I20 ESSAI PHILOSOPHIQUE

le plus propre à l'indiquer. Quand cette influéhiéè parait se manifester, l'analyse des probslbtlîtés détermine la probabilité de son existence et celle de son intensité. Ainsi la variation de la tenirpérature du jour à la nuit , pouvant modifier la pression de Tatmosphère , et par conséquent les hauteurs du baromètre^ il est naturel de pensée que des observations multipliées de ces hauteurs doivent manifester l'influence de la chaleur solaire- En effet , on a reconnu depuis long-temps à l'équateur, où cette influence paraît 'être là -plus grande, une petite variation diurne dans là hauteur du baromètre, dont le maximum vl lien vers neuf heures du matin , et le minimum veW trois heures du soir* Un second maximum a lieu vers onze heures du soir, et le second miTunùim vefs quatre heures du matin. Les oscillatiotis' de la nuit sont moindres que celles du jour, dôtït Tétendue est d'environ deux millimètfeis: L'inconstance de nos climats n'a point dérobé cette variation à nos observateurs , quoiqu'elle y soit moins sensible qu'entre les tropiques. M. Ramond l'a reconnue et déterminée à Clermont, chef^^lieu du département du Puy-de»Dôme , par une suite d'observations précises , faites pendant plusieurs années; il a même trouvé qu'elle est plus petite dans les mois d'hiver que dans les

autres mo^s. Les nombreuses observations que j'^i discutées pour reconnaître l'influence des attraçtipjis 4u Soleil et de la Lune sur les hauteurs barQmétriqiies à Paris, m'ont servi à déterminer leur vafi^tion diurne. £n comparant les hauteurs de .j^çuf heiu*es du matin à celles des mêmes jours. à trois heures du soir, cette variation s*y manifeste avec une telle évidence , que sa valeur moy^ne de chaque mois a été constamment positiy^pour chacun des 72 mois écoulés depuis le i^ j^vier 181 7 jusqu'au i®^ janvier iSaS : sa valeur moyenne dans ces 72 mois aété, à fort peu près , huit dixièmes de millimètre , un peu plus petite qu'à Clermont, et beaucoup moindre qu'à l'équateur. J'ai reconnu que le r^ultat moyçp, des variations diurnes du baromètre , de neuf heures du matin à trois heures du soir^ n'a été que, de o°^,54îi8 dans les trois mois de novembre, décembre et janvier, et qu'il s'est élevé à i™,o563 dans les trois mois suivans; ce qui coïncide avec les observations de M. Ramond.

Les autres mois ne. m'ont offert rien de senoiblable.

Pour appliquer à ce phénomène le calcul des probabilités, j'ai commencé par déterminer la loi de probabilité des anomalies de la variation diurnç , dues au hasard. En l'appliquant ensuite

aux observations de ce phénomène , j'ai ttouvé qu'il y a plus de trois cent mille à parier contre un, qu'une cause régulière le produit. Je ne cherche point à déterminer cette cause : je me borne à constater son existence. La période de la variation diurne, réglée. sur le jour solaire, indique évidemment que cette variation est due à l'action du Soleil. L'extrême petitesse de l'action attractive du Soleil sur l'atmosphère, est prouvée par la petitesse des e£Fets dus aux attractions réuines du Soleil et de la Lune. C'est donc par Faction de sa chaleur que le Soleil produit la variation diurne du baromètre ; mais il est impossible êe ^umettre au calcul les effets de cette action sur la hauteur du baromètre et sur les vents. ,

La variation diurne de l'aiguille aimantée est certainement un effet de l'action du Soleil. Mais cet astre agit-il ici comme dans la variation diurne du baromètre , par sa chaleur ou par influence sur l'électricité et sur le magnétisme, ou enfin par la réunion de ces influences? C'est ce qu'une longue suite d'observations faites dans divers pays pourra nous apprendre.

L'un des phénomènes les plus remarquables du système du monde est celui de tous les mouvemens de rotation et de révolution des planètes et des satellites, dans le sens de la rotation du

Soleil , et à peu près dans le plan de son équatcur. Un phénomène aussi remarquable n'est point Tefifet du hasard : il indique une cause générale qui a déterminé tous ses mouVemens. Pour avoir la probabilité avec laquelle cette cause est indiquée, nous observerons que le système planétaire, tel que nous le connaissons aujourd'hui , est composé d'onze planètes et de dix*huit satellites , du moins si l'on attribue avec Herschel ^ix satellites à la planète Uranus. On a reconnu les mouvemepsde rotation du Soleil, de six planètes, de la Lune^ des «atellites de Jupiter, de l'anneau de Saturne et d'un de ses satellites. Ces mouvemens forment , avec ceux de révolution, un en- , semble de quarante-trois mouvemens dirigés dans le même sens j or on trouve , par l'analyse des probabilités, qu'il y a plus de quatre mille milliards à parier contre un , que cette disposition n'est pas l'eflfet du hasard ; ce qui forme une probabilité bien supérieure à celle des évènemens historiques sur lesquels on ne se permet aucun doute. Nous devons donc croire, au moins avec la même confiance, qu'une cause primitive a dirigé les mouvemens planétaires , surtout si nous considérons que l'inclinaison du plus grand nombre de ces mouvemens à l'équateur solaire est fort petite.

ia4 ESSAI PHILOSOPHIQUE

Un autre phénomène également remarquais du- système solaire est le peu d'excentricité des orbes des planètes et des satellites y tandis que ceux des comètes sont très allongés, les orbes de œ système n'^offrant point * de nuances intermédiaires entre une grande et une petite exceiitricité. Nous sommes encore forcés de reconnaître ici il'^et d'une cause régulière :' le hasard n'eût point donné une forme presque circulaire aux orbes de toutes les planètes et de leurs satellites ; il est donc nécessaire que la cause qui a déterminé les mouvemens de ces corps ^ les ait rendus presque circulaires. Il faut encore que les grandes excentricités des orbes des comètes résultent de l'ex/btence de cette cause, sans qu'elle ait influé suo les directions de leurs mouyemens ; car = on trouvôî qu'il y a presque autant de comètes rétrogrades , que de comètes directes , et que l'inclinaison moyenne de tous leurs orbes à Técliptique y approche très près d'un demi-angle droit , comme cela doit être , si ces corps ont été lancés au hasard.

Quelle que soit la nature de la cause dont il s'agit j puisqu'elle a produit ou dirigé les mouvemens des planètes , il faut qu'elle ait embrassé tous ces corps , et vu les distances qui les séparent, elle ne peut avoir été qu'un fluide d'une

..MMMAttMte

iiiuziense étendue : ppur leur avoir donné dans le! même, sens un mouvement presque circulaire autour du Soleil , il faut que ce fluide ait ^ivi<^ ronné cet astre comme une atmosphère. La con* sidératjon des mouvemens planétaires nous eon* duit donc à penser qu'en vertu d'une chaleur excessive l'atmosphère du Soleil s'est primitive* ment étendue au-delà des orbes de toutes lesrplainètes, ,et qu'elle s'est resserrée «successivement Jusqu'à ses limites actuelles.

. JE)ans l'état primitif où nous supposons le>So* leii^-il ressemblait aux nébuleuses que le téles^ cope^ nous montre composées d'un noyau jplns ou moins brillant , entouré d'une nébulosité' opiî y en se condensant à la surface du noyau, doit lé transformer un jour en étoile. Si l'on conçoit par analogie toutes les étoiles formées de cette manière, on peut imaginer leur état antérieur de nébulosité, précédé lui-même par d'autres états dans lesquels la matière nébuleuse était de plus en c plus difiuse, le noyau étant de moins en moins lumineux et dense. On arrive ainsi, en remon*tant aussi loin qu'il est possible, à une nébulosité tellement diffuse , que l'on pourrait à peine en soupçonner l'existence.

