Les courbes du second ordre peuvent se lircr du

cône droit par uneanalyse plus simple que celle dont nous avons fait usage dans le chapitre IV. Pour cela considérons la fig. 35 bis , pl. 4 ? ou G désigne le centre d’un cône droit à base circulaire ayant pour axe CO. Par un point quelconque O pris sur cet axe, à une distance donnée c du centre, concevons trois axes de coordonnées OX, OY, 021, rectangulaires entre eüx, et dont l’un , OZ, soit dirigé suivant l’axe du cône même. Appelons v' l’angle constant CDO, formé avec le plan des xj par une quelconque des droites génératrices, et cherchons d’abord à déterminer l’équation du cône avec ces données.

D’après les définitions précédentes , les coordonnées du centre G sont x-=o,j-=oyz~c\ ainsi les équations d’une génératrice quelconque, menée par ce point , seront nécessairement de la forme

les coefficiens a’, b' , étant constan9 pour la même génératrice , et variables d’une génératrice à une autre.

MaiiHcnant, le cône étant supposé droit, et décrit.

autour de CO, comme axe, l’angle v forme par toutes les génératrices avec le plau de xy, doit être constant. Or, par l’article 67, 011 a en général,

sin’ v

d’où l’on tire

{a1 -f b'’) tarjg1 v’ = 1.

Remplaçons a et b', par leurs valeurs tirées de l’équation de la génératrice, »1 viendra en général ,

{y% + x‘l) tang* v' = (z — c)“. (1)

Cette relation convenant à tous les points d’une génératrice quelconque, est donc l’équation cliercLée de la surface conique; et en effet, elle s’accorde avec celle que nous avons trouvée dans l’article io5, p. î-jt, • avec la seule différence que l’angle variable v, formé alors par les génératrices avec l’axe, est ici remplacé par l’augle v ou go° — v. ' ,

Coupons maintenant cette surface par un plan BOY, , mené par l’origine O, perpendiculairement au plan des xz, et formant avec le plan des xy un angle quelconque u; l’équation d’un pareil plan se réduisant à celle de sa trace sur le plan des xz { n° 76) , sera

z = x tangu', (a)

et, en la combinant avec celle delà surface conique, on aura les projections de la courbe d’intersection. Or, quoique la position que nous donnons ici au plan coupant soit particulière relativement au* plans coordonnés , cette particularité ne limite nullement la nature de l’intersection qui en résulte ; car, en concevant un plan mené par le point 0 d’une manière absolument ■luelconque, on pourra toujours choisir les plans coordonnés de telle sorte, que l’un d’eux, celui des xz,

DU SECOND OftDKE. 4^5

lui devienne perpendiculaire; et, à cause delà forme symétrique du cône autour de son axe, la section angulaire D'CD , formée par les deux génératrices opposées , sera toujours la même , ainsi que la courbe d’intersection. Mais, au lieu d’employer directement l’équation (a), qui donnerait seulement les projections de cette courbe, prenons de nouvelles coordonnées * situées dans le plan coupant, afin d’obtenir l’équation de l’intersection elle-même. A cet ellct, conservons toujours les mêmes y, que nous désignerons seulement par y pour les spécifier ; mais substituons aux zet aux x la seule abscisse OP', ou x', comptée sur la trace OB du plan-coupant. Alors, si nous considérons un point quelconque de l’intersection, pour lequel OP soit x et PP' soit z, la troisième coordonnée^ élaut perpendiculaire aux deux premières en P', on aura évidemment

y = y , x = x‘ cos u', z — x’ sin (3)

puis, substituant ces valeurs au lieu de x, y, z, dans l’équation de la surface conique; on aura «u x', y’, l’équation de l’intersection, laquelle, après les réductions , sera

y'1 tang’o’-f x'*cos’n'({angV — tangsu')-f acx'sin ii—c ’, (4)

Pour développer successivement les diverses formes de courbes qu’elle peut donuer, il suffit de {aire varier l’angle u ou BOX, formé.par le plan coupant. avec la base du cône, depuis zéro jusqu’à 90 degrés ; car la symétrie de la surface conique autour de son axe, fait que les mêmes formes d’intersection reviendraient pour des valeurs de u comprises dans les autres quadrans. Commençons donc par faire u nul, -ce qui fait coïncider le plan coupant BOY avec la basedu cône;, alors l’équation do l’intersection , étant divisée par lang* v y devient 1 , ! - 1

UES SULFACtS

, tang* v ’

c’eSt-A-dirc qu’elle représente une circonférence de cercle décrite du point O, comme centre , avec un rayon

, ou à la longueur OD.

égal à -

tangv .. t ■

Il est facile de voir que cette seule position du plan coupant peut donner le cercle ; car l’équation du cercle . exige que les coetticiens d e/’ et de x'“ soient égaux entre eux; or, si l’on établit cette égalité, il vient

tang’ v =s cos’ u' ( tang’ 1/ — tang’ u) ou tang* v sin* u =c — sin’ u',

qui peut se mettre sous la forme

| tang’ v -f- t } sin* «’=<>;

et l’ou voit que cette condition ne peut être satisfaite qu’en faisant sin u nul, ce qui donne pour u les deux valeurs.

