J’I ESSAI PHILOSOPHIQUE

saire, et que la partie dure jusqu’à ce que l’un des joueurs n’ait plus de jetons. Le calcul des probabilités nous montre que pour l’égalité du jeu, les mises des joueurs doivent être en raison inverse de leui’s jetons. Mais s’il existe entre leurs adresses une petite inégalité inconnue, elle favorise celui des joueurs qui a le plus petit nombre de jetons. Sa probabilité de gagner la partie augmente si les joueurs conviennent de doubler, de tripler leurs jetons ; et elle serait ^ ou la même que la probabilité de l’autre joueur, dans le cas où les nombres de leui's jetons deviendraient infinis, en conservant toujours le même rapport.

On peut corriger l’influence de ces inégalités inconnues, en les soumettant elles -mêmes aux chances du hasard. Ainsi au jeu de crxyîjc ou pile, si l’on a une seconde pièce que l’on projette chaque fois avec la première , et que l’on convienne de nommer constamment croix la face amenée par cette seconde pièce , la probabilité d’amener croix deux fois de suite avec la première pièce , approchera beaucoup plus d’un quart que dans le cas d’une seule pièce. Dans ce dernier cas, la différence est le carré du petit accroissement de piossibilité que l’inégalité inconnue donne à la face de la première pièce qu’elle favorise : dans l’autre cas, cette différence est le quadruple pro-

duit de ce carré, par le carré correspondant relatif à la seconde pièce.

Que Ton jette dans une urne, cent numéros depuis un jusqu’à cent , dans l’ordre de la numération , et qu’ après avoir agité l’urne , pour mêler ces numéros, on en tire un; il est clair que si le mélange a été bien fait, les probabilités de sortie des numéros seront les mêmes. Mais si l’on craint qu’il n’y ait entre elles de petites différences dépendantes de l’ordre suivant lequel les numéros ont été jetés dans l’urne; on diminuera considérablement ces différences, en jetant dans une seconde urne, ces numéros suivant leur ordre de sortie de la première urne, et en agitant ensuite cette seconde urne pour mêler ces numéros. Une troisième urne , une quatrième, etc., diminueraient de plus en plus ces

différences déjà insensibles dans la seconde urne.

Des lois de la Probabilité, qui résultent de la multiplication indéfinie des évènemens.

Au milieu des causes variables et inconnues que nous comprenons sous le nom de hasard, et qui rendent incertaine et irrégulière, la marche des évènemens ; on voit naître à mesure qu’ils se multiplient, une régularité frappante qui semble

tenir à un dessein, et que Ton a considérée connue une preuve de la providence. Mais en y réfléchissant, on reconnaît bientôt que cette régularité n’est que le développement des possibilités i‘espectives des évènemens simples qui doivent se présenter plus souvent, lorsqu’ils sont plus probables. Concevons, par exemple, une urne qui renferme des boules blanches et des boules noires; et supposons qu’à chaque fois que l’on en tire une boule, on la remette dans l’urne pour procéder à un nouveau tirage. Le rapport du nombre des boules blanches extraites, au nombre des boules noires extraites, sera le plus souvent très irrégulier dans les premiers tirages; mais les causes variables de cette irrégularité produisent des effets alternativement favorables et contraires à la marche régulière des évènemens, et qui se détruisant mutuellement dans l’ensemble d’un grand nombre de tirages, laissent de plus en plus apercevoir le rapport des boules blanches aux boules noires contenues dans l’urne, ou les possibilités respectives d’en extraire une boule blanche ou une boule noire à chaque tirage. De là résulte le théorème suivant.

La probabilité que le rapport du nombre des boules blanches extraites ^ au nombre total des boules sorties., ne s’écarte pas au-delà d’un in-

éM

SUR LES PROB\niLITÉS.

tervalle donné, du rapport du nombre des boules blanches, au nombre total des boules contenues dans Turne, approche indéfiniment de la certitude, par la multiplication indéfinie des évèneniens, quelque petit que Ton suppose cet intervalle.

£e théorème indiqué par le bon sens, était difficile à démontrer par l’analyse. Aussi l’illustre géomètre Jacques Bernouilli qui s’en est occupé le premier, attachait-il une grande importance à la démonstration qu’il en a donnée. Le calcul des fonctions génératrices, appliqué à cet objet, non-seidement démontre avec facilité ce théorème , mais de plus il donne la probabilité que le rapport des. évènemens observés ne s’écarte que dans certaines limites, du vrai rapport de leurs possibilités respectives.

On peut tirer du théorème précédent cette conséquence qui doit être regardée comme une loi générale, savoir, que les rapports des effets de la nature sont à fort peu près constans, quand ces effets sont considérés en grand nombre. Ainsi, malgré la variété* des années, la somme des productions pendant un nombre d’années considérable est sensiblement la même; en sorte que l’homme, par une utile prévoyance, ixiut se mettre à l’abri de l’irrégularité des saisons , en

7b KSSAl PHILOSOPHIQUE

répandant également sur tous les temps, les biens que la nature distribue d’une manière inégale. Je n’excepte pas de la loi précédente, les effets dus aux causes morales. Le rapport des naissances annuelles à la population, et celui des mariages aux naissances , n’éprouvent que de très petites variations : à Paris, le nombre des naissances annuelles est à peu près le même ; et j’ai ouï dii*e qu’à la poste, dans les temps ordinaires, le nombre des lettres mises au rebut par les défauts des adresses, change peu, chaque année; ce qui a été pareillement observé à Londres.

Il suit encore de ce théorème, que dans une série d’évènemens , indéfiniment prolongée, l’action des causes régulières et constantes doit l’emporter à la longue , sur celle des causes irrégulières. C’est ce qui rend les gains des loteries aussi certains que les produits de l’agriculture; les chance^s qu’elles se réservent , leur assurant un bénéfice dans l’ensemble d’un grand nombre de mises. Ainsi des chances favorables et nombreuses étant constamment attachées à l’observation des principes éternels de raison, de justice et d’humanité , qui fondent et maintiennent les sociétés , il y a grand avantage à se conformer à ces principes, et de graves inconvéniens à s’en écarter. Que l’on consulte les histoires et sa propre ex-

périence ; on y verra tous les faits venir a l’appui de ce résultat du calcul. Considérez les heureux effets des institutions fondées sur la raison et sur les droits naturels de l’homme , chez les peuples qui ont su les établir et les conserver. Considérez encore les avantages que la bonne foi a procurés aux gouvernemens qui en ont fait la base de leur conduite , et comme ils ont été dédommagés des sacrifices qu’une scrupuleuse exactitude à tenir ses engagemens, leur a coûtés. Quel immense crédit au dedans î quelle prépondérance au dehors! Voyez au contraire, dans quel abîme de malheurs, les peuples ont été souvent précipités par l’ambition et par la perfidie de leurs chefs. . Toutes les fois qu’une grande puissance enivrée de l’amour des conquêtes , aspire à la domination universelle; le sentiment de l’indépendance produit entre les nations menacées , une coalition dont elle devient presque toujours la victime. Pareillement , au milieu des causes variables qui étendent ou qui resserrent les divers états; les limites naturelles, en agissant comme causes constantes , doivent finir par prévaloir. Il importe donc à la stabilité comme au bonheur des empires, de ne pas les étendre audelà de ces limites dans lesquelles ils sont ramenés sans cesse [>ar l’action de ces causes; ainsi

