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recherche, et je donnai les équations différentielles du mouvement de la mer, en supposant qu'elle recouvre la terre entière. En me rapprochant ainsi de la nature , j'eus la satisfaction de voir que mes résultats se rapprochaient des observations, surtout à l'égard du peu de différence qui existe dans nos ports , entre les deux marées syzygies solsticiales d'un même jour. Je trouvai qu'elles seraient égales, si la mer avait partout la même profondeur; je trouvai encore qu'en donnant à cette profondeur des valeurs convenables , on pouvait augmenter la hauteur des marées dans un port conformément aux observations. Mais ces recherches, malgré leur généralité, ne satisfaisaient point aux grandes différences que prc^entent , à cet égard , des ports même très voisins , et qui prouvent l'influence des circonstances locales. Tj'impossibilité de connaître ces circonstances et l'irrégularité du bassin des mers, et celle d'intégrer les équations aux différences partielles qui y sont relatives m'a forcé d'y suppléer par la méthode que j'ai ci-dessus indiquée. J'ai donc cherché à déterminer le plus de rapports qu'il est possible entre les forces qui sollicitent toutes les molécules de la mer et leurs effets observables dans nos ports. Pour cela , j'ai fait usage du

SI'R LFS PROBMJIl ITIS. Il5

pniiciju* suivant , qui peut s'appliquer à beaucoup d'autres phénomènes.

(( L'état d'un système de corps, dans lequel les ') conditions primitives du mouvement ont disparu par les résistances que ce mouvement » éprouve , est périodique comme les forces qui » l'animent. »

En combinant ce phncipe avec celui de la coexistence des oscillations très petites, je suis parvenu à une expression de la hauteur des marées, dont les arbitraires comprennent l'effet des circonstances locales de chaque port , et sont réduites au plus petit nombre possible : il ne s'agissait plus que de la comparer à un grand nombre d'observations.

Sur l'invitation de l'Académie des Sciences^ on fit à Brest, au commencement du dernier siècle, des observations des marées , qui furent continuées pendant les six années consécutives. La situation de ce port est très favorable à ce genre d'observations : il communique avec la mer, par un canal qui aboutit à une rade fort vaste , au fond de laquelle le port a été construit. I^es irrégularités de la mer parviennent ainsi dans ce port très affaiblies , à peu près comme les oscillations que le mouvement irrégulier d'un vaisseau produit dans le baromètre, sont atténuées

Il6 ESSAI PHILOSOPHIQUE

par un étranglement fait an tube de cet instrti* ment. D'ailleurs , les marées étant considérables à Brest , les variations accidentelles causées par les vents n'en sont qu'une faible partie : aussi Ton remarque dans les observations de ces marées , pour peu qu'on les multiplie , une grande régularité qui me fit proposer au gouvernement d'ordonner, dans ce port, une nouvelle suite d'observations des marées , continuée pendant une période du mouvement des nœuds de l'orbite lunaire. C'est ce que l'on a entrepris. Ces observations datent du i^'^juin de l'année 1806; et depuis cette époque elles ont été faites , chaque jour, sans interruption. Je dois au zèle infatigable de M. Bouvard , pour tout ce qui intéresse l'astronomie , les calculs immenses que la comparaison de mon analyse avec les observations a exigés. Il y a employé près de six mille observations faites pendant l'année 1 807 et les quinze années suivantes. Il résulte de cette comparaison, que mes formules représentent avec une précision remarquable toutes les variétés des marées relatives à l'élongation de la Lune au Soleil, aux déclinaisons de ces astres , à leurs distances à la Terre et aux lois de variation près du maximum et du minimum de chacun de ces élémens. Il résulte de cet accord une probabiHté que le flux

SUR LES PROBADlLlTlilS. II7

t*r le reflux de la mer est du à Taltraction du Soleil et de \i\ 1 jine, si approchante de la certitude, qu'elle ne doit laisser lieu à aucun doute raisonnable. Elle se change en certitude quand on considère que cette attraction dérive de la loi de la pesanteur universelle démontrée par tous les phénomènes célestes.

L'action de la Lune sur la mer est plus que double de celle du Soleil. Newton et ses successeurs n'avaient eu égard , dans le développement de cette action , qu'aux termes divisés par le cube delà distance de la Lune à la Terre, jugeant que les effets dus aux termes suivans devaient être insensibles. Mais le calcul des probabilités fait voir que les plus petits effets des causes régulières peuvent se manifester dans les résultats d'un très grand nombre d'observations disposées dans l'ordre le plus propre à les indiquer. Ce calcul détermine encore leur probabilité , et jusqu'à quel point il faut multiplier les observations pour la rendre fort i;rande. En l'appliquant aux nombreuses ol)s(M\, liions discutées par M. Bouvard , j'ai reconnu qu'à Brest l'action de la Lime sur la mer est plus grande dans les pleines lunes que dans les nouvelles lunes, et lorsque la Lune est australe, que loi-squ'elle est boréale, phénomènes qui ne peuvent résidter que des termes de Faction lu-

Il 8 ESSAI PHILOSOPHIQUE

naire , divisés par la quatrième puissance de la distance de la Lune à la Terre.

Pour arriver à l'Océan, l'action du Soleil et de la Lune traverse l'atmosphère qui doit par conséquent en éprouver l'influence, et être assujétie à des mouvemens semblables à ceux de la mer. Ces mouvemens produisent dans le baromètre des oscillations périodiques. L'analyse m'a fait voir qu'elles sont insensibles dans nos climats. Mais comme les circonstances locales accroissent considérablement les marées dans nos ports , j'ai recherché si des circonstances pareilles ont rendu sensibles ces oscillations du baromètre. Pour cela , j'ai fait usage des observations météorologiques que l'on fait, chaque jour, depuis plusieurs années, à l'Observatoire royal. Les hauteurs du baromètre et du thermomètre y sont observées à neuf heures du matin, à midi, à trois heures et à onze heures du soir. M. Bouvard a bien voulu relever sur ses registres les observations des huit années écoulées depuis le i*' octobre i8i5 jusqu'au i®*" octobre iSaS. En disposant ces observations de la manière la plus propre à indiquer le flux lunaire atmosphérique à Paris , je ne trouve qu'un dixhuitième de millimètre pour l'étendue de l'oscillation correspondante du baromètre. C'est ici , surtout , que se fait sentir la nécessité d'une mé-

SVB LES PROBABILITÉS. 1 (Ç)

il iode pour déterminer la probabilité d'un résultat , méthode sans laquelle on est exposé à présenter connue lois de la nature les effets des causes irrégulières ; ce qui est arrivé souvent en Météorologie. Cette méthode appliquée au résultat précédent en montre l'incertitude, malgré le grand nombre d'observations employées , qu'il faudrait décupler pour obtenir un résultat suffisamment probable.

Le principe qui sert de base à ma théorie di s marées, peut s'étendre à tous les effets du hasard auquel se joignent des causes variables suivant des lois régulières. L'action de ces causes produit dans les résultats moyens d'un grand nombre d'effets , des variétés qui suiveiU les méiues lois , et que l'on peut reconnaître par l'analyste des probabilités. A mesure que les effets se multiplient, ces variétés se manifestent avec une probabihté toujours croissante, qui se confondrait avec la certitude , si le nombre de ces effets devenait infini. Ce théorème est analogue à celui que j'ai développé précédemment sur l'action des causes constantes. Toutes les fois donc qu'uiw; causeront la marclie est régiUière peut influer sur un gein^e d'évènemeas, nous pouvons chercher à reconnaître son influence , en nmltiphant les observations et en les disposant dans l'ordqe

le plus propre à l'indiquer. Quand cette influence paraît se manifester^ l'analyse des probabilités détermine la probabilité de son existence et celle de son intensité. Ainsi la variation de la température du jour à la nuit , pouvant modifier la pression de l'atmosphère , et par conséquent les hauteurs du baromètre ^ il est naturel de penser que des observations multipliées de ces hauteurs doivent manifester l'influence de la chaleur solaire. En effet, on a reconnu depuis long-temps à l'équateur, où cette influence paraît être la plus grande , une petite variation diurne dans la hauteur du baromètre , dont le maximum a lieu vers neuf heures du matin , et le minimum vers trois heures du soir. Un second maximum a lieu vers onze heures du soir, et le second minimum vers quatre heures du matin. Les oscillations de la nuit sont moindres que celles du jour, dont Tétendue est d'environ deux millimètres. L'inconstance de nos climats n'a point dérobé cette variation à nos observateurs , quoiqu'elle y soit moins sensible qu'entre les tropiques. M. Ramond l'a reconnue et déterminée à Clermont, chef-lieu du département du Puy-de-Dôme , par une suite d'observations précises , faites pendant plusieurs années; il a même trouvé qu'elle est plus petite dans les mois d'hiver que dans les

SUR LES PROBABILITÉS. Jll

autres mois. Les noiiihreuses observations que j'ai discutées pour reconnaître l'influence des attractions du Soleil et de la Lune sur les hauteurs barométriques à Paris , m'ont servi à déterminer leur variation diurne. En comparant les hauteurs de neuf hein^es du matin à celles des mêmes jours à trois heures du soir, cette variation s'y manifeste avec une telle évidence , que sa valeur moyenne de chaque mois a été constamment positive pour chacun des 72 mois écoulés depuis le i" janvier 181 7 jusqu'au i®"" janvier 1823 : sa valeur moyenne dans ces 7 a mois a été , à fort peu près , huit dixièmes de millimètre , un peu plus petite qu'à Clermont, et beaucoup moindre qu'à l'équateur. J'ai reconnu que le résultat moyen des variations diurnes du baromètre , de • neuf heures du matin à trois heures du soir , n'a été que de o^,5l^iS dans les trois mois de novembre, décembre et janvier, et qu'il s'est élevé à i™,o563 dans les trois mois suivans; ce qui coïncide avec les observations de M. Ramond. Les autres mois ne m'ont offert rien de semblable.

