APPLICATIONS DU CALCUL DES PROBABILITÉS
Des jeux.
Les combinaisons que les jeux présentent , ont été l'objet des premières recherches sur les probabilités. Dans l'infinie variété de ces combinaisons, plusieurs d'entre elles se prêtent avec facilité au calcul : d'autres exigent des calculs plus difficiles ; et les difficultés croissant à mesure que les combinaisons deviennent plus compliquées, le désir de les surmonter et la curiosité ont excité les géomètres à perfectionner de plus en plus ce genre d'analyse. On a vu précédemment que l'on pouvait facilement déterminer par la théorie des combinaisons, les bénéfices d'une loterie. Mais il est plus difficile de savoir en combien de tirages on peut parier un contre un, par exemple, que tous les numéros seront sortis, n étant le nombre des numéros, r celui des numéros sortans à chaque tirage , et i le nombre inconnu de tirages ; l'expression de la probabilité de la sortie de tous les numéros, dépend de la différence finie ri ème de la puissance i d'un produit de r nombres consécutifs. Lorsque le nombre n est considérable , la recherche de
la valeur de i, qui rend cette probabilité égale à ±, devient impossible , à moins qu'on ne convertisse cette différence, dans une série très-convergente. C'est ce que l'on fait heureusement par la méthode ci-dessus indiquée pour les approximations des fonctions de trèsgrands nombres. On trouve ainsi que la loterie étant composée de dix mille numéros dont un seul sort à chaque tirage, il y a du désavantage à parier un contre un , que tous les numéros sortiront dans 95767 tirages, et de l'avantage à faire le même pari pour 95768 tirages. A la loterie de France, ce pari est désavantageux pour 85 tirages , et avantageux pour 86 tirages.
Considérons encore deux joueurs A et B jouant ensemble à croix ou pile, de manière qu'à chaque coup , si croix arrive , A donne un jeton à B qui lui en donne un , si pile arrive : le nombre des jetons de B est limité , celui des jetons de A est illimité ; et la partie ne doit finir que lorsque B n'aura plus de jetons. On demande en combien de coups , on peut parier un contre un , que la partie sera terminée. L'expression de la probabilité que la partie sera terminée dans un nombre i de coups, est donnée par une suite qui renferme un grand nombre de termes et de facteurs, si le nombre des jetons de B est considérable ; la recherche de la valeur de l'inconnue i qui rend cette suite égale à £, serait donc alors impossible , si l'on ne parvenait pas à réduire la suite dans une série très-convergente. En lui appliquant la méthode dont on vient de parler, on trouve une expression fort simple de l'inconnue, de laquelle il résulte que si , par exemple , B a cent jetons, il y a un peu moins d'un contre un à parier que la partie sera finie en 28780 coups , et un peu plus d'un contre un à parier qu'elle sera finie dans 23781 coups.
Ces deux exemples, joints, à ceux que nous avons déjà donnés, suffisent pour faire voir comment les problèmes sur les jeux ont pu contribuer à la perfection de l'Analyse.
Des inégalités inconnues qui peuvent exister entre les chances que l'on suppose égales.
Les inégalités de ce genre ont sur les résultats du calcul des probabilités, une influence sensible qui mérite une attention particulière. Considérons le jeu de croix ou pile, et supposons qu'il soit également facile d'amener l'une ou l'autre face de la pièce. Alors la probabilité d'amener croix au premier coup est 7 , et celle de l'amener deux fois de suite , est \. Mais s'il existe, daué 1* pièce, une inégalité qui fasse paraître une des faces plutôt que Fautre , sans que l'on connaisse quelle est la face favorisée par cette inégalité , la probabilité d'amener croix au premier coup sera toujours f j parce que dans l'ignorance où l'on est de la face que cette inégalité favorise , autant la probabilité de l'événement simple est augmentée, si cette inégalité lui est favorable, autant elle est diminuée, si l'inégalité lui est contraire. Mais dans cette ignorance même, la probabilité d'amener croix deux fois de suite , est augmentée. En effet , cette probabilité est cielle d'amener croix au premier coup , multipliée par la probabilité que l'ayant amené au premier coup , on l'amènera au second ; or son arrivée au premier coup est un motif de croire que l'inégalité de la pièce le favorise ; l'inégalité inconnue augmente donc alors la probabilité d'amener croix au second coup; elle accroît par conséquent le produit des deux probabilités. Pour soumettre cet objet au calcul, supposons
que cette inégalité augmente d'un vingtième , la probabilité de l'événement simple qu'elle favorise. Si cet événement est croix , sa probabilité sera ~ plus — ou }£, et la probabilité de l'amener deux fois de suite , sera le ♦ carré de ~ ou j£. Si l'événement favorisé est pile, la probabilité de croix sera 7 moins ~ ou -^ , et la probabilité de l'amener deux fois de suite sera fe. Comme on n'a d'avance , aucune raison de croire que l'inégalité favorise l'un de ces événemens plutôt que l'autre, il est clair que pour avoir la probabilité de l'événement composé croix croix, il faut ajouter les deux probabilités précédentes , et prendre la moitié de leur somme; ce qui donne ££ pour cette probabilité qui surpasse £ , de +& ou du carré de l'accroissement •—■ que l'inégalité ajoute à la possibilité de l'événement qu'elle favorise. La probabilité d'amener pile pile est pareillement 7— ; mais les probabilités d'amener croix pile, ou pile croix ne sont chacune , que ^; car la somme de ces quatre probabilités doit égaler la certitude ou l'unité. On trouve ainsi généralement que les causes constantes et inconnues qui favorisent les événemens simples que l'on juge également possibles , accroissent toujours la probabilité de la répétition d'un mêpae événement simple.