Tel est , en effet , le premier état des nébuleuses que Herschel a observées avec un soin

15l6 «SSAl PHILOSOPHIQUE

particulier, au moyen de ses puissans télescopes, et dans lesquelles il a suivi les progrès de là côttdensation , non sur une seule , ceé progrès ne poWvant devenir sensibles pour 'ikïus qu'après des siècles, mais sur leur ensemble, à peu près comme on peut, dans une vaste forêt, suivre l'accroissement deîs arbres ,' sur les individus de divers âges qu'elle renferme. Il a d'abord bbserfé la matière nébuleuse répandue en àrnas divers dans les différentes parties du ciel dont elle occupe une grande étendue. Il a vu dans quelques-uns âe ce^ amas , cette matière faiblement condensée autour d'un ou de plusieurs noyaux peu brillaiïs. Dans d'antres nébuleuses, ces noyaux brillent davantage relativement à la nébulosité qui leis environne. Les atmosphères de chaque noyau venant à se séparer par une condensation idtérieure , il en résulte des nébuleuses multiples formées de noyaux brillans très voisins et enviroiinés chacun d'une atmosphère : quelquefois, la matière nébuleuse , en se condensant d'une manière uniforme, a produit les nébuleuses que Ton nomme planétaires. Enfin , un plus grand d^ré de condensation transforme toutes ces nébuleuses en étoiles. Les nébuleuses classées d'après cette vue philosophique , indiquent avec une extrême vraisemblance leur transformation future en étoi-

les^.çt l'état antérieur de nébulosité des étoiles existantes. Les considérations suivantes viennent à l'appui des preuves tirées de ces analogies.

Depuis long-temps 9 la disposition particulière de quelques étoiles visibles à la vue simple a frappé des observateurs philosophes. Mitchel a déjà remarqué combien il est peu probable que lea étpiles des Pléiades , par exemple , aient été re^rrées dans l'espace étroit qui les renferme, p^, les seules chances du hasard ; et il en a conclu que ce groupe d'étoiles et les groupes semblables qi^e 1^ ciel nous présente, sont les effets d'une cause primitive ou d'une loi générale de la nature, Çesgrqupes sonttm résultat nécessaire delacon^ dejpsi^tipn des nébuleuses à plusieurs noyaux; car il es\ visible que la matière nébuleuse étant sans ce$ae. attirée par ces noyaux divers , ils doivent fprmçr à la longue un groupe d'étoiles pareil à celui des Pléiades. La condensation des nébu<» leuses à deux noyaux forme semblablement des étoiles très rapprochées , tournant l'une autour de l'autre , pareilles à celles dont Herschel a déjà considéré les mouvemens respectifs. Telles sont encore la soixante-unième du Cygne et sa suivante j dans lesquelles Bessel vient de reconnaître des mouvemens propres, si considérables et si peu différens, que la proximité de ces astres

entre eux, et leur mouvement ^utour de leur centre commun de gravité , ne doivent laisser aucun doute. Ainsi , l'on descend par les progrès de condensation delà matière nébuleuse à la considération du Soleil environné autrefois d'une vaste atmosphère, considération à laquelle on remonte, comme on l'a vu , par l'examen des phénomènes du système solaire. Une rencontre aussi remarquable donne à l'existence dé cet état antérieur du Soleil ime probabilité fort approchante de la certitude.

Mais comment l'atmosphère solaire a-t-elle déterminé les mouvemens de rotation et de révolution des planètes et des satellites ? Si ces corps avaient pénétré profondément dans cette atmosphère , sa résistance les aurait fait tomber sur le Soleil ; on est donc conduit à croire avec beaucoup de vraisemblance que les planètes ont été formées aux limites successives de l'atmosphère solaire qui , en se resserrant par le refroidissement, a dû abandonner dans le plan de son équateur des zones de vapeurs que l'attraction mutuelle de leurs molécules a changées en divers sphéroïdes. Les satellites ont été pareillement formés par les atmosphères de leurs planètes respectives.

J'ai développé avec étendue , dans mon Expo-

sition du Sjrstème du monde j, cette hypothèse qui me paraît satisfaire à tous les phénomènes que ce système nous présente. Je me bornerai ici à considérer que la vitesse angulaire de rotation du Soleil et des planètes s'étant accélérée par la condensation successive de leurs atmosphères à leurs surfaces, elle doit surpasser la vitesse angulaire de révolution des corps les plus voisins qui circulent autour d'eux. C'est, en effet, ce que l'observation confirme à l'égard des planètes et des satellites, et même par rapport à l'anneau de Saturne dont la durée de révolution est 0^,438, tandis que la durée de rotation de Saturne est 0^,427.

Dans cette hypothèse , les comètes sont étrangères au système planétaire. En attachant leur formation à celle des nébuleuses, on peut les regarder comme de petites nébuleuses à noyaux , errantes de systèmes en systèmes solaires , et formées par la condensation de la matière nébuleuse répandue avec tant de profiision dans l'univers. Les comètes seraient ainsi par rapport à notre système , ce que les aérolithes sont relativement à la Terre , à laquelle ils paraissent étrangers. Lorsque ces. astres deviennent visibles pour nous , ils offrent une ressemblance si parfaite avec les nébuleuses , qu'on les confond souvent avec elles ;

l3o E9SA.I PHILOSOPHIQUE

et ce n'est que par leur mouvement , ou par la connaissance de toutes les nébuleuses renfermées dans la partie du ciel où ils se montrent ^ qu'on parvient à les en distinguer. Cette supposition explique d'une manière heureuse la grande extension que prennent les têtes et les queues des comètes à mesure qu'elles approchent du Soleil , et l'extrême rareté de ces queues qui, malgré leur immense profondeur, n'afSsiiblissent point sensiblement l'éclat des étoiles que l'on voit à travers.

Lorsque de petites nébuleuses parviennent dans la partie de l'espace où l'attraction du Soleil est prédominante, et que nous nommerons sphère d activité Ae^ cet astre, il les force à décrire des orbes elliptiques ou hyperboliques. Mais leur vitesse étant également possible suivant toutes les directions , elles doivent se mouvoir indifféremment dans tous les sens et sous toutes les inclinaisons à l'échptique ; ce qui est conforme à œ que l'on observe.

La grande excentricité des orbes cométaires résulte encore de l'hypothèse précédente. En effet, si ces orbes sont elliptiques, ils sont très allongés, puisque leurs grands axes sont au moins égaux au rayon de la sphère d'activité du Soleil. Mais ces orbes peuvent être hyperboliques; et si les

SUR LES PROBABILITÉS. l3l

axes de ces hyperboles ne sont pas très grands par rapport à la moyenne distance du Soleil à la Terre , le mouvement des comètes qui les décrivent pairaîtra sensiblement hyperbolique. Cependant sur cent comètes dont on a déjà les élémens , aucune n'a paru certainement se mouvoir dans une hyperbole ; il &ut donc que les chances qui donnent une hyperbole sensible , soient .extrêmement rares par rapport aux chances contraires.

