I -+• COS u

sin* iu =

t — cos u

cos*i u =

et divisées membre à membre , elles donnent

tang* I «

i — cos ii i — cos u ’

ou , si l’on veut tirer la valeur de cos u s

cos u —

i — tang* \ u i tang* j u

Ces formules sont aussi d’une application frequente.

Les sinus et les cosinus ont entre eux , et avec les arcs de cercle dont ils dépendent, des relations analytiques très importantes et très fécondes, qui offrent la singulière particularité de s’exprimer par des formes imaginaires. Ces relations ont été découvertes par Euler. Nous allons donner une idée de quelques-unes, choisies parmi les plus utiles et les plus simples.

En prenant toujours pour rayon l’unité de longueur, le sinus et le cosinus d’un arc quelconque désigné par a doivent toujours satisfaire à la condition générale

cos1 a -+• sin“ a= i . »

Le premier membre de cette équation peut être considéré comme le produit des deux facteurs imaginaires cos a-f-sin a. \/ — 1 et cos a — sin a. \/ — i. Si donc on parvenait à trouver l'expression d’un de ces facteurs en fonction de a et qu’on la représentât par l’a, celle de l’autre facteur s'obtiendrait de suite égale â

J- ou (Fa)-.

Maintenant a et b étant deux açcs quelconques d’un pareil cercle, si lW'lnultipüe l’un par l’autre les deux facteurs cos a -f- sin a.{/— i , et. . . . . . cos + sini. V’ — 1, le produit effectué algébriquement se trouve être

cos'a cos £-f-(sin a cos £-f-cosa sia b) y/ — i — sin a sia b>

ou ce oui revient au même

cos(a-J-i)+sin(a-j-^). i/-r=(cosa-f-sinaV/-i)(cos6-f-sin£>i/-i),

de là en faisant successivement b égal à a , 2a , 3a , . .

(n — 1) a, on tire les égalités suivantes :

cos2a-f-sin2al/-i=(cosa4-sinny'-!)(cos a-f-sina %/— 1 )

=(cosa-f-sina|/-

cos3a+s*n3a\/-i =(cosa 4-sina [/- 1 )(cos2a-f-sin2a |/— 1 ) =(cosa-f-sinaV/- i)3,

cos4a+sin4a [/- i=(cosa+sina v/-i)(cos3a -f-sin3a 1 )

=(cosa+sina^/-i),t;

et ainsi généralement

cosna-J-sinaa^/-i=f cosa-f-sina^/— 1 }[cos(n- i)a-j-sin(«-i)a y'-i } =(cosa-f-sina y/- 1 )",

Dans cette dernière équation générale , n peut être un nombre quelconque; il est seulement assujetti à être entier. Soit donc

na — x d ou n— a

x sera aussi un arc quelconque assujetti seulement à être un multiple de l’arc primitif a. Substituant pour n le rapport qu’il représente ; on aura, avec cette seule restriction

cosx-f sinar. y/ — r = (cos a-f-sina. ^ / — i)a

Concevons les arcs a et a; exprimés , non plus en degrés , mais eu parties du rayon que nous avons pris égal à l’unité de longueur-. Alors, aet x, ainsi expri- 8* Édit. 3o

mes seront des nombres entiers ou fractionnaires , rationnels ou irrationnels; mais, quels qu’ils soient, en extrayant la racine x des deux membres de l’équation précédente, ou supposant cette extraction faite, on aura toujours

1 1 (cos x -J- sin x . 1/ — i )x= (cos a -f- sina . — i )a

la fonction (cos x + sinx [/ — i)x est donc telle qu’elle

reste constante et égale à(cos a+sin a. Ÿ — i)" quand on y remplace la variable x par un multiple quelconque de l’arc arbitraire a.

Je dis que la même égalité subsisterait encore si x était un sous-multiple quelconque de a au lieu d’en être un multiple. En effet dans ce cas le rapport

^ étant entier, a serait par rapport à son sous-multiple x ce que x est ici par rapport à a , et l’égalité des deux fonctions aurait encore lieu.