Dans un nombre pair de coups, croix et pile doivent arriver tous deux , ou un nombre pair ou un nombre impair de fois. La probabilité de chacun de ces cas est £ , si les possibilités des deux faces sont égales ; mais s'il existe entre elles une inégalité inconnue, cette inégalité est toujours favorable au premier cas.
Deux joueurs, dont on suppose les adresses égales, jouent avec les conditions qu'à chaque coup , celui qui perd, donne un jeton à son adversaire , et que la partie dure , jusqu'à ce que l'un des joueurs n'ait plus de je-
SUR LES PROBABILITÉS. 5i
tons. Le calcul des probabilitésnous niontre que pour l'égalité du jeu , les mises des joueurs doivent être eti raison inverse de leurs jetons. Mais s'il existe entre leurs adresses, une petite inégalité inconnue, elle favorise celui des joueurs , qui a le plus petit nombre des jetons. Sa probabilité de gagner la partie augmente, si les joueurs conviennent de doubler, de tripler leurs jetons ; et elle serait } ou la même que la probabilité de l'autre joueur, dans le cas où les nombres de leurs jetons deviendraient infinis , en conservant toujours le même rapport.
On peut corriger l'influence de ces inégalités inconnues , en les soumettant elles-mêmes aux chances dtt hasard. Ainsi, au jeu de croix ovL pile, si l'on à nné seconde pièce que l'on projette chaque fois avec la première ; et que Fon convienne de nommer constamment croix, la face amenée par cette seconde pièce , la probabilité d'amener croix deux fois de suite, avec là première pièce , approchera beaucoup plus d'un quart , que dans le cas d'une seule pièce. Dans ce dernier cas, la différence est le catré dû petit accroissement de possibilité que l'inégalité inconnue donne à la face de la première pièce , qu'elle favorise : dans f autre cas , cette différence est le v quadruple produit de ce Carré , par le carré correspondant relatif à la seconde pièce.
Que l'on jette , dans une urne , cent numéros depuis un jusqu'à cent, dans l'ordre de la numération, et qu'après avoir agité l'urne, pour mêler ces numéros, on en tire un ; il est clair que si le mélange a été bien fait, les probabilités de sortie des numéros, seront les mêmes. Mais si l'on craint qu'il n'y ait entre elles , de petites différences dépendantes de l'ordre suivant lequel les numéros ont été jetés dans l'urne, on diminuera
considérablement ces différences , en jetant dans une seconde urne , ces numéros suivant leur ordre de sortie de la première urne , et en agitant ensuite cette seconde urne pour mêler ces numéros. Une troisième urne , une quatrième, etc., diminueraient de plus en plus ces différences déjà insensibles dans la seconde urne.
Dès Lois de la Probabilité, qui résultent de la multiplication indéfinie des événemens.
Au milieu des causes variables et inconnues que nous comprenons sous le nom de hasard, et qui rendent incertaine et irrégulière , la marche des événemens , on voit naître à mesure qu'ils se multiplient , une régularité frappante qui semble tenir à un dessein , et que l'on a considérée comme une preuve de la providence. Mais en y réfléchissant , on reconnaît bientôt que cette régularité n'est que le développement des possibilités respectives des événemens simples qui doivent se présenter plus souvent , lorsqu'ils sont plus probables. Concevons, par exemple, une urne qui renferme des boules blanches et des boules noires , et supposons qu'à chaque fois que l'on en tire une boule , on la remette dans l'urne pour procéder à un nouveau tirage. Le rapport du nombre des boules blanches extraites , au nombre des boules noires extraites , sera le plus souvent très-irrégulier dans les premiers tirages ; mais les causes variables de cette irrégularité , produisent des effets alternativement favorables et contraires à la marche régulière des événemens, et qui se détruisant mutuellement dans l'ensemble d'un grand nombre de tirages, laissent de plus en plus apercevoir le rapport des boules blanches aux boules noires contenues daus l'urne , ou les possi-
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bilités respectives d'en extraire une boule blanche ou une boule noire à chaque tirage. De là résulte le théorème suivant.
