dans ce cas, en donnant aux coefficiens M, M', M", leurs signes actuels , les trois fractions dont il faut considérer les signes pour trouver le sens de la section circulaire sont
ou, ce qui revient au même ,
La première ne peut jamais être que négative , puisque les signes des coefficiens M , M', M’, sont maintenant fixés et invariablement positifs. Ainsi la solution 8 = go° n’est point admissible ; et il est évident en effet par la disposition même de la surface figure 1 35 , qu’on n’y saurait obtenir de section circulaire en la coupant par un plan perpendiculaire à celui des coordonnées x et jr.
Mais des deux fractions suivantes l’une sera nécessairement posi tive . Ce sera la première si M' surpasse M"; ce sera la seconde si M" surpasse M'.
Pour découvrir les conditions géométriques qui cor respondent à ces deux suppositions, il n’y a qu’à faire successivement x = o eti7"=o dans l’équation de la surface , ce qui donnera les deux sections principales situées dans les plans desjrz et des xz. On trouve ainsi
DU SECOND OBDRE.
Chacune de ces deux sections est donc composée de deux lignes droites formant un angle égal avec l’axe des z, qui est aussi l’axe du cône elliptique. Si l’on donne à z une valeur définie quelconque , par exemple
AA.' ( fig. 1 35 ) , les produits z z ^/^expri-
meront respectivement les demi-axes A'D , A'B , de la section elliptique, le premier situé dans le plan des jz, le second dans le plan des xz.
Supposons que ce dernier A'B soit le plus petit des deux , en sorte que l’ellipse soit aplatie dans le sens BB'. Alors M" devra ctre plus grand que M'; et la combinaison qui donne les sections circulaires sera
tp = oo° tang < = -+- . /M M'
La valeur de <p montre que le plan coupant , par exemple X'A'Y' (fig. i34) , doit avoir sa trace AX' parallèle à l’axe AY, ce qui rend ce plan perpendiculaire au plan des xz , conséquemment parallèle au grand axe de la section elliptique qui sert de base au cône. La valeur de tang t marque l’inclinaison qu’il faut donner à ce plan sur celui de la base pour obtenir la section circulaire; et le double signe de tang fl montre qu’il existe deux inclinaisons égales mais de sens opposé, qui réalisent également ce genre de section. On les a représentées par A' Y', A'Y" dans la figure i35.
Pourvoir plus particulièrement l’effet de ces diverses déterminations , bornons-nous d’abord à faire <p — 90°, conséquemment cos = o , sin p = 1 , et introduisons seulement cette supposition dans les expressions générales dex, y, z , en fonction de x',y' (page432); il ' en résultera ces valeurs particulières
y y cos ô
y = b+x' z = c +y' sin 9.
Le plan coupant se trouve ainsi rendu perpendiculaire au plan des x , z , les autres e'iémens de sa direction restant d’ailleurs arbitraires. Si l’on substitue ces valeurs de x, y, z, dans l’équation du cône elliptique , elle devient
M c“-f-2Mcsin9.,?'' -f- Msin‘9.^1 — M' b' — oM'b .a? — M'.*'*
— M" o? — 2M"acosS.j-' — M"cos’ 9 y'1
Le rectangle des coordonnées x'ÿ a déjà disparu par le seul effet de la valeur que nous avons donné à <p , c’est-à-dire en rendant le plan coupant perpendiculaire au plan des a». Maintenant, pour que la section soit circulaire, il faut encore que les carrés des variables x'“, y*, aient des coefficiens égaux et de même signe (n°’ 1 1 4 et n 5). Cette seconde condition exige donc que l’on fasse encore
M sin’9 — M" cos’6 = — M' ;
d’où l’on tire sma 6 ;
-, ; cos‘ô=
conséquemment tang t = db
c’est précisément la double valeur de tangfl que nous avions obtenue plus haut généralement.
