APPLICATIONS DU CALCUL DES PROBABILITÉS

Des jeux,

\ .es combinaisons que les jeiix présentent ont été l'objet des premières recherches sur les probabilités. Dans l'infinie variété de ces combinaisons, plusieurs d'entre elles se prêtent avec facilité au calcul : d'autres exigent des calculs plus difficiles; et les difficultés croissant à mesure que les combinaisons deviennent plus compliquées , le désir de les surmonter et la curiosité ont excité les géomètres à perfectionner de plus en plus ce genre d'analyse. On a vu précédemment que l'on pouvait facilement déterminer, par la théorie des combinaisons, les bénéfices d'une loterie. Mais il est plus difficile de savoir en combien de tirages on peut parier un contre un, par exemple, que tous les numéros seront sortis, n étant le nombre des numéros, r celui des numéros sortans à chaque tirage, et / le nombre inconnu des tirages . l'expression de la probabilité de la sortie de tous les numéros dépend de la différence finie n'*"*' de la puissance / d'un produit de r nombres consécutifs. Lorsque le nombre n est considéraljle , la recherche de la valeur de /, qui rend cette probabilité égale à ^,

devient impossible , à moins qu'on ne convertisse cette différence dans une série très convergente. C'est ce que l'on fait heureusement par la méthode ci-dessus indiquée pour les approximations des fonctions de très grands nombres. On trouve ainsi que la loterie étant composée de dix mille numéros dont un seul sort à chaque tirage ; il y a du désavantage à parier un contre un , que tous les numéros sortiront dans 95767 tirages, et de l'avantage à faire le même pari pour 95768 tirages. A la loterie de France, ce pari est désavantageux pour 85 tirages, et avantageux pour 86 tirages.

Considérons encore deux joueurs A et B jouant ensemble à croix ou pile , de manière qu'à chaque coup, si croix arrive, A donne un jeton àB, qui lui en donne un si pile arrive : le nombre des jetons de B est limité , celui des jetons de A est illimité , et la partie ne doit finir que lorsque B n'aura plus de jetons. On demande en combien de coups on peut parier un contre un que la partie sera terminée. L'expression de la probabilité que la partie sera terminée dans un nombre / de coups , est donnée par une suite qui renferme un grand nombre de termes et de facteurs, si le nombre des jetons de B est considérable, la recherche de la valeur de l'inconnue 1 , qui rend

celle suite égale à | , serait donc alors impossible si Ton ne parvenait pas à réduire la suite dans une série très convergente. En lui appliquant la méthode dont on vient de parler , on trouve une expression fort simple de l'inconnue, de laquelle il résulte que si, par exemple, B a cent jetons, il y a un peu moins d'un contre un à parier que la partie sera finie en 23780 coups , et un peu plus d'un contre un à parier qu'elle sera finie dans aSySi coups.

Ces deux exemples, joints à ceux que nous avons déjà donnés , suffisent pour faire voir comment les problèmes sur les jeux ont pu contribuer à la perfection de l'Analyse.

Des inégalités inconnues qui peuvent exister entre les chances que Von suppose égales.

Les inégalités de ce genre ont sur les résultats du calcul des probabilités ime influence sensible qui mérite une attention particulière. Considérons le jeu de croix ou pile^ et supposons qu'il soit également facile d'amener Tune ou l'autre face de la pièce. Alors la probabilité d'amener croix au premier coup est \^ et celle de l'amener deux fois de suite est \, Mais s'il existe dans la pièce une inégalité qui fasse paraître une des faces plutôt que l'autre, sans que l'on connaisse quelle est la

face favorisée par cette inégalité , la probabilité d'amener croix an premier coup sera toujours \ ; parce que dans l'ignorance où l'on est de la face que cette inégalité favorise , autant la probabilité de l'événement simple est augmentée si cette inégalité lui est favorable, autant elle est diminuée si l'inégalité lui est contraire. Mais dans cette ignorance même, la probabilité d'amener croix deux fois de suite est augmentée. En effet, cette probabilité est celle d'amener croix au premier coup, multipliée par la probabilité que l'ayant amené au premier coup, on l'amènera au second; or son arrivée au premier coup est un motif de croire que l'inégalité de la pièce le favorise; l'inégalité inconnue augmente donc alors la probabilité d'amener croix au second coup ; elle accroît par conséquent le produit des deux probabilités. Pour soumettre cet objet au calcul, supposons que cette inégalité augmente d'un vingtième la probabilité de l'événement simple qu'elle favorise. Si cet événement est cwix, sa probabilité sera \ plus 2V Q" "H > ^t la probabilité de l'amener deux fois de suite sera le carré de ~ ou \^, Si l'événement favorisé est pile^ la probabilité de croix sera ^ moins âV ^^^ À > ^^ ^^ probabilité de l'amener deux fois de suite sera -f^. Comme on n'a d'avance aucune raison de croire que l'inégalité fa-

SUR LKS PROBABILITÉS. 7I

vorise ïnn de ces évènemeiis plutôt que l'autre, il est clair que pour avoir la probabilité de Tévènement composé croiûc croix, il faut ajouter les deux probabilités précédentes et prendre la moitié de leur somme; ce qui donne \^ pour cette probabilité qui surpasse j , de -^ ou du carré de Taccroissement -^ que l'inégalité ajoute à la possibilité de Tévènement qu'elle favorise. La probabilité d'amener pile pile est pareillement ||^; mais les pix)babilités d'amener croiœ pile, ou pile croix ne sont chacune que ^^; car la somme de ces quatre probabilités doit égaler la certitude ou l'unité. On trouve ainsi généralement que les causes constantes et inconnues qui favorisent les évènemens simples que l'on juge également possibles, accroissent toujours la probabilité de la répétition d'im même événement simple.

Dans un nombre pair de coups , croix et pile doivent arriver tous deux , ou un nombre pair ou un nombre impair de fois. I^ probabilité de chacun de ces cas est \ si les possibilités des deux faces sont égales; mais s'il existe entre elles qne inégalité inconnue , cette inégalité est toujours favorable au premier cas.

Deux joueurs dont on suppose les adresses égales, jouent avec les conditions qu'à chaque coup, celui qui |>erd donne un jeton à son adver-

^a ESSAI PHILOSOPHIQUE

saire, et que la partie dure jusqu'à ce que l'un des joueurs n'ait plus de jetons. Le c^cul des probabilités nous montre que pour l'égalité du jeu, les mises des joueurs doivent être en raison inverse de leurs jetons. Mais s'il existe entre leurs adresses une petite inégalité inconnue , elle favorise celui des joueurs qui a le plus petit nombre de jetons. Sa probabilité de gagner la partie augmente si les joueurs conviennent de doubler, de tripler leurs jetons; et elle serait^ ou la même que la probabilité de l'autre joueur, dans le cas où les nombres de leurs jetons deviendraient infinis, en conservant toujours le même rapport.