que les eaux des mers, soulevées par de violentes tempêtes , retombent dans leurs bassins par la pesanteur. C’est encore un résultat du calcul des probabilités , confirmé par de nombreuses et funestes expériences. L’histoire traitée sous le point de vue de l’influence des causes * constantes, unirait à l’intérêt de la curiosité, celui d’offrir aux hommes les plus utiles leçons. Quelquefois on attribue les effets inévitables de ces causes, à des circonstances accidentelles qui n’ont fait que développer leur action. 11 est, par exemple, contre la nature des choses, qu’un peuple soit à jamais gouverné par un autre qu’une vaste mer ou une grande distance en sépare. On peut affirmer qu’à la longue, cette cause constante se joignant sans cesse aux causes variables qui agissent dans le même sens, et que la suite des temps développe, finira par en trouver d’assez fortes pour rendre au peuple soumis, son indépendance naturelle, ou pour le réunir à un état puissant qui lui soit contigu.

Dans un grand nombre de cas, et ce sont les plus importans de l’analyse des hasards, les possibilités des évènemens simples sont inconnues, et nous sommes réduits à chercher dans les évènemens passés, des indices qui puissent nous guider dans nos conjectures sur les causes dont ils

dépendent. En appliquant l’analyse des fonctions génératrices, au principe exposé ci-devant, sur la probabilité des causes, tirée de^ événemens observés , on est conduit au théorème suivant.

Ix>rsqu’un événement simple ou composé de plusieurs événemens simples , tel qu’une partie de jeu, a été répété un grand nombre de fois; les possibilités des événemens simples qui rendent ce que l’on a observé, le plus probable, sont celles que l’observation indique avec le plus de vraisemblance : à mesure que l’événement observé se répété , cette vraisemblance augmente .et finirait par se confondre avec la certitude, si le nombre des répétitions devenait infini.

Il y a ici deux sortes d’approximations : l’une d’elles est relative aux limites prises de part et d’autre , des possibilités qui donnent au passé le plus de vraisemblance : l’autre approximation se rapporte à la probabilité que ces possibilités tombent dans ces limites. La réj)étition de l’évènement composé accroît de plus en plus cette probabilité , les limites restant les mêmes : elle ressserrede plus en plus l’intervalle de ces limites, la probabilité restant la même : dans l’infini , cet intervalle devient nul , et la probabilité se change en certitude.

Si l’on applique ce théorème , au rapport des

naissances des garçons à celles des filles, observé dans les divei’ses contrées de l’Europe, on trouve que ce rapport , partout à peu près égal à celui de aa à 2 1 , indique avec une extrême probabilité une plus grande facilité dans les naissances des garçons. En considérant ensuite qu’il est le même à Naples et à Pétersbourg, on verra qu’à cet égîird, l’influence du climat est insensible. On pouvait donc soupçonner contre l’opinion commune, que cette supériorité des naissances masculines subsiste dans l’Orient même. J’avais . en conséquence invité les savans français envoyés en Égypte , à s’occuper de cette question intéressante ; mais la difficulté d’obtenir des renseignemens précis sur les naissances , ne leur a j>as permis de la résoudre. Heureusement , M. de Humboldt n’a point négligé cet objet dans l’immensité des choses nouvelles qu’il a observées et recueillies en Amérique, avec tant de .sagacité, de constance et de courage. Il a retrouvé entre les tropiques, le même rap|X)rt des naissances des garçons à celles des filles , que l’on observe à Paris; ce qui doit faire regarder la supériorité des naissances masculines comme une loi gém> raie de l’espèce humaine. Les lois que suivent à cet égard, les diverses esj>èces d’animaux, me paraissent dignes de l’attention des naturalistes.

SUR LES PROnVIUUTÉS.

Le rapport des naissances des garçons à celles des filles , différant très peu de l’unité , des nombres même assez grands de naissances observées dans un lieu , pourraient offrir à cet égard un résultat contraire à la loi générale, sans que l’on fût en droit d’en conclure que cette loi n’y existe pas. Pour tirer cette conséquence , il faut employer de très grands nombres, et s’assurer qu’elle est indiquée avec une grande probabilité. Buffon cite , par exemple , dans son Arithmétique politique , plusieurs communes de Bourgogne où les naissances des filles ont surpassé celles des garçons. Parmi ces communes , celle de Carcelle-le-Grignon présente, sur üooq naissances pendant cinq années, 10:26 filles et q 83 garçons. Quoique ces nombres soient considérables, cependant ils n’indiquent une plus grande possibilité dans les naissances des filles , qu’avez la probabilité et cette probabilité plus petite que celle de ne pas amener croix quatre fois de suite , au jeu de cixtix ou pile y n’est pas suffisante pour rechercher la cause de cette anomalie qui , selon toute vraisemblance , disparaîtrait si l’on suivait, pendant un siècle, les naissances dans cette commune.

I^s registres des naissances, que l’on tient avec soin pour assurer l’état des citoyens , peuvent

8a ESSAI pniLOsopniQüE

servir à (létermiiier la population d’un grand empire, sans recourir au dénombrement de ses habitans, opération pénible et difficile à faire avec exactitude. Mais il faut pour cela connaître le rapport de la population aux naissances annuelles. I.e moyen d’y parvenir, le plus précis, consiste i° à choisir dans l’empire, des déjwirtemens distribués d’une manière à peu près égale sur toute sa surface, afin de rendre le résultat général , indépendant des circonstances locales ; a® à dénombrer avec soin , pour une époque donnée, les habitans de plusieurs communes dans chacun de ces départemens ; 3 ® à déterminer par le relevé des naissances durant plusieurs années qui précèdent et suivent cette époque , le nombre moyen correspondant des naissances annuelles* Ce nombre, divisé par celui des habitans , donnera le rapport des naissances annuelles à la population, d’une manière d’autant plus sûre, que le dénombrement sera plus considérable. Le gouvernement, convaincu de l’utilité d’un sera»blable dénombrement, a bien voulu en ordonner l’exécution , à ma prière. Dans trente départemens répandus également sur toute la France , on a fait choix des communes qui pouvaient fournir les renseignemens les plus précis. Leurs dénombremens ont 4 ®nné a 03761 5 individus

SUR LES PROBABrLITÉS.

pour la somme totale de leurs habitans au ai septembre 1802. Le relevé des naissances dans ces communes pendant les années 1800, 1801 et 1802, a donné

Naissances. Mariages.

1 10 3i 2 garçons. 46037* 105287 filles. f

Décès.

io 3659 fioninies.

