DÉFINITION DE LA FORCE

Distinciion entre Ici p]iéiiomène< «pn&ibies el les phénoniénci inteilectuelc. Celte dialinclioii esl applicable au phénnniènc du moiivcnieiit. — Déduction analogique de la notion do force. — Paradoxe mécanique.

Dans le mouvement il faut, disons-nous, distinguer le phénomène sensible de la notion intellectuelle. Nous nous expliquons.

Dans l'idée de rouge, par exemple, il y a deux choses; l'idée d'une sensation que tout le monde connaît, puis l'idée d'un certain phénomène lumineux, dans lequel phénomène la sensation n'est pour rien.

On sait que, pour le savant , le phénomène lumineux se traduit par un certain nombre de vibrations des molécules étherées à la seconde. Pour lui, le rouge sera, par exemple , le phénomène correspondant à 497 trillions de vibrations par seconde ; Torangé le phénomène correspondant à 520 trillions de vibrations , le jaune à 529 trillions, et ainsi de suite (1). Or, dans ces nombres 497, 520 et 529 trillions, etc., la sensation du rouge, de lorangé, du jaune, etc., n'est pas représentée ; cette sensation est une partie du phénomène complètement subjective et insaisissable à la science , si ce nest peut-être qu*elle est du doiQaiue de la physiologie et de la psychologie.

Si nous prenons l'idée de chaleur, nous la verrons se décomposer aussi en Tidée de la sensation et l'idée d'un phénomène physique, abstraction faite de son action sur ma sensibilité ; et la science s'occupera seule de celte dernière idée. La chaleur pour elle se traduira en une certaine élévation de la colonne du thermomètre. Elle ne dira pas : aujourd'hui la chaleur est modérée, ou insupportable, ou exceptionnelle; elle ne parlera que de quinze , trente ou quarante degrés de chaleur. Cette élévation seule de la colonne mercu— rielle est susceptible d'appréciation scientifique; la sensation y échappe.

De même, si nous parlons du son, nous aurons encore à distinguer le ton, objet de la science, et le son objet de la sensation , le premier étant nombre , le second étant au-dessus de toute définition.

( t) Nous donnoDs ici les nombres correspondants au rouge rooyea ].na entre les rà,v.'& G et D, et à l'orangé et au jaune moyens pris entre les raies D et F.

Jusqu'à présent on ne fera pas, pensons-rious , de difficulté d'accepter cette distinction. Peut-être sera-t-il plus difficile d'exposer la suivante. Nous voulons parler d'une distinction analogue et tout aussi légitime sur le terrain de la géométrie.

Nous disons donc que l'idée du cercle, par exemple, se décompose , elle aussi , en une idée senâible et une idée scientifique; l'idée de la forme j et l'idée du 7*apport qui traduit cette forme. Pour le géomètre, le cercle n'est pas un rondj comme pour mon œil, c'est l'égalité des rayons (1). La forme, pour le géomètre, se traduit par une comparaison de grandeurs : un losange , c'est un quadrilatère à côtés égaux; un carré, un quadrilatère à côtés égaux et à angles égaux. Mais dans ce rapport marqué par ce mot égalité, il n'y a rien qui rappelle la sensation du losange ou du carré. Ainsi encore la ligne droite, pour le géomètre, n'est qu'un rapport: c'est la ligne dont les parties prises indiffiîremment sont semblables entre elles , c'est-à-dire impliquent le même rapport entre leurs éléments (2), mais ce n'est pas l'image visible ou tangible de la ligne droite (3).

( 1 ) Ou bien , comme en géométrie analytique , c'est tout simplement une équation , soit : a?^ j- ^/^ = a^ , soit p = a.

(2) Comme le montre Téquatioa de la droite y = ax-\-b.