D'après cela concevons que l’on ait choisi pour a un arc quelconque relativement auquel la fonction , >

(cos a + sin a \/ —7) “ait une certaine valeur réelle on imaginaire. Nous pourrons représenter cette valeur par une seule lettre c; ou, ce qui nous deviendra tout à l’heure plus commode , par em , e étant le nombre dont le logarithme hyperbolique est l’unité, et m une quantité inconnue, qui, dans son acception la plus générale sera une fonction de a seul et de constantes ; nous aurons alors

(cos x + sin x. V/- 1) x = e'n,

«u en élevant les deux membres à la puissance x

cos .r-j-sina: \/ — i=emx;

de là , en divisant le carré du rayon par ce facteur, on tire aussitôt la valeur de l’autre

cos x — sin x 1/ — 1 = e~mx,

et en prenant la somme et la différence de ces équations , il vient enfin

cos x = ^ (e*1* -4- e mx) : sin x = — (emx — e~"'x l

Ces expressions conviennent à tous les arcs multiples ou sous-multiples de l’arc a; or a étant tout-à-fait arbitraire , on peut le supposer aussi petit que l’on voudra , et tellement petit que deux termes consécutifs de la suite des x , aient entre eux uue différence moindre que toute quantité assignée. Alors si l’on considère un arc quelconque , non compris dans cette succession, son sinus, et son cosinus, tomberont entre deux valeurs consécutives de sin x et cos x données par les expressions précédentes ; et comme ces sortes de lignes croissent avec continuité dans un même cercle , le sinus et le cosinus intercalés sc trouveront compris entre les deux valeurs consécutives de sin x et cos x avec telle approximation que l’on voudra.

Seulement, pour que ces expressions deviennent numériquement applicables, il faut trouver la valeur de m correspondante à l’arc a que l’on suppose choisi arbitrairement pour un des ternies de la suite des multiples et des sous-multiples. Or, c’est à quoi l’on peut parvenir en considérant que , d’après les éléinens de Géométrie , le sinus d’un arc quelconque

468 surfaces

est toujours moindre que cet arc et plus grand que

le même arc diminué de son cube; de sorte que le

sin x . , ,

rapport — — est toujours compris entre les deux

limites i et i — x* ; et se réduit enfin à l’unité quand x est nul. Or si l'on développe en série les deux termes exponentiels qui composent l’expression générale de sin x on a

mx , m“x* h

[mW

ce qui donne

et par conséquent

sin x m

Maintenant l’arc a étant supposé choisi à volonté , la fonction de a que nous avons représentée par m ne dépend au plus que de cet arc et nullement de x qui peut être conçu aussi petit que l’on voudra , cette fonction restant la même. Puis donc que le rapport doit

se réduire à l’unité quand x est nul, il faut que le facteur

— — — , qui reste invariable pendant ces cbangemens ,

soit lui-même égal à l’uni té ;et cela même doitavoirlieu quel que soktl’arc a que l’on ait choisi pour terme constantdela série des multiples et dessous-multiples, car le

rapport ■ entrera toujours comme facteur dans le

Dü SECOND ORDRE. 4^9

développement de et exprimera toujours ainsi la

limite à laquelle se re'duit — quand x devient nul ou

infiniment petit. On aura donc, quel que soit a, m = — i ; c’est-à-dire que la fonction m est ab-

solument indépendante de cet arc a , et égale à la racine imaginaire de l’unité.

m étant ainsi connu , l’on en tire

cos x — -f- e~*y~‘)

sin x = — — (e*V-'e-*V— ) ;

de sorte que les expressions de cos x et de sin x se trouvent complètement déterminées. En les développant en série, les imaginaires disparaissent et l’on a

cos x =

i.2+i.2.3.4~i.2.3.4. 5.6’ CtC

sill x = X -L. -- -

or c est précisémentà cela aussi que conduit l'expression de m en a; car m étant égal à [/—i quel que soit a , on aura en rétablissant cette expression

(cos a+sin a\/ — 1) a — e^~' ;

d’où cos a -f- sin a — i —e*Ÿ— i j

puis en divisant le carré du rayon par ce facteur

cos a — sin a\/ — i — e~a^~\

et enfin en combinant ces deux équations

470 SCKFACES

cos a = i -h e— »'-*) ;

sin a = (ea*'—‘ — e~au'~') ,

tous ces résultats dérivent donc de ce que , par la nature des sinus et cosinus, les fonctions

(cosar-{-sin \/ — i)x; (cos X — sin x \/ — i)T

sont toutes deux des constantes absolues ; la première égale à e*''- 1 la seconde à e~ , quel que soit l’arc x.

Lorsqu’on veut employer numériquement les séries précédentes, il faut toujours se rappeler que , dans les termes qui les composent , les arcs sour sont supposés exprimés en parties du rayon pris pour unité. De sorte que si l’on voulait faire reparaître ce rayon, il * 1 x

faudrait e'cire partout - au lieu de x dans les termes

où x se trouve explicitement, et qui proviennent du

développement des exponentielles. Pareillement il

. , . 1- j . , . sin x cos x

faudrait au lieu de sin x et cos x écrire ,

et il est évident en effet qu’avec ces substitutions, les conditions de l’homogénéité (n° 4) se trouvent rétablies. Quant aux désignations d’arcs qui entrent sous les signes trigonométriques eux - mêmes , on peut si l’on veut les laisser exprimés en degrés, minutes et secondes, ou en toute autre subdivision du cercle que l’on voudra choisir, puisque ce ne sont pas elles, mais sin x et cos x qui entrent dans les calculs.