On peut corriger l'influence de ces inégalités inconnues, en les soumettant elles-mêmes aux chances du hasard. Ainsi au jeu de croix ou pile, si l'on a une seconde pièce que l'on projette chaque fois avec la première , et que l'on convienne de nommer constamment croix la face amenée par cette seconde pièce, la probabilité d'amener croix deux fois de suite avec la première pièce , approchera beaucoup plus d'un quart que dans le cas d'une seule pièce. Dans ce dernier cas, la différence est le carré du petit accroissement de possibilité que l'inégalité inconnue donne à la face de la première pièce qu'elle favorise : dans l'autre cas, cette différence est le quadruple pro-

SUR LES PROBABILITÉS. yS

diiit de ce carré, par le carré correspondant relatif à la seconde pièce.

Que Ton jette dans une urne, cent numéros depuis un jusqu'à cent, dans Tordre de la numération , et qu'après avoir agité l'urne , pour mêler ces numéros, on en tire un; il est clair que si le mélange a été bien fait, les probabilités de sortie des numéros seront les mêmes. Mais si l'on craint qu'il n'y ait entre elles de petites différences dépendantes de l'ordre suivant lequel les numéros ont été jetés dans l'urne; on diminuera considérablement ces différences, en jetant dans une seconde urne, ces numéros suivant leur ordre de sortie de la première urne , et en agitant ensuite cette seconde urne pour mêler ces numéros. Une troisième urne , une quatrième, etc., diminueraient de plus en plus ces différences déjà insensibles dans la seconde urne.

Des lois de la Probabilité, qui résultent de la multiplication indéfinie des évènemens.

Au milieu des causes variables et inconnues que nous comprenons sous le nom de hasard, et qui rendent incertaine et irrégulière, la marche des évènemens; on voit naître à mesure qu'ils se midtiplient, ime régularité frappante qui semble

tenir à un dessein, et que Ton a considérée comme une preuve de la providence. Mais en y réfléchissant, on reconnaît bientôt que cette régularité n'est que le développement des possibilités respectives des évènemens simples qui doivent se présenter plus souvent , lorsqu'ils sont plus probables. Concevons, par exemple, une urne qui renferme des boules blanches et des boules noires; et supposons qu'à chaque fois que l'on en tire une boule, on la remette dans l'urne pour procéder à un nouveau tirage. Le rapport du nombre des boules blanches extraites, au nombre des boules noires extraites, sera le plus souvent très irrégulier dans les premiers tirages; mais les causes variables de cette irrégularité produisent des effets alternativement favorables et contraires à la marche régulière des évènemens, et qui se détruisant mutuellement dans l'ensemble d'un grand nombre de tirages, laissent de plus en plus apercevoir le rapport des boules blanches aux boules noires contenues dans l'urne, ou les possibilités respectives d'en extraire une boule blanche ou une boule noire à cliaque tirage. De là résulte le théorème suivant.

Ija probabiUté que le rapport du nombre des boules blanches extraites , au nombre total des boules sorties , ne s'écarte j>as au-delà d'un in-

SUR LES PROB\niLITés. 7$

tervalle donné, du rapport du nombre des houles bJanciies , au nombre total des boules contenues dans l'urne, approche indéfiniment de la certitude, par la multipHcation indéfinie des évènemens, quelque petit que Ton suppose cet intervalle.

Ce théorème indiqué par le bon sens, était difficile à démontrer par l'analyse. Aussi l'illustre géomètre Jacques Bernouilli qui s'en est occupé le premier, attachait-il une grande importance à la démonstration qu'il en a donnée. Le calcul des fonctions génératrices, appliqué à cet objet, non-seulement démontre avec facilité ce théorème , mais de plus il donne la probabilité que le rapport des évènemens observés ne s'écarte que dans certaines limites, du vrai rapport de leurs possibilités respectives.

On peut tirer du théorème précédent cette conséquence qui doit être regardée comme ime loi générale, savoir, que les rappoits des effets de la nature sont à fort peu près constans, quand ces effets sont considérés en grand nombre. Ainsi, malgré la variété des années, la somme des productions pendant im nombre d'années considérable est sensiblement la même; en sorte que l'homme, par une utile prévoyance, peut se mettre à l'abri de l'irn»gidarité des saisons , tn

répandant également sur tous les temps, les biens que la nature distribue d'une manière inégale. Je n'excepte pas de la loi précédente , les effets dus aux causes morales. Le rapport des naissances annuelles à la population, et celui des inariages aux naissances , n'éprouvent que de très petites variations : à Paris, le nombre des naissances annuelles est à peu près le même ; et j'ai ouï dire qu'à la poste, dans les temps ordinaires, le nombre des lettres mises au rebut par les défauts des adresses, change peu, chaque année; ce qui a été pareillement observé à Londres.

Il suit encore de ce théorème, que dans une série d'évènemens , indéfiniment prolongée, l'action des causes régulières et constantes doit l'emporter à la longue, sur celle des causes irrégulières. C'est ce qui rend les gains des loteries aussi certains que les produits de l'agriculture; les chances qu'elles se réservent , leur assurant un bénéfice dans l'ensemble d'un grand nombre de mises. Ainsi des chances favorables et nombreuses étant constamment attachées à l'observation des principes éternels de raison, de justice et d'humanité, qui fondent et maintiennent les sociétés , il y a grand avantage à se conformer à ces prin-» cipes , et de graves inconvéniens à s'en écarter. Que l'on consulte les histoires et sa propre ex-

périence ; on y verra tous les faits venir à Tappui de ce résultat du calcul. Considérez les heureux effets des institutions fondées sur la raison et sur les droits naturels de Tliomme , chez les peuples qui ont su les établir et les conserver. Considérez encore les avantages que la bonne foi a procurés aux gouvernemens qui en ont fait la base de leur conduite , et comme ils ont été dédommagés des sacrifices qu'une scrupuleuse exactitude à tenir ses engagemens, leur a coûtés. Quel immense crédit au dedans ! quelle prépondérance au dehors! Voyez au contraire, dans quel abîme de malheurs, les peuples ont été souvent précipités par l'ambition et par la perfidie de leurs chefs. Toutes les fois qu'ime grande puissance enivrée de l'amour des conquêtes , aspire à la domination universelle; le sentiment de l'indépendance produit entre les nations menacées, une coalition dont elle devient presque toujours la victime. Pareillement , au milieu des causes variables qui étendent ou qui resserrent les divers états; les limites naturelles, en agissant comme causes constantes , doivent finir par prévaloir. Il importe donc à la stabilité comme au bonheur des empires, de ne pas les étendre audelà de ces limites dans lesquelles ils sont ramenés sans cesse par l'action de ces causes; ainsi

que les eaux des mers, soulevées par de violentes tempêtes , retombent dans leurs bassins par la pesanteur. C'est encore un résultat du calcul des probabilités , confirmé par de nombreuses et funestes expériences. L' histoire traitée sous le point de vue de l'influence des causes constantes, unirait à l'intérêt de la curiosité, celui d'offrir aux hommes les plus utiles leçons. Quelquefois on attribue les effets inévitables de ces causes , à des circonstances accidentelles qui n'ont fait que développer leur action. Il est, par exemple, contre la nature des choses, qu'un peuple soit à jamais gouverné par un autre qu'une vaste mer ou une grande distance en sépare. On peut affirmer qu'à la longue, cette cause constante se joignant sans cesse aux causes variables qui agissent dans le même sens, et que la suite des temps développe , finira par en trouver d'assez fortes pour rendre au peuple soumis, son indépendance naturelle, ou pour le réunira un état puissant qui lui soit contigu.