Les comètes sont si petites, que pour devenir visibles, leur distance périhélie doit être peu •considérable. Jusqu'à présent cette distance n'a 8(U[^)^s$é que deux fois le diamètre de l'orbe terl'estre, et le plus souvent elle a été au-dessous du rayon de cet orbe. On conçoit que pour approcher si près du Soleil , leur vitesse , au moment de leur entrée dans sa i^hère d^activité, doit avoir une grandeur et une direction comprises dans d'étroites limites. Ëii /détei^minant par l'analyse des probabilités le rapport des chances qui, dans ces limites, donnent une hyperbole sensible aux chances qui donnent' tin orbe que Voxk puisse confondre avec une parabole , j'ai trouvé qu'il y a six mille au moins à parier contre l'unité, qu'une nébuleuse qui pénètre dans la sphère d'activité du Soleil, de manière à pouvoir

l32 ESSAI PHILOSOPHIQUE

être observée, décrira ou une ellipse très allongée, ou une hyperbole qui , par la grandeur de son axe, se confondra sensiblement avec une para* bole dans la partie que l'on observe ; il n'est donc pas surprenant que jusqu'ici l'on n'ait point reconnu de mouvemens hyperboliques.

L'attraction des planètes, et peut-être encore la résistance des milieux éthérés , a dû changer plusieurs orbes cométaires dans des ellipses dont le grand axe est moindre que le rayon de la^phèrp d'activité du Soleil ; ce qui augmente les chanceq des orbes elliptiques. On peut croire que ce chan'^ gement a eu lieu pour la comète de 1769 , et pout* la comète dont la période n'est que de douze ùentë jours, et qui reparaîtra sans cesse dans ce court intervalle , à moins que l'évaporation qu'elle, éprouve à chacun de ses retours au périhélie ne finisse par la rendre invisible. . 1

On peut encore, par l'analyse des probabihtés, vérifier l'existence ou l'influence de certaines causes dont on a cru remarquer l'action sur les êtres organisés. De tous les instrumens que nous pouvons employer pour connaître les agens imperceptibles de la nature , les plus sensibles sont les nerfs , surtout lorsque des causes particulière^ exaltent leur^sei^ij^ilité. C'est par leur moyen qu'on a découvert la faible électricité que déve-

SUR LES PROBABILITÉS. l33

loppe le contact de deux métaux hétérogènes; ce qui a ouvert un champ vaste aux recherches des physiciens et des chimistes. Les phénomènes singuliers qui résultent de l'extrême sensibilité des, nerfs dans quelques individus, ont donné naissance à divises opinions sur l'existence d'un nouvel agent que l'on a nommé magnétisme (Wimal^ sur l'action du magnétisme ordinaire, €li<$Ur l'influence du Soleil et de la Lune dans quelques affections nerveuses; enfin sur les impressions que peut faire éprouver la proximité de» métaux ou d'une eau courante. Il est naturel de penser que l'action de ces causes est très £aible , et qu'elle peut être facilement troublée- par des circonstances accidentelles; ainsi, parce que dans quelques cas elle ne s'est point manifestée , on ne doit pas rejeter son existence. Nous sommes si loin de connaître tous les agens de la nature et leurs divers modes d'action, qu'il serait peu philosophique de nier les phénotnènes , uniquement parce qu'ils sont ines^plicables dans l'état actuel de nos connaissances. Seulement, nous devons les examiner avec une attention d'autant plus scrupuleuse , qu'il paraît plus difficile de Jes admettre ; et c'est ici que le calcul des probabilités devient indispensable , pour déterminer jusqu'à quel point il faut mul-

l34 ESSAI PHILOSOPHIQUE.

tiplier les observations ou les expériences , afin d'obtenir en faveur des agens qu'elles indiquent, ime probabilité supérieure aux raisons que l'on peut avoir d'ailleurs de ne pas les admettre.

Le calcul des probabilités peut faire apprécier les avantages et les inconvéniens des métiiodes employées dans les sciences conjecturales. Ainsi, pour reconnaître le meilleur des traitemens en usage dans la guérison d'ime maladie , il suffit d'éprouver chacun d'eux sur un même nombre de malades , en rendant toutes les circonstances parfaitement semblables : la supériorité du traitement le plus avantageux se manifestera de plus en plus à mesure que ce nombre s'accroîtra; et le calcul fera connaître la probabilité correspondante de son avantage, et du rapport sdivabt lequel il est supérieur aux autres.

Application du Calcul des Probabilités aux

sciences momies.

On vient de voir les avantages de l'analyse des probabilités dans la recherche des lois des phénomènes naturels dont les causes sont inconnues ou trop compliquées pour que leurs efifets puissent être soumis au calcul. C'est le cas de près-

SUR LES PROBABILITÉS. l35

que tous les objets des sciences morales. Tant de causes imprévues, ou cachées, ou inappréciables , influent sur les institutions humaines , qu'il est impossible d'en juger à ptiori les résultats. La série des évènemens que le temps amène développe ces résultats , et indique les moyetts de remédier à ceux qui sont nuisibles. On à sou*vent fait à cet égard des lois sages ; mais, parce que l'on avait négligé d'en conserver les motifs , plusieurs ont été abrogées comme inutiles, et il ^(^allu pour les rétablir que de fâcheuses expériences en aient fait de nouveau sentir le besoin. Il est donc bien important de tenir dans chaque branche de l'administration publique, un registre exact des effets qu'ont produit les divers moyens dont on a fait usage , et qui sont autant d'expériences faites en grand par lés goiivèilienlens. Appliquons aux sciences politiques et morales la méthode fondée sur l'observatîdiî et sur le calcul , méthode qui nous a si bien servis dans les sciences naturelles. N'opposons point utie résistance inutile et souvent dàngefeiise aux effets inévitables du progrès des lumières ; mais ne changeons qu'avec une circonspection extrême nos institutions et les usages atliquels notls sommes depuis long -temps plies. Nous cortnaissons bien par l'expérience du passé, les inconvénient

l36 ESSAI PHII^OSOPHIQUE

qu'ils présentent ; mais nous ignorons quelle çst l'étendue des maux que leur changement peut produire. Dans cette ignorance, la théorie des probabiUtés prescrit d'éviter tout changement : surtout il faut éviter les changemens brusques qui , dans l'ordre moral comme dans l'ordjre physique, ne s'opèrent jamais sans une grande perte de force vive.

I)éjà, le calcul des probabilités a été appliq^^ avec succès à plusieurs objets des sciences mor raies. Je vais en présenter ici les principaux résultats.

De la Probabilité des témoignages.

La plupart de nos jugemens étant fondés sur la probabilité des témoignages, il est bien important de la soumettre au calcul. La. chose, ,il est vrai , devient souvent impossible , . par la . 4if^ ficulté d'apprécier la véracité des témoins, .çt ps^r le grand nombre de circonstances dont les faitSi qu'ili^ attestent sont accompagnés; mais on peut dans plusieurs cas, résoudre des problèmes qui ont beaucoup d'analogie avec les questions qu'on se propose , et dont les solutions peuvent être regardées comme des approximations propres à nous guider et à nous garantir des erreurs et des

SDR LfeS Ï^ROBABILITÉS. iSy

dangers auxquels de mauvais raisonnemens nous exposent. Une approximation de ce genre, lorsqu'elle est bien conduite , est toujours préférable aux raisonnemens les plus spécieux. Essayons donc de donner quelques règles générales pour y parvenir.