Pour appliquer à ce phénomène le calcul des probabilités, j'ai commencé par déterminer la loi de probabilité des anomalies de la variation diurne, dues au hasard. En l'appliquant ensuite

ï^î» ESSAI PHILOSOPHIQUE

aux observations de ce phénomène , j'ai trouvé qu'il y a plus de trois cent mille à parier contre un, qu'une cause régulière le produit. Je ne cherche point à déterminer cette cause : je me borne à constater son existence. La période de la variation diurne , réglée sur le jour solaire , indique évidemment que cette variation est due à l'action du Soleil. L'extrême petitesse de l'action attractive du Soleil sur l'atmosphère, est prouvée par la petitesse des effets dus aux attractions réunies du Soleil et de la Lune. C'est donc par l'action de sa chaleur que le Soleil produit la variation diurne du baromètre ; mais il est impossible de soumettre au calcul les effets de cette action stu* la hauteur du baromètre et sur les vents.

La variation diurne de l'aiguille aimantée est certainement un effet de l'action du Soleil. Mais cet astre agit-il ici comme dans la variation diurne du baromètre , par sa chaleur ou par influence sur l'électricité et sur le magnétisme, ou enfin par la réunion de ces influences? C'est ce qu'une longue suite d'observations faites dans divers pays pourra nous apprendre.

L'un des phénomènes les plus remarquables du système du monde est celui de tous les mouvemens de rotation et de révolution des planètes et des satellites, dans le sens de la rotation du

SUR LES PRODABILITéS. 1^3

Soleil , et à peu près dans le plan de son équareiir. Un phénomène aussi remarquable n'est |)oint l'effet du hasard : il indique une cause générale qui a déterminé tous ses mouvemens. Pour avoir la probabilité avec laquelle cette cause est indiquée, nous observerons que le système planétaire, tel que nous le connaissons aujourd'hui, est composé d'onze planètes et de dix-huit satellites , du moins si Ton attribue avec Herschel six satellites à la planète Uranus. On a reconnu les mouvemens de rotation du Soleil, de six planètes, de la Lune, des satellites de Jupiter, de l'anneau de Saturne et d'un de ses satellites. Ces mouvemens forment, avec ceux de révolution, un ensemble de quarante-trois mouvemens dirigés dans le même sens; or on trouve, par l'analyse des probabilités , qu'il y a plus de quatre mille milliards à parier contre un , que cette disposition n'est pas l'effet du hasard ; ce qui forme une probabilité bien supérieure à celle des évènemens historiques sur lesquels on ne se permet aucun doute. Nous devons donc croire, au moins avec la même confiance, qu'une cause primitive a dirigé les mouvemens planétaires , surtout si nous considérons que l'inclinaison du plus grand nombre de ces mouvemens à l'équattMu M>laire est fort petite.

124 ESSAI }Mm OSOPIIIQIJE

Un autre phénomène également remarquable du système solaire est le peu d'excentricité des orbes des planètes et des satellites , tandis que ceux des comètes sont très allongés, les orbes de ce système n'offrant point de nuances intermédiaires entre une grande et une petite excentricité. Nous sommes encore forcés de reconnaître ici l'effet d'une cause régulière : le hasard n'eût point donné une forme presque circulaire aux orbes de toutes les planètes et de leurs satellites; il est donc nécessaire que la cause qui a déterminé les mouvemens de ces corps , les ait rendus presque circulaires. Il faut encore que les grandes excentricités des orbes des comètes résultent de l'existence de cette cause , sans qu'elle ait influé sur les directions de leurs mouvemens ; car on trouve qu'il y a presque autant de comètes rétrogrades , que de comètes directes , et que l'inclinaison moyenne de tous leurs orbes à l'écliptique , approche très près d'un demi-angle droit , comme cela doit être, si ces corps ont été lancés au hasard.

Quelle que soit la nature de la cause dont il s'agit , puisqu'elle a produit ou dirigé les mouvemens des planètes , il faut qu'elle ait embrassé tous ces corps, et vu les distances qui les séparent, elle ne peut avoir été qu'un fluide d'une

immense étendue : pour leur avoir donné dans \c même ^ns un mouvement presque circulaire autour du Soleil, il faut que ce fluide ait environné cet astre comme une atmosphère. La considération des mouvemens planétaires nous conduit donc à penser qu'en vertu d'une chaleur excessive l'atmosphère du Soleil s'est primitivement étendue au-delà des orbes de toutes les planètes, et qu'elle s'est resserrée successivement jusqu'à ses limites actuelles.

Dans l'état primitif qù nous supposons le Soleil , il ressemblait aux nébuleuses que le télescope nous montre composées d'un noyau plus ou moins brillant, entouré d'une nébulosité qui, en se condensant à la surface du noyau , doit le transformer un jour en étoile. Si l'on conçoit par analogie toutes les étoiles formées de cette manière , on peut imaginer leur état antérieur de nébulosité , précédé lui-même par d'autres états dans lesquels la matière nébuleuse était de plus en plus diffuse, le noyau étant de moins en moins lumineux et dense. On arrive ainsi , en remontant aussi loin qu'il est possible, à une nébulosité tellement diffuse , que l'on pourrait à peine en soupçonner l'existence.

Tel est, en effet, le premier état des nébuleuses que Herschel a observées avec un soin

particulier, an moyen de ses puissans télescopes^ et dans lesquelles il a suivi les progrès de la condensation , non sur une seule , ces progrès ne pouvant devenir sensibles pour nous qu'après des siècles , mais sur leur ensemble , à peu près comme on peut, dans une vaste foret, suivre l'accroissement des arbres , sur les individus de divers âges qu'elle renferme. Il a d'abord observé la matière nébuleuse répandue en amas divers dans les différentes parties du ciel dont elle occupe une grande étendue. Il a vu dans quelques-uns de ces amas , cette matière faiblement condensée autour d'un ou de plusieurs noyaux peu brillans. Dans d'autres nébuleuses, ces noyaux brillent davantage relativement à la nébulosité qui les environne. Les atmosphères de chaque noyau venant à se séparer par une condensation ultérieure , il en résulte des nébuleuses multiples formées de noyaux brillans très voisins et environnés chacun d'une atmosphère : quelquefois, la matière nébuleuse , en se condensant d'une manière uniforme , a produit les nébuleuses que l'on nomme planétaires. Enfin , im plus grand degré de condensation transforme toutes ces nébuleuses en étoiles. Les nébuleuses classées d'après cette vue philosophique, indiquent avec une extrême vraisemblance leur transformation future en étoi-

SUR LES PROBABILITÉS. l'^'J

les, et Tétat antérieur de nébulosité des étoiles existantes. Les considérations suivantes viennent à Tappui des preuves tirées de ces analogies.

Depuis long-temps, la disposition particulière de quelques étoiles visibles à la vue simple a frappé des observateurs philosophes. Mitchel a déjà remarqué combien il est peu probable que les étoiles des Pléiades , par exemple , aient été resserrées dans l'espace étroit qui les renferme , par les seules chances du hasard ; et il en a conclu que ce groupe d'étoiles et les groupes semblables que le ciel nous présente, sont les effets d'une cause primitive ou d'une loi générale de la nature. Ces groupes sont un résultat nécessaire de la condensation des nébuleuses à plusieurs noyaux; car il est visible que la matière nébuleuse étant sans cesse attirée par ces noyaux divers, ils doivent former à la longue un groupe d'étoiles pareil à celui des Pléiades. La condensation des nébuleuses à deux noyaux forme semblablement des étoiles très rapprochées , tournant l'une autour de l'autre, pareilles à celles dont Herschel a déjà considéré les mouvemens respectifs. Telles sont encore la soixante-unième du Cygne et sa suivante , dans lesquelles Bessel vient de reconnaître des mouvemens propres, si considérables et si peu différons, que la proximité de ces astres

128 ESSAI J>inr.()SOPHIQl]l'

entre eux, et leur mouvement autour de leur centre commun de gravité , ne doivent laisser aucun doute. Ainsi , l'on descend par les progrès de condensation delà matière nébuleuse à la considération du Soleil environné autrefois d'une vaste atmosphère, considération à laquelle on remonte, comme on l'a vu , par l'examen des phénomènes du système solaire. Une rencontre aussi remarquable donne à l'existence de cet état antérieur du Soleil une probabilité fort approchante de la certitude.