Dans un grand nombre de cas, et ce sont les ])lus importans de l'analyse des hasards , les possibilités des évènemens simples sont inconnues, et nous sommes réduits à chercher dans les évènemens passés , des indices qui puissent nous guider dans nos conjectures sur les causes dont ils

c!é|)endent. En appliquant l'analyse des fonctions génératrices, au principe exposé ci-devant, sur la probabilité des causes, tirée des événemens observés, on est conduit au théorème suivant.

Lorsqu'un événement simple ou composé de plusieurs événemens simples , tel qu'une partie de jeu, a été répété un grand nombre de fois; les possibilités des événemens simples qui rendent ce que Ton a observé, le plus probable, sont celles que l'observation indique avec le plus de vraisemblance : à mesure que l'événement observé se répète , cette vraisemblance augmente et finirait par se confondre avec la certitude , si le nombre des répétitions devenait infini.

Il y a ici deux sortes d'approximations : l'une d'elles est relative aux limites prises de part et d'autre , des possibilités qui donnent au passé le plus de vraisemblance : l'autre approximation se rapporte à la probabilité que ces possibilités tombent dans ces limites. La répétition de l'événement composé accroît de plus en plus cette probabilité , les limites restant les mêmes : elle ressserrede plus en plus l'intervalle de ces limites, la probabilité restant la même : dans l'infini , cet intervalle devient nul , et la probabilité se change en certitude.

Si l'on applique ce théorème, au rapport des

8o ESSAI PHILOSOPHIQUE

naissances des garçons à celles des filles, observé dans les diverses contrées de l'Europe , on trouve que ce rapport , partout à peu près égal à celui de as à 21 , indique avec une extrême probabilité une plus grande facilité dans les naissances des garçons. En considérant ensuite qu'il est le même à Naples et à Pétersbourg , on verra qu'à cet égard, l'influence du climat est insensible. On pouvait donc soupçonner contre l'opinion commune, que cette supériorité des naissances masculines subsiste dans l'Orient même. J'avais en conséquence invité les savans français envoyés en Egypte , à s'occuper de cette question intéressante ; mais la difficulté d'obtenir des renseignemens précis sur les naissances , ne leur a pas permis de la résoudre. Heureusement , M. de Humboldt n'a point négligé cet objet dans l'immensité des choses nouvelles qu'il a observées et recueillies en Amérique, avec tant de sagacité, de constance et de courage. 11 a retrouvé entre les tropiques, le même rapport des naissances des garçons à celles des filles , que l'on observe à Paris; ce qui doit faire regarder la supériorité des naissances masculines comme une loi générale de l'espèce humaine. Les lois que suivent à cet égard, les diverses espèces d'animaux, me paraissent dignes de l'attention des naturalistes.

SUR LES PROBABILITlés. 8l

I^ nipport des naissances des garçons à celles des filles , différant très peu de l'unité , des nombres même assez grands de naissances observées dans un lieu , pourraient offrir à cet égard un résultat contraire à la loi générale , sans que Ton lût en droit d'en conclure que cette loi n'y existe pas. Pour tirer cette conséquence , il faut employer de très grands nombres, et s'assurer qu'elle est indiquée avec une grande pi-obabilité. Buffon cite , par exemple , dans son Arithmétique politique , plusieurs communes de Bourgogne où les naissances des filles ont surpassé celles des garçons. Parmi ces communes , celle de Carcelle-le-Grignon présente , sur 2009 naissances pendant cinq années, 1026 filles et 988 garçons. Quoique ces nombres soient considérables , cependant ils n'indiquent ime plus grande possibilité dans les naissances des filles, qu'avec la probabilité -^j; et cette probabilité plus petite que celle de ne pas amener croix quatre fois de Miite , au jeu de croix owpile, n'est pas suffisante pour rechercher la cause de cette anomalie qui , s(*lon toute vraisemblance , disparaîtrait si l'on suivait, pendant un siècle, les naissances dans (*ette commune.

I-«s registres des naissances, que l'on tient avec ' soin pour assurer l'état des citoyens , peuvent

servir à déterminer la population d'un grand empire, sans recourir au dénombrement de ses habitans, opération pénible et difficile à faire avec exactitude. Mais il faut pour cela connaître le rapport de la population aux naissances annuelles. Le moyen d'y parvenir, le plus précis, consiste i° à choisir dans l'empire, des départemens distribués d'une manière à peu près égale sur toute sa surface, afin de rendre le résultat général , indépendant des circonstances locales ; 2° à dénombrer avec soin , pour une époque donnée, les habitans de plusieurs communes dans chacun de ces départemens; 3® à déterminer par le relevé des naissances durant plusieurs années qui précèdent et suivent cette époque , le nombre moyen correspondant des naissances annuelles. Ce nombre , divisé par celui des habitans , donnera le rapport des naissances annuelles à la population , d'une manière d'autant plus sûre , que le dénombrement sera plus considérable. Le gouvernement, convaincu de l'utilité d'un semblable dénombrement, a bien voulu en ordoiH ner l'exécution , à ma prière. Dans trente départemens répandus également sur toute la France , on a fait choix des communes qui pouvaient ' fournir les renseignemens les plus précis. I^nrs dénombremens ont donné 2037616 individus

SI R LES PnOBABlMTÉS. 83

pour la somme totale de leurs habitans au n'i septembre 180-2. Le relevé des naissances dans ces communes pendant les années 1800, 1801 et i8o'2, a donné

Naissances.

I io3i!2 garçons.

105287 filles.

Mariages.

Décès.

io3659 bommes.

99443 femmes.

Le rapport de la population aux naissances annuelles est donc iS i\^oXuu ' ** ^^t plus grand qu'on ne Tavait estimé jusqu'ici. En multipliant par ce rapport le nombre des naissances annuelles en France, on aura la popidation de ce royaume. Mais quelle est la probabilité que la population ainsi déterminée , ne s'écartera pas de la véritable au-delà d'une limite donnée ? En résolvant ce problème , et appliquant à sa solution les données précédentes , j'ai ti'ouvé que le nombre des naissances annuelles en France , étant supposé d'un million , ce qui porte sa population à 2835^845 babitans, il y a près de trois cent mille à parier contre un que l'erreur de ce résultat n'est pas d'un demi-million.

Tve rapport des naissances des garçons à celles des filles, qu'offre le relevé précédent, est celui

de 2 îi à 21 ; et les mariages sont aux naissances comme trois est à quatorze.