On a extrait un seul numéro d'une urne qui en renferme mille. Un témoin de ce tirage annonce qùfele'n® 79 est sorti; on demande la probabilité de cette sortie. Supposons que l'expérience ait Êiît connaître que ce témoin trompe une fois sur dix, en sorte que la probabilité de son témoignage soit yq. Ici, l'événement observé est le témoin attestant que le n® 79 est sorti. Cet événement peut résulter des deux hypothèses suivantes, savoir: que le témoin énonce la vérité , ou qu'il trompe. Suivant le principe que nous avons exposé sur la probabilité des causes, tirée des événement observés, il faut d'abord déterminer à priori la probabilité de l'événement dans chaque hypothèse. Dans la première, la probabilité que le tiéihoin annoncera le n® 79, est la probabilité même de la sortie ^e ce numéro , c'est-à-dire li/^Q . Il faut la multiplier par la probabilité -^ de la véracité du témoin ; on aura donc Yôhrô pour la probabilité de l'événement observé dans cette hypothèse. Si le témoin trompe, le n® 79

l38 ESSAI PHILOSOPHIQUE

n'est pas sorti, et la probabilité de ce cas est Y^^. Mais pour annoncer la sortie de ce numéro, le témoin doit le choisir parmi les 999 numéros non sortis; et comme il est supposé n'avoir aucun motif de préférence pour les uns plutôt que pour les autres , la probabilité qu'il choisira le n^ 79 est gyg ; en multipliant donc cette probabilité par la précédente , on aura yoôô P^^i* ^ probabilité que le témoin annoncera le n^ 79 dans la seconde hypothèse. Il £siut encore multiplier cette proba* bilité par la probabilité yô ^^ l'hypothèse ellemême; ce qui donne ^oIq^ pour la probabilité de l'événement relative à cette hypothèse. Présentement y si l'on forme une fraction dont le numérateur soit la probabilité relative à la première hy* pothèse , et dont le dénominateur soit la somme des probabilités relatives aux deux hypothèses^ on aura, par le sixième principe, la probabilité de la première hypothèse^ et cette probabiUté sera -^ , c'est-à-dire la véracité même du témoin. C'est aussi la probabilité de la ^sortie du n^ 79. La probabilité du mensonge du xtémoin et de la non-sortie de ce numéro est ^ô*

Si la Jbémoin, voulant tromper, avait quelque intérêt à choisir le a^ 79 parmi les numéros non sortis; s'U jugeait, par exemple, qu'ayant placé sur ce numéro une mise considérable , l'annonce

SUR LES l>ROBABILITÉS. l3g

de sa sortie augmentera son crédit ; la probabilité qu'il choisira ce numéro iie sera plus , comme auparavant, ^ ; elle pourra être alors |^ , -| , etc. , suivant l'intérêt qu'il aura d'annoncer sa sortie. En la supposant ^, il faudra multiplier par cette fraction la probabilité ^^, pour avoir dans l'hypothèse du mensonge la probabilité de l'évèiieihent obâervé, qu'il faut encore multiplier pai* Yôi ce qui donne ^HIq pour la probabilité de l'événement dans la seconde hypothèse. Alors là probabilité de la première hypothèse , ou dé la sortie du n® 79 , se réduit , par la règle précédente , à yI^. Elle est donc très affaiblie par la cdtisidéfation de l'intérêt que le témoin peut avoir à aniidtlider la sortie du n® 79. A la vérité, ce tùêïoie intérêt augmente la probiàbilité -^ que le têtlioift dira la vérité , si le n^ 79 ôoW. Mais cette probabilité ne peut excéder l'unité ou \^i ainsi la probabilité de la sortie du n* 79 iie *ut*pas^era pas -j^. Le bôfl isens lious dicté que cet intérêt doit inspirer dé la défiance } mais lé calcul en apprécie l'influence.

La probabilité à priori du numéro énoniôé par le téinoin est l'unité divisée par le îlbtiibre des numéros dé l'urne; elle se trîttisfôrmë en vertu du témoignage dans là véracité même du té-^ moin ) elle peut donc être affaiblie par ce témoi-

j4o essai philosophique

gnage. Si, par exemple , Turne ne renferme que deux numéros , ce qui donne ^ pour la probabiT lité à prioH de la sortie du n** i , et si la véracité d'un témoin qui l'annonce est ^, cette sortie en devient moins probable. En efifet , il est visible qi^e le témoin ayant alors plus de pente vers le mensonge que vers la vérité, son témoignage doit diminuer la probabilité du fait attesté, toutes les fois que cette probabilité égale ou surpassa \, Mai^ s'il y a trois numéros dans l'urne , la prori babilité à priori de la sortie du n** i est accrue par r affirmation d'un témoin dont la véracité surpasse \.

Supposons maintenant que l'urne renferme 999 boules noires et une boule blanche , et qu'une boule en ayant été extraite, un témoin du tirage annonce que cette boule est blanche. La probabilité de l'événement pbjservé , déterminée à priori dans la première hypothèse, sera ici, comme dans la question précédente, égale à T^lTrô» M^^^ d^^s l'hypothèse où le témoin trompe , la boule blanche n'est pas sortie , et la probabilité de ce cas est -;^^. Il faut la multiplier p$ir la probabilité -^ 4u mensonge , ce qui donne -i^^ pour la probabilité de l'événement observé relative à la seconde hypothèse. Cette probabilité n'était que ^^^^q dans la question précédente :

SUR LES PRÔBA.BILIT1SS. ï^î

cette grande différence tient à ce qu'une boule noire étant sortie , le témoin qui veut tromper n'a point de choix à faire parmi les 999 boules non sorties, pour annoncer la sortie d'une boule blanche. Maintenant, si l'on forme deux fractions dont les numérateurs soient les probabilités relatives k chaque hypothèse, et dont le dénominateur cotnmun soit la somme de ces probabilités , on aum ytmTs poiir la probabilité de la première hypothèse et de la sortie d'une boule blanche , et -^^ pour la probabilité de la seconde hypothèse et de la sortie d'une boule noire. Cette dernière probabilité est fort approchante de la certitude : elle en approcherait beaucoup plus encore, et deviendrait iVoVoVs 9 si l'urne renfermait un million de boules dont une seule serait blanche , la sortie d'une boule blanche devenant alors beaucoup plus extraordinaire. On voit ainsi' comment la probabilité du mensonge croît à me^sure que le fait devient plus extraordinaire.

Nous avons supposé jusqu'ici que le témoin ne' se trompait point; mais si l'on admet encore la chance de son erreur, le fait extraordinaire devient plus invraisemblable. Alors au 'heu de deilx hypothèses, on aura les qùatre^uivantes , savoir; celle du témoin ne trompantpoint et ne se trompant point; celle du témoin ne trompant point

14^ JBSSAI PHILOSOPHIQUE

et se trompant; F hypothèse du témoin trompant et ne se trompant point; enfin celle du témoin trompant et se trompant. En déterminant à priori dans chacune de ces hypothèses, la probabilité de l'événement observé , on trouve par le sixième principe, la probabilité que le fait attesté est faux, égale à une fraction dont le numérateur est Ip nombre des boules noires de l'urne , multiplié par la somme des probabilités que le témoin ne trompe point et se trompe , ou qu'il trompe et ne se trompe point , et dont le dénominateur est ce numérateur augmenté de la somme des probabilités que le témoin ne trompe point et ne $e trompe point , ou qu'il trompe et se trompe à la fois. On voit par là que si le nombre des boules noires de l'urne est très grand , ce qui rend extraordinaire la sortie de la boule blanche , la probabilité que le fait attesté n'est pas , approche extrêmement de la certitude.

En étendant éette conséquence à tous les faits extraordinaires , il en résulte que la probabilité de l'errieur ou du mensonge du témoin devient d'ajutant plus grande , que le fait attesté est plus extraordinaire. Quelques autwrs ont avancé le contraire, en se fondant sur ce que la vue d'un fait extraordinaire étant parfaitement semblable à celle d'un fait ordinaire, les mêmes motifs doi-

SUR LES PROBABILITES. l43

vent nous porter à croire également le témoin , quand il affirme Fun ou l'autye de ces faits. Le simple bon sens repousse une aussi étrange assertion ; mais le calcul des probabilités , en con^mant l'indication du sens commun , apprécie de plus l'invraisemblance des témoignages sur les faits extraordinaires.