99443 femmes.

Le rapport de la population aux naissances annuelles est donc 28 /V0V0V0 • plus grand qu’on ne l’avait estimé jusqu’ici. En multipliant par ce rapport le nombre des naissances annuelles en France,' on aura la population de ce royaume. Mais quelle est la probabilité que la population ainsi détenninée , ne s’écartera pas de la véritable au-delà d’une limite donnée ? En résolvant ce problème , et appliquant à sa solution les données précédentes , j’ai trouvé que le nombre des naissances annuelles en France, étant su|> posé d’un million , ce qui porte sa populatioii à 28352845 habitans, il y a près de trois cent mille à parier contre un que l’erreur de ce résultat n’est pas d’un demi-million.

Le rapport des naissances des garçons à celles des filles, qu’offre le relevé précédent, est celui

de 22 à 21 ; et les mariages sont aux naissances comme trois est à quatorze.

A Paris , les baptêmes des enfans des deux sexes s’écartent un peu du rapport de 22 à 21. Depuis 1745, époque à laquelle on a commencé à distinguer les sexes sur le^ registres des naissances , jusqu’à la fin de 1784, on a baptisé, dans cette capitale, SqSSSfi garçons et 877555 filles. Le rapport de ces deux nombres est à peu près celui de 25 à 24 ; il paraît donc qu’à Paris une cause particulière rapproche de l’égalité les baptêmes des deux sexes. Si l’on applique à cet objet le calcul des probabilités, on trouve qu’il y a 288 à parier contre un en faveur de l’existence de cette cause, ce qui suffit pour en autoriser la recherche. En y réfléchissant , il m’a paru que la différence observée tient à ce que les parens de la campagne et des provinces trouvant quelque avantage à retenir près d’eux les garçons, en avaient envoyé à l’Hospice des Enfans-Trouvés de Paris , moins relativement aux filles, que suivant le rapport des naissances des deux sexes. (î’e.st ce que le relevé des registres de cet hospice m’a prouvé. Depuis le commencement de 1 745 jusqu’à la fin de 1809, il y est entré 168499 garçons et 159 4^5 filles. Le premier de ces nombres n’excède que d’un trente- huitième le

second qu’il aurait dû surpasser au moins d’un vingt-quatrième. Ce qui confirme l’existence de la cause assignée , c’est qu’en n’ayant point égard aux enfans trouvés , le rapport des naissances des garçons à celles des filles est à Paris celui de 22 à 21 .

Les résultats précédens supposent que l’on

peut assimiler les naissances aux tirages des boules

d’une urne qui renferme une infinité de boules

blanches et de boules noires mêlées de manière

qu’à chaque tirage les chances de sortie soient les memes pour chaque boule ; mais il est possible que les variations des memes saisons dans les diverses années, aient quelque influence sur le rapport annuel des naissances des garçons à celles des filles. Le Bureau des Longitudes de France publie chaque année, dans son Annuaire, le tableau du mouvement annuel de la population du royaume. Les tableaux déjà publiés commencent à 1817: dans cette année et dans les cinq suivantes, il est né 2962361 garçons et 2781 997 filles; ce qui donne à fort peu près pour le rapport des naissances des garçons à celles des filles. I^es rapports de chaque année s’éloignent peu de ce r^ultat moyen : le plus petit rapport est celui de 1822 , où il n’a été que —J; le plus grand e^t de l’année. 1817, où il 4

égalé -}-j. Ces rapports s’écartent sensi)>leineiit du rapport trouvé ci-dessus. En appliquant à cet écart l’analyse des probabilités, dans l’hypothèse de l’assimilation des naissances aux tirages des boules d’une urne , on trouve qu’il serait très peu probable. 11 paraît donc indiquer que cette hypothèse, quoique fort approchée, n’est pas rigoureusement exacte. Dans le nombre des naissances que nous venons d’énoncer, il y a en enfans naturels aoo 4 Q 4 garçons et 190 698 filles. Le rapport des naissances masculines et féminines a donc été à leur égard -f^, plus petit que le rapport moyen Ce résultat est dans le meme sens que celui des naissances des enfans trouvés ; et il semble prouver que dans la classe des enfans naturels, les naissances des deux sexes approchent plus d’étre égales que dans la classe des enfans légitimes. La différence des. climats du nord au midi de la France ne piaraît {>as influer sensiblement sur le rapport des naissances des garçons et des filles. Les trente départemens les plus méridionanx ont donné —f pour ce rapport , comme pour la France entière.

La constance de la supériorité des naissances des garçons sur celles des filles , à Paris et à Londres, depuis qu’on les observe, a paru à quelques savans être une preuve de la providence,

sans laquelle ils ont pensé que les causes irrégulières , qui troublent sans cesse la marche des évènemens, auraient dû plusieurs fois rendre les naissances annuelles des filles supérieures à celles des garçons.

Mais cette preuve est un nouvel exemple de Tabus que l’on a fait si souvent des causes finales , qui disparaissent toujoui's par un examen approfondi des questions, lorsqu’on a les données nécessaires pour les l’ésoudre. La constance dont il s’agit est un résultat des causes régulières qui donnent la supériorité aux naissances des garçons , et qui l’emportent sur les anomalies dues au hasard , lorsque le nombre des naissances annuelles est considérable. La recherche de la probabilité que cette constance se maintiendra pendant un long espace de temps , appartient à cette branche de l’Analyse tles hasards qui remonte des évènemens passés à la probabilité des évènemens futurs; et il en résulte qu’en partant des naissances observées depuis 174^ jusqu’en 1784 , il y a près de quatre à parier contre un , qu’à Paris les naissances annuelles des garçons surpasseront constamment, pendant un siècle, les naissances des filles ; il n’y a donc aucime raison de s’étonner que cela ait eu lieu pendant un demi-siècle.

Donnons encore un exemple du développement des rapports constàns que les évènemens présentent à mesure qu’ils se multiplient. C'iOncevons une série d’urnes disposées circulairement, et renfermant , chacune , un très grand nombre de boules blanches et de boules noires : les ra|> ports des boules blanches aux noires , dans ces urnes, pouvant être très différens à l’origine, et tels, par exemple, que l’une de ces urnes ne renferme que des l>oules blanches , tandis qu’une autre ne contient que des boules noires. Si l’on tire une boule de la première urne , pour la mettre dans la seconde ; qu’après avoir agité cette seconde urne, afin de bien mêler la boule ajoutée avec les autres, on en tire une boule pour la mettre dans la troisième urne, et ainsi de suite jusqu’à la dernière urne dont on extrait une boule pour la mettre dans la première; et que l’on recommence indéfiniment cette série de tirages, l’Analyse des probabilités nous montre que les rapports des boules blanches aux noires , dans ces urnes, finiront par être les mêmes et égaux au rapport de la somme de toutes les boules blanches à la somme de toutes les boules noires contenues dans les urnes. Ainsi par ce mode régidier de changement, l’irrégularité primitive de ces rapports disparaît à la longue pour

SLR LES PROBABILITÉS.

faire place à Tordre le plus simple. Maintenant si entre ces urnes on en intercale de nouvelles dans lesquelles le rapport de la somme des boules blanches à la somme des boules noires qiT elles contiennent, diffère du précédent; en continuant indéfiniment , sur l’ensemble de ces urnes , les extractions que nous venons d’indiquer, Tordre simple établi dans les anciennes urnes sera d’abord troublé , et les rapports des boules blanches aux boules noires deviendront irréguliers; mais peu à peu cette irrégularité disparaîtra pour laire place à un nouvel ordre qui sera enfin celui de l’égalité des rapports des boules blanches aux boules noires contenues dans les urnes. On peut étendre ces résultats à toutes les combinaisons delà nature, dans lesquelles les forces constantes dont leurs élémens sont animés , établissent des modes réguliers d’action, propres à faire éclore du sein meme du chaos , des systèmes régis par des lois admirables.