Mais comment l'atmosphère solaire a- 1 -elle déterminé les mouvemens de rotation et de révolution des planètes et des satellites? Si ces corps avaient pénétré profondément dans cette atmosphère , sa résistance les aurait fait tomber sur le Soleil ; on est donc conduit à croire avec beaucoup de vraisemblance que les planètes ont été formées aux limites successives de l'atmosphère solaire qui , en se resserrant par le refroidissement , a dû abandonner dans le plan de son équateur des zones de vapeurs que l'attraction mutuelle de leurs molécules a changées en divers sphéroïdes. Les satellites ont été pareillement formés par les atmosphères de leurs planètes respectives.

J'ai développé avec étendue, dans mon Expo-

sition du Sjrstème du monde, cette hypothèse qui me paraît satisfaire à tous les phénomènes que ce système nous présente. Je me bornerai ici à considérer que la vitesse angulaire de rotation du Soleil et des planètes s'étant accélérée par la condensation successive de leurs atmosphères à leurs surfaces, elle doit surpasser la vitesse angulaire de révolution des corps les plus voisins qui circulent autour d'eux. C'est, en effet, ce que l'observation confirme à l'égard des planètes et des satellites, et même par rapport à l'anneau de Saturne dont la durée de révolution est 0^,438, tandis que la durée de rotation de Saturne est 0^,427.

Dans cette hypothèse , les comètes sont étrangères au système planétaire. En attachant leur formation à celle des nébuleuses, on peut les regarder comme de petites nébuleuses à noyaux , errantes de systèmes en systèmes solaires, et formées par la condensation de la matière nébuleuse répandue avec tant de profusion dans l'univers. Les comètes seraient ainsi par rapport à notre système , ce que les aérolithes sont relativement à la Terre , à laquelle ils paraissent étrangers. Lorsque ces astres deviennent visibles pour nous , ils offrent une ressemblance si parfaite avec les nébuleuses, qu'on les confond souvent avec elles;

l3o ESSAI PHILOSOPHIQUE

et ce n'est cfiie par leur mouvement , ou par la connaissance de toutes les nébuleuses renfermées dans la partie du ciel où ils se montrent , qu'on parvient à les en distinguer. Cette supposition explique d'une manière heureuse la grande extension que prennent les têtes et les queues des comètes à mesure qu'elles approchent du Soleil , et l'extrême rareté de ces queues qui, malgré leur immense profondeur, n'affaiblissent point sensiblement l'éclat des étoiles que l'on voit à travers.

Lorsque de petites nébuleuses parviennent dans la partie de l'espace où l'attraction du Soleil est prédominante, et que nous nommerons sphère ctactwité de cet astre , il les force à décrire des orbes elliptiques ou hyperboliques. Mais leur vitesse étant également possible suivant toutes les directions , elles doivent se mouvoir indifféremment dans tous les sens et sous toutes les inclinaisons à l'écliptique ; ce qui est conforme à ce que l'on observe.

La grande excentricité des orbes cométaires résulte encore de l'hypothèse précédente. En effet, si ces orbes sont elliptiques, ils sont très allongés, puisque leurs grands axes sont au moins égaux au rayon de la sphère d'activité du Soleil. Mais ces orbes peuvent être hyperboliques ; et si les

SUR LES PROBABILITES. l3l

axes clé ces hyperboles ne sont pas très grands par rapport à la moyenne distance du Soleil à la Terre , le mouvement de^ comètes qui les décrivent paraîtra sensiblement hyperbolique. Cependant sur cent comètes dont on a déjà les élémens , aucune n'a paru certainement se mouvoir dans une hyperbole ; il faut donc que les chances qui donnent une hyperbole sensible , soient extrêmement rares par rapport aux chances contraires.

Les comètes sont si petites, que pour devenir visibles , leur distance périhélie doit être peu considérable. Jusqu'à présent cette distance n'a surpassé que deux fois le diamètre de l'orbe terrestre, et le plus souvent elle a été au-dessous du rayon de cet orbe. On conçoit que pour approcher si près du Soleil , leur vitesse , au moment de leur entrée dans sa ^hère d'activité, doit avoir une grandeur et une direction comprises dans d'étroites limites. En déterminant par l'analyse des probabilités le rapport des chances qui, dans ces limites, donnent une hyperbole sensible aux chances qui donnent un orbe que l'on puisse confondre avec une parabole , j'ai trouvé qu'il y a six mille au moins à parier contre l'unité, qu'ime nébuleuse qui pénètre dans la sphère d'activité du Soleil, de manière à pouvoir

l32 ESSAI PHILOSOPHIQUE

être observée, décrira ou une ellipse très allongée^ ou une hyperbole qui, par la grandeur de son axe, se confondra sensiblement avec une parabole dans la partie que Ton observe ; il n'est donc pas surprenant que jusqu'ici Ton n'ait point reconnu de mouvemens hyperboliques.

L'attraction des planètes, et peut-être encore la résistance des milieux éthérés , a dû changer plusieurs orbes cométaires dans des ellipses dont le grand axe est moindre que le rayon de la sphère d'activité du Soleil ; ce qui augmente les chances des orbes elliptiques. On peut croire que ce changement a eu lieu pour la comète de 1 759 , et pour la comète dont la période n'est que de douze cents jours , et qui reparaîtra sans cesse dans ce court intervalle , à moins que l'évaporation qu'elle éprouve à chacun de ses retours au périhélie ne finisse par la rendre invisible.

On peut encore, par l'analyse des probabilités, vérifier l'existence ou l'influence de certaines causes dont on a cru remarquer l'action sur les êtres organisés. De tous les instrumens que nous pouvons employer pour connaître les agens imperceptibles de la nature , les plus sensibles sont les nerfs , surtout lorsque des causes particulières exaltent leur sensibilité. C'est par leur moyen qu'on a découvert la faible électricité que déve-

SUR LKS PUOBABILITÉS. l33

loppe le contact de deux métaux hétérogènes; ce qui a ouvert un champ vaste aux recherches des physiciens et des chimistes. I^es phénomènes singuHere qui résuUent de l'extrême sensibilité des nerfs dans quelques individus, ont donné naissance à diverses opinions sur l'existence d'im nouvel agent que l'on a nommé magnétisme animal^ sur l'action du magnétisme ordinaire, et sur l'influence du Soleil et de la Lune dans quelques affections nerveuses; enfin sur les impressions que peut faire éprouver la proximité des métaux ou d'une eau courante. Il est naturel de penser que l'action de ces causes est très faible , et qu'elle peut être facilement troublée par des circonstances accidentelles; ainsi, parce que dans quelques cas elle ne s'est point manifestée , on ne doit pas rejeter son existence. Nous sommes si loin de connaître tous les agens de la nature et leurs divers modes d'action, qu'il serait peu philosophique de nier les phénomènes , uniquement parce qu'ils sont inexplicables dans l'état actuel de nos connaissances. Seulement, nous devons les examiner avec une attention d'autant plus scrupuleuse , qu'il paraît plus difficile de les admettre; et c'est ici que le calcul des probabilités devient indispensable , pour déterminer jusqu'à quel point il faut mul-

l34 ESSAI PHILOSOPHIQUE

tiplier les observations ou les expériences , afin d'obtenir en faveur des agens qu'elles indiquent, une probabilité supérieure aux raisons que l'on peut avoir d'ailleurs de ne pas les admettre.

Le calcul des probabilités peut faire apprécier les avantages et les inconvéniens des méthodes employées dans les sciences conjecturales. Ainsi, pour reconnaître le meilleur des traitemens en usage dans la guérison d'une maladie , il suffit d'éprouver chacun d'eux sur un même nombre de malades , en rendant toutes les circonstances parfaitement semblables : la supériorité du traitement le plus avantageux se manifestera de plus en plus à mesure que ce nombre s'accroîtra; et le calcul fera connaître la probabilité correspondante de son avantage, et du rapport suivant lequel il est supérieur aux autres.

Application du Calcul des Probabilités aux sciences morales.