Ces auteurs insistent et supposent deux témoins également dignes de foi , dont le premier atteste qu'il a vu mort, il y a quinze jours, un individu que le second témoin affirme avoir vu hier plein de vie. L'un ou l'autre de ces faits n'offre rien d'invraisemblable. La résurrection de l'individu est une conséquence de leur ensemble ; mais les témoignages ne portant point directement sur elle, ce qu'elle a d'extraordinaire ne doit point afîaiblir la croyance qui leur est due. {^Encjrclo^ pédie^ art. Certitude.)

Cepend^t, si la conséquence qui résulte de r:ensemble des témoignages était impossible, l'ua d'eux serait nécessairement faux ; or, une consé<quence impossible est la limite des conséquences extraordinaires , comme l'erreur est la limita des invraisemblances ; la valeur des témoignages > qui devient nulle dans le cas d'une conséquence impossible, doit donc être très affaiblie dans ce-

l44 ESSAI PHILOSOPHIQUE

lui d'une conséquence extraordinaire. ■G^est* ei> effet ce que le calcul des probabilités confirme^' f Pour le faire voir , considérons deux urnes * A et B 9 dont la première contienne un million' de boules blanches, et la seconde uii million d» boules noires. On tire de Tune de ces urnes une boule que l'on remet dans l'autre urne dont on extrait ensuite une boule. Deux témoins^ Tiiir du premier tirage, l'autre du second, aMestent que la boule qu'ils ont tu extraire est blanche , sans indiquer l'urne dont elle a été extraEtté. Gk»* que témoignage pris isolément n'a rien d'invrai* semblable ; et il est facile de voir que la pro^-^ balnlité du fait attesté est la véraeitlé même* du • témoin. Mais il suit de l'ensemble > kles* *témoi'^ ' gnages, qu'une boule blanche a été ex?tràite de l'urne A au premier tirage , et <|u^enÀiiite , mâse » dans l'urne B , elle a reparu au second tirag^^' ce ; qui est fort extraordinaire; car cette seconde urne renfermant alors une boule blanche sur unmillion de boules noires , la probabilité d'en- eat-J * traire la boule blanche est TTôoôTrr- P<>ûr déter*' miner l'affaiblissement qui en résulte dans la pro*^^ habilité de la chose énoncée par les devOi témoins,^ nous remarquerons que l'événement observé est ici Taffinnation par chacun d'eux que la boule qu'il a vu extraire est blanche. Représentons par

SUR LES PROBABILITES. l45

-^ la probabilité qu'il énonce la vérité , ce qui peut avoir lieu dans le cas présent, lorsque le témoin ne trompe point et ne se trompe point , et lorsqu'il trompe et se trompe à la fois. On peut former les quatre hypothèses suivantes :

I**. Le premier et le second témoin disent la vérité. Alors une boule blanche a d'abord été extraite de l'urne A , et la probabilité de cet événement est ^ , puisque la boule extraite au premier tirage a pu sortir également de Tune ou de l'autre wtne. Ensuite y la boule extraite mise dans l'urne B a reparu au second tirage : la probabilité de cet événement est Yôôhnn î 1^ probabilité du fait énoncé est donc 2000002 ' -En la multipliant par le produit des probabilités ii) et ^ que les témoins disent la vérité , on aura 2oooVofeoo pour la probabilité de l'événement observé , dans cette première hypothèse.

•a®. Le premier témoin dit la vérité , et le second ne la dit point , soit qu'il trompe et ne se trompe point, soit qu'il ne trompe point et se trompe. Alors une boule blanche est sortie de l'urne A au premier tirage , et la probabilité de cet événement est -^. Ensuite cçtte boule ayant été mise dans l'urne B, une boule noire en a été extraite : la probabilité de cette extraction est i§§M«^ ; on a donc ^^^^^ pour la probabilité

l46 ESSAI PHILOSOPHIQUE

de révènement composé. En la multipliant par le produit des deux probabilités i^ et -j^^ que le premier témoin dit la vérité et que le second ne

la dit point , on aura 200000200 P<>wr la probâbilité de l'événement observé dans la seconde hypothèse.

3**. Le premier témoin ne dit pas la vérité , et le second l'énonce. Alors une boule noire est sortie de l'urne B au premier tirage , et après avoir été mise dans l'urne A , une boule blanche a été extraite de cette urne. La probabilité du premier de ces évènemens est ^ , et celle du second est fof^ij^ ; la probabilité de l'événement composé est donc 2^00002 - ^^ "^ multipliant par le produit des probabilités -nr ^^ m> ? q^^ '^ premier témoin ne dit pas la vérité , et que le second

l'énonce , on aura 200000200 P^^'' ^^ probabilité de l'événement observé relative à cette hypothèse.

4^. Enfin , aucun des témoins ne dit la vérité. Alors une boule noire a été extraite de l'urne B au premier tirage ; ensuite ayant été mise dans l'urne A , elle a reparu au second tirage : la pro* habilité de cet événement composé est aooôooî - En la multipliant par le produit des probabilîtés -î^ et -nr^ que chaque témoin ne dit pas la vé-

SUR LES PROBABILITÉS. l^'J

rite , on aura 200000200 P^^r 1^. probabilité de l'événement; observé dans cette hypothèse.

Maintenant, pour avoir la probabilité de la chose énoncée par les deux témoins, savoir, qu'une boule blanche a été extraite à chacun des tirages , il fout diviser la probabilité correspondante à la première hypothèse par la somme des probabilités relatives aux quatre hypothèses ; et alors on a pour cette probabilité 18000082 > fr^^" tion extrêmement petite.

Si les deux témoins affirmaient, le premier, qu'une boule blanche a été extraite de l'une des deux urnes A et B ; le second , qu'une boule blanche a été pareillement extraite de l'une des deux urnes A' et B', en tout semblables aux premières, la probabilité de la chose énoncée par les deux témoins serait le produit des probabilités de leurs témoignages ou ~~; elle serait donc cent quatre-vingt mille fois au moins plus grande que la précédente. On voit par là combien , dans le premier cas , la réapparition au second tirage de la boule blanche extraite au premier, conséquence extraordinaire des deux témoignages, en affaiblit la valeur.

Nous n'ajouterions point foi au témoignage d'un homme qui nous attesterait qu'en projetant cent dés en l'air, ils sont tous retombés sur la

l48 ESSAI PHILOSOPHIQUE

même Êice. Si nous avions été nous-mêmes spectateurs de cet événement, nous n'en croirions nos propres yeux qu'après en avoir scrupuleusèment examiné toutes les circonstances , et après en avoir rendu d'autres yeux témoins , pour être bien sûrs qu'il n'y a eu ni hallucination ni prestige. Mais après cet examen, nous ne hgàaiÉeer rions point à l'admettre, malgré âon entrétneiûf*vraisemblance ; et personne ne serait tenta , * pofar l'expliquer, de recourir à un renversement deb lois de la vision. Nous devons en conclure »que la probabilité de la constance des lois de la;ndtu#e est pour nous supérieure à celle que l'évcaaemetit dont il s'agit ne doit point avoir lieur, ^robaliilité supérieure elle*méme à celle de lia plnpa]^:de&£Eiits historiques que nous regardons comme ineoniestables. On peut juger par là du poids immense de témoignages nécessaire pour admettre une suspension des lois naturelles , et combien il serait abusif d'appliquer à ce cas les règles ordinaires die la critique. Tous ceux qui , sans ofBrir cette immensité de témoignages, étayent ce qu'ils ^avancent de réoits d'évènemens contraires à ces lois, *a&ihlissent plutôt qu'ils n'augmentent la croyance qu'ils cherdbuent àdin^irer; car alors» ces récits rendent très pnobable l'evlieur ou le mensonge de leurs auteursu Nais, ce! qui. diminue k*cp6yanoe

SUR LES PROBABILITÉS. l49

des hommes éclairés , accroît souvent celle du vulgaire, toujours avide du merveilleux.