Les phénomènes qui semblent le plus dépendre du hasard présentent donc, en se multipliant, une tendance à se rapjirocher sans cesse de rap ports fixes; de manière que si Ton conçoit de part et d’autre de chacun de ces rapports , un intervalle aussi petit que Ton voudra , la [irobabilité que le résultat moyen des observations tombe

()0 ESSAI >PUlLOSOPUIQUK

dans cet intervalle, finira par ne dift'érer de la certitude que d’une quantité au-dessous de toute grandeur assignable. On peut ainsi par le calcul des probabilités, appliqué à un grand nombre d’observations , reconnaître l’existence de ces rapports. Mais avant que d’en rechercher les causes, il est nécessaire, pour ne point s’égarer dans de vaines spéculations, de s’assurer qu’ils sont indiqués avec une probabilité qui ne permet point de les regarder comme des anomalies dues au hasard. La théorie des fonctions génératrices donne une expression très simple de cette probabilité, que l’on obtient en intégrant le produit de la différentielle de la quantité dont le résultat déduit d’un grand nombre d’observations s’écarte de la vérité , par une constante moindre que l’unité , dépendante de la nature <lu problème , et élevée à une puissance dont l’exposant est le rapport du carré de cet écart au nombre des observations. L’intégrale prise entre des limites données , et divisée par la même intégrale étendue à l’infini positif et négatif, exprimera la probabilité que l’écart de la vérité est compris entre ces limites. Telle est la loi générale de la probabilité des résiütats indiqués par un grand nombre d’observations.

Application du Calcul des Probabilités , à la Philosophie naturelle.

Les phénomènes de la nature sont le plus souvent enveloppés de tant de circonstances étrangères, un si grand nombre de causes perturbatrices y mêlent leur influence, qu’il est très difficile de les reconnaître. On ne peut y pai'venir qu’en multipliant les observations ou les expériences , afin que les effets étrangers venant à se détruire réciproquement , les résultats moyens mettent en évidence ces phénomènes et leurs élémens divers. Plus les observations sont nombreuses, et moins elles s’écartent entre elles; plus leurs résultats approchent de la vérité. On remplit cette dernière condition par le choix des méthodes d’observation , par la précision des instnimens , et par le soin que l’on met à bien observer : ensuite , on détermine par la théorie des probabilités, les résultats moyens les plus avantageux , ou ceux qui donnent le moins de prise à l’erreur. Mais cela ne suffît pas ; il est de plus nécessaire d’apprécier la probabilité que les erreurs de ces résultats sont comprises dans des limites données : sans cela , on n’a qu’une connaissance imparfaite du degré d’exactitude

obtenu. Des formules propres à ces objets sont donc un vrai perfectionnement de la méthode des sciences, et qu’il est bien important d’ajouter à cette méthode. L’analyse qu’elles exigent est la plus délicate et la plus difficile de la théorie des probabilités : c’est un des principaux objets de ^ou^Tage que j’ai publié sur cette théorie , et dans lequel je suis parvenu à des formules de ce genre, qui ont l’avantage remarquable d’étre indépendantes de la loi de probabilité des erreurs, et de ne renfermer que des quantités données par les observations mêmes et par leurs expressions.

Chaque obsei'vation a pour expression analytique une fonction des éléniens que l’on veut déterminer ; et si ces élémens sont à peu près connus, cette fonction devient une fonction linéaire de leui’s corrections. En l’égalant à l’observation même, on forme ce que l’on nomme équation de condition. Si l’on a un grand nombre d’équations semblables , on les combine de manière à obtenir autant d’équations finales qu’il y a d’élémens dont on détermine ensuite les corrections en résolvant ces équations. Mais quelle est la manière la plus avantageuse de combiner les équations de condition, pour obtenir les équations finales? Quelle est la loi de probabilité des erreui's dont les élémens que l’on en tire sont encore suscepti*:

SUR LES PROHABILITÉS.

blés? c’est ce que la théorie tles probabilités fait connaître, t.a formation d’une équation finale, au moyen des équations de condition , revient à multiplier chacune de celles-ci par un facteur indéterminé et à réunir ces produits; il faut donc choisir le système de facteurs qui donne la plus petite erreur à craindre. Or il est visible que si l’on multiplie les erreurs possibles d’un élément par leurs probabilités respectives, le système le plus avantageux sera celui dans lequel la somme de ces produits, tous pris positivement, est un minimum; car une erreur positive ou négative doit être considérée comme une j^rte. En formant donc cette somme de produits , la condition du minmmni déterminera le système de facteurs qu’il convient d’adopter, ou le système le plus avantageux. On trouve ainsi que ce système est celui des coefficiens des élémens dans chaque équation de condition; en sorte que l’on forme une première équation finale, en multipliant respectivement chaque équation de condition par son coefficient du premier élément , et en réunissant toutes ces équations ainsi multipliées. On forme une seconde équation finale, en employant de même les coefficiens du second élément , et ainsi de suite. De cette manière , les élémens et les lois <les phénomènes , renfermés dans le recueil d’un

grand nombre d’observations, se développent avec le pins d’évidence.

