SSA1 PHILOSOPHIQUE

dans cet intervalle, finira par ne différer de la certitude que d'une quantité au-dessous de toute grandeur assignable. On peut ainsi par le calcul des probabilités, appliqué à un grand nombi^ d'observations , reconnaître re:$^isteuce de ces rapports. Mais avant que d'en rechercher les causes, il est nécessaire, pour ne point s'égarer dans de vaines spéculations, de s'assurer qu'ils sont indiqués avec une probabilité qui ne permet point de les regarder comme de^ anomalies dues au hasard. La théorie des fonctions gé^ nératrices donne une expression très simple dç cette probabilité, que l'on obtient en intégrant le produit de la différentielle de la quantité dont le résultat déduit d'un grand nombre d'observations s'écarte de la vérité , par une constante moindre que l'unité , dépendante de la nature du problème , et élevée à une puissance dont l'exposant est le rapport du carré de cet écart au nombre des observations. L'intégrale prise entre des limites données , et divisée par la même intégrale étendue à l'infini positif et négatif, exprimera la probabilité que l'écart de la vérité est compris entre ces limites. Telle est la loi générale de la probabilité des résultats indiqués par un grand nombre d'observations.

SUR LES PROBABILITES. 9I

application du Calcul des Probabilités ^ à la

Philosophie naturelle.

Les phénomènes de la nature sont le plus souvent enveloppés de tant de circonstances étrangères, un si grand nombre de causes perturbatrices y mêlent leur influence, qu'il est très difficile de les reconnaître. On ne peut y parvenir qu'en multipliant les observations ou les expérienic^es , afin que les effets étrangers venant à se détruire réciproquement , les résultats moyens mettent en évidence ces phénomènes et leurs élémens divers. Plus les observations sont nombreuses, et moins elles s'écartent entre elles; plus leurs résultats approchent de la vérité. On remplit cette dernière condition par le choix des méthodes d'observation , par la précision des instrumens , et par le soin que l'on met à bien observer : ensuite , on détermine par la théorie des probabilités, les résultats moyens les plus avantageux, ou ceux qui donnent le moins de prise à l'erreur. Mais cela ne suffit pas; il est de plus nécessaire d'apprécier la probabilité que les erreurs de ces résultats sont comprises dans des limites données : sans cela , on n'a qu'une connaissance imparfaite du degré d'exactitude

objtenu. Des formules propres à ces objets sont donc un vrai perfectionnement de la méthode des sciences y et qu'il est bien important d'ajouter à cette méthode. L'a)aalyse qu'elles exigent est la p]bus délicate et la plus .difficile de la théorie 4es probabilités : c'est im des principau:^ objets de l'ouvrage que j'ai publié sur cette théorie , etdanfii lequel je suis parvenu à de^ formules de ce genres qui ont l'avantage remarquable d'être ind^eup* daptes de la loi de probabilité des erreurs ^ et d^ ne renfermer que des quantités données par leSt observations mêmes et par leurs expressions.

Chs^que observation a pour expression analytique une fonctioti des élémens que l'on veut détei^ miner ; ^ si ces élémens sont à peu près connus» cette fonction devient une fonction linéaire de leurs corrections. En l'égalant à l'observation ménie,;On forme ce que l'on nomme)équation /de conditiQu. Si l'on a un grand nombre d'équattoni semblables , on les combine de manière à obtenir autant d'équations finales qu'il y a d'élémi^:!» dont on détermine ensuite les corrections en; nésolvant ces équations. Mais quelle est la manière la plus avantageuse de combiner les équations de condition» pour obtenir les équations finales? Quelle est la loi de probabilité des erreurs dont les élémens que l'on en tire sont encore suscepti*

SUR Ii£S PROBABILITIÉS. 98

ble»? tî'est ce que la théorie des probabilités fait connaître. 'La formation d'une équation finale, au moyen des équations de condition , revient à multijrfier chacune de celles-ci par tm facteur indétèrttririéet à réunir ces produits; il faut donc choisit^ *fe système de; facteurs qui donh^ la plus petite erreur à ctiaindre. Or il est visible que si l'on multiplie les erreurs possibles d'un élément par leurs probabilités respectives, le système le plus avantageux sera celui dans lequel la somme de cei» produits, tous pris positivement, est un minimum; car une erreur positive ou négative doit être considérée comme une perte* En formant donc cette somme de produits , la condition du minimum déterminera le système de facteurs qu'il convient d -adopter, ou le système le plus avantageux. On trouve ainsi que ce système est celui des coéfficiens des élémens dans chaque équation de condition ; en sorte que l'on forme une première équation finale, en multipliant respectivement chaque équation de condition par son coefficient du premier élément , et en réunissant toutes ces équations ainsi multipliées. On forme une seconde équation finale, en employant de même lés coefficiens du second élément , et ainsi de suite. De cette manière , les élémens et les lois des phénomènes , renfermés dans le recueil d'im

94 ESSAI PHlLOSOPHIQliK

grand nombre d'observations, se développent avec le plus d'évidence.

