V-J-u’=t, i>' — u = 180 — (i-f-2 v), ccosu' = asin

valeurs qui ç'tant substituées dans l’équation précé-r dente , la changent en

y'1 cos* v sin i sin (i-f-2t')x’,—a sin av sin ix’ = 0; ’

ce qui est en effet identique avec l’équation (4) de la page 171.

Précis des Formules trigonométriques les, plus usuelles.

344. Lorsqu’on fait quelque application de la Géométrie analytique, on a souvent besoin d’employer les formules analytiques de la Trigonométrie; mais ces formules sont si variées, qu’il est difficile de les' avoir toujours présentes à la mémoire ; c’est pourquoi j’ai placé ici un précis de celles qui sont les pliis usuelles, afin qu’on les trouve ainsi rassemblées au moment où Ton en aura besoin. Quant à leur démonstration, ainsi qu’à l’exposition des principes sur lesquels elles reposent, on devra les chercher dans les cxcellens traités de Trigonométrie que nous possédons.

On doit se rappeler d’abord (n° 38) que toutes les lignes trigonométriques peuvent s’exprimer rationnellement én fonction du sinus et du cosinus de Tare auquel elles appartiennent, ce qui détermine à la fois leurs valeurs et le signe qu’on doit leur attribuer. Soit a l’arc, R le rayon de la circonférence à laquelle il appartient; on a toujours " ,

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tang a =± R

sin a cos a '

n cos a

cotang a = R —

~ sin a

sec a :

cos c 1

cose'c a =

R* sin a

Cela pose' , toutes les formules trigonome'triques dérivent des quatre suivantes, qui expriment les sinus et cosinus de la somme ou de la différence de deux arcs, en fonction des sinus et des cosinus de ces arcs. Soient a et b les arcs donnés , supposons que le rayon du cercle soit pris pour unité, ou aura

(1) sin (a + 4) = sin a cos b + sin b cos a ; cos (a -f- b) = cos a cos b ' — , sin a sin b ;

sin ( a — b) — sin a cos b — sin b cos a ;

cos {a — b) = cos a cos b sin b sin a ;

divisant ces équations membre à membre, on en tire

. , , sin a cos b 4- sin b cos a

- tang (a. 4- b) =s — r-! — :

fOI /I P rtc /» cm rt «zirt A ’

tang (a — b) =

cos a cos b — sin a sin b sin a cos b — sin b cos a

cos a cos b -f- sin b sin a ,

Divisant les deux termes des seconds membres par cos a cos b, et substituant tang a et tang b aux rapports

si» a cûs a ’

sin b cos b '

on aura

tang (a + b) = J^ + tang/^

1 — tang a tang b ’

tang (a — b)^= .^ngn^-tang b

1 4- tang -a tang o \ '

expressions qui donnent la tangente de la somme et

,j g, DES SURTACE8

île la différence de deux arcs en fonction des tangentes

de ces arcs. . ; , , ...

Si l’on fait a — b dans les formules precedentes,

on en tire ;

sin au = asin a cos a , cos2« — cos’ a sin a ,

2 tang a

tang 2U =

expressions qui donnent le sinus , le cosinus et la tangente de l’arc double en fonction des sinus , cosinus et tangente, de l’arc simple sans aucune incertitude de signe.

Si l’on ajoute les équations (i) membre à membre, on aura ... ,

sin (a -f b) + sin {a—b)—i sin a cos b-,

sin (u + b) — sin (a — 6) = a sin b cos o;

cos (a + b) + cos (a-b) = a cos « cos b ;

cos (a i- b) — cos (a + b) = a sin a sin b.

Soit -,

ce qui donne . *

les formules précédentes deviennent

sin u 4- sin «*= a sin j (m + v) cos

(a) sin u — • sin v = a sin ~(u + v) cos i (u — v),

cos u -+• cos v = a cos \ (u -f v) cos —

cos v — cos u = 2 sin | (u — v) sin I (« + ‘'J >

expressions qui servent à transformer une somme ou une différence de sinus et de cosinus, en ün produit, et à réunir ainsi deux termes en un seul.

Si l’on divise les deux premières formules membre à membre , elles donnent ,

sin u -f- ’sin t» tang \ (u -f-i>)

sin n — sin i* tang £ ( u — i») ’

relation remarquable par sa symétrie.

Si l’on multiplie ces équations membre à membre, en observant que , en général , a sinj- cos j = sin 2 y.

on èn tire

sin* u — sin* v = sin ( u -f- t>) sin (u — v) , cos* e — cos* « = sin (« -f- e) sin (« — v) ,

qui sont aussi d’un fréquent usage. . .

Nous avons trouvé tout à l’heure 1

sin 2 a — 2 sin a cas a, cos 2. a — cos’ a — sin* a.

Or, puisque nous avons pris le rayon pour l’unité de longueur, le carré du sinus, plus le carré du «bsinus, égale toujours l’unité'. D’après pette. relation , lequation en cos 2 a peut se mettre sous les deux formes suivantes :

cos 2 a = 1 — - 2 sin* a , cos 2 a = 2 cos’ a — 1 ; d’où l’on tire . ' ' v

sin* a =

■ cos 2 a <

cos * a—