La probabilité des erreurs que chaque élément laisse encore à craindre , est proportionnelle au nombre dont le logarithme hyperbolique est l’unité , élevé à unç puissance égale au carré de l’erreur, pris en moins-, et multiplié par un coefficient constant qui peut être considéré comme le module de la probabilité des erreurs, parce que l’erreur restant la même, sa probabilité décroît avec rapidité quand il augmente; en sorte que l’élément obtenu pèse , si je puis ainsi dire , vers la vérité , d’autant plus que ce module est plus grand. Je nommerai, par cette raison, ce module, poids de l’élément ou du résultat. Ce poids est le plus grand possible dans le système de facteurs, le plus avantageux; c’est ce qui donne à ce système la supériorité sur les autres. Par une analogie remarquable de ce poids avec ceux des corps comparés à leur centre commun de gravité , il arrive que si un même élément est donné par divers systèmes composés chacun d’un grand nombre d’observations , le résultat moyen le plus avantageux de leur ensemble est la somme des produits de chaque résultat partiel , par son poids , cette somme étant divisée par celle de tous les poids. De plus , le poids total du résultat des

divers systèmes est la somme de leurs poids partiels ; en sorte que la probabilité des erreurs du résultat moyen de leur ensemble est proportionnelle au nombre qui a- l’unité pour logarithme hyperbolique élevé à une puissance égale an carré de l’erreur, pris en moins, et multiplié par la somme de tous les poids. Chaque poids dépend , à la vérité, de la loi de probabilité des erreurs de chaque système , et presque toujours cette loi est inconnue; mais je suis heureusement parvenu à éliminer le facteur qui la renferme, au moyen de la somme des carrés des écarts des observations du système de leur résultat moyen. Il serait donc à désirer, pour compléter nos connaissances sur les résultats obtenus par l’ensemble d’un grand nombre d’observations, qu’on écrivît à côté de chaque résultat le poids qui lui correspond : l’Analyse fournit pour cet objet des méthodes générales et simples. Quand on a ainsi obtenu l’exponentielle qui représente la loi de probabilité des erreurs, on aura la probabilité que l’erreur du résultat est comprise dans des limites données , en prenant dans ces limites l’intégrale du produit de cette exponentielle par la différentielle de l’erreur, et en la multipliant par la racine carrée du poids du résultat, divisé par la circonférence dont le dia-

mètre est l’unité. De là il suit que pour une même probabilité , les erreurs des résultats sont réciproques aux racines carrées de leurs poids; ce qui peut servir à comparer leurs précisions respectives.

Pour appliquer cette méthode avec succès , il faut varier les circonstances des observations ou des expériences de manière à éviter les causes constantes d’erreur. Il faut que les observations soient nombreuses, et qu’elles le soient d’autant ph is qu’il y a jdus d’élémens à déterminer; car le poids du résultat moyen croît comme le nombre des observations, divisé par le nombre des élémens. Il est encore nécessaire que les élémens suivent , dans ces observations , une marche différente; car si la marche de deux élémens était rigoureusement la meme, ce qui rendrait leurs coefïiciens proportionnels dans les équations de condition ; ces élémens ne formeraient qu’une seule inconnue , et il serait impossible de les distinguer par ces observations. Enfin , il faut que les observations soient précises : cette condition , la première de toutes, augmente beaucoup le poids du résultat , dont l’expression a pour diviseur la somme des carrés des écarts des observations de ce résultat. Avec ces précautions, on pourra faire usage, de la méthode précédente ,

SUn LES PROBAniLITÉS.

el mesurer le degré* de confiance que méritent les résultats déduits d’un grand nombre d’observations.

La règle que nous venons de donner pour conclure des équations de condition, les équations finales, revient à rendre un minimum la somme • des carrés des erreurs des observations ; car chaque équation de condition devient rigoureuse, en y substituant l’observation plus son erreur; et si l’on en tire l’expression de cette erreur , il est facile de voir que la condition du minimum de la somme des carrés de ces expressions , donne la règle dont il s’agit. Cette règle est d’autant plus précise , que les observations sont plus nombreuses ; mais dans le cas meme où leur nombre est petit, il paraît naturel d’employer la meme règle qui , dans tous les cas , offre un moyen simple d’obtenir sans tâtonnement les corrections que l’on cherche à déterminer. Elle peut servir encore à comparer la précision de diverses tables astronomiques d’un meme astre. Ces tables peuvent toujours être supposées réduites à la même forme , et alors elles ne diffèrent que par les époques, les moyens mouvemens et les coefficiens des argumens; car si l’une d’elles contient un argument qui ne se trouve point dans les autres, il est clair que cela revient à sup|X)ser nul dans celles-ci

^8 ESS\r PHILOSOPHIQUE

le coefficient de cet argiiinent. Si maintenant on rectifiait ces tables par la totalité des bonnes observations, elles satisferaient à la condition que la somme des carr^ des erreurs soit un minimum; les tables qui, comparées à un nombre considérable d'observations , approchent le plus de cette condition , méritent donc la préférence.

C'est principalement dans l’Astronomie que la méthode exposée ci-dessus peut être employée avec avantage. Les tables astronomiques doivent l'exactitude vraiment étonnante qu'elles ont atteinte, à la précision des observations et des théories, et à l’usage des équations de condition, qui font concourir un grand nombre d’excellentes observations, à la correction d’un meme élément. Mais il restait à déterminer la probabilité des erreurs que cette correction laisse encore à craindre : c’est ce que la méthode que je viens d’exposer fait connaître. Pour en donner quelques applications intéressantes, j’ai profité de l’immense travail que M. . Bouvard vient de terminer sur les mouvemens de Jupiter et de Saturne, dont il a construit des tables très précises. Il a discuté avec le plus grand soin les oppositions et les quadratures de ces deux planètes , observées par Bradley et par les astronomes qui l'ont suivi jusqu’à ces dernières années ; il en a conclu les corrections

SLR LES PROBABILITÉS.

^ tles éléinens de leur mouvement et leui’s masses comparées à celle du Soleil, prise pour unité. Ses calculs lui donnent la masse de Saturne égale à la 35 1 2® partie de celle du Soleil. En leur appliquant mes formules de probabilité, je trouve qu’il y a onze mille à parier contre un , que l’erreur de ce résultat n’est pas un ceîitième de sa valeur, ou , ce qui revient à très peu près au meme, qu’ après un siècle de nouvelles observations ajoutées aux précédentes, et discutées de la même manière, le nouveau résultat ne différera pas d’un centième de celui de M. Bouvard. Ce savant astronome trouve encore la masse de Jupiter égale à la 1071® partie du Soleil ; et ma méthode de probabilité donne un million à parier contre un , que ce résultat n’est pas d’un centième en erreur.

Otte méthode peut être encore appliquée avec • succès aux opérations géodésiques. On détermine la longueur d’un grand arc à la surface de la ,, terre, par une chaîne de triangles qui s’appuient sur une base mesurée avec exactitude. Mais quelque précision que l’on apporte dans la mesure des angles, les erreurs inévitables peuvent, en s’accumulant, écarter sensiblement de la vérité la valeur de l’arc que l’on a conclu d’un grand nombre de triangles. On ne connaît donc qu’ini7 parfaitement cette valeur, si l’on ne peut pas as-

lOO

signer la probabilité que son erreur est comprise , dans des limites données. L’erreur d’un résultat géodésique est une fonction des erreurs des angles de chaque triangle. J’ai donné, dans l’ouvrage’ cité , des formules générales pour avoir la probabilité des valeurs d’une ou de plusieurs fonctions linéaires d’un grand nonibre d’erreurs partielles dont on connaît la loi de probabilité; on p>eut donc, au moyen de ces formides, déterminer la probabilité que l’erreur d’un résultat géodésique est contenue dans des limites assignées , quelle que soit la loi de probabilité des erreurs partielles. Il est d’autant plus nécessaire de se rendre indépendant de cette loi , que les lois meme les plus simples sont toujours infiniment peu probables, vu le nombre infini de celles qui peuvent exister dans la nature. Mais la loi inconnue des erreurs partielles introduit dans les formules une , indéterminée qui ne permettrait point de les réduire en nombres, si l’on ne parvenait pas à l’éliminer. On a vu que dans les questions astronomiques où chaque obseEA’^ation fournit une équation de condition pour avoir les élémens, on élimine cette indéterminée au moyen de la somme des carrés des rentes , lorsqu’on a substitué dans chaque équation les valeurs les plus probables des élémens. I^es questions géodésiques n’offrant