En supposant cette valeur de « adoptée , ce qui exige que M" surpasse M', la section sera un cercle ; mais l’équation qui l’exprime pourra être simplifiée en disposant des trois indéterminées a, b, c, de manière que l’origine des coordonnées x'y soit placée précisément
au centre de cette section. Pour cela il suffit de rendre nuis les coefficiens des termes qui contiennent x et ÿ à la première puissance , ce qui aura lieu en faisant
b — o Mc sin 6 — > M"a cos t = o.
La première dit que le centre dont il s’agit est situe dans le plan des xz, c’est-à-dire dans le pian de la section principale qui contient le petit axe de la base elliptique. La seconde condition ne détermine pas les deux coordonnées a et c du centre , mais seulement leur rapport , car on en tire
z=w ta“e'-
ou en mettant pour tang t sa double valeur
Il y a donc aussi deux valeurs de Or b étant nul,
* exprime la tangente trigonométrique de l’angle
L'AA' ou L'AA', formé avec l’axe des z par deux droites AL', AL", menées de l’origine A au point dont les coordonnées sont a et c , c’est-à-dire au centre de la
section circulaire. Et puisque le rapport seul ^ est défini , mais non pas les coordonnées a et c elles-mêmes, il s’ensuit qu’il existe une infinité de sections circulaires possibles, dont les centres sont situés sur les deux droites AL , AL', simétriquement inclinées à l’axe des z.
En outre la première expression de - montre que ce
44a DES SURFACES
rapport a le même signe que tang 0 ; conséquemment
la droite AL' pour laquelle ^ est positif, contient les
centres des cercles donnés par les plans A'Y' pour lesquels tang}0 est positif aussi; et semblablement les centres situés sur AL" appartiennent aux plans A'Y". La nécessité de cette correspondance est évidente par la figure même, puisque les lignes AL', AL", doivent respectivement bissecter les portions des axes Y' A', Y"A', qui sont interceptées par la surface conique supposée indéfinie.
Cette application particulière vérifie ainsi et réalise toutes les conclusions générales que nous avions déduites dans le n9 336 pour toutes les surfaces du second ordre. Ici l’on voit que le cône droit à base elliptique peut être considéré comme un cône circulaire dont l’axe AL' ou AL* est oblique sur la base. C’est le cône oblique que l’on considère relativement à son volume dans les élémens de géométrie. Si on lui suppose pour base une des sections circulaires qui ont leur centre sur AL ou sur AL', la section circulaire correspondante sur l’autre droite a été nommée par les anciens géomètres section sous-contraire. Lorsque la base elliptique dégénère en un cercle , ses demi-axes A 'B , A'D , deviennent égaux, ce qui donne M' =M''. En conséquence le rapport ~ devient nul , c’est-à-dire que les
deux droites AL', AL", se réunissent et coïncident avec l’axe elliptique AZ ; de sorte que les deux sections circulaires devenant perpendiculaires à ces lignes, se réunissent également et se confondent avec la base elliptique devenue circulaire : on a alors le cône droit des élémens de géométrie , qui ne peut plus être coupé suivant un cercle que dans un seul sens , perpendiculairement à son axe.
Dü SECOND ORDRE.
On trouverait de même quelles sont les surfaces du second degré qui peuvent être coupées suivant des lignes droites , et les élèves pourront s’exercer à cette recherche.
Des Plans tangens aux Surfaces du second ordre.
337. Par un point quelconque pris sur une surface courbe , on peut mener une infinité de droites qui ne la rencontrent qu’en ce point. L’ensemble de ces droites forme , comme on le verra tout à l’heure , une surface plane que l’on nomme plan tangent, et qui est, par rapport aux surfaces , ce que sont les tangentes par rapport aux lignes.