A Paris , les baptêmes des enfans des deux sexes s'écartent un peu du rapport de ii à ai. Depuis 1 745 , époque à laquelle on a commencé à distinguer les sexes sur les registres des naissances, jusqu'à la fin de 1784, on a baptisé, dans cette capitale, 393386 garçons et 877555 filles. Le rapport de ces deux nombres est à peu près celui de 2 5 à 24 ; il paraît donc qu'à Paris une cause particulière rapproche de l'égalité les baptêmes des deux sexes. Si l'on applique à cet objet le calcul des probabilités, on trouve qu'il y a 238 à parier contre un en faveur de l'existence de cette cause, ce qui suffit pour en autoriser la recherche. En y réfléchissant, il m'a paru que la différence observée tient à ce que les parens de la campagne et des provinces trouvant quelque avantage à retenir près d'eux les garçons, en avaient envoyé à l'Hospice des Enfans-Trouvés de Paris , moins relativement aux filles, que suivant le rapport des naissances des deux sexes. C'est ce que le relevé des registres de cet hospice m'a prouvé. Depuis le commencement de 1 745 jusqu'à la fin de 1 809 , il y est entré 163499 garçons et i59 [\oS filles. Le premier de ces nombres n'excède que d'un trente -huitième le

second qu'il aurait dû surpasser au moins d'un vingt-quatrième. Ce qui confirme l'existence de la cause assignée , c'est qu'en n'ayant point égard aux enfans trouvés , le rapport des naissances des garçons à celles des filles est à Paris celui de

Les résultats précédens supposent que l'on peut assimiler les naissances aux tirages des boules d'ime urne qui renferme une infinité de boules blanches et de boules noires mêlées de manière qu'à chaque tirage les chances de sortie soient les mêmes pour chaque boule ; mais il est possible que les variations des mêmes saisons dans les diverses années, aient quelque influence sur le rapport annuel des naissances des garçons à celles des filles. Le Bureau des Longitudes de France publie chaque année , dans son Annuaire , le tableau du mouvement annuel de la population du royaume. Les tableaux déjà publiés commencent à 1817: dans cette année et dans les cinq suivantes, il est né 2962361 garçons et 2781997 filles; ce qui donne à fort peu près yf pour le rapport des naissances des garçons à celles des filles. Les rapports de chaque année s'éloignent peu de ce résultat moyen : le plus petit rapport est celui de 1822 , où il n'a été que -j-J; le plus grand est de l'année 1817, où il a

égalé -}-|. Ces rapports s'écartent sensiblement du rapport |~ trouvé ci-dessus. En appliquant à cet écart l'analyse des probabilités, dans l'hypothèse de l'assimilation des naissances aux tirages des boules d'une urne , on trouve qu'il serait très peu probable. Il paraît donc indiquer que cette hypothèse, quoique fort approchée, n'est pas rigoureusement exacte. Dans le nombre des naissances que nous venons d'énoncer, il y a en enfans naturels 200494 garçons et 190 698 filles. Le rapport des naissances masculines et féminines a donc été à leur égard jf , plus petit que le rap port moyen |-|. Ce résultat est dans le même sens que celui des naissances des enfans trouvés ; et il semble prouver que dans la classe des enfans naturels , les naissances des deux sexes approchent plus d'être égales que dans la classe des enfans légitimes. La différence des climats du nord au midi de la France ne paraît pas influer sensiblement sur le rapport des naissances des garçons et des filles. Les trente départemens les plus méridionaux ont donné ■— pour ce rapport , comme pour la France entière.

La constance de la siq^riorité des naissances des garçons sur celles des filles , à Paris et à Londres, depuis qu'on les observe, a paru à quelques savans être une preuve de la providence,

SUR Ll-S PROBABILITÉS. 87

>»aiis laquelle ils ont pensé que les causes irréguliei-es , qui troublent sans cesse la marche des évèueuiens , auraient du plusieurs fois rendre les naissances annuelles des filles supérieures à celles (les garçons.

Mais cette preuve est un nouvel exemple de l'abus que Ton a fait si souvent des causes finales , qui disparaissent toujours par un examen approfondi des questions, lorsqu'on a les données nécessaires pour les i^soudre. La constance dont il s'agit est im résultat des causes régulièi'es qui donnent la supériorité aux naissances des garçons , et qui l'emportent sur les anomalies dues au hasard , lorsque le nombre des naissances annuelles est considérable. La recherche de la [)robabilité que cette constance se maintiendra pendant un long espace de temps , appartient à cette branche de l'Analyse des hasards qui remonte des évènemens passés à la probabilité des évènemens futurs; et il en résulte qu'en partant des naissances observées depuis 174^ jusqu'en 1784» il y auprès de quatre à parier contre un , qu'à Paris les naissances annuelles des garçons surp>as8eront constamment, pendant un siècle, les naissances des filles; il n'y a donc aucune raison de s'étonner que cela ait eu lieu pendant un demi-siècle.

Donnons encore un exemple du développement des rapports constans que les évènemens présentent à mesure qu'ils se multiplient. Concevons une série d'urnes disposées circulairement, et renfermant , chacune , un très grand nombre de boules blanches et de boules noires : les rapports des boules blanches aux noires , dans ces urnes , pouvant être très différens à l'origine , et tels, par exemple, que l'une de ces urnes ne renferme que des boules blanches , tandis qu'ime autre ne contient que des boules noires. Si l'on tire une boule de la première urne , pour la mettre dans la seconde ; qu'après avoir agité cette seconde urne , afin de bien mêler la boule ajoutée avec les autres, on en tire une boule pour la mettre dans la troisième urne, et ainsi de suite jusqu'à la dernière urne dont on extrait une boule pour la mettre dans la première; et que l'on recommence indéfiniment cette série de tirages , l'Analyse des probabilités nous montre que les rapports des boules blanches aux noires , dans ces urnes, finiront par être les mêmes et égaux au rapport de la somme de toutes les boules blanches à la somme de toutes les boules noires contenues dans les urnes. Ainsi par ce mode régulier de changement , l'irrégidarité primitive de ces rapports disparaît à la longue pour

faire place à Tordre le plus simple. Maintenant si entre ces urnes on en intercale de nouvelles dans lesquelles le rapport de la somme des boules blanches à la somme des boules noires qu'elles contiennent , diffère du précédent ; en continuant indéfiniment , sur l'ensemble de ces urnes , les extractions que nous venons d'indiquer, l'ordre simple établi dans les anciennes urnes sera d'abord troublé , et les rapports des boules blanches aux boules noires deviendront irréguliers ; mais peu à peu cette irrégularité disparaîtra pour faire place à un nouvel ordre qui sera enfin celui de l'égalité des rapports des boules blanches aux boides noires contenues dans les urnes. On peut étendre ces résultats à toutes les combinaisons de la nature, dans lesquelles les forces constantes dont leurs élémens sont animés , établissent des modes réguliers d'action, propres à faire éclore du sein même du chaos , des systèmes régis par des lois admirables.

Les phénomènes qui semblent le plus dépendre du hasard présentent donc, en se multipliant, ime tendance à se rapprocher sans cesse de rapports fixes; de manière que si l'on conçoit de part et d'autre de chacun de ces rapports , un intervalle aussi petit que l'on voudra , la probabilité que le résultat moyen des observations tombe

dans cet intervalle, finira par ne différer de la certitude que d'une quantité au -dessous de toute grandeur assignable. On peut ainsi par le calcul des probabilités, appliqué à un grand nombre d'observations , reconnaître l'existence de ces rapports. Mais avant que d'en rechercher les causes, il est nécessaire, pour ne point s'égarer dans de vaines spéculations , de s'assurer qu'ils sont indiqués avec ime probabilité qui ne permet point de les regarder comme des anomalies dues au hasard. La théorie des fonctions génératrices donne une expression très simple de cette probabilité, que l'on obtient en intégrant le produit de la différentielle de la quantité dont le résultat déduit d'un grand nombre d'observations s'écarte de la vérité , par une (5onstante moindre que l'unité, dépendante de la nature du problème , et élevée à une puissance dont l'exposant est le rapport du carré de cet écart au nombre des observations. L'intégrale prise entre des limites données , et divisée par la même intégrale étendue à l'infini positif et négatif, exprimera la probabilité que l'écart de la vérité est compris entre ces limites. Telle est la loi générale de la probabilité des résultats indiqués par un grand nombre d'observations.