SUR LES IMlOBABtLITÉS. lOI

point de semblables équations , il faut chercher . un autre moyen d'élimination. La quantité dont la somme des angles de chaque triangle- observé surpasse deux angles droits plus l’excès sphérique, fournit ce moyen. Ainsi l’on remplace par la somme des carrés de ces quantités, la somme des carrés des restes des équations de condition ; et l’on peut assigner en nombres, la probabilité que l’erreur du résultat final d’une suite d’o|)érations géodésiques, n’excède pas une quantité donnée. Mais quelle est la manière la plus avantageuse de repartir entre les trois angles de cliaque triangle, la somme observée de leurs erreurs? L’analyse des probabilités fait voir que chaque angle doit être diminué du tiers de cette somme, pour que le poids d’un résultat géodésique soit le plus grand qu’il est possible; ce qui rend une meme erreur moins probable. Il y a donc beaucoup d’avantage à observer les trois angles de chaque triangle, et à les corriger comme on vienJ de le dire. Le simple bon sens fait pressentir cet avantage; mais le calcul des probabilités peut seul l’apprécier et faire voir que par cette correction il devient le plus grand qu’il est possible.

Pour s’assurer de l’exactitude delà valeur d’un grand arc qui s’appuie sur une base mesurée à l’une de ses extrémités , on mesure une seconde

base vers l’autre extrémité ; et l’on conclut de l’une de ces bases la longueur de l’autre. Si cette longueur s’écarte très peu de l’observation , il y a tout lieu de crqire que la chaîne de triangles qui unit ces bases est exacte à fort peu près, ainsi que la valeur du grand arc qui en résulte. On corrige ensuite cette valeur en modifiant les angles des triangles , de manière que les bases calculées s’accordent avec les bases mesurées. Mais cela peut se faire d’une infinité de manières, parmi lesquelles on doit préférer celle dont le résulùt géodésique a le plus grand poids , puisque la même erreur devient moins probable. L’analyse des probabilités donne des formules pour avoir directement la correction la plus avantageuse qui résulte des mesures de plusieurs bases et les lois de probabilité que fait naître la multiplicité des bases, lois qui deviennent plus rapidement décroissantes par cette multiplicité.

Généralement , les erreurs des résultats déduits d’un grand nombre d’observations sont des fonctions linéaires des erreurs partielles de chaque observation. Les coefficiens de ces fonctions dépendent de la nature du problème et du procédé suivi pour obtenir, les l'ésultats. Le procédé le plus avantageux est évidemment celui dans lequel une même erreur dans les résultats, est

SUR LKS PROBABILITÉS.

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moins probable que suivant tout autre procédé. L’application du Calcul des probabilités à la Philosophie naturelle, consiste donc à déterminer analytiquement la probabilité des valeurs de ces fonctions , et à choisir leurs coefBciens indéterminés, de manière que la loi de cette probabilité soit le plus rapidement décroissante. En éliminant ensuite des formules, par les données de la question , le facteur qu’introduit la loi presque toujours inconnue de la probabilité des.

erreurs partielles, on pourra évaluer numériquement la probabilité que les erreurs des résultats n’excèdent pas une quantité donnée. On aura ainsi tout ce que l’on peut désirer touchant les résultats déduits d’un grand nombre d’observations.

On peut encore obtenir des résultats fort approchés, par d’autres considérations. Supposons, ' par exemple , que l’on ait mille et une observations d’une meme grandeur : la moyenne arithmétique de toutes ces observations est le résultat donné par la méthode la plus avantageuse. Mais on pourrait choisir le résultat d’après la condition que la somme de ses écarts de chaque valeur partielle, pris tous positivement, soit un minimum. Il paraît, en effet, naturel de regarder comme très approché le résultat qui satisfait à cette con-

- ma --'

Io4 ESSAI PHILOSOPHIQUE

• ^ dition. Il est facile de voir que si Ton dispose les

valeurs données par les observations , suivant

Tordre de grandeur, la valeur qui occupera le

milieu remplira la condition précédente, et le

calcul fait voir que dans le cas d’un nombre

infini d’observations , elle coïnciderait avec la

vérité ; mais le résultat donné par la méthode la

plus avantageuse est encore préférable.

On voit par ce qui précède , que la théorie des probabilités ne laisse rien d’arbitraire dans la manière de répartir les erreurs des observations; elle donne , pour cette répartition , les formules les plus avantageuses , ou qui diminuent le plus qu’il est possible les erreurs à craindre sur les résultats.

La considération des probabilités peut servir à démêler les petites inégalités des mouvemens célestes enveloppées dans les erreurs des observations , et à remonter à la cause des anomalies ol)servées dans ces mouvemens. Ce fut en comparant entre elles toutes ses observations , que Ticho-Brahé reconnut la nécessité d’appliquer à la Lune une équation du temps différente de celle que Ton appliquait au Soleil et aux planètes. Ce fut pareillement l’ensemble d’un grand nombre d’observations , qui fit connaître à Mayer que le coefficient de l’inégalité de la précessiou

SUR LES PROBABILITÉS. Io5

doit étrê un peu diminué pour la Lune. Mais comme cette diminution , quoique confirmée et même augmentée par Mason, ne paraissait pas résulter de la gravitation universelle, la plupart ’ des. astronomes la négligèrent dans leurs calculs. Ayant soumis au calcul des probabilités un nombre considérable d’observations lunaires, choisies dans cette vue , et que M. Bouvard voulut bien discuter à ma prière , elle me parut indiquée avec une probabilité si forte, que je crus devoir en rechercher la cause. Je vis bientôt qu’elle ne pouvait être que l’ellipticité du sphéroïde terrestre , négligée jusque alors dans la théorie du mouvement lunaire , comme ne devant y produire que des termes insensibles. J’en conclus que ces termes deviennent sensibles par les intégrations successives des équations différentielles. Jedéter minai donc ces termespar une analyse particulière, et je découvris d’abord l’inégalité du mouvement lunaire en latitude, qui est proportionnelle au sinus de la longitude de la Lune, et qu’aucun astronome n’avait encore soupçonnée. Je recon-^ nus. ensuite , au moyen de cette inégalité, qu’il en existe une autre dans le mouvement lunaire en longitude , qui produit la diminution observée par Mayer dans l’équation de la précession applicable à la Lune. Ijü quantité de cette diminution ,

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et le coefficient de l’inégalité précédente en latitude sont très propres à fixer Taplatissement de la Terre. Ayant fait part de mes recherches à M. Burg, qui s’occupait alors à perfectionner les tables de la Lune , par la comparaison de toutes les bonnes observations , je le priai de déterminer avec un soin particulier ces deux quantités. Par un accord très remarquable , les valeurs qu’il a trouvées donnent à la Terre le meme aplatisse^ ment } aplatissement qui diffère peu du milieu conclu des mesures des degrés du méridien et du piendule ; mais qui , vu l’influence des erreurs des observations et des causes perturbatrices sur ces mesures, me paraît plus exactement déterminé par ces inégalités lunaires.