On vient de voir les avantages de l'analysé des probabilités dans la recherche des lois des phénomènes naturels dont les causes sont inconnues ou trop compliquées pour que leurs effets puissent être soumis au calcul. C'est le cas de près-

quo tous les objets des sciences morales. Tant de causes imprévues, ou cacliées, ou inappréciables, influent sur les institutions humaines, qu'il est impossible d'en juger à priori les résultats. La série des évènemens que le temps amène développe ces résultats , et indique les moyens de remédier à ceux qui sont nuisibles. On a souvent fait à cet égard des lois sages ; mais, parce que Ton avait négligé d'en conserver les motifs , plusieurs ont été abrogées comme inutiles, et il a fallu pour les rétablir que de fâcheuses expériences en aient fait de nouveau sentir le besoin. Il est donc bien important de tenir dans chaque branche de l'administration publique, un registre exact des effets qu'ont produit les divers moyens dont on a fait usage , et qui sont autant d'expériences faites en grand par les gouvernemens. Appliquons aux sciences politiques et morales la méthode fondée sur l'observation et sur le calcul , méthode qui nous a si bien servis dans les sciences naturelles. N'opposons point une résistance inutile et souvent dangereuse aux effets inévitables du progrès des lumières ; mais ne changeons qu'avec une circonspection extrême nos institutions et les usages auxquels nous sommes depuis long -temps pliéSé Nous connaissons bien par l'expérience du passé, les inconvéniens

l36 ESSAI PHILOSOPHIQUE

qu'ils présentent ; mais nous ignorons quelle est l'étendue des maux que leur changement peut produire. Dans cette ignorance, la théorie des probabilités prescrit d'éviter tout changement : surtout il faut éviter les changemens brusques qui , dans l'ordre moral comme dans l'ordre physique, ne s'opèrent jamais sans une grande perte de force vive.

Déjà, le calcul des probabilités a été appliqué avec succès à plusieurs objets des sciences morales. Je vais en présenter ici les principaux résultats.

De la Probabilité des témoignages.

La plupart de nos jugemens étant fondés sur la probabilité des témoignages, il est bien important de la soumettre au calcul. La chose, il est vrai, devient souvent impossible, par la difficulté d'apprécier la véracité des témoins, et par le grand nombre de circonstances dont les faits qu'ils attestent sont accompagnés ; mais on peut dans plusieurs cas, résoudre des problèmes qui ont beaucoup d'analogie avec les questions qu'on se propose, et dont les solutions peuvent être regardées comme des approximations propres à nous guider et à nous garantir des erreurs et des

SLR LES PROBABILITES. 1 37

dangers auxquels de mauvais raisonnemens nous exposent. Une approximation de ce genre, lorsqu'elle est bien conduite , est toujours préférable aux raisonnemens les plus spécieux. Essayons donc de donner quelques règles générales pour y parvenir.

On a extrait un seul numéro d'une urne qui en renferme mille. Un témoin de ce tirage annonce que le n° 79 est sorti ; on demande la probabilité de cette sortie. Supposons que Texpérience ait fait connaître que ce témoin trompe une fois sur dix, en sorte que la probabilité de son témoignage soit Y^. Ici, l'événement observé est le témoin attestant que le n** 79 est sorti. Cet événement peut résulter des deux hypothèses suivantes , savoir : que le témoin énonce la vérité , ou qu'il trompe. Suivant le principe que nous avons exposé sur la probabilité des causes , tirée des évènemens observés, il faut d'abord déterminer à priori la probabilité de l'événement dans chaque hypothèse. Dans la première, la probabilité que le témoin annoncera le n° 79, est la probabilité même de la sortie de ce numéro , c'est-à-dire Ywuô' ï^ ^^^^ ^^ multiplier par la probabilité yô de la véracité du témoin; on aura donc Yôhrô pour la probabilité de l'événement observé dans cette hypothèse. Si le témoin trompe, le n° 79

l38 ESSAI PHILOSOPHIQUE

n'est pas sorti, et la proba]>ilité de ce cas est Y^. Mais pour annoncer la sortie de ce numéro, le témoin doit le choisir parmi les 999 numéros non sortis ; et comme il est supposé n'avoir aucun motif de préférence pour les uns plutôt que pour les autres , la probabilité qu'il choisira le n** 79 est —j 5 6n multipliant donc cette probabilité par la précédente , on aura yoFô po^^r la probabilité que le témoin annoncera le n** 79 dans la seconde hypothèse. Il faut encore multiplier cette probabilité par la probabilité -^ de l'hypothèse ellemême ; ce qui donne '^qJ^^^^ pour la probabilité de l'événement relative à cette hypothèse. Présentement , si l'on forme une fraction dont le numérateur soit la probabilité relative à la première hypothèse , et dont le dénominateur soit la somme des probabilités relatives aux deux hypothèses, on aura, par 'le sixième principe, la probabilité de la première hypothèse, et cette probabilité sera -^ , c'est-à-dire la véracité même du témoin. C'est aussi la probabilité de la sortie du n° 79. La probabilité du mensonge du témoin et de la non-sortie de ce numéro est yjj-

Si le témoin , voulant tromper, avait quelque intérêt à choisir le n° 79 parmi les numéros non sortis; s'il jugeait, par exemple, qu'ayant placé sikr ce numéro une mise considérable , l'annonce

>.l h LKS l'ROBABiLITÉS. I 39

de Si! sortie augmentera son crédit; la probabilité qu'il choisira ce numéro ne sera plus, comme auparavant, g^-g- ; elle pourra être alors ^j^, etc. , suivant l'intérêt qu'il aura d'annoncer sa sortie. En la supposant -J^, il faudra multiplier par cette fraction la probabilité jt^kT» \^out avoir dans l'hypothèse du mensonge la probabilité de l'événement observé, qu'il faut encore multiplier par -—•; ce qui donne ^0006 powr la probabilité de l'événement dans la seconde hypothèse. Alors la probabilité de la première hypothèse, ou de la sortie du n** 79 , se réduit , par la règle précédente , à -~. Elle est donc très affaiblie par la considération de l'intérêt que le témoin peut avoir à annoncer la sortie du n" 79. A la vérité, ce même intérêt augmente la probabilité — que le témoin dira la vérité , si le n° 79 sort. Mais cette probabilité ne peut excéder l'unité ou |^; ainsi la probabilité de la sortie du n® 79 ne surpassera pas -~. Le bon sens nous dicte que cet intérêt doit inspirer de la défiance ; mais le calcul en apprécie l'influence.

La probabilité à priori du numéro énoncé par le témoin est l'unité divisée par le nombre des numéros de l'urne; elle se transforme en vertu du témoignage dans la véracité même du témoin; elle peut donc être affaiblie par ce témoi-

l4o ESSA.1 PHILOSOPHIQUE

gnage. Si, par exemple, Turne ne renferme que deux numéros , ce qui donne ~ pour la probabilité à priori de la sortie du n° i , et si la véracité d'un témoin qui l'annonce est -^ , cette sortie en devient moins probable. En effet , il est visible que le témoin ayant alors plus de pente vers le mensonge que vers la vérité , son témoignage doit diminuer la probabilité du fait attesté , toutes les fois que cette probabilité égale ou surpasse j. Mais s'il y a trois numéros dans l'urne , la probabilité à priori de la sortie du n° i est accrue par l'affirmation d'un témoin dont la véracité surpasse j.

Supposons maintenant que l'urne renferme 999 boules noires et une boule blanche , et qu'une boule en ayant été extraite, un témoin du tirage annonce que cette boule est blanche. La probabilité de l'événement observé, déterminée à priori dans la première hypothèse, sera ici, comme dans la question précédente, égale à yô^TTô- Mais dans l'hypothèse où le témoin trompe , la boule blanche n'est pas sortie , et la probabilité de ce cas est -nn^r- ^^ ^^^t ^^ multiplier par la probabilité ~ du mensonge , ce qui donne loooo poï^ii" la probabilité de l'événement observé relative à la seconde hypothèse. Cette probabilité n'était que yô~^ dans la question précédente :

SUR LES PROBABILITÉS. l4l

cette grande différence tient à ce qu'une boule noire étant sortie, le témoin qui veut tromper n'a point de choix à faire parmi les 999 boules non sorties, pour annoncer la sortie d'une boule blanche. Maintenant, si Ton forme deux fractions dont les numérateurs soient les probabilités relatives à chaque hypothèse, et dont le dénominateur commun soit la somme de ces probabilités , on aura yoos pour la probabilité de la première hypotlièse et de la sortie d'une boule blanche , et -^ pour la probabilité de la seconde hypothèse et de la sortie d'une boule noire. Cette dernière probabilité est fort approchante de la certitude : elle en approcherait beaucoup plus encore, et deviendrait —^^^, si l'urne renfermait un million de boules dont une seule serait blanche , la sortie d'une boule blanche devenant alors beaucoup plus extraordinaire. On voit ainsi comment la probabilité du mensonge croît à mesure que le fait devient plus extraordinaire.