La probabilité des erreurs que chaque élément

laisse encore à craindre , est proportionnelle au

nombre dont le logarithme hyperbolique est

l'unité , élevé à une puissance égale au carré de

Terreur, pris en moins, et multiplié par un coef*

ficient constant qui peut être considéré comme

1q module de la prob$d>ilité des erreurs ^ parce

que l'erreur restant la même , sa probabilité dé*

croit avec rapidité quand il augmente ; en 'Sorté

que l'élément obtenu pèse , si je puis ainsi dire ,

vers la vérité , d'autant plus que ce module est

plus grand. Je nommerai, par cette raison, ce

module, poids de l'élément ou du résultat. Ce

poids est le plus grand possible dans le système

de facteurs, le plus avantageux; c'est ce qui

donne à ce système la supériorité sur les autres.

Par une analogie remarquable de ce poids avec

ceux des corps comparés à leur centre commun

de gravité , il arrive que si un même élément est

donné par divers systèmes composés chacun d'un

grand nombre d'observations , le résultat moyen

le plus avantageux de leur ensemble est la somme

des produits de chaque résultat partiel , par son

poids , cette somme étant divisée par celle de tous

les poids. De plus , le poids total du résultat des

SUR LES PROBABILITES. ^5

divers systèmes est la somme de leurs poids partiels ; en sorte que la probabilité des erreurs du résultat moyen de leur ensemble est proportionnelle au nombre qui a l'unité pour logarithme hyperbolique élevé à une puissance égale au carré de l'erreur, pris en moins, et multiplié par la somme de tous les poids. Chaque poids dépend , à la mérité , de la loi de probabilité des erreurs de chaque système , et presque toujours cette loies^ inconnue; mais je suis heureusement parvenu à éliminer le facteur qui la renferme, au moyen de la somme des carrés des écarts des observations du système de leur résultat moyen. Il serait donc à désirer, pour compléter nos connaissances sur les résultats obtenus par l'ensemble d'un grand nombre d'observations, qu'on écrivît à côté de chaque résultat le poids qui lui correspond : l'Analyse fournit pour cet objet des méthodes générales et simples. Quand on a ainsi obtenu l'exponentielle qui représente la loi de probabilité des erreurs, on aura la probabilité que l'erreur du résultat est comprise dans des limites données , en prenant dans ces limites l'intégrale du produit de cette exponentielle par la différentielle de l'erreur, et en la multipliant par la racine carrée du poids du résultat, divisé par la circonférence dont le dia-

mètre est l'unité. De là il suit cfue pour une même probabilité j les erreurs des résultats sont réciproques aux racines carrées de leium poids; ce qui peut servir à comparer ^ leurs précisions respectives.

Pour appliquer cette méthode avec succès 9 il faut varier les circonstances des observations ou des expériences de manière à éviter les causes constantes d'erreur. Il faut que les observatioiis soient nombreuses , et qu'elles le soient d'autant plus qu'il y a plus d'élémens à déterminer; car le poids du résultat moyen croit comme le nom* bre des observations , divisé par le nombre des élémens. Il est encore nécessaire que les élém^as suivent , dans ces observations y une marche di£G&* rente; car si la marche de deux élémens était rigoureusement la même ^ ce qui rendrait leurs coeffîciens proportionnels dans les équations de condition ; ces élémens ne formeraient qu'une seule inconnue y et il serait impossible de les dis» tinguer par ces observations. Enfin , il faut que les observations soient précises : cette condition^ la première de toutes, augmente beaucoup le poids du résultat , dont l'expression a pour divi* seur la somme des carrés des écarts des obser^ vations de ce résultat. Avec ces précautions f on pourra faire usage de la méthode précédente ,

et 'mesurer le degré de confiance, que méritent les. résuhails déduits d'un grand nombre d'obsenra^oBs.

La règ}e<|ue nous venons de donner pour conclure des équations de condition ^ les équations finales^ revient à rendre un minimum la somme des carrés des erreurs des observations ; car chaque équation de condition devient rigoureuse ^ ^1 y substituant l'observation plus son erreur; et si Ton en tire l'expression de cette erreur, il est fsicile de voir que la condition du minimum de la somme des carrés de ces expressions , donne la règle dont il s'agit. Cette règle est d'autant plus préiôse^ que les observations sont plus nombueuses ; mais dans le cas même où leur nombre est petit> il paraît naturel d'employer la même rè^e qui , dans tous les cas , offre un moyen simple d'obtenir sans tâtonnement les corrections que l'cm cherche à déterminer. Elle peut servir encore à comparer la précision de diverses tables astronomiques d'un même astre. Ces tables peuvent toujours être supposées réduites à la même forme , et alors elles ne dijffèrent que par les époques^ les moyens mouvemens et les coefficiens des argumens; car si Tune d'elles contient un argument qui ne se trouve point dans les autres, il est clair que cela revient à supposer nul dans celles-ci

le coefficient de cet argument. Si maintenant où rectifiait ces tables par la totalité des bonnes ob» servations, elles satisferaient à la condition qne la somme des carrés des erreurs soit un minimum/ les tables qui y comparées à lui nombre considé* rable d'observations ^ approchent le plus de cette condition , méritent donc la préférence.