,Ce fut encore par la considération des probabilités que je reconnus la cause de l’équation ' séculaire de la Lune. Les observations modernes de cet astre , comparées aux anciennes éclipses , avaient indiqué aux astronomes une accélération dans le mouvement lunaire; maisTes géomètres , et particulièrement Lagrange , ayant inutilement cherché dans les perturbations que ce mouvement éprouve , les termes dont cette accélération dépend , ils la rejetèrent. Un examen attentif des observations anciennes et modernes , et des éclipses intermédiaires observées par les Arabes , me

fit voir qu’elle était indiquée avec une grande probabilité. Je repris alors sous ce point de vue la théorie lunaire, et je reconnus que l’équation séculaire de la Lune est due à l’action du Soleil sur ce satellite , combinée avec la variation-séculaire de l’excentricité de l’orbe terrestre ; ce qui me fit découvrir les équations séculaires des mouvemens des nœuds et du périgée de l'orbite lunaire, équations qui n’avaient pas même été

soupçonnées par les astronomes. I/accord très

remarquable de cette théorie avec toutes les observations anciennes et modernes , l’a portée au plus haut degré d’évidence.

Le calcul des probabilités m’a conduit pareil- ^lement à la cause des grandes irrégularités de Jupiter et de Saturne. En comparant les observations modernes aux anciennes , Halley trouva une accélération dans le mouvement de Jupiter, et un ralentissement dans celui de Saturne. Pour concilier les observations, il assiijétit ces mouvemens à deux équations séculaires de signes contraires, et 'croissante? comme les carrés des temps écoulés depuis 1700. Euler et Lagrange soumirent à l’Analyse les altérations que devait produire dans ces mouvemens l’attraction mutuelle des deux planètes. Us y trouvèrent des équations séculaires ; mais leurs résultats étaient

Io8 ESSAI PHILOSOPHIQUE

si difïérens, que riin d’eux au moins tlevait être erroné- Je me déterminai donc à reprendre ce problème important de la Mécanique céleste^ et je reconnus Finvariabilité des moyens mouvemens -planétaires; ce qui fit disparaître les équations séculaires introduites par Halley dans les

tables de Jupiter et de Saturne. Il ne restait «

ainsi , pour expliquer les grandes irrégularités de ces planètes , que les attractions des comètes auxquelles plusieurs astronomes eurent effectivement recours , ou l’existence d’une inégalité à longue période, produite dans les mouvemens des deux planètes par leur action réciproque , et affectée de signes contraires pour chacune d’elles. Un théorème que je trouvai sur les inégalités de ce genre, me rendit cette inégalité très vraisemblable. Suivant ce théorème, si le mouvement de Jupiter s’accélère , celui de Saturne se ralentit, ce qui est déjà conforme à ce que Halley avait remarqué : de plus, l’accélération de Jupiter, résultante du meme théorème , est au ralentissement de Saturne à très peu près dans le rapport des équations séculaires proposées par Halley. En considérant les moyens mouvemens de Jupiter et de Saturne , il me fut aisé de reconnaître qiu^ deux fois celui de Jupiter ne diffère que d’uiu^ très petite quantité de cinq fois celui de Saturne.

SUR LES PRORARILITÉS. • 1 09

péiiode d’une inégalité qui aurait pour argument cette différence, serait d’environ neuf siècles. A la vérité , son coefficient serait de l’ordre des cubes des Excentricités des orbites ; mais je* savais qu’en vertu des intégrations successives , il acquiert pour diviseur le carré du très petit multiplicateur du tenaps dans l’argument de cette inégalité , ce qui peut lui donner une grande valeur : l’existence de cette inégalité me parut donc trè probable. La remarque suivante accrut encore sa probabilité. En supposant son argument nul , vers l’époque des observations de Ticho-Brahé , je vis que Halley avait dû trouver par la comparaison des observations modernes aux anciennes les altérations qu’il avait indiquées ; tandis que la comparaison des observations modernes entre elles devait offrir des altérations* contraires et pareilles à celles que Lambert avait conclues de cette comparaison. Je n’hésitai donc point à entreprendre le calcul long et pénible , nécessaire pour m’assurer de l’existence de cette inégalité. Elle fut entièrement confirmée par le résultat de ce calcul qui, de plus, me fit connaître un grand nombre d’autres inégalités dont l’ensemble a porté les tables de Jupiter et de Saturne à la précision des observations memes.

Ce fut encore au moyen du calcul des proba-

I lo «ESSAI PHILOSOPHIQUE

büités que je reconnus la loi remarquable des mouvemens moyens des trois premiers satellites de Jupiter, suivant laquelle la longitude moyenne du premier, moins trois fois celle du second , plus ‘ deux fois celle du troisième , est rigoureusement égale à la demi-circonférence. L’approximation avec laquelle les moyens mouvemens de ces astres satisfont à cette loi depuis leur découverte, indiquait son existence avec une vraisemblance extrême ; j’en cherchai donc la cause dans leur action mutuelle. L’examen approfondi de cette action me fit voir qu’il a suffi qu’à l’origine les rapports de leurs moyens mouvemens aient approché de cette loi, dans certaines limites, pour que leur action mutuelle l’ait établie et la maintienne en rigueur. Ainsi ces trois corps se balanceront éternellement dans l’espace, suivant la loi précédente , à moins que des causes étrangères , telles que les comètes, ne viennent changer brusquement leurs mouvemens autour de Jupiter.

On voit par là combien il faut être attentif aux indications de la nature , lorsqu’elles sont le résultat d’un grancl nombre d’observations, quoique d’ailleurs elles soient inexplicables par les moyens connus. L’extrême difficulté des problèmes relatifs au système du monde a forcé les géomètres de recourir à des approximations qui laissent

toujours >à craindre que les quantités négligées n’aient une influence sensible. Lorsqû’ils ont été avertis de cette influence par les observations, ils sont revenus sur leur analyse : en la rectifiant, ils ont toujours retrouvé la cause des anomalies observées; ils en ont déterminé les lois, et souvent ils ont devancé l’observation en découvrant des inégalités qu’elle n’avait pas encore indiquées. Ainsi l’on peut dire que la nature ellemême a concouru à la perfection analytique des théories fondées sur le principe de la pesanteur universelle; et c’est, à mon sens, une des plus fortes preuves de la vérité de ce principe admirable.