Nous avons supposé jusqu'ici que le témoin ne se trompait point; mais si l'on admet encore la chance de son erreur, le fait extraordinaire devient plus invraisemblable. Alors au lieu de deux hypothèses, on aura les quatre suivantes, savoir: celle du témoin ne trompant point et ne se trompant point; celle du témoin ne trompant point

et se trompant ; Thypothèse du témoin trompant et ne se trompant point; enfin celle du témoin trompant et se trompant. En déterminant à priori dans chacune de ces hypothèses, la probabilité de l'événement observé , on trouve par le sixième principe, la probabilité que le fait attesté est faux, égale à une fraction dont le numérateur est le nombre des boules noires de l'urne , multiplié par la somme des probabilités que le témoin ne trompe point et se trompe , ou qu'il trompe et ne se trompe point , et dont le dénominateur est ce numérateur augmenté de la somme des probabilités que le témoin ne trompe point et ne se trompe point , ou qu'il trompe et se trompe à la fois. On voit par là que si le nombre des boules noires de l'urne est très grand , ce qui rend extraordinaire la sortie de la boule blanche , la probabilité que le fait attesté n'est pas , approche extrêmement de la certitude.

En étendant cette conséquence à tous les faits extraordinaires, il en résulte que la probabilité de l'erreur ou du mensonge du témoin devient d'autant plus grande , que le fait attesté est plus extraordinaire. Quelques auteurs ont avancé le contraire , en se fondant sur ce que la vue d'un fait extraordinaire étant parfaitement semblable à celle d'un fait ordinaire, les mêmes motifs doi-

SUR LES PROBABILITÉS. l43

vent nous porter à croire également le témoin , quand il affirme l'un ou Tautre de ces faits. I^ ^iInple bon sens repousse une aussi étrange assertion ; mais le calcul des probabilités, en confirmant l'indication du sens commun , apprécie de plus Tinvraisemblance des témoignages sur les faits extraordinaires.

Ces auteurs insistentet supposent deux témoins également dignes de foi , dont le premier atteste qu'il a vu mort, il y a quinze jours, un individu que le second témoin affirme avoir vu hier plein de vie. L'un ou l'autre de ces faits n'offre rien d'invraisemblable. I^ résurrection de l'individu est une conséquence de leur ensemble ; mais les témoignages ne portant point directement sur elle , ce qu'elle a d'extraordinaire ne doit point affaiblir la croyance qui leur est due. (^Encyclopédie, art. Certitude.)

Cependant, si la conséquence qui résulte de l'ensemble des témoignages était impossible, l'un d'eux serait nécessairement faux ; or, une conséquence impossible est la limite des conséquences extraordinaires , comme l'erreur est la limite des invraisemblances ; la valeur des témoignages , qui devient nulle dans le cas d'une conséquence impossible, doit donc être très affaiblie dans ce-

l44 ESSAI PHILOSOPHIQUE

lui crime conséquence extraordinaire. C'est en effet ce que le calcul des probabilités confirme.

Pour le faire voir , considérons deux urnes A et B , dont la première contienne un million de boules blanches, et la seconde un million de boules noires. On tire de Tune de ces urnes une boule que Ton remet dans l'autre urne dont on extrait ensuite une boule. Deux témoins, l'un du premier tirage , l'autre du second , attestent que la boule qu'ils ont vu extraire est blanche , sans indiquer l'urne dont elle a été extraite. Chaque témoignage pris isolément n'a rien d'invraisemblable ; et il est facile de voir que la probabilité du fait attesté est la véracité même du témoin. Mais il suit de l'ensemble des témoignages , qu'une boule blanche a été extraite de l'urne A au premier tirage , et qu'ensuite , mise dans l'urne B , elle a reparu au second tirage , ce qui est fort extraordinaire ; |car cette seconde urne renfermant alors une boule blanche sur un million de boules noires, la probabilité d'en extraire la boule blanche est jôôJtôôT' Po^ir déterminer l'affaiblissement qui en résulte dans la probabilité de la chose énoncée par les deux témoins , nous remarquerons que l'événement observé est ici l'affirmation par chacun d'eux que la boule qu'il a vu extraire est blanche. Beprésentons par

SUR LES PROBABILITÉS, l45

•^ la probabilité qu'il énonce la vérité , ce qui peut avoir lieu dans le cas présent, lorsque le témoin ne trompe point et ne se trompe point , et lorsqu'il trompe et se trompe à la fois. On peut former les quatre hypothèses suivantes :

I**. Le premier et le second témoin disent la vérité. Alors une boule blanche a d'abord été extraite de l'urne A , et la probabilité de cet événement est ^, puisque la boule extraite au premier tirage a pu sortir également de l'une ou de l'autre urne. Ensuite , la boule extraite mise dans l'urne B a reparu au second tirage : la probabilité de cet événement est -^ o u o u o i î ^^ probabilité du fait énoncé est donc ^00-^002- En la multipliant par le produit des probabilités 117 et -j^ que les témoins disent la vérité , on aura yôôinjWcrô P^ur la probabilité de l'événement observé , dans cette première hypothèse.

2®. Le premier témoin dit la vérité, et le second ne la dit point , soit qu'il trompe et ne se trompe point, soit qu'il ne trompe point et se trompe. Alors une boule blanche est sortie de Fume A au premier tirage , et la probabilité de cet événement est -|- Ensuite cette boule ayant été mise dans l'urne B , une boule noire en a été extraite : la probabilité de cette extraction est on a donc ^000002 po"»* ^^ probabilité

l46 ESSAI PHILOSOPHIQUE

de révènement composé. En la multipliant par le produit des deux probabilités tjj ^^ tu ^^^^ ^^ premier témoin dit la vérité et que le second ne la dit point , on aura 2S0U00200 P^"'' ^^ probabilité de révènement observé dans la seconde hypothèse.

3°. Le premier témoin ne dit pas la vérité , et le second l'énonce. Alors une boule noire est sortie de Tin^ne B au premier tirage , et après avoir été mise dans Tume A , une boule blanche a été extraite de cette urne. La probabilité du premier de ces évènemens est ^ , et celle du second est fouo oïïf î ^^ probabilité de l'événement composé est donc io^^rou^- En la multipliant par le produit des probabilités tô ^^ tô^ *1'^^ ^^ P''^" mier témoin ne dit pas la vérité , et que le second l'énonce , on aura 200000200 P^^^^ ^^ probabilité de l'événement observé relative à cette hypothèse.

4°. Enfin , aucuu des témoins ne dit la vérité. Alors une boule noire a été extraite de l'urne B au preinier tirage ; ensuite ayant été mise dans l'urne A , ejle a reparu au second tirage : la probabiUté de cet événement composé est aoooooa- En la multipliant par le produit des probabilités -^j et -jijf, que chaque témoin ne dit pas la vé-

SUR tes PROBABILITÉS. l^J

rite , on aura auuoooaoo 1^"'' ^^ probabilité de r événement observé dans cette hypothèse.

jMaintenant, pour avoir la probabilité de la chose énoncée par les deux témoins, savoir, qu'une boule blanche a été extraite à chacun des tirages, il faut diviser la probabilité correspondante à la première hypothèse par la somme des probabilités relatives aux quatre hypothèses ; et alors on a pour cette probabilité TsôffôTï ? fr^^" lion extrêmement petite.

Si les deux témoins affirmaient, le premier, qu'une boule blanche a été extraite de Tune des deux urnes A et B ; le second , qu'une boule blanche a été pareillement extraite de F une des deux urnes k' et B', en tout semblables aux premières, la probabilité de la chose énoncée par les deux témoins serait le produit des probabilités de leurs témoignages ou y^; elle serait donc cent quatre-vingt mille fois au moins plus grande que la précédente. On voit par là coml>ien, dans le premier cas, la réapparition au second tirage de la boule blanche extraite au premier, conséquence extraordinaire des deux témoignages, en affaiblit la valeur.

Nous n'ajouterions point foi au témoignage d'un homme qui nous attesterait tpi'en projetant ceut dés en l'air, ils sont tous retombés sur la

lO..

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même face. Si nous avions été nous-mêmes spectateurs de cet événement, nous n'en croirions nos propres yeux qu'après en avoir scrupuleusement examiné toutes les circonstances , et après en avoir rendu d'autres yeux témoins, pour être bien sûrs qu'il n'y a eu ni hallucination ni prestige. Mais après cet examen, nous ne balancerions point à l'admettre, malgré son extrême invraisemblance ; et personne ne serait tenté , pour l'expliquer, de recourir à un renversement des lois de la vision. Nous devons en conclure que la probabilité de la constance des lois de la nature est pour nous supérieure à celle que l'événement dont il s'agit ne doit point avoir lieu , probabilité supérieure elle-même à celle de la plupart des faits historiques que nous regardons comme incontestables. On peut juger par là du poids immense de témoignages nécessaire pour admettre une suspension des lois naturelles , et combien il serait abusif d'appliquer à ce cas les règles ordinaires de la critique. Tous ceux qui , sans offrir cette immensité de témoignages, étayent ce qu'ils avancent de récits d'évènemens contraires à ces lois, affaiblissent plutôt qu'ils n'augmentent la croyance qu'ils cherchent à inspirer; car alors ces récits rendent très probable l'erreur ou le mensonge de leurs auteurs. Mais ce qui diminue la croyance

SUR LES PROBABILITÉS. l49

des hommes éclairés, accroît souvent celle du vulgaire, toujours avide du merveilleux.