C'est principalement dans l'Astronomie que la méthode exposée ci-dessus peut être employée avec avantage. Les tables astronomiques doivent l'exactitude vraiment étonnante qu'elles ont at* teinte, à la précision des observations et des théorie99 ^^ ^ l'usage des équations de condition y qui font concourir un grand nombre d'excellente$ observations, à la correction d'un même élémant. Mais il restait à déterminer la probabilité des erreurs que cette correction laisse encore à craindre : c'est ce que la méthode que je viens d'exposer fait connaître. Pour en donner quelques applications intéressantes , j'ai profité de l'immense tra* vail que M. Bouvard vient de terminer sur les mouvemens de Jupiter et de Saturne , dont il a construit des tables très précises. Il a discuté a^ec le plus grand soin les oppositions et les quadratures de ces deux planètes , observées par Bradley et par les astronomes qui l'ont suivi jusqu'à ces dernières années ; il en a conclu les corrections

SUR LES PRÔBilBILITÉS. gg

des élémens de leur mouvement et leut*s masses 'comparées à celle du Soleil, prise pour unité. Ses calculs lui donnent la masse de Saturne égale à la 35 iHk^ partie de celle du Soleil, En leur appliquant mes formules de probabilité, je trouve qu'il y a onze mille à parier contre im , que l'erreur de ce résultat n'est pas un centième de sa valeur, ou , ce qui revient à très peu près au même, qu'après un siècle de nouvelles observations ajoutées aux précédentes , et discutées de la même manière , le nouveau résultat ne difiEérera pas d'un centième de celui de M. Bouvard. Ce savant astronome trQuve encore la maâse de Jupiter égale à la 1071^ partie du Soleil; et ma méthode de probabilité donne un million à parier contre un , que ce résultat n'est pas d'im centième en erreur.

Cette méthode peut être encore appliquée avec succès aux opérations géodésiques. On détermine la longueur d'un grand arc à la surface de la terre, par une chame de triangles qui s'appuient sur une base mesurée avec exactitude. Mais qud« que précision que l'on apporte dans la mesure des angles, les erreurs inévitables peuvent, en s'accumulant , écarter sensiblement de la vérité la valeur de l'arc que l'on a conclu d'un grand nombre de triangles. On ne connaît donc qu'imparfaitement cette valeur, si l'on ne peut pas as-

lOO ESSAI PHILOSOPHIQUE

signer la probabilité que son erreur est comprise dans des limites données. Uerreur d'un résultat géodésique est une fonction des erreurs des angles de chaque triangle. J'ai donné, dans l'ouvrage cité , des formules générales pour avoir la probabilité des valeurs d'une ou de plusieurs fonctions linéaires d'un grand nombre d'erreurs partielles dont on connaît la loi de probabilité; on peut donc , au moyen de ces formules, déterminer la probabilité que l'erreur d'un résultat géodésique est contenue dans des limites assignées , quelle que soit la loi de probabilité des erreurs par* tielles. Il est d'autant plus nécessaire de se rendre indépendant de cette loi , que les lois même les plus simples sont toujours infiniment peu pro« bables, vu le nombre infini de celles qui peuvent exister dans la nature. Mais la loi inconnue des erreurs partielles introduit dans les formules une indéterminée qui ne permettrait point de les réduire en nombres , si l'on ne parvenait pas à l'éliminer. On a vu que dans les questions astrono* miques où chaque observation fournit une équation de condition pour avoir les élémens , on élimine cette indéterminée au moyen de la somme des carrés des restes , lorsqu'on a substitué dans chaque équation les valeurs les plus probables des élémens. I^es questions géodésiques n'ofirant

SUR LES PROBABILITES. fOI

point de semblables équations , il faut chercher un autre moyen d'élimination. La quantité dont la somme des angles de chaque triangle observé surpasse deux angles droits^plus Texcès sphérique, fournit ce moyen. Ainsi Ton remplace par la somme des carrés de ces quantités, la somme des carrés des restes des équations de condition ; et l'on peut assigner en nombres j la probabilité que l'erreur du résultat final d'une suite d'opérations géodésiques , n'excède pas ime quantité donnée. Mais quelle est la manière la plus avantageuse de répartir entre les trois angles de chaque triangle, la somme observée de leurs erreurs? L'analyse des probabilités fait voir que chaque angle doit être diminué du tiers de cette somme, pour que le poids d'un résultat géodésique soit le plus grand qu'il est possible ; ce qui rend une même erreur moins probable. Il y a donc beaucoup d'avantage à observer les trois angles de chaque triangle, et à les corriger comme on vient de le dire. Le simple bon sens fait pressentir cet avantage; mais le calcul des probabilités peut seul l'apprécier et faire voir que par cette correction U devient le plus grand qu'il est possible.