(3) Nous ne voulons pas dire , b en entendu, que l'image sous laquelle nous nous représsentons le carré ou le losang»^ boit quelque chose de semblable à la &eni*ation de chaleur ou ae lumière; ruais c'est pourtant quelque cho&e d'analogue. J'apprécie la formo des figures au moyen de certains mouvements que j'imprime à ma main qui les tâte, ou à mon œil qui en suit les contours; ces mouvements sont accompagnés de certaines modifications du sess musculaire; et Tâme à son tour ne distingue ceUes-ci que grâje à

Cependant la sensation et la science ne sont pas sans être dans un certain rapport. Les résultats de la science doivent toujours rendre compte de nos sensalions. Quelquefois même ils dépassent la finesse de nos organes , et la science nous indique souvent des différences là où nous n'en avions pas encore aperçues. Quelquefois aussi ils restent en dessous de la perfection de notre sensibilité qui accuse une différence que la science n'est pas encore parvenue à saisir. Toutefois il y a plutôt absence d'accord que désaccord ; l'un des termes de la comparaison manque ; mais jamais quand les deux termes sont là, il n'y a entre eux contradiction , si ce n'est une contradiction apparente qu'on lève bientôt — bien entendu quand la science est fondée sur des principes vrais. En général donc, si les sens contrôlent la science , d'un autre côté, celle-ci est assez indépendante de ceux-là pour pouvoir s'en passer : un aveugle-né — le cas s'est vu — peut enseigner l'optique; un sourd s'occuper d'acoustique, et cela avec succès.

Quel est donc le caractère particulier des points de la trajectoire d'un mobile? Ce caractère, on le pressent, c'est la vitesse {virtuelle) avec laquelle il est censé se mouvoir pour passer à une antre position. On verra que nous arriverons à remplacer cette notion àe vitesse qui semble impliquer celle du mouvement par la notion

certains caractères indêfinis&ableô analogues à la fiensation de bleu , de rouge , de ton , de timbre , etc. Quand une pointe touche ma peau , je puis dire quelle est la partie touchée, — Mais pourquoi le puis-je? Parce que sans doute la tenFation perçue a, si nous pouvons ainsi dire, une certaine coloration à elle propre.

de force. Nous ferons remarquer toutefois que, dans le langage scientifique, on accorde à ce dernier mot une signification souvent bien différente de celle que nous lui donnons; mais que nous ne nous en servirons jamais qu'avec le sens précis et restreint que nous indiquerons. De cette notion nous partirons pour obtenir une définition du mouvement exempte de cercle. Nous y rattacherons par un lien naturel et logique toutes les lois de la mécanique , et d'autres encore qu'on n'a admises jusqu'à présent que sur la foi de l'expérience, l'attraction par exemple.

Pour obtenir cette définition , procédons par analogie. L'analogie est à la fois bien souvent un procédé et une preuve.

Dans nos Prolégoînènes philosophiques de la géométrie (1), nous avons cherché à obtenir l'objet de la géométrie en partant de l'idée de l'univers tel que nous la fournit l'observation immédiate , et en simplifiant constamment cette idée jusqu'à ce que nous arrivions à un univers purement géométrique. C'est le procédé inverse que nous allons aujourd'hui employer pour trouver l'idée d'un univers purement mécanique. De cette idée se dégagera la notion de force.

Qu'est-ce que l'univers arithmétique? C'est une collection de points égaux jusqu'à être indiscernables et que nous nommons unités. Si Ton considère les points par groupes , et que l'on étudie les rapports de tous les groupes et formes de groupes possibles, on crée la science dite arithmétique. L'arithmétique, c'est la science de ces groupes et de leurs rapports.

( 1 ) P. 41 , sqq , et notamment p. 66 — 69.

Ces groupes appelés nombres, n'ont jusqu*à présent qu'une existence idéale , arbitraire. Sitôt que ma pensée cesse d'établir un lien idéal entre les unités, le groupe se dissout , le nombre disparaît et se résout en ses éléments. Si le lien établi une fois est conçu comme persistant , l'univers se compose de groupes différents d'intensité , et si nous supposons un instant que ces groupes prennent la forme des points, l'univers se composera de points algébriques, a, b, c, d, etc., différents de valeur. Nous aurons des points-quantités, des quantités , qu'à leur tour nous pouvons rassembler en groupes et étudier dans leurs rapports. C'est ainsi que si nous avions une vue parfaite (ou peut-être imparfaite, comme l'on veut) nous verrions probablement la voûte du ciel uniformément parsemée de points brillants et égaux (abstraction faite des planètes et des astres qui ont un diamètre sensible.) Le ciel serait un ciel arithmétique , les points brillants seraient des unités, et les délimitations par groupes seraient arbitraires. Mais notre vue, perdant de sa perfection, il se formerait pour nous dans le ciel des groupes naturels, des nébuleuses si l'on veut, et le ciel gagnerait en variété, et offrirait aussi plus de travail à l'obserr vation. Nous n'aurions pas seulement à nombrer les groupes, nous aurions encore à en comparer les valeurs diverses. Ce serait un ciel algébrique (1).