Il y a des choses tellement extraordinaires, que rien ne peut en balancer l'invraisemblance. Mais celle-ci , par l'effet d'une opinion dominante, peut être affaiblie au point de paraître inférieure à la probabilité des témoignages ; et <|uand cette opinion vient à changer, un récit absurde admis unanimement dans le siècle qui hA ai donné naissance, n'oflfre aux siècles suivans jqu^upe nouvelle preuve de l'extrême influence «le l'opinion générale sur les meilleurs esprits. (Deux grands hommes du siècle de Louis XIV, Bàoine et Pascal , en sont des exemples frappans. Il est hffiigeanf de voir avec quelle complaisance Racme, ce peintre admirable du cœur humain et le poète le plus parfait qui fut jamais, rapporte- comme miraculeuse la guérison de la jeune Pertier, nièce de Pascal et pensionnaire à Fabbaye .de Port-Royal : il est pénible de lire les raisonnement par lesquels Pascal cherche à prouver que o& miracle devenait nécessaire à la religion, pour juisitifier la doctrine des religieuses de cette abbaye , alors persécutées par les Jésuites, La jeune Perrier était , depuis trois ans et demi , affligée d'une fistule lacrymale : elle toucha de son œil malade une relique que l'on piîétendait être une

l5o ESSAI PHILOSOPHIQUE

des épines de ]a couronne du Sauveur, et elle se crut à Finstant guérie. Quelques jours après , les médecins et les chirurgiens constatèrent la guérison , et ils jugèrent que la nature et les remèdes n'y avaient eu aucune part. Cet événement, arrivé en i656 , ayant fait grand bruit , <c tout Paris se » porta, dit Racine, à Port-Royal. La foule crois- » sait de jour en jour, et Dieu même semblait » prendre plaisir à autoriser la dévotion des peu- » pies , par la quantité de miracles qui se firent » en cette église. » A cette époque , les miracles et les sortilèges ne paraissaient pas encore invraisemblables , et l'on n'hésitait point à leur attribuer les singularités de la nature , que Ton ne pouvait autrement expliquer .

Cette manière d'envisager les eflets extraordinaires, se retrouve dans les ouvrages les plus remarquables du siècle de Louis XIV, dans V Essai même sur V entendement humain, du sage Locke , qui dit , en parlant des degrés d'assentiment : a Quoique la commune expérience et le » cours ordinaire des choses aient avec raison T» une grande influence sur l'esprit des hommes , » pour les porter à donner ou à refiiser leur » consentement à une chose qui leur est proposée » à croire , il y a pourtant un cas où ce qu'il y a » d'étrange dans un fait, n'af&iblit point Tassen-

SUR LES PROBABILITÉS. l5l

» timent que nous devons donner au témoignage » sincère sur lequel il est fondé. Lorsque des » évènemens surnaturels sont conformes aux » fins que se propose celui qui a le pouvoir de » changer le cours de la nature , dans un tel » temps et dans de telles circonstances, ils peu- » vent être d'autant plus propres à trouver » créance dans nos esprits , qu'ils sont plus au- » dessus des observations ordinaires , ou même » qu'ils y sont plus opposés. » Les vrais principes de la probabilité des témoignages ayant été ainsi méconnus des philosophes auxquels la raison est principalement redevable de ses progrès, j'ai cru devoir exposer avec étendue les résultats du calcul sur cet important objet.

Ici se présente naturellement la discussion d'un argument fameux de Pascal , que Graig , mathé^ maticieu anglais, a reproduit sous une forme géométrique. Des témoins attestent qu'ils tiennent de la Divinité même, qu'en se conformant à telle chose , on jouira , non pas d'une ou de deux , mais d'une infinité de vies heureuses. Quelque faible que soit la probabilité des témoignages, pourvu qu'elle ne soit pas infiniment petite , il est clair que l'avantage de ceux qui se conforment à la chose prescrite est infini, puisqu'il est le produit de cette probabilité par un

bien infini; on ne doit dpHc point balancer > à se procurer cet avantage. » ii n i i .i ;

Cet argamemt est fondé sur le nombre .^ infini d^ vies beun^ses promises au nom :de Sa^ Dmnité par les témoin!»; il faudrait donciaineiciiitqui'ils prescrivejpt y. précisément' parce, qu'ils ctxagèffent l^urs promeeses au-delà de toutes limiteâ ^ consètquence qui répugne au > bon sen^ Aiussi leidalciil nous fait-il v/oir xyae cette c^tagératioiii méipèi BStAblit la, probabilité de leur téfnoi3^a%\^y\m,ipomt de la rendre infiniment petite ou PuUe«;£ni^£kt^ ce cas revient ^ celui d'un témoii^ qui anhanoetait la sortie du numéro le plus élevé d'usie.uroi^mQ^ plie d'un grand nombre de Duméros.dQuttun^SBiU a été'iextrait, et qui aurait im gradd intérêt >à annopcerjla sortie de ce numéro*- On a vu.pitéeér demo^Kent combien cjEst intérêt; ra^Ëaiblit.sooi témoir gnag^. ]Bn n'' évaluant qu'à \ la probabilité «que si le tçmoin. trompe il choisira le plus grfmd numéro 9 le calcul dpnne la probabilité .deî «on ^nnpnoe p][i4$; pétille qu'une fraction dont le niiir mérateur estVunité , et dont le dénommâtes* )es|t Funité; plus 1^ moitié du produit du nômbi^' des numérp3 K fl^r. la- probabilité du mensongje consî«dérée àpnon ou indépen^^ment de- l'annonce.

Pour assimiler <:e cas à celui de l'argunaêeiit de Pascal, il suffit de représenter par les miméros d«

SUR L£S PBOBA^BILITES. 1^53

l'umetous les noml^res possibles de vies henreiKses^ ce qui rend le nombre de cestmméhsrs infini; ef, d'obsenrer. qtte si les témcHUs trompent^ ils 6nt le phis grand intérêt^ pour aocréditer leur mensonge à pi;oniettne> tme éternité de bonheur; L'^xprest- 8Îon>de'lii pirbbabilité de leur témoignage devient ^re infinimetit pe^e. En la multipliant; par le boéobrei infimi de vies heureuses promises; Fin* &liidkparai« ' du- produit qui exprime l'aTantage irésajtâfât de cette promesse , ce qui détirmt YàrgtviÉeiitde ÎPascal. . ; >i