Pour s'assurer de l'exactitude delà valeur d'un grand arc qui s'appuie sur une base mesurée à l'une de ses extrémités, on mesure une seconde

lOa ESSAI PHILOSOPHIQUE

base vers Tautre extrémité ; et l'on conclut de Tune de ces bases la longueur de l'autre. Si cette longueur s'écarte très peu de l'observation , il y a tout lieu de croire que la chaîne de triangles qui unit ces bases est exacte à fort peu près, ainsi que la valeur du grand arc qui en résulte. On corrige ensuite cette valeur en modifiant les angles des triangles , de manière que les bases cal* culées s'accordent avec les bases mesurées. Mais cela peut se faire d'une infinité de manières , parmi lesquelles on doit pr^érer celle dont le résultat géodésique a le plus grand poids j puisque la même erreur devient moins probable. L'analyse des probabilités donne des formules pour avoir directement la correction la plui avantageuse qui résulte des mesures de plusieurs bases et les lois de probabilité que fait naître la tfitdtiplicité des bases, lois qui deviennent plus ra||îdement décroissantes par cette multiplicité.

Généralement , les erreurs des résultats déduits d'un grand nombre d'observations sont des fonctions linéaires des erreurs partielles de chaque observation. Les coeffîciens de ces fonctions dépendent de la nature du problème et du procédé suivi pour obtenir les résultats. Le procédé le plus avantageux est évidemment celui dans lequel une même erreur dans les résultats^ est

SUR LES PROBABILITES. Io3

moins probable que suivant tout autre procédé. L'applicatioa du Calcul des probabilités à la Philosophie naturelle, consiste donc à déterminer analytiquament la probabilité des valeurs de ces fonctions ^ et à choi^r leurs coefBciens indéterminés , de manière que la loi de cette probabilité soit le plus rapidement décroissante. £n éliminait ensuite des formules, par les données de la question , le facteur qu'introduit la loi presque toujours inconnue de la probabilité des erreurs partielles, on pourra évaluer numériquement la probalnlité que les erreurs des résultats n'excèdent pas une quantité donnée. On aura ainsi tout ce que l'on peut désirer touchant les résultats déduits d'un grand nombre d'observations»

On peut encoi^ obtenir des résultats fort ap- «prochés, par d'autres considérations. Supposons, par exemple , que l'on ait mille et une observations d'une même grandeur: la moyenne arithmétique de toutes ces observations est le résultat donné par la méthode la plus avantageuse. Mais on pourrait choisir le résultat d'après la condition que la somme de ses écarts de chaque valeur partielle, pris tous positivement, soit un minimum. Il paraît, en effets naturel de regarder comme très approché le résultat qui satisfait à cette con-

Io4 ESSAI PHILOSOPHIQUE

dition. Il est facile de voir que si Ton dispose les valeurs données par les observatiqns , $aivi|nt Fordre de |;randeur, la valeur, qui occupera, le milieu remplira la condition précédente;^, et le calcul fait voir que d^s le cas d'ufi nombre infini d'observations^ ,. el)e coïqdderait avec la vérité ; mais ^e résultat dopné ipar la méthode la plus avantageuse est;enîÇor(? préférs^le. .

On voit par ^e qui {u*écède,, que la théorie des probabilités ne laisse, rien d'arbitraire dans la ma« nière de répartir les erreurs des observations; elle donne ^ pour cette répartition j les formules les plus avantageuses ^ ou qui diminuent le plus qu'il est possible les erreurs à craindre sur les résultats.

La considération des probabilités peut servir à démêler les petites inégalités des mouvemens célestes enveloppées dans les erreurs des observations j et à remonter à la cause des anoma* lies observées dans ces mouvemens. Ce fut en comparant entre elles toutes ses observations , que Ticho-Brahé reconnut la nécessité d'appliquer à la Lune ime équation du temps différente de ceUe que l'on appliquait au Soleil et aui( planètes. Ce fut pareillement l'ensemble d'im grand nombre d'observations j qui fit connaître à Mayer que le coefficient de l'inégalité de la précessîon