En arithmétique et en algèbre, je prends les points pour ce qu'ils sont sans m'occuper de leurs rapports de position. Ces points sont égaux, ou peuvent se

(t) Un univers matériel arithmétique se composerait de pointa nyant chacun la même masse; dans un univers matériel algébrique, les points auraient des densités diffévente^.

substituer dans une certaine proportion l'un à l'autre, sans qu'il y ait perturbation dans le système. Dans l'univers géométrique un nouvel élément va intervenir. Les points ne pourront plus se substituer l'un à l'autre. J'aurai à considérer les propriétés qui leur reviennent du fait de leur position respective. Tel point, parce qu'il est au centre de tel groupe de points, jouira de propriétés autres qu'aucun autre point de ce groupe. J'aurai à considérer ses relations de distance et de position. Ainsi en arithmétique, le nombre; en algèbre la quantité; en géométrie, la figure.

Arrêtons-nous un instant ici et reprenons la même exposition sous une autre forme.

Je veux engendrer l'univers arithmétique: je pose un point, puis un second égal au premier, puis un troisième , et ainsi de suite. Mais peu importe où je le pose. Je puis même les considérer comme existant au même lieu sans la moindre contradiction; seulement ce lieu pourra être arbitrairement considéré comme un point double, triple, ou même comme contenant des points doubles, des points triples, à l'infini. Si je considère les points comme placés en ligne , peu importe la forme de cette ligne; sa nature, sa composition, si je puis ainsi m'exprimer, est partout semblable à ellemême.

Si maintenant je passe à la construction de l'univers algébrique, les difl*érentes quantités que je poserai les unes après les autres seront diffiérentes d'intensité. Et si, comme tantôt, je les suppose placées sur une ligne de forme arbitraire , les difl^érents points de cette ligne ne pourront plus être considérés conome équivalents ; la composition , la densilé de la ligne variera à chaque instant.

Conslruisons eniin un univers géométrique. Cette fois-ci la conception est plus complexe. Le premier point posé, le second point aura une signification particulière en vertu de la position qu'il occupera à l'égard du premier; le troisième point, de la position qu'il prendra à l'égard des deux autres ; le quatrième, de la position qu'il prendra à l'égard des trois précédents; et en général tout point, dès qu'il est posé, acquiert un caractère et des propriétés propres à lui , qu'il ne partage avec aucun autre, propriétés qui dépendent de sa position (1). Cette position, on sait qu'on la détermine au moyen d'un système de coordonnées , et la géométrie étudie les rapports de ces coordonnées.

En résumé, dans l'univers arithmétique des unités dont la position est indifférente; dans l'univers algébrique, des groupes dont le contenu est fixe, mais dont l'organisation interne est libre; dans l'univers géométrique, des groupes dont tous les éléments ont une place et des attributions fixes qu'ils ne peuvent échanger avec d'autres.

L'univers géométrique construit, nous voyons dans l'espace géométrique des points immobiles à une place déterminée, et celte place seule nous intéresse. Abstraction faite de la différence de position, tous les points de l'espace sont identiques entre eux. Dans l'univers mécanique je m'enquiers du comment ou du pourquoi chaque point est à cette place et non à une autre, et par cela même que chaque point est où il est et non autre part , je le considère comme possédant

( 1 ) La position d*un point est déterminée quand on connaît ses rapports fie situation a\ec trois autres points. C'est là une censé quonce qni ^ésulte de rexistence de trois dimension? di^ns Tespaee,

une qualité interne qui le différencie de tous les autres et que nous nommerons la force.

Pour donner à notre pensée toute la clarté désirable, reprenons la construction de l'univers géométrique.