Au moyen de ces formules exponentielles on peut aisément découvrir deux sortes de relations, qui sont d’un fréquent usage et par lesquelles nous terminerons cet abrégé.

La première consiste à exprimer le sinus et le cosi-

nus d’un arc multiple en fonction des sinus et cosinus de l’arc simple, sin na, et cos na par exemple en fonction de sin a et cos a. Nous avons déjà trouvé ainsi directement ces relations pour l’arc double , par les formules générales sin (a b) , cos (a -f- b) ; car en faisant b — a nous avons eu

sin 2a = 2 sina cos a ; cos 2a t= cos’a — sin’a.

Si l’on fait de même dans les formules 6= 2a , on aurait

sin 3a = sin a cos 2a -f* sin 2a cos a, cos 3a =cos a cos 2a — sin 2a sin a ;

substituant pour sin 2 a et cos 2a leurs valeurs respectives en sin a et cos a il vient

sin 3a = 3 sin a cos “a — sin3a, cos 3a = — 3 cos a sina a -f- coss a.

Maintenant si l’on faisait b = 3a on trouverait sin 4 a et cos4a d’abord en fonction de sina, cos a, sin 3a, cos 3a ; et en éliminant ces deux dernières on obtiendrait sin 4a et cos \a, en fonction de sin a et cos a seulement.

Mais outre , qu’il serait très pénible de pousser plus loin ces éliminations successives, on aurait peine à découvrir ainsi la loi des résultats pour un arc multiple quelconque : au lieu que rien n’est plus facile à l’aide des formules exponentielles. En effet, on a d’après ces formules

cosa-f-sina.J/ — i=e“v'— 1 ;cosa— sina. y —

ou , en élevant les deux membres à la puissance quelconque n

(cos a 4 sin a. y — 1)* rz e***'"—1 1 (cos a — sina. y— 1)* = e~ 1 ;

or on a aussi par ces mêmes formules

cos na == ^ (eKav'~ ' -J- e~'“,V~,) ;

sin na = — j {«“*'— — «?“*'-') •

donc en remplaçant les exponentielles par leurs va leurs en fonction de l’arc simple,

c os no — j (cosa-f-sina. (/ — i)"4- £(cosa — sina. [/ — i )*,

sin na

— - (cos a •+• sin a\/ — r)“

— (cos a — sinu.l/ — i)* ;

de sorte que la loi des développemeus sera bien comme en général , puisque ce seront des expressions binomiales. On facilite l’opération eu faisant sortir le facteur cos“ a de dessous les exposans , ce qui donne

cos*a, . . .. . cos*a, ,

cos na= (i -f-tang a. y/ — i)*H (t - tanga, y-i )«

cos*a , , . cos"a

smwa=s=^— tanga. V1— O"——— (»— tanga. l/-»)" ;

alors en effectuant les dévoloppemens on trouve n. n — i

tangaa

cos«a=cos"a

sin na=zcosna

I + 1.2.34 tan^4a-clc’

(n. n — i. n — 2 «tanga ~^3 Un8'û

+ TXTp la'*8S«-etc.l

La loi de ces deux séries est évidente puisque la première procède suivant les puissances paires du binôme , et la seconde suivant les puissances impaires. On peut aisément vérifier que lorsqu’on y suppose n égal à 2 et à 3 , elles redonnent les valeurs trouvées plus haut pour cos an, sin an, cos 3a, sin 3a, en fonction de cos a et sin a. *

Les mêmes formules exponentielles servent égslement à résoudre le problème inverse , c’est-à-dire à trouver généralement les puissances quelconques du sinus et du cosinus de l’arc simple en fonction de sinus et du cosinus de l’arc multiple; et même, en employant dans cette transformation plusieurs multiples de l’arc simple , on peut obtenir pour sin^a et cos“a des expressions linéaires , ce qui est utile particulièrement en Astronomie. Pour cela il suffit de reprendre les expressions exponentielles de cos a et sin a et de les élever à la puissance quelconque n par la formule du binôme ; ce qui donne

cosBa = 1 (e'-v'— -f. ; '.

Sin“a =

ou en développant les seconds membres

1e •aV-> -|.n . \

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