SUR LES PROBABILITÉS. loS

doit être un peu diminué pour la Lune. Mais comme cette diminution , quoique confirmée et thétoe^aiigtneritéë 'jiâr Màson, ne paraissait pafe résulter delà grtivithtion ùnit^ersellèi,' îà'pïujiaft dtts ai^oîloittes !â négligèrent dansleurs càldlfe. Ayant soumis atî calcul des probabilités un ribtti^ bre cotièidértâ3le d'observâtîôhs lunaires, didMéS dans cette vue, et que M. Botivàrd votrlul bîeh discuter à ma p^rtère , elle me parut indiquée à^ec ufiié pr(Aâbilité si forte, qiie je crûs devoît- éh pe<ih€*cher là cause. Je vis bientôt qu^elle ne pouvait «tre* que Fellipticité du sphéroïde terrestre, négligée jusque alôfs danà la théorie du iriouvëment lunaire , comtne ne devant y produire que des termes insensibles. J'en conclus que tes tèfrmes deviennent sensibles par les intégrations successives des équations différentielles. Jedéter' minai donc ces termes par une analyse particulière, et je découvris d'abord l'inégalité du mouvement lunaire en' latitude, qui est proportionnelle aU sinus de la lôn^tude de la Lune, et qu'àucùh astronome n'avait encore soupçonnée. Je rècon* ntis ensuite, au moyen de cette inégalité, qu'il en ^ste une autre dans le mouvement lunaire en longitude , qui produit la diminution observée par Mayer dans l'équation de la précession applicable à la Lune. La quantité de cette diminution ,

Io6 ESSAI PHILOSOPHIQUE

et le coefficient de l'inégalité précédente en latitude sont très propres à fixer l'aplatisfieiliefU: de la Terre. Ayant fait part de mes recherches à M. 3urg j qui s'occupait alors à perfectionner les tables de la Lune , par la comparaison de toutes les bonnes observations , je le priai de détermi^ ner avec un soin particulier ces deux quantités* Par un accord très remarquable , les valeurs qu'il la trouvées donnent à la Terre le même aplatisse* ment -g^, aplatissement qui diffère peu du milieu conclu des mesures des degrés du méridien et du pendule ; mais qui , vu l'influence des erreurs des observations et des causes perturbatrices sur des mesiu*es ^ me paraît plus exactement déterminé par ces inégalités lunaii^s. ,

Ce fut encore par la considération des proba* bilités que je reconnus la cause de l'équation séculaire de la Lune. I^es observations modernes de cet astre , comparées aux anci^mes éclipses j avaient indiqué aux astronomes une accélération dans le mouvement lunaire ; mais les géomètres j et particulièremait Lagrange, ayant inutilement pherché dans les perturbations que ce mouvement éprouve ^ les termes dont cette accélération dé^ pend , ils la rejetèrent. Un examen attentif des observations anciennes et modernes ^ et des écUpses intermédiaires observées par les Arabes y me

fit voir qu'elle était indiquée avec une grande probabilité. Je repris alors sous ce point de vue la théorie lunaire , et je reconnus que l'équation séculaire de la Lune est due à Faction du Soleil 9ur ce satellite j combinée avec la variation séculaire dé Fexcentriçité de l'orbe terrestre ; ce qui me fit découvrir les équations séculaires des mou- Temens des nœuds et du périgée de l'orbite lunaires-équations qui n'avaient pas même été soupçonnées par les astronomes. L'accord très reoiarquable de bette théorie avec toutes les observations anciennes et modernes , l'a portée au plus haut degré d'évidence.

Le calcul des probabilités m'a conduit pareillement à la cause des grandes irrégularités de Jii|iiter et de Saturne. £n comparant les observationis niodernes aux anciennes , Halley trouva une accélération dans le mouvement de Jupiter, et un ralentissement dans celui de Saturne. Pour concilier les observations , il aissujétit ces mouvemens à deux équations séculaires de signes contraires, et croissantes comme les carrés des temps écoulés depuis 1700. Ëuler et Lagrange souipirent à l'Analyse les altérations que devait produire dans ces mouvemens l'attraction mutuelle des deux planètes. Ils y trouvèrent des équations séculaires ; mais leurs résultats étaient

si difïérens, que l'un d'eux au moins devait être erroné. Je me déterminai donc à reprfinodre . ce problème important de la Mécanique céleste y et je reconnus Finvariabilité des moyens mouveniens planétaires ; ce qui fit disparaître les équatiOoEis sécvilaires introduites par: Halley çIëhis les tables de Jupiter et de Saturne. Il ne restait ainsi , pour expliquer les ' grandes, irrégularités de ces planètes , que les attractions des cdmètes auxquelles plusieurs astronomes eurent efieçti* vement recours , ou l'existence d'une inégalité à longue période, produite dans les mouyemens des deux planètes par leur action réciproque , et affectée de signes contraires pour chacune 'd'elles. ^ Un théorème que je trouvai sur les inégalités de ce genre, me rendit cette inégalité très vraisemblable. Suivant ce théorème, si le. mouvement de Jupiter s'accélère , celui de -Saturne se ralentit, ce qui est déjà conforme à ce que Halley avait remarqué : de plus, l'accélération de Jupiter, résultante du même théorème , est au ralentisse* ment de Saturne à très peu près dans le rappo^rt des .équations séculaires proposées par Halley. £n considérant les moyens mouvemens de Jupiter et de Saturne , il me fut aisé de reconnaître que deux fois celui de Jupiter ne diffère que d'une très petite quantité de cinq fois celui de Saturne.