Il y a des choses tellement extraordinaires , que rien ne peut en balancer T invraisemblance. Mais celle-ci , par l'efFet d'une opinion dominante, peut être affaiblie au point de paraître inférieure à la probabilité des témoignages ; et quand cette opinion vient à changer, un récit absurde admis unanimement dans le siècle qui lui a donné naissance, n'offre aux siècles suivans qu'une nouvelle preuve de l'extrême influence de l'opinion générale sur les meilleurs esprits. Deux grands hommes du siècle de Louis XIV, Racine et Pascal , en sont des exemples frappans. Il est affligeant de voir avec quelle complaisance Racine, ce peintre admirable du cœur humain et le poète le plus parfait qui fut jamais, rapporte comme miraculeuse la guérison de la jeune Perrier, nièce de Pascal et pensionnaire à l'abbaye de Port-Royal : il est pénible de lire les raisonnemens par lesquels Pascal cherche à prouver que ce miracle devenait nécessaire à la religion, pour justifier la doctrine des religieuses de cette abbaye , alors persécutées par les Jésuites. La jeune Perrier était, depuis trois ans et demi, affligée d'une fistule lacrymale : elle toucha de son œil malade ime relique que l'on prétendait être une

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des épines de la couronne du Sauveur, et elle se crut à l'instant guérie. Quelques jours après, les médecins et les chirurgiens constatèrent la guérison , et ils jugèrent que la nature et les remèdes n'y avaient eu aucune part. Cet événement, arrivé en i656 , ayant fait grand bruit , « tout Paris se » porta, dit Racine, à Port-Royal. La foule crois- » sait de jour en jour, et Dieu même semblait » prendre plaisir à autoriser la dévotion des peu- » pies , par la quantité de miracles qui se firent » en cette église. » A cette époque , les miracles et les sortilèges ne paraissaient pas encore invraisemblables , et Ton n'hésitait point à leur attribuer les singularités de la nature, que l'on ne pouvait autrement expliquer.

Cette manière d'envisager les effets extraordinaires, se retrouve dans les ouvrages les plus remarquables du siècle de Louis XIV, dans V Essai même sur V entendement humain, du sage Locke , qui dit , en parlant des degrés d'assentiment : « Quoique la commune expérience et le » cours ordinaire des choses aient avec raison » une grande influence sur l'esprit des hommes, » pour les porter à donner ou à refuser leur » consentement à une chose qui leur est proposée » k croire , il y a pourtant un cas où ce qu'il y a » d'étrange dans un fait, n'affaiblit point l'assen-

SfJîl'^iSM PROUABILITÉS. iSl

» liment que nous devons donner au témoignage )) sincère sur lequel il est fondé. Lorsque des » évènemens surnaturels sont conformes aux » fins que se propose celui qui a le pouvoir de » changer le cours de la nature , dans un tel » temps et dans de telles circonstances, ils peu- » vent être d'autant plus propres à trouver » créance dans nos esprits, qu'ils sont plus au- » dessus des observations ordi*:aires , ou même » qu'ils y sont plus opposés. » Les vrais principes de la probabilité des témoignages ayant été ainsi méconnus des philosophes auxquels la raison est principalement redevable de ses progrès, j'ai cru devoir exposer avec étendue les résultats du calcul sur cet important objet.

Ici se présente naturellement la discussion d'un argument fameux de Pascal , que Craig , mathématicien anglais, a reproduit sous une forme géométrique. Des témoins attestent qu'ils tiennent de la Divinité même, qu'en se conformant à telle chose, on jouira, non pas d'une ou de deux , mais d'une infinité de vies heureuses. Quelque faible que soit la probabilité des témoignages, pourvu qu'elle ne soit pas infiniment petite , il est clair que l'avantage de ceux qui se conforment à la chose prescrite est infini, ptiisqu'il est le produit de cette probabQité par un

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bien infini ; on ne doit donc point balancer à se procurer cet avantage.

Cet argument est fondé sur le nombre infini des vies heureuses promises au nom de la Divinité par les témoins; il faudrait donc faire ce qu'ils prescrivent, précisément parce qu'ils exagèrent leurs promesses au-delà de toutes limites , conséquence qui répugne au bon sens. Aussi le calcul nous fait-il voir que cette exagération même affaiblit la probabilité de leur témoignage , au point de la rendre infiniment petite ou nulle. En effet , ce cas revient à celui d'un témoin qui annoncerait la sortie du numéro le plus élevé d'une urne remplie d'un grand nombre de numéros dont un seul a été extrait, et qui aurait un grand intérêt à annoncer la sortie de ce numéro. On a vu précédemment combien cet intérêt affaiblit son témoignage. En n'évaluant qu'à | la probabilité que si le témoin trompe il choisira le plus grand numéro, le calcul donne la probabilité de son annonce plus petite qu'une fraction dont le numérateur est l'unité , et dont le dénominateur est l'unité plus la moitié du produit du nombre des numéros , par la probabilité du mensonge considérée à pnon ou indépendamment de l'annonce. Pour assimiler ce cas à celui de l'argument de Pascal , il suffit de représenter par les numéros de

SUR LES PROBABILITES. 1 53

Turnetous les nombres possibles dévies heureuses, ce qui rend le nombre de ces numéros infini ; et d'observer que si les témoins trompent, ils ont le plus grand intérêt, pour accréditer leur mensonge, à promettre une éternité de bonheur. L'expression de la probabilité de leur témoignage devient alors infiniment petite. En la multipliant par le nombre infini de vies heureuses promises , Tinfini disparaît du produit qui exprime l'avantage résultant de cette promesse, ce qui détruit l'argument de Pascal.

Considérons présentement la probabilité de l'ensemble de plusieurs témoignages sur un fait déterminé. Pour fixer les idées, supposons que ce fait soit la sortie d'un numéro d'une urne qui en renferme cent et dont on a extrait un seul numéro. Deux témoins de ce tirage annoncent que le n° 2 est sorti , et l'on demande la probabilité résultante de l'ensemble de ces témoignages. On peut former ces deux hypothèses : les témoins disent la vérité; les témoins trompent. Dans la première hypothèse , le n® 2 est sorti , et la probabilité de cet événement est yo^- I^ ^^^t la multiplier par le produit des véracités des témoins, véracités que nous supposerons être -nr et -j— : on aura donc yô^qô pour la probabilité de l'événement observé dans cette hypothèse. Dans la se-

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conde , le n** a n'est pas sorti , et la probabilité de cet événement est -^. Mais l'accord des témoins exige alors qu'en cherchant à tromper, ils choisissent tous deux le numéro a sur les 99 numéros non sortis : la probabilité de ce choix , si les témoins ne s'entendent point , est le produit de la fraction -^ par elle-même ; il faut ensuite multiplier ces deux probabilités ensemble, et par le produit des probabilités -fô ^*^ T^ ^}^^ ^^ témoins trompent; on aura ainsi 3 3 q\ ^^ ^^ pour la probabilité de l'événement observé dans la seconde hypothèse. Maintenant on aura la probabilité du fait attesté ou de la sortie du n^ a , en divisant la probabiUté relative à la première hypothèse par la somme des probabilités relatives aux deux hypothèses ; cette probabilité sera donc l^^ll , et la probabilité de la non-sortie de ce numéro et du mensonge des témoins sera yôVô •

Si l'urne ne renfermait que les numéros i et 2 , on trouverait de la même manière f^ pour la probabilité de la sortie du n® a , et par conséquent 2V pour la probabilité du mensonge des témoins , probabilité quatre-vingt-quatorze fois au moins plus grande que la précédente. On voit par là combien la probabilité du mensonge des témoins diminue , quand le fait qu'ils attestent est moins probable en lui-même. En effet, on conçoit qu'a-

loi*s l'accord des témoins, loi'squ'ils trompent, devient plus difficile , à moins qu'ils ne s'entendent , ce que nous ne supposons pas ici.

Dans le cas précédent où l'urne ne renfermant que deux numéros , la probabilité à priori du fait attesté est ^, la probabilité résultante des témoignages est le produit des véracités des témoins , divisé par ce produit ajouté à celui des probabilités respectives de leur mensonge.