Cherchons l’équation du plan tangent relativement aux surfaces du second ordre : pour cela, reprenons l’équation générale de ces surfaces , qui est ,
Azî + A>’+A''x!,4-Cz4.C/jr+C'’xr + L = o. (1)
en supposant qu’on ait fait disparaître les rectangles des coordonnées. Soient x", y", z", les coordonnées du point de tangence , on aura
Az"‘ -f A'/*+AV‘+ Cz" -f-Cy+C "x' + L = o. (2)
Les équations d’une droite menée par ce point , suivant une direction quelconque , seront
a et b représentant les tangentes trigonométriques des angles que ses projections forment avec l’axe des z. Dans les points où cette droite rencontre la sur face, ses équations subsistent en même temps que les deux précédentes. Or, en retranchant ces dernières l’une de
l'autre , on a
k{z+*n){z-z“)+k'{jr+y,)(jr—y,)+h\x+x"){x x") H-C(z— z')+C'(jr- r')+C\x— x") =o.
Mettons pour y— -f et x—x" leurs valeurs données par 1 équation de la droite , nous aurons , relativement aux points d’intersection ,
{ A (z +z‘) -l-A'ùfjr+y>) C +C/b +C"a } (Z-z'=o.
Cette équation est satisfaite, quand z —z"; ce qui donne y—j" etx=.r*, parce que le point dont les coordonnées sont x",y, z", est sur la droite. Supprimant le facteur commun z — z”, il vient
k{z-\-z")-\-k'b{y-\-y)-\-k"a[x-\-x")-\-C,-\-Cb-\-Ç,na—o.
Cette équation appartient au second point dans lequel la droite, considérée comme sécante, rencontre la surface. Si elle est tangente , ce second point doit se confondre avec le premier, et ses coordonnées doivent être les mêmes. L’équation précédente doit donc alors être satisfaite , quand on fait
ce qui donne
2kz"+2A'l>y+2A',ax',+C+C'b+C"a=o. (4)
C’est la condition nécessaire pour qu'une droite soit tangente à une surface du second ordre. Comme elle ne suffit pas pour déterminer les deux quantités a et b, une d’entre elles reste arbitraire ; et conséquemment il existe pour chaque point une infinité de droites qui jouissent de cette propriété.
Si , de cette équation conditionnelle , on élimine a et b au moyen de leurs valeurs prises dans les équations de la droite, le résultat exprimera toujours une propriété commune aux droites qui touchent la surface dans le point donné ; mais il ne renfermera rien qui soit particulier à aucune d’elles; il appartiendra par conséquent à une certaine surface qui sera le lieu de toutes ces droites; et ce lieu aura pour équation
(sA2"+C) (z—z") + (2A>* + C') C r-f)
+ (2AV + C") ( x — x") — o.
Cette équation étant linéaire en X,jr,z , le lieu de toutes les tangentes est un plan qui est lui-même tangent à la surface proposée.
En développant cette expression, et faisant usage de l’équation (2), on peut la mettre sous la forme plus simple
{ikzn 4- C) z + (2 xy + C') y + (2A V' 4. C") X * -f- Cz" + cy 4-C'x" 4- 2L = o. (5)
Pour les surfaces qui| ont un centre, C,C' et C" sont nuis , lorsque l’origine des coordonnées est placée à ce point : l’équation du plan tangent devient alors
A zz" -f- A ’jÿ 4- A"arx"4- L = o .
338. Une droite menée par le point de tangence, perpendiculairement au plan tangent, se nomme une normale. D’après la première condition, ses équations seront généralement de la forme
Pour que la seconde soit remplie , il faut (n° 82) qu’on ait
AV' = akz”, A y — b’ A!' z ;
ce qui détermine a' et b'. 11 ne reste plus qu’à substituer ces valeurs dans les équations de la normale. Si la surface proposée est de révolution par rapport à un des aies coordonnés, par exemple, celui des y, on
a , A = A' ; et la valeur de a , qui devient -j- , donne
xz" — zx° — o ,
pour la projection de la normale sur le plan des xz : cette projection passant par l’origine des coordonnées, il s’ensuit que la normale rencontre l’axe des jr. Cette propriété est générale; et, lorsqu’une surface est de révolution autour d’un axe , toutes ses normales rencontrent cet axe.