I^'période d'une inégalité qui aurait pour argument^tettedififérence^ serait d'environ neuf siècles. A la vérité , son coefficient serait de l'ordre des cubes des excaitricités des orbites ; mais je sa* vais qu'en vertu des intégrations successives , il acquiert pour diviseur le carré du très petit mvA' tiplieateur du tempks dans l'argument de cette inégalité , ce qui peut lui donner une grande valeur : l'eKistence de cette inégalité me parut donc trè probable. La remarque suivante accrut encore sa probabilité. En supposant son argument nul , vers l'époque des observations de TichorBrahé , je vis C[ue Halley avait dû trouver par la comparaison des: observations modernes aux anciennes les altérations qu'il avait indiquées ; tandis -que la comparaison des observations modernes entre elles devait offrir des altérations contraires et pareilles à celles que Lambert avait conclues de cette comparaison. Je n'hésitai donc point à entreprendre le calcul long et pénible , nécessaire pour m'assurer de l'existaice de- cette inégalité.. Elle fut entièrement confirmée par le résultat de ce calcul qui , de plus , me fit connaître un grand nombre d'autres inégalités dont l'ensemble a porté les tables de Jupiter et de Saturne à la précision des observations mêmes.

Ce fut encore au moyen du calcul des proba-

I lO ESSAI PHILOSOPHIQUE

bilités que je reconnus la loi remarquaHe des mouvemens moyens des trois premiers satellites de Jupiter, suivant laquelle la longitude moyenne du premier, moins trois fois celle du second , plus deux fois celle du troisième , est rigoureusement égale à la demi-circonférence. L'approximation avec laquelle les moyens mouvemens de ces astres satisfont à cette loi depuis leur découverte , in^ diquait son existence avec une vraisemblance extrême ; j'en cherchai donc la cause dans leui^ action mutuelle. L'examen approfondi de cette action me fit voir qu'il a suffi qu'à l'origine les rapports de leurs moyens mouvemens aient ap« proche de cette loi, dans certaines limites, pour que leur action mutuelle l'ait établie et la main-* tienne en rigueur. Ainsi ces trois corps se balanceront éternellement dans l'espace, suivant la loi précédente , à moins que des causes étrangères^ telles que les comètes , ne viennent changer bru»^ quement leurs mouvemens autour de Jupiter.

On voit par là combien il faut être attentif aux indications de la nature , lorsqu'elles sont le ré» sultat d'un grand nombre d'observations , quoique d'ailleurs elles soient inexplicables par les moyens connus. L'extrême difficulté des problèmes rela» tifs au système du monde a forcé les géomètres de recourir à des approximations qui laissent

toujouDs à ^ craindre que les quantités négligées n'aient une influence sensible. Lorsqu'ils ont été avertis de cette influence par les observations, ils sont revenus sur leur analyse : en la rectifiant, ils ont toujours retrouvé la cause des anomalies observées; i)s en ont déterminé les lois, et souvent ils ont devancé l'observation en découvrant des inégalités qu'elle n'avait pas encore indi* quées. Ainsi l'on peut dire que la nature ellemême a concouru à la perfection analytique des théories fondées sur le principe de la pesanteur uoiv^selle; et c'est ^ à mon sens, une des phis 'fortes preuves de la vérité de ce principe admirable.

Dans «les cas que je viens de considérer, la solution analytique des questions a converti la probabilité des causes en certitude. Mais le plus souvent cette solution est impossible , et il ne reste qu'à augmenter de plus en plus cette probabilité. Au milieu des nombreuses et incalcu^ labiés modifications que l'action des causes reçoit alors des circonstances étrangères , ces causes conservent toujours , avec les effets observés , des rapports propres à les faire reconnaître et à vérifier leur existence. En déterminant ces rapports et en les comparant avec un grand nombre d'observations , si l'on trouve qu'ils y satisfont cons-

lia ESSAI PHILOSOPHIQUE

tamment, la probabilité des causes pourra s*eii accroître au point d'égaler celle des foits sur lesquels on ne se permet aucun doute. La recherche de ces rapports des causes à leurs effets , n'est pas moins utile dans la philosophie naturelle que la solution directe des problèmes , soit pour vérifier la réalité de ces causes , soit pour déterminer les lois de leurs efiPets : pouvant être employée dans un grand nombre de questions dont la solution directe n'est pas possible, elle la remplace de la manière la plus avantageuse. Je vais exposer ici l'application que j'en ai faite à l'un des plus intéressans phénomènes de la nature , au flux et au reflux de la mer.