• Il nous reste à considérer l'influence du temps sur la probabilité des faits transmis par une chaîne traditionnelle de témoins. Il est clair que cette probabilité doit diminuer à mesure que la chaîne se prolonge. Si le fait n'a aucune probabilité par lui-même, tel que la sortie d'un numéro d'une urne qui en renferme une infinité , celle qu'il acquiert par les témoignages décroît suivant le produit continu de la véracité des témoins. Si le fait a par lui-même une probabilité ; si , par exemple, ce fait est la sortie du n** 2 d'une urne qui en renferme un nombre fini, et dont il est certain qu'on a extrait un seul numéro; ce que la chaîne traditionnelle ajoute à cette probabilité décroît suivant un produit continu , dont le premier facteur est le rapport du nombre des numéros de l'urne moins un à ce même nombre, et dont chaque autre facteur est la véracité de chaque témoin , diminuée du

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rapport de la probabilité de son mensonge au nombre des numéros de l'urne moins un ; en sorte que la limite de la probabilité du fait est celle de ce fait considérée à priori ou indépendamment des témoignages , probabilité égale à l'unité divisée par le nombre des numéros de l'urne.

I/action du temps affaiblit donc sans cesse la probabilité des faits historiques , comme elle altère les monumens les plus durables. On peut, à la vérité , la ralentir en multipliant et conservant les témoignages et les monumens qui les étayent. L'imprimerie offre pour cet objet un grand moyen malheureusement inconnu des anciens. Malgré les avantages infinis qu'elle procure, les révolutions physiques et morales dont la surface de ce globe sera toujours agitée, finiront, en se joignant à l'effet inévitable du temps, par rendre douteux , après des milliers d'années , les faits historiques aujourd'hui les plus certains.

Craig a essayé de soumettre au calcul l'affaiblissement graduel des preuves de la religion chrétienne : en supposant que le monde doit finir à l'époque où elle cessera d'être probable , il trouve que cela doit arriver i454 ans après le moment où il écrit. Mais son analyse est aussi fautive que son hypothèse sur la duœe du monde est bizarre.

SUR LES PROBABILITÉS. iSy

Des choix et des décisions des assemblées,

La probabilité des décisions d'une assemblée dépend de la pluralité des voix , des lumières et de l'impartialité des membres qui la composent. Tant de passions et d'intérêts particuliers y mêlent si souvent leur influence, qu'il est impossible de soumettre au calcul cette probabilité. Il y a cependant quelques résultats généraux dictés par le simple bon sens , et que le calcul confirme. Si , par exemple , l'assemblée est très peu éclairée sur l'objet soumis à sa décision ; si cet objet exige des considérations délicates, ou si la vérité sur ce point est contraire à des préjugés reçus , en sorte qu'il y ait plus d'un contre un à parier que chaque votant s'en écartera; alors la décision de la majorité sera probablement mauvaise , et la crainte à cet égard sera d'autant plus fondée , que l'assemblée sera plus nombreuse. Il importe donc à la chose publique que les assemblées n'aient à prononcer que sur des objets à la portée du plus grand nombre : il lui importe que l'instruction soit généralement répandue , et que de bons ouvrages fondés sur la raison et sur l'expérience éclairent ceux qui sont appelés à décider du sort de leurs semblables ou à les gouverner, et les

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prémunissent d'avance contre les taux aperçus et les préventions de l'ignorance. Les savans ont de fréquentes occasions de remarquer que les premiers aperçus trompent souvent, et que le vrai n'est pas toujours vraisemblable.

Il est difficile de connaître et même de définir le vœu d'une assemblée , au milieu de la variété des opinions de ses membres. Essayons de donner sur cela quelques règles , en considérant les deux cas les plus ordinaires , l'élection entre plusieurs candidats , et celle entre plusieurs propositions relatives au même objet.

Lorsqu'une assemblée doit choisir entre plusieurs candidats qui se présentent pour une ou plusieurs places du même genre , ce qui paraît le plus simple est de faire écrire à chaque votant , sur un billet, les noms de tous les candidats, suivant l'ordre du mérite qu'il leur attribue. En supposant qu'il les classe de bonne foi, l'inspection de ces billets fera connaître les résultats des élections , de quelque manière que les candidats soient comparés entre eux ; en sorte que de nouvelles élections ne peuvent apprendre rien de plus à cet égard. Il s'agit présentement d*en conclure l'ordre de préférence, que les billets établissent entre les candidats. Imaginons que Ton donne à chaque électeur une urne qui contienne

une infinité de boules, au moyen desquelles il puisse nuancer tous les degrés de mérite des candidats : concevons encore qu'il tire de son urne un nombre de boules proportionnel au mérite de chaque candidat, et supposons ce nombre écrit sur un billet, à côté du nom du candidat. Il est clair qu'en faisant une somme de tous les nombres relatifs à chaque candidat sur chaque billet , celui de tous les candidats qui aura la plus grande somme sera le candidat que l'assemblée préfère; et qu'en général , Tordre de préférence des candidats sera celui des sommes relatives à chacun d'eux. Mais les billets ne marquent point le nombre des boules que chaque électeur donne aux candidats; ils indiquent seulement que le premier en a plus que le second, le second plus que le troisième, et ainsi de suite. En supposant donc au premier, sur un billet donné , un nombre quelconque de boules , toutes les combinaisons des nombres inférieurs qui remplissent les conditions précédentes, sont également admissibles; et l'on aura le nombre de boules relatif à chaque candidat , en faisant une somme de tous les nombres que chaque combinaison lui donne , et en la divisant par le nombre entier des combinaisons. Une analyse fort simple fait voir que les nombres qu'il faut écrire sur chaque billet à côté du dernier nom, de Ta-

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vant-dernier, etc. , sont proportionnels aux ter-mes de la progression arithmétique 1,2, 3 , etc. En écrivant donc ainsi sur chaque billet les termes de cette progression, et ajoutant les termes relatifs à chaque candidat sur ces billets, les diverses sommes indiqueront par leur grandeur Tordre de préférence qui doit être établi entre les candidats. Tel est le mode d'élection qu'indique la Théorie des Probabilités. Sans doute, il serait le meilleur si chaque électeur inscrivait sur son billet les noms des candidats dans Tordre du mérite qu'il leur attribue. Mais les intérêts particuliers et beaucoup de considérations étrangères au mérite doivent troubler cet ordre , et faire placer quelquefois au dernier rang le candidat le plus redoutable à celui que Ton préfère ; ce qui donne trop d'avantage aux candidats d'un médiocre mérite. Aussi l'expérience a-t-elle fait abandonner ce mode d'élection dans les établissemens qui T avaient adopté.

L'élection à la majorité absolue des suffrages réunit à la certitude de n'admettre aucun des candidats que cette majorité rejette, l'avantage d'exprimer le plus souvent le vœu de l'assemblée. Elle coïncide toujours avec le mode précédent lorsqu'il n'y a que deux candidats. A la vérité, elle expose à l'inconvénient de rendre les élec-

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Hons interminables. Mais l'expérience a fait voir que cet inconvénient est nul , et que le désir général de mettre fin aux élections réunit bientôt la majorité des suffrages sur un des candidats. ^

Le choix entre plusieurs propositions relatives au même objet, semble devoir être assujetti aux mêmes règles que l'élection entre plusieurs candidats. Mais il existe entre ces deux cas cette différence , savoir : que le mérite d'un candidat n'exclut point celui de ses concurrens; au lieu que si les propositions entre lesquelles il faut choisir sont contraires, la vérité de l'une exclut la vérité des autres. Voici comme on doit alors envisager la question.

Donnons à chaque votant une urne qui renferme un nombre infini de boules , et supposons qu'il les distribue sur les diverses propositions, en raison des probabilités respectives qu'il leur attribue. Il est clair que le nombre total des boules exprimanfe^la certitude , et le votant étant, par l'hypothèse , assuré que Tune des propositions doit être vraie , il répartira ce nombre en entier sur les propositions. Le problème se réduit donc à déterminer les combinaisons dans lesquelles les boules seront réparties de manière qu'il y en ait plus sur la première proposition du billet que sur la seconde , plus sur la seconde que

l6a ESSAI PHILOSOPHIQUE

sur la troisième, etc. ; à faire les sommes de tous les nombres de boules relatifs à chaque proposition dans ces diverses combinaisons , et à diviser cette somme par le nombre des combinaisons : les quotiens seront les nombres de boules que l'on doit attribuer aux propositions sur un billet quelconque. On trouve par l'analyse , qu'en partant de la dernière proposition pour rçmonter à la première , ces quotiens sont entre eux comme les quantités suivantes: i^ l'unité divisée par le nom» bre des propositions; 2® la quantité précédente augmentée de l'unité divisée par le nombre des propositions moins une ; 3® cette seconde quantité augmentée de l'unité divisée par le nombre des propositions moins deux , et ainsi du reste. On écrira donc sur chaque billet ces quantités à coté des propositions correspondantes; et en ajoutant les quantités relatives à chaque proposition sur les divers billets, les sommes indiqueront par levu^ grandeur l'ordre de préférence que l'assemblée donne à ces propositions.