«' = ô, ou bien u = 180%

d’où résultent deux positions du plan coupant, quisc -superposent, et dont la première est celle que nous gvous considérée/

Partant donc de cette position du plan epupant , faisons graduellement croître l’angle u. Tant qu’il sera moindre que v, inclinaison des génératrices sur le' plan des xy, la trace BOB' ne sera pas parallèle à l’arète CD opposée à CD',; elle coupera donc ces deux arêtes aux points B, B', situés sur une même nappe de la surface v conique, et par conse'quent, elle ne pourra plus aller Les couper une seconde fois sur l’autre nappe. L’intersection sera donc alors une ■courbe fermée qui s’étendra

sur une seule des deux nappes du cône. Dans ce cas, tang* u' étant moindre que tang* y , les coefficiens de xr‘ et dey* seront tous deux positifs dans l’équation générale de l’intersection : cette condition caractérisera les ellipses. *-, • * '

Lorsque n deviendra égal à m’, le plan coupant BOY sera parallèle à l’arète CD, 11 ne rencontrera donc pfcus cette arête; ou, si l’on veut, il la rencontrera seulement à une distance infinie du centre. Alors la courbe sera encore bornée à la seule nappe DCD du cône ; mais elle s’étendra indéfiniment sur cette nappe à partir du point B. I.a condition u — v fait disparaître le coefficient de x’2 dans l’équation générale de l’intersection , et elle se réduit à

y tang* 1/ -f- aex' sin h'. = e* ,

qui exprimera généralement une parabole.

Enfin , l’angle u' ou BOX croissant toujours, et deve-, nant plus grand que v ou GDX, le plan coupant ne rencontrera plus Barète CD sur la nappe DCD', mais il • la coupera sur la nappe opposée du cône. La courbe d’intersection sera donc alors formée de deux branches séparées, et opposées en directions, dont chacune s’étendra indéfiniment sur une des nappes. Dans ce cas, __ tang* u surpassant tang* v , le coefficient de x-'“ sera négatif, celui de y* .étant positif. Ce sera 1e caractère des hyperboles.

On voit donc que notre équation (4) reproduit les trois mêmes sortes de courbes que nous avions trouvées • dans le chapitre IV, en fixant par des données différentes, les positions successives du plan coupant. Mais le caractère analytique de chaque espèce de courbe se découvre plus simplement ici, parce que la variabilité de position dujdan coupant est plus aiscc à suivre. On

458 DES SUBFACES. ,

pourrait également tirer de notre nouvelle équation (4) ' les divers cas particuliers que nous avons obtenus par »’ >

l’autre méthode dans le chapitre IV. Par exemple, le point, considéré comme cas particulier des ellipses, s obtiendra en faisant c nul et u' moindre que v \ de sorte que les coefiiciens de y’ et de *’* demeurent tous deux positifs. La ligne droite unique, considérée comme cas particuliers des paraboles, s’obtiendrait aussi en faisant c nul, et u égal à v\ ce qui réduira l’équation de l’intersection kjr' = o, équation de l’axe des x' . Enfin, les deux droites non parallèles, considérées comme cas particuliers des hyperboles, s’obtiendront en faisant c nul , mais u plus grand que v; de sorte que le coefficient de x '* devienne négatif, celui de restant positif. Les deux droites d’intersection seront alors les deux génératrices opposées suivant lesquelles le plan coupant rencontre la surface conique. Ces trois cas particuliers placent toujours le plan coupant au sommet du cône , et donnent ainsi les mêmes conditions, soit analytiques, soit géométriques, que nous avions trouvées dans le chapitre IV.

Pour employer notre nouvelle équation (4) à la dis- • cussion particulière des trois espèces de courbes d’intersection, il faudra commencer par trouver les points d’iutersection avec l’axe des x', comme nous l’avions fait par l’autre méthode, c’est-à-dire en supposant j nul. Mais ici, l’origine des coordonnées^', x', n’étant plus placée sur un point de la courbe , aucune desabs- » cisses des points d’intersections ne sera nulle. Néanmoins ou pourra de même transporter l’origine à l’un decespoints, dans le cas de la parabole, ou au milieu de la droite qui les joint, dans le cas des hyperboles et des ellipses. Cette transformation faite, tout le reste de la discussion suivra comme précédemment.

Ou pourrait même, si on le jugeait à propos , ramc-

ner tout de suite notre nouvelle équation (4) à la même forme que celle du chapitre IV, en transportant 1 origine des-r’ au point B, l’un des sommets de la courbe d’intersectiou. En effet, la distance BO de ce point à l’origine peut aisément se déduire du triangle BOC, dans lequel on connaît l’angle C égal à go° v , 1 angle B égal il V. + i/, et le côté OC égal à c. Car, il en

\ q COS V *

résulte que BO est égal à -r~. — r-r~. — rr: si- donc on voun u (sin (v )

lait prendre de nouvelles abscisses x“ à partir du point

' B, dans le sens BB', il faudrait faire

% ’ , C cos V „