339. En mettant dans l’équation du plan tangent, pour x"jr"z" les coordonnées du point de tangence, il sera facile ensuite de construire ce plan. On peut aisément faire l’application de ces résultats aux diverses surfaces du second ordre que nous avons discutées , et l’on en verra naître plusieurs propriétés remarquables. Prenons pour exemple l’hyperboloïde que nous avons discuté dans l’article 329. L’équation de cette surface est
Az* — k'jr* — AV-f L=o ;
celle du plan tangent sera
A zz" — kyy — k'xx* +L=o,
et en outre on aura pour le point de tangence,
A/'A'/> — AV'+L=o.
Pour trouver les points communs au plan tangent et à la surface , il faut combiner les trois équations précé-
dentes de manière à en éliminer x, y ou Z- car, dans ces points, elles subsistent en même temps. Or, si l’on retranche le double de la seconde de la somme des deux autres , on trouve
A(z-z°)' - A’ (y-yl' -A'(x- x‘Y — o. (A)
La troisième , retranchée de la seconde , donne A z"{z—zn) - A y (y— y) — AV {x — x") = o ; . d’où l'on tire
. { A>" (y— f) -h AV (x — x")}*
Substituant cette valeur dans l’équation (A), il vient
{A'y (y-y") + AV (x - x") Y — AA'z'Hy -y“T — AAV* (x — x")’ = o.
Ce résultat , qui ne contient que x et y, appartient aux points communs au plan tangent et à la surface ; c’est l’équation de leur projection sur le plan des xy. Elle est toujours satisfaite, quand x = x", ce qui doit être , puisque le point de tangence est nécessairement sur la surface ; mais elle est , de plus , décoinposable en facteurs du premier degré; car, si l’on fait
le facteur x — x", devient commun à tous ses termes ; en le supprimant, les variables! x et y disparaissent, et l’on a pour déterminer a , l’équation du second degré
(AV" + AV')1 — AA W — AA V1 = o ;
ce qui donne pour chaque point de la surface deux valeurs de a. Lorsqu’elles seront réelles , les points communs au plan taDgent et à l’byperboloïde auront pour projection deux lignes droites sur le plan des xy, et, comme ils sont d’ailleurs situés sur le plan tangent ,
ils formeront' aussi deux droites dans l’espace. Leurs projections sur les autres plans coordonnés s'obtiendront en éliminant y ou x de l’équation du plan tancent, au moyen de celle de la projection déjà trouvée ; ce qui revient à combiner ensemble les équations
Az’ (z — z") — k'f [j S) - AV (*— x") = o, J—y — a(x—x’).
Il s’agit maintenant de savoir si les valeurs de a seront toujours réelles. Or, en développant l’équation qui détermine cette quantité, elle devient
A.'(Az"’— X'yu)a'— sA'Ay/fl+A’tAz'1- AV)=o* ou , en faisant usage de la relation qui existe entre les coordonnées du point de tangence ,
A'(AV — L) a’ - 2A'AyV a + A'(A'/‘ — L) — o. La quantité affectée du signe radical , dans la valeur de a , sera
— A' A* (A >"* — L) (AV* — L) -f- A'*A'’“jr'Va ; ou , en développant ,
A'A'L(A'/‘+AV-L), qui se réduit enfin à
AA'A'Lz"*.