Pline le naturaliste a donné de ce phénomène une description remarquable par son exactitude, et dans laquelle on voit que les anciens avaient observé que les marées de 'chaque mois sont les plus grandes vers les syzygies , et les plus petites vers les quadratures ; qu'elles sont plus hautes dans le péiigée que dans l'apogée de la Lune, et dans les équinoxes que dans les solstices. Ils en avaient conclu que ce phénomène est dû à l'action du Soleil et de la Ltine sur la mer. Dans la préface de son ouvrage De Stella Martis , Kepler admit une tendance des eaux de la mer vers la Lune; mais, ignorant la loi de cette tendance,

SUR LES PROBABILITES. Il 3

il ne put donner sur cet objet qu'un aperçu vraisemblable. Newton convertit en certitude la probabilité de cet aperçu , en le rattachant à son grand principe de la pesanteur universelle. Il donna l'expression exacte des forces attractives qui produisent le flux et le reflux de la mer ; et pour en déterminer les effets , il supposa que la mer prend à chaque instant la figure d'équilibre qui convient à ces forces. Il expliqua de cette manière les principaux phénomènes des marées ; mais il suivait de cette théorie que dans nos ports les deux marées du même jour seraient fort inégales lorsque le Soleil et le Lune auraient une grande déclinaison. A Brest, par exemple, la marée du soir serait dans les syzygies des solstices environ huit fois plus grande que la marée du matin ; ce qui est entièrement contraire aux observations qui prouvent que ces deux marées sont à fort peu près égales. Ce résultat de la théorie newtonienne pouvait tenir à la supposition que la mer parvient à chaque instant à la figure d'équiUbre, supposition qui n'est pas admissible. Mais la recherche de la vraie figure de la mer présentait de grandes difficultés. Aidé par les découvertes que les géomètres venaient de faire sur la théorie du mouvement des fluides et sur le calcul aux différences partielles , j'entrepris cette

Il4 ESSAI PHILOSOPHIQUE

recherche, et je donnai les équations différentielles du mouvement de la mer, en supposant qu'elle recouvre la terre entière. En me rapprochant ainsi de la nature , j'eus la satis&ction de voir que mes résultats se rapprochaient des observations, surtout à l'égard du peu de différence qui existe dans nos ports , entre les deux marées syzygies solsticiales d'un même jour. Je trouvai qu'elles seraient égales , si la mer avait partout la même profondeur; je trouvai encore qu'en donnant à cette profondeur des valeurs convenables , on pouvait augmenter la hauteur des marées dans un port conformément aux observations. Mais ces recherches, malgré leur généralité, ne satisfaisaient point aux grandes différences que présentent , à cet égard , des ports même très voisins , et qui prouvent l'influence des circonstances locales. L'impossibilité de connaître ces circonstances et l'irrégularité du bassin des mers , et celle d'intégrer les équations aux différences partielles qui y sont relatives m'a forcé d'y suppléer par la méthode que j'ai ci-dessus indiquée. J'ai donc cher^ ché à déterminer le plus de rapports qu'il est pos^ sible entre les forces qui sollicitent toutes les molécules de la mer et leurs effets observables dans nos ports. Pour cela , j'ai fait usage du

principe suivant , qui peut s'appliquer à beaucoup d'autres phénomènes.

« L^état d'un système de corps, dans lequel les 2»^ conditions primitives du mouvement ont dis- » paru par les résistances que ce mouvement » éproave , est périodique comme les forces qui » l'm^iment, » .

fiP; çopibinant ce principe avec celui de la çoe^c^isfjÇjaçQ des oscillations très petites, je suis paryenu k nne expression de la hauteur des marées^ dont les arbitraires comprennent l'efFet des circpnstances locales de chaque port , et sont réduites au plus petit nombre possible ; il ne s'agissait plus que de la comparer à un grand nombre d^ôbservations.

Sur l'invitation de l'Académie des Sciences, on fit a Brest, au commencement du dernier siècle, des observations des marées , qui furent continuées pendant les six années consécutives. La situation de ce port est très favorable à ce genre <J^dbservations : il communique avec la mer, par un canal qui aboutit à une rade fort vaste , au fond de laquelle le port a été construit. Les irrégularités de la mer parviennent ainsi dans ce port très affiaiblies , à peu près comme les oscillations que le mouvement irrégulier d'un vaisseau produit dans le baromètre, sont atténuées