Application du Calcul des Probabilités y à la Philosophie naturelle.

Les phénomènes de la nature sont le plus souvent enveloppés de tant de circonstances étrangères, un si grand nombre de causes perturbatrices y mêlent leur influence, qu'il est très difficile de les reconnaître. On ne peut y parvenir qu'en multipliant les observations ou les expériences , afin que les effets étrangers venant à se détruire réciproquement , les résultats moyens mettent en évidence ces phénomènes et leurs élémens divers. Plus les observations sont nombreuses, et moins elles s'écartent entre elles; plus leurs résultats approchent de la vérité. On remplit cette dernière condition par le choix des méthodes d'observation , par la précision des instrumens , et par le soin que l'on met à bien observer : ensuite , on détennine par la théorie des probabilités, les résultats moyens les plus avantageux, ou ceux qui donnent le moins de prise à l'erreur. Mais cela ne suffit pas ; il est de plus nécessaire d'apprécier la probabilité que les erreurs de ces résultats sont comprises dans des limites données : sans cela , on n'a qu'une connaissance imparfaite du degré d'exactitude

obtenu. Des formules propres à ces objets sont donc un vrai perfectionnement de la méthode des sciences, et qu'il est bien important d'ajouter à cette méthode. L'analyse qu'elles exigent est la plus délicate et la plus difficile de la théorie des probabilités : c'est un des principaux objets de l'ouvrage que j'ai publié sur cette théorie , et dans lequel je suis parvenu à des formules de ce genre, qui ont l'avantage remarquable d'être indépendantes de la loi de probabilité des erreurs , et de ne renfermer que des quantités données par les observations mêmes et par leurs expressions.

Chaque observation a pour expression analytique une fonction des élémens que l'on veut déterminer; et si ces élémens sont à peu près conims, cette fonction devient une fonction linéaire de leurs corrections. En l'égalant à l'observation même , on forme ce que l'on nomme équation de condition. Si l'on a un grand nombre d'équations semblables , on les combine de manière à obtenir autant d'équations finales qu'il y a d'élémens dont on détermine ensuite les corrections en résolvant ces équations. Mais quelle est la manière la plus avantageuse de combiner les équations de condition, pour obtenir les équations finales? Quelle est la loi de probabilité des erreurs dont Je^ élémens que l'on en tire sont encore siiscepti-

bles? c'est ce que la théorie des probabilités fait connaître. La formation d'une équation finale, au moyen des équations de condition , revient à multiplier chacune de cellesK:i par un facteur indéterminé et à réunir ces produits ; il faut donc choisir le système de facteurs qui donne la plus petite erreur à craindre. Or il est visible que si Ton multiplie les erreurs possibles d'iui élément par leurs probabilités respectives, le système le plus avantageux sera celui dans lequel la somme de ces produits, tous pris positivement, est un minimum; car une erreur positive ou négative doit être considérée comme une perte. En formant donc cette somme de produits , la condition du minimum déterminera le système de facteurs qu'il convient d'adopter, ou le système le plus avantageux. On trouve ainsi que ce système est celui des coefficiens des élémens dans chaque équation de condition; en sorte que l'on forme une première équation finale, en multipliant respectivement chaque équation de condition par son coefficient du premier élément, et en réunissant toutes ces équations ainsi multipliées. On forme une seconde équation finale, en employant de même les coefficiens du second élément , et ainsi de suite. De cette manière , les élémens et les lois des phénomènes , renfermés dans le recueil d'im

94 ESSAI PJIILOSOPHIQIIE

grand nombre d'observations, se développent avec le pbis d'évidence.

La probabihté des erreurs que chaque élément laisse encore à craindre , est proportionnelle au nombre dont le logarithme hyperbolique est l'unité , élevé à une puissance égale au carré de l'erreur, pris en moins , et multiplié par un coefficient constant qui peut être considéré comme le module de la probabilité des erreurs, parce que l'erreur restant la même , sa probabilité décroît avec rapidité quand il augmente; en sorte que l'élément obtenu pèse , si je puis ainsi dire , vers la vérité , d'autant plus que ce module est plus grand. Je nommerai, par cette raison, ce module, poids de l'élément ou du résultat. Ce poids est le plus grand possible dans le système de facteurs, le plus avantageux; c'est ce qui donne à ce système la supériorité sur les autres. Par une analogie remarquable de ce poids avec ceux des corps comparés à leur centre commun de gravité , il arrive que si un même élément est donné par divers systèmes composés chacun d'un grand nombre d'observations , le résultat moyen le plus avantageux de leur ensemble est la somme des produits de chaque résultat partiel , par son }x>ids , cette somme étant divisée par celle de tous les poids. De plus , le poids total du résultat des

Sin LES PROBARlLITléS. ^5

divers svsUmiu'n t*sl la somme de leurs poids partiels ; en sorte que la probabilité des erreurs du résultat moyen de leur ensemble est proportionnelle au nombre qui a Tunité pour logarithme hyperbolique élevé à une puissance égale au carré de Terreur, pris en moins, et multiplié par la somme de tous les poids. Chaque poids dépend , à la vérité, de la loi de probabilité des erreurs de chaque système , et presque toujours cette loi est inconnue; mais je suis heureusement parvenu à éliminer le facteur qui la renferme, au moyen de la somme des carrés des écarts des observations du système de leur résultat moyen. Il serait donc à désirer, pour compléter nos connaissances sur les résultats obtenus par l'ensemble d'un grand nombre d'observations, qu'on écrivît à côté de chaque résultat le poids qui lui correspond : l'Analyse fournit pour cet objet des méthodes générales et simples. Quand on a ainsi obtenu l'exponentielle qui représente la loi de probabilité des erreurs, on aura la probabilité que l'erreur du résultat est comprise dans des limites données, en prenant dans ces limites l'intégrale du produit de cette exponentielle par la différentielle de l'erreur, et en la multipliant par la racine carrée du poids du résidtat, divisé par la circonférence dont le dia-

mètre est runité. De là il suit que pour une même probabilité , les erreurs des résultat^ sont réciproques aux racines carrées de leurs poids; ce qui peut servir à comparer leurs précisions respectives.

Pour appliquer cette méthode avec succès , il faut varier les circonstances des observations ou des expériences de manière à éviter les causes constantes d'erreur. Il faut que les observations soient nombreuses , et qu'elles le soient d'autant plus qu'il y a plus d'élémens à déterminer; car le poids du résultat moyen croît comme le nombre des observations, divisé par le nombre des élémens. Il est encore nécessaire que les élémens suivent , dans ces observations , une marche différente; car si la marche de deux élémens était rigoureusement la même, ce qui rendrait leurs coefficiens proportionnels dans les équations de condition ; ces élémens ne formeraient qu'une seule inconnue , et il serait impossible de les distinguer par ces observations. Enfin , il faut que les observations soient précises : cette condition , la première de toutes, augmente beaucoup le poids du résultat , dont l'expression a pour diviseur la somme des carrés des écarts des observations de ce résultat. Avec ces précautions , on pourra faire usage de la méthode précédente,

sllt lAs IMtoUVDILITES. 97

et mesurer le degré de confiance que méritent les résultats déduits d*un grand nombre d'observations.