Ji' GonsidéroM présentement la probabilité • de Yiensemble de plusieurs témoignages sur un fait ttéierttiiné. Pour fixer les idées, supposons que «ie<£a(it-»oit la sortie d'un numéro d'une lïme'qui e» renferme cent et dont on a entrait un setil'numéro. Deux téïrioins dé ee tirage^ attooricent qrie le n® a est sorti , et Foni démande la probabilité résultante de l'ensemble de *c<ôs témoignais: ^ On peut former ces deux hyplothèstes : les témoins disent la vérité; les témoins tï-ompétit. Dîan^ là première hypothèse, le n*^ a eàt sorti', et la pixybdbitité de cet événement est 7^. il faut lamlilitiplier par le produit des véracités d^s^ témoins , véracités que nous suppôsi^r^s étr&^ et^? ^on aura donc tïïoITo P^^^ la probabilité de FévèïKè*- Hiient observé dan^ ioette hypothèse. Dans lafae^

l54 ESSAI PHILOSOPHIQUE

conde , le n** a n'est pas sorti ^ et la probabilité de cet événement est y^. Mais l'accord des témoins exige alors qu'en cherchant à tromper, ils choisissent tous deux le numéro 2 sur les 99 numéros non sortis : là probabilité de cç choix y si les témoins ne s'entendent point , est le produit de la fraction -^ par elle-même ; il faut ensuite multiplier ces deux probabilités ensemble^ et par le produit des probabilités tô^^^ ^^^ ^^ témoins trompent; on aura ainsi Ti^ôoo P^Wi la probabilité de l'événement observé dans la- se^ conde hypothèse. Maintenant on aura la probabilité du fait attesté ou de la sortie du n*^ a , en divisant la probabilité relative à la première hypothèse par la somme des probabilités relatives aux deux hypothèses; cette probabilité sera donc f§^ , et la probabilité de la non-sortie de ce numéro et du mensonge des témoins sera ^oso '

Si l'urne ne renfermait que les numéros i et a , on trouverait de la même manière ^ pour la probabilité de la sortie du n^ a , et par conséquent Y2 pour la probabilité du mensonge des témoins | probabilité quatre-vingt-quatorze fois au moins plus grande que la précédente. On voit par là combien la probabilité du mensonge des témoins diminue , quand le £[iit qu'ils attestent est moins probable en lui-même. En efitet, on conçoit qu'a-

SUR .LÈS FBOfiABlLITÉS, l55

lors l'accord des témoins, lorsqu'ils trompent, devient plus difficile , à moins qu'ils ne s'entendent , ce que nous ne supposons pas ici.

Dans le cas précédent où l'urne ne renfermant que deux numéros , la probabilité à priori du fait attesté est \ , la probabilité résultante des témoignages est le produit des véracités des témoins , divisé par ce produit ajouté à celui des probabilités respectives de leur mensonge.

Il nous reste à considérer l'influence du temps sur la probabilité des faits transmis par une chaîne traditionnelle de témoins. Il est clair que cette probabilité doit diminuer à mesure que la chaîne se prolonge. Si le fait n'a aucune probabilité par lui-même, tel que la sortie d'un numéro d'une urne qui en renferme une infinité , celle qu'il acquiert par les témoignages décroît suivant le produit continu de la véracité des témoins. Si le fait a par lui-même une probabilité ; si , par exemple , ce fait est la sortie du n? a. d'une urne qui en renferme un nombre fini , et dont il est certain qu'on a- eitràît un seul numéro; ce que la chaîne traditionnelle ajoute à cette probabilité décroît suivant un produit continu , dont le premier facteur est le rapport du nombre des numéros de l'urne moins xttt à ce même nombre , et dont chaque autre factetir est la véracité de chaque témoin , diminuée du

l56 ESSAI PHILOSOPHIQUE

rapport de la probabilité de son mensonge au nombre des numéros de Tiirne moins lui ; en sbrte que la limite de la probabilité du fait est celle de ce fait considérée à priori ou indépendamment des témoignages , probabilité égale à l'ùhitê divisée par le nombre des numéros de l'urne.

li'action du temps affaiblit donc saiits ëès^e là probabilité des faits historiques , comme elle* 'altère les monumens les plus durables. Oh ^étft/^ la vérité , la ralentir en multipliant et dôbsèWyht les témoignages et les monument qui les êtàyèht. L'imprimerie offre pour cet objet un grand iûôyeii malheureusement inconnu des anctetis. Màl^e les avantages infinis qu'elle' procufé^ liés réVôMtions physiques et morales dont îa ktirfabe dëJ'è'é globe sera toujours agitée, fihirônt, éïise j81gnant à l'effet inévitable du téiùps , pài* rendre douteux, après des milliers d'atîhéiés , les JEaîts historiques aùj6urd*hui les plus certains.

Craig a ' essayé de soumettre au calcul rafiatblisseteièht ■ ^àâxitV deis preuves de la f eligioîl chrétienne t' en * apposant que le jàiohde ddlt finir à Pépoqùi^ où elle cessera d'être probable^ il trouva c^e' *éëla' doit arriver i454 ans après Ife moment oA îl'écJrlt. Mais sbn analyse est au^ fautive que son hyjiôïhèi^e stii* la durée du mondé est bizarre. -

SUR LES PROBABIUTÉS. ' l^^J

Des choix et des décisions des assemblées.

La probabilité des décisions d'une assemblée dépend de la pluralité des voix , d^ lumières et de l'impartialité des membres qui la composent. T^pt ^e passions et d'intérêts particuliers y mêlent ai 3ouye«t leur influence^ qu'il est impossible de soumettre au calcul cette probabilité. Il y a çepçndajpLt quelques résultats généraux dictés par le s^ipple bon sens , et que le calciU confirme. Si , P^ï; exemple , l'assemblée est très peu éclairée sur l'objet soumis à sa décision ; si cet objet exige des considérations délicates, ou si la vérité sur ce ppint est çpntraire à des préjugés reçus , en sorte qu'il y ait plu§ d'un contre un à parier que chaque vQt^t s'en écartera; alors la déicisiqu de la majorité sera probablement mauvaise j et la crainte à cet égard sera d'autant plus fondée ,.. q^e Y^i^ semblée sera plus nombreuse* Il imppi^te doiic à }a chose pubUque que les asç^inblée^ . n'aient ; à prononcer que sur des objets,^ la portée du plus grand nombre : il lui importe que l'instruction i^oit généralement répandue,! et que .d^ bons ouvrages fondés sur la raison et sur l'expérience éclairent ceux qui sont appelés à décider du sort de leurs semblables ou à les gouverner, et les

l58 ESSAI PHIL080PHIQUB

prémunissent d'avance contre les faux aperçus et les préventions de Fignorance. Les savans ont de fréquentes occasions de remarquer que les premiers aperçus trompent souvent ^ et que le vrai n'est pas toujours vraisemblable.

Il est difficile de connaître et même de définir le vœu d'une assemblée ^ au milieu de la variété des opinions de ses membres. Essayons de donner sur cela quelques règles , en considérant k& deux cas les plus ordinaires , l'élection entre plusieurs ' candidats , et celle entre plusieurs propositions ' relatives au même objet. '

Lorsqu'une assemblée doit choisir entre plusieurs candidats qui se présentent pour une ou plusieurs places du mémo genre ^ oe qui psu*ait le plus simple est de faire écrire à chaque votant , sur im billet, les noms de tous les candidats, suivant l'ordre du mérite qu'il leur attribue. £n supposant qu'il les classe de bonne foi; l'inspection de ces Mllets fera connaître les résultats des

élections , de quelque manière que les candidats soient comparés entre euK ; en sorte que de nouvelles élections ne peuvent apprendre rien de plus à cet é^ard. U s'agit présentement d'ai conclure l'ordre de préférence , que les billets établissent entre les candidats. Imaginons que l'on donne à chaque électeur une urne qui contienne