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par un étranglement fait au tube de cet insfili'^ ment. D'ailleurs , les marées étant considérables à Brest , les variations accidentelles cansées par les vents n'en sont qu'une faible partie : aussi l'on remarque dans les observations de ces ma«* rées, pour peu qu'on les multiplie, une grande régularité qui me fit proposer au gouvernement d'ordonner, dans ce port, une nouvelle snite d'observations des marées , continuée pendant une période du mouvement des nœuds de l'orbite lunaire. C'est ce que l'on a entrepris. Ces observations datent du i®** juin de l'aânée 1806; et depuis cette époque elles ont été faites , chaqqe jour, sans interruption. Je dois au zèle infatigable de M. Bouvard , pour tout ce qui intéresse l'astronomie , les calculs immenses que la comparaison de mon analyse avec les observations a exigés. Il y a employé près de six mille observa*^ tions faites pendant l'année 1807 et les quinze années suivantes. Il résulte de cette comparaif* son, que mes formules représentent avec une précision remarquable toutes les variétés des madrées relatives à l'élongation de la Lune au Soleil; aux déclinaisons de ces astres , à leurs distances à la Terre et aux lois de variation près du maxèmum et du minimum de chacun de ces élémens. Il résulte de cet accord une probabilité que le flux

et le reflux de la mer est du à Tattractioii du Soleil et delaiLune^ si approchante de la certitude, qu'elle ne doit laisser lieu à aucun doute raisonnable. Elle se change en certitude quand on considère que cette attraction dérive de la loi de la pesanteur universelle démontrée par tous les phénomènes célestes.

L'action de la Lune sûr la mer est plus que double de celle du Soleil. Newton et ses successeurs n'avaient eu égard , dans le développement de cette action , qu'aux termes divisés par le cube delà distance de la Lune à la Terre, jugeant que les effets dus aux termes suivans devaient être insensibles. Mais le calcul des probabilités fait voir que les plus petits effets des causes régulières peuvent se manifester dans les résultats d'un très grand nombre d'observations disposées dans l'pr- 4Fe le plus propre à les indiquer. Ce calcul détermine encore leur probabilité , et jusqu'à quel point il faut multiplier les observations pour la rendre fort grande. En l'appliquant aux nombreuses observations discutées par M. Bouvard , j^ai reconnu qu'à Brest l'action de la Lune sur la mer est plus grande dans les pleines lunes que dans les nouvelles lunes^ et lorsque la Lune est australe, que lorsqu'elle est boréale, phénomènes qui ne peuvent résulter que des termes de l'action lu-

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naire , divisés par la quatrième pufesatice de là distance de la Lune à la Terre.

Pour arriver à FOcéàn, l'action dû'Sdteit et de la Lune traverse Fatmosphère qui doit par coklftéquent en éprouver Tinifluénce^ et être asstrjétie à des mouvemeîis sertiolaMès à ceux dé la mer. Ces mouvemens prôdtiifeént diahs le batT^mètre des oscillations périodiques. L' analyse 'm*a fait voir qu'elles sont insensibles dans nos clinîât^: Mais comtoe les circonstances locales aci'croîSsènt considérablement les niarées dans nos ports , j'ai tëcherché si des circonstances pareilles ont'hetidu sensibles ces oscillations du baromètre. ' Pour cela , j'ai fait usage des observations tiiétédrologiques que Ton fait, chaque jour, depuis pîlùsietirs années , à l'Observatoire royal. Les hauteurs du baromètre et du thermomètre y sont obsèfrvée^ à neuf heures du matin, à midi, à trois heùires et à onze heures du soir. M. Bouvard a bien voulu Relever sur ses registres les observations des huit années écoulées depuis le i**' octobre ï8t5 jusqu*au i** octobre 182 3. En disposant ces observations de la manière la plus propre à indiquer le flux lunaire atmosphérique à Paris , je ne trouve qu'un dixhuitième de millimètre pour l'étendue de l'oscillation correspondante du baromètre. C'est ici , surtout , que se fait sentir la nécessité d'une mé-

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thode pour déterminer la probabilité d'un résultat y méthode sans laquelle on est exposé à présenter comme lois de la nature lies effets des causes irrégulières ; ce qui est arrivé souvent en Météorologie. Cette méthode appliquée au résultat précédent en montre l'incertitude , malgré le grand uombre d'observations employées , qu'il faudrait décupler pour obtenir un r^ultat suffisamment probable^

hp principe qui sert de base à ma théorie des marées, peut s'étendre à tous les effets du hasard ai^qii^l se joignent des causes variables suivant de^ lois rf^ujlières. L'action de ces causes produit dans les résultats moyens d'un grand nombre d'cjffets f des variétés qui suivent les mêmes lois , et que l'on peut reconnaître par l'analyse des probabilités. A mesure que les effets se multiplient, ces variétés se manifestent avec une probabilité toujours croissante , qui se confondrait avec la certitude , si le nombre de ces effets devenait infini. Ce théorème est analogue à celui que j'ai développé précédemment sur l'action des causes constantes. Toutes les fois donc qu'une cause dont la marche est régulière peut influer sur un genre d'évènemens, nous pouvons chercher à reconnaître son influence , en multipliant les observations et en les. disposant dans l'ordre