La règle que nous venons de donner pour conclure des équations de condition , les équations finales , revient à rendre un minimum la somme des carrés des erreurs des observations ; car chaque équation de condition devient rigoureuse, en y substituant l'observation plus son erreur; et si Ton en tire l'expression de cette erreur , il est facile de voir que la condition du minimum de la somme des carrés de ces expressions , donne la règle dont il s'agit. Cette règle est d'autant plus précise, que les observations sont plus nombreuses ; mais dans le cas même où leur nombre est petit , il paraît naturel d'employer la même règle qui , dans tous les cas , offre un moyen simple d'obtenir sans tâtonnement les corrections que l'on cherche à déterminer. Elle peut servir encore à comparer la précision de diverses tables astronomiques d'un même astre. Ces tables peuvent toujours être supposées réduites à la même forme , et alors elles ne diffèrent que par les époques, les moyens mouvemens et les coefficiens des argumens ; car si l'une d'elles contient un argument qui ne se trouve |K>int dans les autres, il est clair que cela revient à sup|K)ser nul dans celles-ci

gS ESSAI PHILOSOPHIQUE

le coefBcient de cet argument. Si maintenant on rectifiait ces tables par la totalité des bonnes observations, elles satisferaient à la condition que la somme des carrés des erreurs soit un minimum; les tables qui, comparées à un nombre considérable d'observations , approchent le plus de cette condition , méritent donc la préférence.

C'est principalement dans l'Astronomie que la méthode exposée ci-dessus peut être employée avec avantage. Les tables astronomiques doivent l'exactitude vraiment étonnante qu'elles ont atteinte, à la précision des observations et des théories, et à l'usage des équations de condition, qui font concourir un grand nombre d'excellentes observations, à la correction d'un même élément. Mais il restait à déterminer la probabilité des erreurs que cette correction laisse encore à craindre : c'est ce que la méthode que je viens d'exposer fait connaître. Pour en donner quelques applications intéressantes , j'ai profité de l'immense travail que M. Bouvard vient de terminer sur les mouvemens de Jupiter et de Saturne , dont il a construit des tables très précises. Il a discuté avec le plus grand soin les oppositions et les quadratures de ces deux planètes , observées par Bradley et par les astronomes qui l'ont suivi jusqu'à ces dernières années ; il en a conclu les corrections

M 11 MS PIlOBàBIMT^. ^

tles éléiiiens de leur moiiveinent et leurs masses comparées à celle du Soleil, prise pour unité. Ses calculs lui doiuient la masse de Saturne égale à la 35 1 2^ partie de celle du Soleil, En leur appliquant mes formules de probabilité, je trouve qu'il y a onze mille à parier contre un , que Terre ur de ce résidtat n'est pas un centième de sa valeur, ou , ce qui revient à très peu près au même, qu'après un siècle de nouvelles observations ajoutées aux précédeiites , et discutées de la même manière, le nouveau résultat ne différera pas d'un centième de celui de M. Bouvard. Ce savant astronome trouve encore la iiias>e de Jupiter égale àla 1071® partie du Soleil ; et* ma méthode de probabilité donne un million à parier contre un , que ce résultat n'est pas d'un centième en erreur.

Cette méthode peut être encore appliquée avec succès aux opérations géodésiques. On détermine la longueur d'un grand arc à la surface de la terre, par ime chaîne de triangles qui s'appuient sur une base mesurée avec exactitude. Mais quelque précision que l'on apporte dans la mesure des angles, les erreurs inévitables peuvent, en s' accumulant , écarter sensiblement de la vérité la valeur de Tare que l'on a conclu d'un grand nombre de triangles. On ne connaît donc qu'imparfaitement cette valeur, si l'on ne peut pas as-

lOO ESSAI PHILOSOPHIQUE

signer la prx)babilité que son erreur est comprise dans des limites données. L'erreur d'un résultat géodésique est une fonction des erreurs des angles de chaque triangle. J'ai donné, dans l'ouvrage cité , des formules générales pour avoir la probabilité des valeurs d'une ou de plusieurs fonctions linéaires d'un grand nombre d'erreurs partielles dont on connaît la loi de probabilité; on peut donc , au moyen de ces formules , déterminer la probabilité que l'erreur d'un résultat géodésique est contenue dans des limites assignées , quelle que soit la loi de probabilité des erreurs partielles. Il est d'autant plus nécessaire de se rendre indépendant de cette loi , que les lois même les plus simples sont toujours infiniment peu probables, vu le nombre infini de celles qui peuvent exister dans la nature. Mais la loi inconnue des erreurs partielles introduit dans les formules une indéterminée qui ne permettrait point de les réduire en nombres , si l'on ne pai'venait pas à l'éliminer. On a vu que dans les questions astronomiques où chaque observation fournit une équation de condition pour avoir les élémens , on élimine cette indéterminée au moyen de la somme des carrés des restes , lorsqu'on a substitué dans chaque équation les valeurs les plus probables des élémens. I^s questions géodésiques n'offrant

SUR LES PKOBABILITES. lOI

point de semblables équations , il faut chercher un autre moyen d'élimination. La quantité dont la somme des angles de chaque triangle observa surpasse deux angles droits plus l'excès spliérique, foi MI lit ce moyen. Ainsi Ton remplace par la somme des carrés de ces quantités, la somme des carrés des restes des équations de condition ; et Ton peut assigner en nombres, la probabilité que Terreur du résultat final d'une suite d'opé* rations géodésiques , n'excède pas une quantité donnée. Mais quelle est la manière la plus avantageuse de répartir entre les trois angles de chaque triangle, la somme observée de leurs erreurs? L'analyse des probabilités fait voir que chaque angle doit être diminué du tiers de cette somme, pour que le poids d'un résultat géodésique soit le plus grand qu'il est possible ; ce qui rend une même erreur moins probable. Il y a donc beaucoup d'avantage à observer les trois angles de chaque triangle, et à les corriger comme on vient de le dire. Le simple bon sens fait pressentir cet avantage; mais le calcul des probabilités peut seul l'apprécier et faire voir que par cette correction il devient le plus grand qu'il est possible.

Pour s'assurer de l'exactitude delà valeur d'un grand arc qui s'appuie sur une base mesurée à runt' de ses extrémih s . ••u mesure une seconde

I02 ESSAI PUILOSOPHigUE

base vers l'autre extrémité; et Ton conclut de Tune de ces bases la longueur de l'autre. Si cette longueur s'écarte très peu de l'observation , il y a tout lieu de croire que la chaîne de triangles qui unit ces bases est exacte à fort peu près, ainsi que la valeur du grand arc qui en résulte. On corrige ensuite cette valeur en modifiant les angles des triangles , de manière que les bases calculées s'accordent avec les bases mesurées. Mais cela peut se faire d'une infinité de manières, parmi lesquelles on doit préférer celle dont le résultat géodésique a le plus grand poids , puisque la même erreur devient moins probable. L'analyse des probabilités donne des formules pour avoir directement la correction la plus avantageuse qui résulte des mesures de plusieurs bases et les lois de probabilité que fait naître la multiplicité des bases, lois qui deviennent plus rapidement décroissantes par cette multiplicité.