Les trois quantités AA' A* étant positives, a ne peut être réelle qu’autant que L sera aussi positive : par conséquent, l’hyperboloide à une nappe dont 1 équation est
Azl — A'/-AV + L = o,
AA' A" et L étant positives , est touché par ses plans tangens suivant deux lignes droites; et il est le seul hyperboloïde du second ordre qui jouisse de cette propriété. Cette propriété n’infirme pas la définition du plan tangent donné dans l’art. 337; car il existe encore.
pour chaque point de tangence, une infinité d’autres lignes droites qui n’out que ce point de commun avec
la surface. *. •
34o. Les formules précédentes peuvent encore être employées pour mener un plan tangent aux surfaces du second ordre par «n point extérieur d"ont les coordonnées seraient connues. En effet , en supposant ces coordonnées représentées par x', y' , z , elles doivent satisfaire à l’équation du plan tangent ; ce qui donne
(2Az* +.C K + (»A y -f V)f + + C“)x’
+ Cz" + Cy-j-Cx" + 2L = o. (r)
On aura de plns1 le point de tangence étant sur la
surface, v • > . f ) -
kz“% -f- k'jr"* -f- A"x"3 4“ Cz" -{-Cy'-f-C' x*-f- L= o. (2).
Lorsque l’on suppose xv,y et z* inconnues , ces deut équations 'ne suffisent pas pour les déterminer-: on peut donc , par un même point extérieur, mener une infinité de plans tangens à la surface. Si l’on élimine x" on y" entre ces deux équations, elles donneront les projections de la courbe qui est le lieu de tous les points de tangence de ces plans : cette courbe est celle suivant laquelle la surface serait touchée par une surface conique qui aurait son centre au point donné, et qui serait engendrée par une ligne droite assujettie à passer toujours par ce point et à toucher la surface.
L’équation (1) étant linéaire en x’,y, z", sa combinaison avec l’équation (2) donnera entre x° et z”, y et z", des équations du Second degré; d’où il suit que la courbe de 'tangence sera une section conique ; et, par conséquent, les surfaces coniques , tangentes h des surfaces du second ordre f sont elles-mêmes du second ordre. .> ■
Si, au lieu d’effectuer l’élimination entre les équa- 8e Édit. . ?.g '
^5o DES SURFACES
tions (i) et (à), 'on veut construire séparément cliacunc d’elles eu y regardant x'1, j", z", comme variables , la première représentera . un plan qui sera le lieu de la courbe de tangence ; ce plan sera donc analogue à la cordc qui joint les points de tangence dans les courbes du second ordre; et, en lui appliquant ici les considérations dont nous avons fait usage pour assujettir ces cordes à passer par un même point, on en déduira aisément des propriétés de plans analogues à celles des lignes polaires.
La position du plan tangent serait déterminée , si l’on connaissait un second point par lequel il dût passer; car, en désignant par a!*, jr“y a*, ses coordonnées, on aurait
' ,(aA z" + C)z* -b (a A>" 4- C'y + (aA'x" + CV 4- Cz" ■+■ C'y 4- C"x* + aL = 6. (3)
Les équations (i), (2) , (3) , suffiront pour déterminer les coordonnées x ", y , z", du point de tangence ei> fonction de x', jr', z ; x", y, z*.
' On arriverait à un résultat semblable , en assujettissant le plan tangent à passer par une droite donnée. E11 effet, soient x’, y, z’, les coordonnées d’un point ' de cette droite , son équation 6era de la forme
x — x'=za(t — y = £(z — z'),
a et b étant connus , puisque la position de la droite est supposée donnée : or, x', y, z', devant satisfaire à l’équation du plan tangent , on aura d’abord
,.(2 Az" 4- C )z' + (2 k'y 4- C ')/ 4- (aA V -f CVt + Cz" 4- Cy 4- C*x" -f 2L = O.
Cette condition ayant lieu, il suffit, pour que la droite soit dans le plan, qu’elle lui devienne parallèle, - ce qui donne ( n° 81 ) ;
r - Az" 4“ A ’by -f-A'ox* = o.