SUR LES PBOBABILITES. l59

une infinité de boules, au moyen desquelles il puisse nuancer tous les degrés de mérite des candidats : concevons encore qu'il tire de son urne un nombre de boules proportionnel au mérite de chaque candidat 9 et supposons ce nombre écrit sur un billet, à côté du nom du candidat. Il est clair qu'en faisant une somme de tous les nombres relatif à chaque csuididat sur chaque billet , celui de tous les candidats qui aura la plus grande somme sera le candidat que l'assemblée préfère ; et qu'en général , l'ordre de prtférence des candidats sera celui des sommes relatives à chacun d'eux. Mais les billets ne marquent point le nombre des boules que chaque électeur donne aux candidats; ils indiquent seulement que le premier en a plus que le second, le second plus que le troisième, et ainsi de suite. En supposant donc au premier, sur un biUet donné , un nombre quelconque de boules , toutes les combinaisons des nombres inférieurs qui remplissent les conditions précédentes^ sont également admissibles; et l'on aura le nombre de boules relatif à chaque candidat , en faisant une somme de tous les nombres que chaque combinaison lui donne, et en la divisant par le nombre entier des combinaisons. Une analyse fort simple fait voir que les nooi^res qu'il faut écrire sur chaque billet à coté du dernier nom , de l'a-

î6o ESSAf PHlLÔSOPHIQtJlf

vant-dernier, etc. , sont prôpc>rtioftnéb'kiii'*telrmes de la progression arithmétique i , 2 , 3', ^tt. En écrivant donc ainsi sur chaque billfet les ttpmes de cette progression, €ît ajoutant les tèitnfds relatifs à chaque candidat sur ces billets V les diverses sommes ïndiq(ueront par' leur graifideiit l'ordre de préférence qiiî doit être éttd)lf'iBtrflife les candidats. Tel est le mode d'élection qù'**»dique la Théorie des Probabilités. SansMôiftteVift serait le meilleur si chaque éJèôtettr'iiiscrtVàtt sur son billet les noms des candidats daiii FbrAf^ du mérite qu'il leur attribue. Mais lès iiitërêt^ particuliers et beaucoup de cônsî<!6érâtft>nk*\StrtLn^^ gères au mérite doivent trôlibler ■ cet oV^h*ë ', éï faire placer quelquefois au dèîrtller raiig le* bAndidat le plus redoutable à celui qùè l'dn pt-éfSfèf ce qui donne trop d'avantage âul^àtldfdàty âTuH médiocre méritfe. ' Aussi Peipérieôce k-t-é!lé fait* abandonner ce nfifode d'élection dans' les êtàblîi^' semehs qui l'avaient adopté. .>> x. •;. .

■L'élection à la tÂaJôrité absolue des suflfrà^* réttnit à là éertîtûde îdè n'admettre âiibtrti dëi' candidats que «ôfette^ majorité Tëjette, ' l'iâvanfa^ d'eîtprimet* îè pi'à^afoui^ntiè vdeti de ras$ëliU)lée. Elle coShcide <6tl|*uM aVefc le' ihcîde prélcédent lorsqu'il ii'y à' k^ùfe^dêû*' éàridîdats'. A la Vérité', elle expose h î^incônvéhient' de rendre \^ éléc-

SUR LES PROBABILITiS. l6l

Uons interminables. Mais l'expérience a fait voir que cet inconvénient est nul , et que le désir général de mettre fin aux élections réunit bientôt la majorité des sufiPrages sur un des candidats,

. Le choix entre plusieurs propositions relatives au même objet, semble devoir être assujetti aux mêmes règles que l'élection entre plusieurs can- 4i4^- Mais il existe entre ces deux cas cette 4ifi%jience ^ savoir : que le mérite d'un candidat ll'e^lut point, celui 4c ses concurrens; au Ueu q[qç,,si les piropositions entre lesquelles il faut ç^pisfir sont contraires, la vérité dé l'une exclut l^jV^ité des au,trcs. Yoici comme on doit alors ejfvisagèr la question.

Donnons à chaque votant une urne qui ren^ iaçme un nombre infini de boules , et supposons qu'il les distribue sur les diverses propositions, çi^ raison des probab^ités respectives qu'il leur atjtribue. II. est clair que le nombre total de^ boules exprimant la certitude , et le vptîmtétaBt^' pa^: l'hypothèse , assuré que JL'.u^e d^ propositiqps doit être vraie , il réps^rtira ce nombre en entier sur les propositions.. Le problème se r/éduit donc à déterminer le^^ comjbinaisons dans . Iç^^^elles les boules seront ijéjiarties de manière < qu'il y en ait plus sur la pi^çwièpft proposition ,dui

billet que sur la seççnçlp , plvs W^.'î^ seconde qMe

l62 E8BÀI PHILOSOPHIQUE

siir la troisième , etc. ; à faire le» sommes de tous les nombres de boules relatifs à chaque pn>position dans ces diverses combinaisons, et à diviser cette somme par le nombre des combinaisons : les quotiens seront les nombres de boides que l'on doit attribuer aux propositions sur un billet tfaéi* conque. On trouve par l'analyse- ^ qu'en partant de la dernière proposition pour retnonter à Isr première, ces quotiens sont entre eux comme. les quantités suivantes: i" l'unité divisée par le nom>bre des propositions; 2® la quantité phécédente augmentée de l'unité divisée par le nombre * des propositions moins une; 3" cette seconde quan^ tité augmentée de l'unité divisée par le nombre des propositions moins deux , et ainsi du reste. On écrira donc sur chaque billet ces quantités à côté des propositions correspondantes; et en ajoutant les quantités relatives à chaque proposition sur les divers billets, les sommes indiqueront par leur grandeur l'ordre de préférence que l'assemblée donne à ces propositions.

Disons un mot de lia manière de fenouveler les assemblées qui doivent changer en toUJité, dans un nombre d'années déterminé. Le renoua vellement doit>*il se feire à la fois , ou convientril de le partager entre ces années? D'après ce der* nier mode, l'assemblée serait forinée sous Vin^

SUR XES PaOBÀBILITÉS. l63

fkience des diverses opinions dominantes pendant la durée de son renouvdlement ; Fopinion qui y régnerait alors serait donc très probablement la moyenne de toutes ces opinions. L'assemblée recevrait ainsi du temps le même avantage que liiiidoiiiK l'extension des élections de ses membrei^r à toutqs les parties du territoire qu'elle représente; Maintenant , si l'on considère ce que r<^périence n'a que trop fait connaître j savoir : que : les élections sont toujours dirigées dans le sens le plus exagéré des opinions dominantes; o» sentira combien il est utile de tempérer ces opiuions les unes par les autres ^ au moyen d'un renouvellement partiel .

De la probabilité des Jugémens des tribunaux.

L'analyse confirme ce que le simple bon sens nous dicte V savoir : que la bonté des jugémens est d'autant plus probable, que les juges soïit plus nombreux et plus éclairés. Il importe donc que les tribunaux d'appel remplissent ces deux conditions. Les tribunaux de première instance , plus rapprochés des justiciables, leur offrent i'ar vantage d'un premier jugement déjà probable , et dont ib se contentent souvent , soit en transigeant , soit en se désistant de leurs prétentions.

l64 ESSAI PHILOSOPHIQUE

Mais si l'incertitude de l'objet en litige et son importance déterminent un plaideur à recourir au tribunal d'appel , il doit trouver dans une pïus grande probabilité d'obtenir un jugement éqiiitable, plus de sûreté pour sa fortune , et la coiupensation des embarras et des frais qu'une nouvelle procédure entraîne. C'est ce qui n'avaft point lieu dans l'institution de Tappel réciproque des tribunaux de dép^tem^nt , institution par 1^ très préjudiciable aux intérêts des citoyens, tl serait peut-être convenable et/cbnfornfie au calcul des probabilités , d'exiger une màjor;ité de cïèux voix au moins y dans un tribunal d appel., pour infirmer la sentence du tribunal inférieur. On obtiendrait ce résultat si le tribîiiral' aAppei étant composé d'un nombre p^r de juges , ïa sentence subsistait dans le cas de réalité des