Le premier point étant donné, je le fais mouvoir en ligne droite, je suppose; et si je me figure qu'à chaque nouvelle position il ponde dans l'espace un autre point semblable à lui-même (1), cette suite de points me donnera une droite que je pourrai faire mouvoir à son tour pour engendrer le plan et ainsi de suite. Les rapports des différents points de ma ligne avec le point source première de tous les autres , sont des rapports extérieurs, puisque je suppose les points égaux et semblables. Ces rapports sont, comme on le sait, des rapports de distance, d'angle plan et d'angle dièdre. Opérons de même pour construire l'univers mécanique, mais modifions l'hypothèse première, et supposons que le point, à mesure qu'il se meut et qu'il pond d'autres points , éprouve un changement interne correspondant à son changement de position , nous aurons un espace hétérogène dont tous les points auront une nature différente correspondant à leur position particulière. De la connaissance de la nature d'un point, on pourra conclure à sa position et réciproquement. Chaque point de l'espace mécanique pourra être considéré comme doué d'une qualité propre qui caractérise le lieu où il estj si bien que si cette qualité venait à changer, il faudrait imaginer que le point prendrait toujours une position correspondante. Appelons cette qualité la force.

( 1 ) Qu'on se rappeUe toujours Texemple de la baguette enflammée tournant avec rapidité dans l'espace ! C'est là réeUement l'image la piu3 tieneible de la génération d'une ligne par un point.

Ainsi qu'est-ce qui dislingue la figure géométrique (le la figure mécanique? c'est que Timagination voit dans celle dernière quelque chose dont elle ne tient pas compte dans la première. Dans la parabole je puis ne voir qu'une figure géométrique, mais je puis aussi la considérer comme la trajectoire d'un corps pesant lancé dans le vide, et alors les points qui la composent et qui , dans la figure géométrique, n'avaient que des propriétéstoules relatives, tout extérieures, acquièrentdans la figure mécanique des propriétés internes en vertu desquelles ils sont capables de faire quelque chose. Cette même parabole change d'aspect selon qu'elle est géométrique ou mécanique ; les points géométriques sont moins que des points mécaniques, ceux-ci possèdent en outre une qualité propre qui ne se trouve pas en ceux-là.

Si donc, comme on le fait pour les relations géométriques, les distances, les angles plans et les angles dièdres, nous rapportons la nature de chaque point à celle d'un ou plusieurs points (peu importe pour le moment) pris comme termes de comparaison et dont la force est considérée comme fixe, nous pourrons dire que /a force est la différence interne des points de Vespace, et nous pourrons ajouter que cette différence interne correspond toujours à une différence externe des mêmes points, c'est-à-dire à une différence de situation; ou encore, pour parler un langage rigoureusement scientifique, nous pouvons dire que l'équivalent géométrique de la force est la position^ et réciproquement que f équivalent mécanique de la position est la force.

Pour peu que l'on réfléchisse, cette définition doit paraître naturelle. Toute chose a sa place marquée ici

bas, et cette place est précisément le résultat de toutes les forces qui ont agi sur cette chose. « A chaque moment de son existence , disait Fichle , la nature est un tout compacte, et tu ne pourrais déranger un grain de sable de sa place sans par là déranger partout quelque chose , bien que tes yeux peuvent ne pas s'en apercevoir. Chaque moment de son existence est déterminé par les moments qui précèdent, et détermine tous ceux qui suivront; et tu ne peux te figurer autre la position d'un grain de sable, sans jeter le passé et l'avenir dans Tindétermination. Fais~en l'essai, si tu veux, avec ce grain de sable Figure-le-toi poussé quelques pas plus loin. Pour cela il aurait fallu que le vent qui venait de la mer eût été plus fort qu'il ne l'a été; et pour cela il fallait que l'état de l'atmosphère par lequel ce vent, ainsi que son degré de force était déterminé, fût autre qu'il n'a été en effet; et cet état à son tour ne peut être autre sans que les circonstances qui l'ont précédé fussent autres aussi, et ainsi tu arrives à l'infini à imaginer une autre température de l'air que celle qui a eu lieu réellement, une autre nature des corps qui ont eu influence sur elle et sur qui elle a eu influence. » La place de ce grain de sable correspond donc exactement à l'ensemble des forces qui ont agi sur lui et lui ont donné sa force propre (1 ).

( 1 ) Qu'on nous permette encore , à ce sujet , de rappeler un souvenir d'enfance. J'avaig , étant tout jeune encore , souvent l'occasion de paflser.dan» mes promenades y devant une maison dont l'euFeigne représentait un itomme à cheval portant un ^ac sur ses épaules , avec cette inscriptiOD : A la Folie. Je ne comprenais pas bien. On m'expliqua que la folie du cavalier eonFistait à se donner un mal inutile, puii-quUl pouvait mettre le «ac sur le cheval. Sur mon observation que le cheval aurait peut-être trop à porter pi, outre le