DU SECOND OHOftE. ^1
On aura de plus
Az'’ + h!j"% 4 AV* 4- Cz" 4 C'y 4 C'x" 4 L= o , puisque le point de tangence est sur la surface. Ces trois équations détermineront les valeurs de.r", y, z" ; et , comme elles sont du second degré , il s’ensuit que l’on peut, en général, par une droite donnée, mener deux plans tangens à Une surface du second degré' quelconque.
Des Surfaces du second degré rapportées* à . leurs Plans diamètres.
34 1 . On peut rapporter Tes surfaces du second degré à des coordonnées obliques , ainsi que nous l’avons fait pour les lignes du même ordre. Dans l’équation générale ' • '• ' •
‘ Aî*4A'/4AV4B/j4B'«4BV \-
4 C® 4 4 C”ar 4 L = o ,
où les coordonnées sont rectangulaires, substituez pour xyz les valeurs générales
x == x' cos X 4 y cos X' 4 *' cos X", ’
* > jr — x' cos Y 4 y cos Y' 4 z' cos Y",
2 = x' cos Z 4/ cos Z' 4 d cos Z*,
dans lesquelles x', y, z', soient les coordonnées relatives à de nouveaux axes qui font entre eux un angle quelconque et sont assujettis aux seules équations
cos’ X 4 cos* Y 4 cos’ Z — 1 , cos’ X' 4 cos’ Y' 4 cos’ Z' = 1 , (A)
cos’ X* y cos’ Y" 4 cos’ Z" = 1 , on aura la transformée •, *
M z” 4 My* 4 M V’ 4 NrY 4 NVz' 4 NVy 4Pt'+P,/4P'/4L = o. ; V 7.-: -
, - :Jt
My
45a bus surfaces . .
On pourra toujours disposer des indéterminées, d’on dépend la position des nouveaux axes, pour rendre N , N' et N" nuis , et cettç condition pourra même être remplie d’une infinité de manières; car on a vu , dans le n°3i2 , page 4®7 » qu’enjoignant aux ^«ois équations (A) et aux suivantes : ♦
le^Apis équations (B) qui ont lieu quand les axes sont recrangulaires , leur système suffit pour déterminer en quantités réelles les valeurs des neuf inconnues d’où, dépend la position des axes : ces équations ne suffiront donc plus pour cet objet , quand on en ôtera les trois équations (B). Ainsi non-seuleinent on pourra trouver des coordonnées obliques par rapport auxquelles les surfaces du second ordre auront des équations de même forme que par rapport à leurs axes rectangulaires; mais il y a une infinité de systèmes qui jouiront de cette propriété , et dont les plans seront , relativement à ces surfaces, ce que sont les diamètres dans les courbes du même ordre. , ' • **. .
34^- Nous n’entrerons pas dans un plus grand détail relativement aux surfaces du second ordre, On pourrait, à l’aide des formules précédentes, et des méthodes données dans les préliminaires , découvrir un grand nombre de propriétés particulières à ces surfaces. Il sera très utile à ceux qui auront lu cet ouvrage, d’effectuer ces applications qui n’offrent rien de difficile, et qui auront l’avantage de les familiariser avec l’emploi de l’analyse; mais un pareil détail deviendrait ici superflu. La Géométrie analytique repose, comme la synthétique, sur un petit nombre de préliminaire» relatifs au point , à la ligne droite et auplan. Ces éléinens , lorsqu’on les possède bien , suffiseut pour
WJ SEGOBD ORDRE, - < 4^3
mettre en équation tous les problèmes que la Géométrie présente , sans qu’il soit besoin pour cela de recourir à aucune construction particulière. Il ne reste plus ensuite , pour les résoudre , qu’à surmonter les difficultés de l’analyse ; et celles-ci peuvent être souvent diminuées , ou du moins éludées par un choix heureux d’inconnues : c’est un art qui ne peut s’apprendre que dans les écrits des gran€s géomètres , et surtout dans Y Arithmétique universelle de Newton , qui en offre les plus beaux exemples. *' .
Supplément au chapitre IV sur les sections du Cône.