Dans les cas que je viens de considérer, la solution analytique des questions a converti la probabilité des causes en certitude. Mais le plus souvent cette solution est impossible , et il ne reste qu’à augmenter de plus en plus cette probabilité. Au milieu des nombreuses et incalculables modifications que l’action des causes reçoit alors des circonstances étrangères , ces causes conservent toujours , avec les effets observés , des rapports propres à les faire reconnaître et à vérifier leur existence. En déterminant ces rapports et en. les comparant avec un grand nombre d’observations , si l’on trouve qu’ils y satisfont cons-

lia ESSAI PHILOSOPHIQUE

' Uiniinent, l.i probabilité des causes pourra s’eu accroître «au point d’égaler celle des faits sur lesquels on ne se permet aucun doute. La recherche de ces rapports des causes à leurs effets , n’est pas moins utile dans la philosophie naturelle que la solution directe des problèmes , soit pour vérifier la réalité de ces causes , soit pour déterminer les lois de leurs effets : pouvant être employée - dans un grand nombre de questions dont la solution directe n’est pas possible, elle la remplace de la manière la plus avantageuse. Je vais exposer ici l’application que j’en ai faite à l’un des plus intéressans phénomènes de la nature , au flux et au* reflux de la mer.

Pline le naturaliste a donné de ce phénomène une description remarquable par son exactitude, et dans laquelle on voit que les anciens avaient observé que les marées de chaque mois sont les plus grandes vers les syzygies , et les plus petites vers les quadratures ; qu’elles sont plus hautes dans le périgée que dans l’apogée de la Lune, et dans les équinoxes que dans les solstices. Ils en avaient conclu que ce phénomène est du à l’action du Soleil et de la Lune sur la mer. Dans la préface de son ouvrage De Stella Mariis , Kepler admit une tendance des eaux de la mer. vers la Lune; mais, ignorant la loi de cette tendance.

SUR LES PROBABILITl^.S.

il ne put donner sur cet objet qu’un aperçu vraisemblable. Newton convertit en certitude la probabilité de cet aperçu , en le rattachant à son grand principe de la pesanteur universelle. Il donna l’expression exacte des forces attractives qui produisent le flux et le reflux de la mer; et pour en déterminer les effets , il supposa que la mer prend à chaque instant la figure d’équilibre qui convient à ces forces. Il expliqua de cette manière les principaux phénomènes des marées; mais il suivait de cette théorie que dans nos ports les deux marées du même jour seraient fort inégales lorsque le Soleil et le Lune auraient une grande déclinaison. A Brest, par exemple, la marée du soir serait dans les syzygies des solstices environ huit fois plus grande que la marée du matin ; ce qui est entièrement contraire aux observations qui prouvent que ces deux marées sont à fort peu près égales. Ce résultat de la théorie newtonienne pouvait tenir à la supposition que la mer parvient à chaque instant à la figure d’équilibre, supposition qui n’est pas admissible. Mais la recherche de la vraie figure de la mer présentait de grandes difficultés. Aidé par les découvertes que les géomètres venaient de faire sur la théorie du mouvement des- fluides et sur le calcul aux différences partielles , j’entrepris cette

Il4 ESSAI PHILOSOPHIQUE

recherche, et je donnai les équations différentielles du mouvement de la mer, en supposant qu'elle recouvre la terre entière. En me rapprochant ainsi de la nature , j'eus la satisfaction de voir que mes résultats se rapprochaient des observations, surtout à l’égard du peu de différence qui existe dans nos ports , entre les deux marées syzygies solsticiales d’un meme jour. Je trouvai qu’elles seraient égales, si la mer avait partout la même profondeur; je trouvai encore qu’en donnant à cette profondeur des valeurs convenables, on pouviiit augmenter la hauteur des marées dans un port conformément aux observations. Mais ces recherches, malgré leur généralité, ne satisfaisaient point aux grandes différences que présentent, à cet égard, des ports meme très voisins, et qui prouvent l’influence des circonstances locales. L’impossibilité de connaître ces circonstaiaces et l’irrégularité du bassin des mers, et celle d’intégrer les équations aux différences partielles qui y sont relatives m’a forcé d’y suppléer par la raétliode que j’ai ci-dessus indiquée. J’ai donc cherché à déterminer le plus de rapports qu’il est possible entre les forces qui sollicitent toutes les molécules de la mer et leurs effets observables dans nos ports. Pour cela , j’ai fait usage du

SUR LKS PROBARILITÉS. I|5

principe suivant , qui peut s’appliquer à beaucoup d’autres phénomènes.

« L’état d’un système de corps, dans lequel les » conditions primitives du mouvement ont dis- » paru par les résistances que ce mouvement » éprouve, est périodique comme les forces qui » l’animent. »

En combinant ce principe avec celui de la coexistence des oscillations très petites, je suis parvenu à une expression de la hauteur des marées, dont les arbitraires comprennent l’effet des circonstances locales de chaque port , et sont réduites au plus petit nombre possible : y ne s’agissait plus que de la comparer à un grand nombre d’observations.

Sur l’invitation de l’Académie des Sciences, on fit à Brest, au commencement du dernier siècle, des observations des marées, qui hirent continuées pendant les six années consécutives. La situation de ce port est très favorable à ce genre d’observations : il communique avec la mer, par un canal qui aboutit à une rade fort vaste , ^au fond de laquelle le port a été construit. Les irrégularités de la mer parviennent ainsi dans ce port très affaiblies , à peu près comme les oscillations que le mouvement irrégulier d’un vaisseau produit dans le baromètre, sont atténuées

par un étranglement fait au tube de cet inslni* ment. D’ailleurs , les marées étant considérables à Brest , les variations accidentelles causées par les vents n’en sont qu’une faible partie : aussi l’on remarque dans les observations de ces marées , pour peu qu’on les multiplie , une grande régularité qui me fit proposer au gouvernement d’ordonner, dans ce port, une nouvelle suite d’observations des marées , continuée pendant une période du mouvement des nœiids de l’orbite lunaire. C’est ce que l’on a entrepris. Ces observations datent du i®*‘juin de l’année 1806; et depuis cette époque elles ont été faites , chaque jour, sans interruption. Je dois au zèle infatigable de M. Bouvard , pour tout ce qui intéresse l’astronomie , les calculs immenses que la comparaison de mon analyse avec les observations a exigés. Il y a employé près de six mille observations faites pendant l’année 1 807 et les quinze années suivantes. Il résulte de cette comparai- ^ son, que mes formules représentent avec une précision remarquable toutes les variétés des marées relatives à l’élongation de la Lune au Soleil , aux déclinaisons de ces astres , à leurs distances à la Terre et aux lois de variation près du maximum et du minimum de chacun de ces élémens. Il

résulte de cet accord une probabilité que le flux