Généralement , les erreurs des résultats déduits d'un grand nombre d'observations sont des fonctions linéaires des erreurs partielles de chaque observation. Les coefficiens de ceS fonctions dépendent de la nature du problème et du procédé suivi pour obtenir les résultats. Le procédé le plus avantageux est évidemment celui dans lequel une même erreur dans les résultats, est

SUR LES PROBABILITÉS. lo'^

moins probable que suivant tout autre procédé. L'application du Calcul des probabilités à la Philosophie naturelle, consiste donc à déterminer analytiquement la probabilité de* valeurs de ces fonctions , et à choisir leurs coefficiens indéterminés , de manière que la loi de cette probabilité soit le plus rapidement décroissante. En éliminant ensuite des formules, par les données de la question , le facteur qu'introduit la loi presque toujours inconnue de la probabilité des erreurs partielles, on pourra évaluer numériquement la probabilité que les erreurs des résultats n'excèdent pas une quantité donnée. On aura ainsi tout ce que Ton peut désirer touchant les résultats déduits d'un grand nombre d'observations.

On peut encore obtenir des résultats fort approchés, par d'autres considérations. Supposons, par exemple , que l'on ait mille et une observations d'une même grandeur : la moyenne arithmétique de toutes ces observations est le résultat donné par la méthode la plus avantageuse. Mais on pourrait choisir le résultat d'après la condition que la somme de ses écarts de chaque valeur partielle, pris tous positivement, soit un minimum. 11 paraît, en effet, naturel de regarder comme très approché le résultat qui satisfait à cette coq-

Io4 ESSAI PHILOSOPHIQUE

dition. Il est facile de voir que si Ton dispose les valeurs données par les observations , suivant l'ordre de grandeur, la valeur qui occupera le milieu remplira la condition précédente, et le calcul fait voir que dans le cas d'un nombre infini d'observations , elle coïnciderait avec la vérité ; mais le résultat donné par la méthode la plus avantageuse est encore préférable.

On voit par ce qui précède , que la théorie des probabilités ne laisse rien d'arbitraire dans la manière de répartir les erreurs des observations ; ' elle donne , pour cette répartition , les formules les plus avantageuses , ou qui diminuent le plus qu'il est possible Jes erreurs à craindre sur les résultats.

La considération des probabilités peut servir à démêler les petites inégalités des mouvemens célestes enveloppées dans les erreurs des observations , et à remonter à la cause des anomalies observées dans ces mouvemens. Ce fut en comparant entre elles toutes ses observations , que Ticho-Brahé reconnut la nécessité d'appliquer à la Lune une équation du temps différente de celle que l'on appliquait au Soleil et aux planètes. Ce fut pareillement l'ensemble d'un grand nombre d'observations , qui fit connaître à Mayer que le coefficient de l'inégalité de la précession

SUR LES PnOBABlLlTtS. lo5

<lo!t être lui peu diminué pour la Lune. Mais comme cette diminution , quoique confirmée et même augmentée par Mason, ne paraissait pas résulter de la gravitation universelle, la plupart des astronomes la négligèrent dans leurs calculs. Ayant soumis au calcul des probabilités un nombre considérable d'observations lunaires, choisies dans cette vue , et que M. Bouvard voulut bien discuter à ma prière , elle me parut indiquée avec une probabilité si forte, que je crus devoir en rechercher la cause. Je vis bientôt qu'elle ne pouvait être que Tellipticité du sphéroïde terrestre , négligée jusque alors dans la théorie du mouvement limaire , comme ne devant y produire que des termes insensibles. J'en conclus que ces termes deviennent sensibles parles intégrations successives des équations différentielles. Jedéter minai donc ces termes par une analyse particulière, et je découvris d'abord l'inégalité du mouvement lunaire en latitude, qui est proportionnelle au sinus de la longitude de la Lune, et qu'aucun astronome n'avait encore soupçonnée. Je reconnus ensuite , au moyen de cette inégalité , qu'il en existe une autre dans le mouvement lunaire en longitude , qui produit la diminution observée par Mayer dans l'équation de la précession applicable à la Lune. I^a quantité de cette diminution ,

lo6 ESSAI PHILOSOPHIQUE

et le coefficient de l'inégalité précédente en latitude sont très propres à fixer l'aplatissement de la Terre. Ayant fait part de mes recherches à M. Burg, qui s'occupait alors à perfectionner les tables de la Lune , par la comparaison de toutes les bonnes observations , je le priai de déterminer avec un soin particulier ces deux quantités. Par un accord très remarquable , les valeurs qu'il a trouvées donnent à la Terre le même aplatissement 3^ , aplatissement qui diffère peu du milieu (Conclu des mesures des degrés du méridien et du pendule ; mais qui, vu l'influence des erreurs des observations et des causes perturbatrices sur ces mesures , me paraît plus exactement déterminé par ces inégalités lunaires.

Ce fut encore par la considération des probabilités que je reconnus la cause de l'équation séculaire de la Lune. Les observations modernes de cet astre , comparées aux anciennes éclipses , avaient indiqué aux astronomes une accélération dans le mouvement lunaire ; mais les géomètres ^ et particulièrement Lagrange, ayant inutilement cherché dans les perturbations que ce mouvement éprouve , les termes dont cette accélération dé- [>end , ils la rejetèrent. Un examen attentif des observations anciennes et modernes y et des éclipse* intermédiaires observées par les Arabes , me

fit voir qu'elle était indiquée avec une grande probabilité. Je repris alors sous ce point de vue la théorie lunaire, et je reconnus que l'équation séculaire de la Lune est due à l'action du Soleil sur c( sah'llite, combinée avec la variation séculaire de l'excentricité de l'orbe terrestre ; ce qui me fit découvrir les équations séculaires des mouvemens des nœuds et du périgée de l'orbite lunaire, équations qui n'avaient pas même été soupçonnées par les astronomes. L'accord très remarquable de cette théorie avec toutes les observations anciennes et modernes , Ta portée au plus haut degré d'évidence.

Le calcul des probabilités m'a conduit pareillement à la cause des grandes irrégularités de Jupiter et de Saturne. En comf>arant les observations modernes aux anciennes , Halley trouva une accélération dans le mouvement de Jupiter, et un ralentissement dans celui de Saturne. Pour concilier les observations, il assujétit ces mouvemens à deux équations séculaires de signes contraires, et croissantes comme les carrés des temps écoulés depuis 1700. Euler et Lagrange soumirent à l'Analyse les altérations que devait produire dans ces mouvemens l'attraction mu^ tuelle des deux planètes. Ils y trouvèrent des équations séculaires; mais leurs résidtats étaient

Io8 ESSAI PHILOSOPHIQUE

si différens, que l'un d'eux au moins devait être erroné. Je me déterminai donc à reprendre ce problème important de la Mécanique célestOy et je reconnus l'invariabilité des moyens mouvemens planétaires ; ce qui fit disparaître les équations séculaires introduites par Halley dans les tables de Jupiter et de Saturne. Il ne restait ainsi , pour expliquer les grandes irrégularités de ces planètes , que les attractions des comètes auxquelles plusieurs astronomes eurent effectivement recours , ou l'existence d'une inégalité à longue période, produite dans les mouvemens des deux planètes par leur action réciproque , et affectée de signes contraires pour chacune d'elles. Un théorème que je trouvai sur les inégalités de ce genre , me rendit cette inégalité très vraisemblable. Suivant ce théorème, si le mouvement de Jupiter s'accélère , celui de Saturne se ralentit, ce qui est déjà conforme à ce que Halley avait remarqué : de plus, l'accélération de Jupiter, résultante du même théorème , est au ralentissement de Saturne à très peu près dans le rapport des équations séculaires proposées par Halley. En considérant les moyens mouvemens de Jupiter et de Saturne , il me fut aisé de reconnaître que deux fois celui de Jupiter ne diffère que d'une très petite quantité de cinq fois celui de Saturne.