Disons un mot de la manière de renouveler les assemblées qui doivent changer en totalité, dans un nombre d'années déterminé. Le renouvellement doit-il se faire à la fois , ou convient-il de le partager entre ces années? D'après ce derniei? mode, l'assemblée serait formée sous Fin-

SUR LES PROBABILITÉS. l63

tlueiice des diverses opinions dominantes pendant la durée de son renouvellement ; Topinion qui y régnerait aloi's serait donc très probablement la moyeinie de toutes ces opinions. L'assemblée recevrait ainsi du temps le même avantage que lui donne l'extension des élections de se^ membres à toutes les parties du territoire qu'elle leprésente. Maintenant , si Ton considère ce que l'expérience n'a que trop fait connaître , savoir : que les élections sont toujours dirigées dans le sens le plus exagéré des opinions dominantes; on sentira combien il est utile de tempérer ces opinions les unes par les autres , au moyen d'un renouvellement partiel.

De la probabilité des Jugenwns des tribunaux.

L'analyse confirme ce que le simple bon sens nous dicte , savoir : que la bonté des jugemens est d'autant plus probable, que les juges sont plus nombreux et plus éclairés. Il importe donc que les tribimaux d'appel remplissent ces deux conditions. Les tribunaux de première instance, plus rapprochés des justiciables, leur offrent l'avantage d'un premier jugement déjà probable , et dont ils se contentent souvent, soit en transigeant, soit en se désistant de leurs prétentions.

l64 ESSAI PHILOSOPHIQUE

Mais si rincertitude de l'objet en litige et son importance déterminent un plaideur à recourir au tribunal d'appel, il doit trouver dans une plus grande probabilité d'obtenir un jugement équitable, plus de sûreté pour sa fortune , et la compensation des embarras et des frais qu'une nouvelle procédure entraîne. C'est ce qui n'avait point lieu dans l'institution de l'appel réciproque des tribunaux de département , institution par là très préjudiciable aux intérêts des citoyens. Il serait peut-être convenable et conforme au calcul des probabilités , d'exiger une majorité de deux voix au moins , dans un tribunal d'appel , pour infirmer la sentence du tribunal inférieur. On obtiendrait ce résultat si le tribunal d'appel étant composé d'un nombre pair de juges , la sentence subsistait dans le cas de l'égalité des voix.

Je vais considérer particulièrement les jugemens en matière criminelle.

Il faut sans doute aux juges, pour condamner un accusé , les plus fortes preuves de son délit. Mais une preuve morale n'est jamais qu'une probabilité; et l'expérience n'a que trop fait connaître les erreurs dont les jugemens criminels, ceux mêmes qui paraissent être les plus justes, sont encore susceptibles. L'impossibilité de réparer

SUR LES PROBABILITÉS. l65

ces erreiii-s est le plus solide argument des philosophes qui ont voulu proscrire la peine de mort. Nous devrions donc nous abstenir de juger, s'il nous fallait attendre l'évidence mathématique. Mais le jugement est commandé par le danger qui résulterait de l'impunité du crime. Ce jugement se réduit, si je ne me trompe, à la solution de la question suivante. La preuve du délit de l'accusé a- 1 -elle le haut degré de probabilité nécessaire pour que les citoyens aient moins à redouter les erreurs des tribunaux , s'il est innocent et condamné , que ses nouveaux attentats et ceux des malheureux qu'enhardirait l'exemple de son impunité s'il était coupable et absous? La solution de cette question dépend de plusieurs élémens très difficiles à connaître. Telle est l'imminence du danger qui menacerait la société si l'accusé criminel restait impuni. Quelquefois ce danger est si grand, que le magistrat se voit contraint de renoncer aux formes sagement établies pour la sûreté de l'innocence. Mais ce qui rend presque toujours la question dont il s'agit insoluble, est l'impossibilité d'apprécier exactement la probabilité du délit et de fixer celle qui est nécessaire pour la condamnation de l'accusé. Chaque juge, à cet égard, est forcé de s'en rapporter à son propre tact. Il forme son opinion,

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en comparant les divers témoignages et les circonstances dont le délit est accompagné, aux résultats de ses réflexions et de son expérience; et sous ce rapport, une longue habitude d'interroger et de juger les accusés , donne beaucoup d'avantages pour saisir la vérité au milieu d'indices souvent contradictoires.

La question précédente dépend encore de la grandeur de la peine appliquée au délit ; car on exige naturellement pour prononcer la mort , des preuves beaucoup plus fortes que pour infliger une détention de quelques mois. C'est une raison de proportionner la peine au délit, une peine grave appliquée à un léger délit devant inévitablement faire absoudre beaucoup de coupables. Une loi qui donne aux juges la faculté de modérer la peine dans le cas de circonstances atténuantes, est donc conforme à la fois aux principes d'humanité envers le coupable , et à l'intérêt de la société. Le produit de la probabilité du délit par sa gravité étant la mesure du danger que l'absolution de l'accusé peut faire éprouver à la société, on pourrait penser que la peine doit dépendre de cette probabilité. C'est ce que Ton fait indirectement dans les tribunaux où l'on retient pendant quelque temps l'accusé contre lequel s'élèvent des preuves très fortes, mais in-

SI i; [ I s FltOBABlLITI^. l6^

suflisantes pour iv condamner : dans la vue d'acquénr de nouvelles lumières , on ne le remet point sui^le-champ au milieu de ses concitoyens qui ne le reverraient pas sans de vives alarmes. Mais l'arbitraire de cette mesure et Tabus qu'on |)eut en faire l'ont fait rejeter dans les pays où l'on attache le plus grand prix à la liberté individuelle.

Maintenant , quelle est la probabilité que la décision d'uii tribunal qui ne peut condamner qu'à une majorité donnée , sera juste , c'est-àdire conforme à la vraie solution de la question posée ci-dessus? Ce problème important bien résolu, donnera le moyen de comparer entre eux les tribunaux divers. l;a majorité d'une seule voix dans un nombreux tribunal , indique que l'affaire dont il s'agit est à fort peu près douteuse; la condamnation de l'accusé serait donc alors contraire aux principes d'humanité, protecteurs de l'innocence. L'unanimité des juges donnerait une très grande probabilité d'une décision juste ; mais en s'y astreignant , trop de coupables seraient absous. Il faut donc , ou limiter le nombre des juges si l'on veut qu'ils soient unanimes ^ ou accroître la majorité nécessaire pour condaniFïer, lorsqtie-le tribunal devient plus nombreux. Je vais essayer d'appliquer le calcul

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à cet objet , persuadé qu'il est toujours le meilleur guide lorsqu'on l'appuie sur les données que le bon sens nous suggère.

La probabilité que l'opinion de chaque juge est juste, entre comme élément principal dans ce calcul. Cette probabilité est évidemment relative à chaque affaire. Si dans un tribunal de mille et un juges, cinq cent-un sont d'une opinion, et cinq cents sont de l'opinion contraire , il est visible que la probabilité de l'opinion de chaque juge surpasse bien peu ^î car en la supposant sensiblement plus grande , une seule voix de différence serait un événement invraisemblable. Mais si les juges sont unanimes, cela indique dans les preuves ce degré de force qui entraîne la conviction ; la probabilité de l'opinion de chaque juge est donc alors très près de l'unité ou de la certitude, à moins que des passions ou des préjugés communs n'égarent à la fois tous les juges. Hors de ces cas , le rapport des voix pour ou contre l'accusé doit seul déterminer cette probabilité. Je suppose ainsi qu'elle peut varier depuis ^ jusqu'à l'unité , mais qu'elle ne peut être au-dessous de ~. Si cela n'était pas , la décision du tribunal serait insignifiante comme le sort : elle n'a de valeur qu'autant que l'opinion du juge a plus de tendance à la vérité qu'à l'erreur. C'est en-

suite par le rapport des nombres de voix favorables et contraires à TaccLisé , que je détermine la probabilité de cette opinion.

Ces données suffisent pour avoir l'expression générale de la probabilité que la décision d'un tribunal jugeant à une majorité connue, est juste. Dans les tribunaux où , sur huit juges, cinq voix seraient nécessaires pour la condamnation d'un accusé , la probabilité de l'erreur à craindre sur la justesse de la décision , surpasserait j. Si le tribunal était réduit à six membres qui ne pourraient condamner qu'à la pluralité de quatre voix , la probabilité de l'erreur à craindre serait au-dessous de j ; il y aurait donc pour l'accusé un avantage à cette réduction du tribunal. Dans l'un et l'autre cas , la majorité exigée est la même et égale à deux. Ainsi cette majorité demeurant constante , la probabilité de l'erreur augmente avec le nombre des juges : cela est général, quelle que soit la majorité requise, pourvu qu'elle reste la même. En prenant donc pour règle le rapport arithmétique , l'accusé se trouve dans ime position de moins en moins avantageuse , à mesure que le tribunal devient plus nombreux. On pourrait croire que dans un tribunal où l'on exigerait une majorité de douze voix , quel que fut le nombre des juges , les voix de la minorité , neu-