La période criine inégalité qui aurait pour argument cette différence, serait d'environ neuf siècles. A la vérité , son coefficient serait de Tordre des cubes des excentricités des orbites; mais je savais qu'en vertu des intégrations successives , il acquiert pour diviseur le carré du très petit multiplicateur du temps dans l'argument de cette inégalité , ce qui peut lui donner une grande valeur : l'existence de cette inégalité me parut donc trè probable. La remarque suivante accrut encore sa probabilité. En supposant son argument nul , vers l'époque des observations de Ticho-Brahé , je vis que Halley avait dû trouver par la comparaison des observations modernes aux anciennes les altérations qu'il avait indiquées ; tandis que la comparaison des observations modernes entre elles devait offrir des altérations contraires et pareilles à celles que Lambert avait conclues de cette comparaison. Je n'hésitai donc point à entreprendre le calcul long et pénible , nécessaire pour m'assurer de l'existence de cette inégalité. Elle fiit entièrement confirmée par le résultat de ce calcul qui , de plus , me fit connaître un grand nombre d'autres inégalités dont l'ensemble a porté les tables de Jupiter et de Saturne à la précision des observations mêmes.

Ce fut encore au moyen <lii calcul des proba-

I lO E^Al PHILOSOPHIQUE

bilités que je reconnus la loi remarquable des mouvemens moyens des trois premiers satellites de Jupiter, suivant laquelle la longitude moyenne du premier, moins trois fois celle du second , plus deux fois celle du troisième , est rigoureusement égale à la demi-circonférence. L'approximation avec laquelle les moyens mouvemens de ces astres satisfont à cette loi depuis leur découverte, mdiquait son existence avec une vraisemblance extrême ; j'en cherchai donc la cause dans leur action mutuelle. L'examen approfondi de cette action me fit voir qu'il a suffi qu'à l'origine les rapports de leurs moyens mouvemens aient approché de cette loi , dans certaines limites , pour que leur action mutuelle l'ait établie et la maintienne en rigueur. Ainsi ces trois corps se balanceront éternellement dans l'espace, suivant la loi précédente, à moins que des causes étrangères, telles que les comètes, ne viennent chauger brusquement leurs mouvemens autour de Jupiter.

On voit par là combien il faut être attentif aux indications de la nature , lorsqu'elles sont le résultat d'un grand nombre d'observations, quoique d'ailleurs elles soient inexplicables par les moyens connus. L'extrême difficulté des problèmes relatifs au système du inonde a forcé les géomètres de recourir à des approximations qui laissent

SIR LES PROBABILITKS. Ml

toujours a craindre que les quantités négligées n'aient une influence sensible. Ix)rsqu'ils ont été avertis de cette influence par les observations, ils sont revenus sur leur analyse : en la rectifiant, ils ont toujours retrouvé la cause des anomalies observées; ils en ont déterminé les lois, et souvent ils ont devancé l'observation en découvrant des inégalités qu'elle n'avait pas encore indiquées. Ainsi Ton peut dire que la nature ellemême a concouru à la perfection analytique des théories fondées sur le principe de la pesanteur universelle; et c'est, à mon sens, une des plus fortes preuves de la vérité de ce principe admirable.

Dans les cas que je viens de considérer, la solution analytique des questions a converti la probabilité des causes en certitude. Mais le plus souvent cette solution est impossible , et il ne reste qu'à augmenter de plus en plus cette probabilité. Au milieu des nombreuses et incalculables modifications que l'action des causes reçoit alors des circonstances étrangères , ces causes conservent toujours , avec les effets observés , des rapports propres à les faire reconnaître et à vérifier leur existence. En déterminant ces rapports et en les comparant avec un grand nombre d'observations , si l'on trouve qu'ils y satisfont cons-

Ml ESSAI PHILOSOPHIQUE

taiinneiit, la probabilité des causes pourra s'en accroître au point d'égaler celle des faits sur lesquels on ne se permet aucun doute. La recherche de ces rapports des causes à leurs effets , n'est pas moins utile dans la philosophie naturelle que la solution directe des problèmes , soit pour vérifier la réalité de ces causes , soit pour déterminer les lois de leurs effets : pouvant être employée dans un grand nombre de questions dont la solution directe n'est pas possible, elle la remplace de la manière la plus avantageuse. Je vais exposer ici l'application que j'en ai faite à l'un des plus intéressans phénomènes de la nature, au flux et au reflux de la mer.

Pline le naturaliste a donné de ce phénomène une description remarquable par son exactitude, et dans laquelle on voit que les anciens avaient observé que les marées de chaque mois sont les plus grandes vers les syzygies , et les plus petites vers les quadratures ; qu'elles sont plus hautes dans le périgée que dans l'apogée de la Lune, et dans les équinoxes que dans les solstices. Ils en avaient conclu que ce phénomène est dû à l'action du Soleil et de la Lune sur la mer. Dans la préface de son ouvrage De Stella Mardis y KtV pler admit une tendance des eaux de la mer vers la Lune; mais, ignorant la loi de cette tendance,

SUR LES PRORABILITKS. Il3

il ne put donner sur k i objet qu'un aperçu viaiseniblable. Newton convertit en certitude la |)robabilité de cet aperçu , en le rattachant à son grand principe de la pesanteur universelle. Il donna l'expression exacte des forces attractives qui produisent le flux et le reflux de la mer ; et pour en déterminer les eflfets , il supposa que la mer prend à chaque instant la figure d'équilibre qui convient à ces forces. Il expliqua de cette manière les principaux phénomènes des marées; mais il suivait de cette théorie que dans nos ports les deux marées du même jour seraient fort inégales lorsque le Soleil et le Lune auraient une grande déclinaison. A Brest, par exemple, la marée du soir serait dans les syzygies des solstices environ huit fois plus grande que la marée du matin; ce qui est entièrement contraire aux observations qui prouvent que ces deux marées sont à fort peu près égales. Ce résidtat de la théorie newtonienne pouvait tenir à la supposition que la mer parvient à chaque instant à la figure d'équilibre, supposition qui n'est pas admissible. Mais la recherche de la vraie figure de la mer présentait de grandes difficultés. Aidé par les découvertes que les géomètres venaient de faire sur la théorie du mouvement des fluides et sur le calcul aux diff*érences partielles , j'entrepris cette