La probabilité que le rapport du nombre des boules blanches extraites, au nombre, total des boules sorties, ne s'écarte pas au-delà d'un intervalle donné, du rapport du nombre des boules blanches, au nombre total des boules contenues dans l'urne, approche indéfiniment de la certitude , par la multiplication indéfinie des événemens, quelque petit que l'on suppose cet intervalle. *i Ce théorème indiqué par le bon sens , était difficile à démontrer par l'Analyse. Aussi l'illustre géomètre Jacques Bernouilli qui s'en est occupé le premier, attachaitil une grande importance à la démonstration qu'il en a donnée. Le calcul des fonctions génératrices , appliqué à cet objet, non -seulement démontre avec facilité ce théorème ; mais de plus il donne la probabilité que le rapport des événemens observés , ne s'écarte que dans certaines limites , du vrai rapport de leurs possibilités respectives.
On peut tirer du théorème précédent , cette conséquence qui doit être regardée comme une loi générale , savoir, que les rapports des effets de la nature , sont à fort peu près constans , quand ces effets sont considérés en grand nombre. Ainsi , malgré la variété des années , la somme des productions pendant un nombre d'années considérable , est sensiblement la même ; en sorte que l'homme , par une utile prévoyance , peut se mettre à l'abri de l'irrégularité des saisons , en répandant également sur tous les temps, les biens que la nature distribue d'une manière inégale. Je n'excepte pas de la loi précédente , les effets dus aux causes morales. Le rapport des naissances annuelles à la population , et celui
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des mariages aux naissances , n'éprouvent que de trèspetites variations : à Paris, le nombre des naissances annuelles est à peu près le même ; et j'ai ouï dire qu'à la poste, dans les temps ordinaires, le nombre des lettres mises au rebut par les défauts des adresses , change peu, chaque année; ce qui a été pareillement observé à Londres.
Il suit encore de ce théorème , que dans une série d'événemens, indéfiniment prolongée, l'action des causes régulières et constantes doit l'emporter, à la longue , sur celle des causes irrégulières. C'est ce qui rend les gains des loteries , aussi certains que les produits de l'agriculture ; les chances qu'elles se réservent , leur assurant un bénéfice dans l'ensemble d'un grand nombre de mises. Ainsi des chances favorables et nombreuses étant con* stamment attachées à l'observation des principes éternels de raison, de justice et d'humanité, qui fondent et maintiennent les sociétés , il y a grand avantage à se conformer à ces principes , et. de graves inconvéniens à s'en écarter. Que l'on consulte les histoires et sa propre expérience , on y verra tous les faits venir à l'appui de ce résultat du calcul. Considérez les heureux effets des institutions fondées sur la raison et sur les droits naturels de l'homme, chez les peuples qui ont su les établir et les conserver. Considérez encore les avantages que la bonne foi a procurés aux gouvernemens qui en ont fait la base de leur conduite , et comme ils ont été dédommagés des sacrifices qu'une scrupuleuse exactitude à tenir ses engageai en s leur a coûté. Quel immense crédit au dedans! quelle prépondérance au dehors ! Voyez au contraire , dans quel abtme de malheurs les peuples ont été souvent précipites par l'ambition et par la perfidie de leurs chefs. Toutes les fois qu'une grande puis-
sance enivrée de l'amour des conquêtes, aspire à la domination universelle , le sentiment de l'indépendante produit entre les nations menacées , une coalition dont elle devient presque toujours la victime. Pareillement , au milieu des causes variables qui étendent ou qui ,res* «errent les divers états , les limites naturelles , en agissant comme causes constantes , doivent finir par prévaloir. Il importe donc à la stabilité comme au bonheur des empires , de ne pas les étendre au-delà de ces limites dans lesquelles ils sont ramenés sans cesse par l'action de ces causes ; ainsi que les eaux des mers , soulevées par de violentes tempêtes, retombent dans leurs bassins par la pesanteur. C'est encore un résultat du calcul des probabilités, confirmé par de nombreuses et funestes expériences. L'histoire traitée sous le point de vue de l'influence des causes constantes , unirait à l'intérêt de la curiosité , celui d'offrir aux hommes les plus utiles leçons. Quelquefois on attribue les effets inévitables de ces causes , à des circonstances accidentelles qui n'ont fait que développer leur action. Il est, par exemple, contre la nature des choses , qu'un peuple soit à jamais gouverné par un autre qu'une vaste mer ou une grande distance en sépare. On peut affirmer qu'à la longue , cette cause constante se joignant sans cesse aux causes variables qui agissent dans le même sens , et que la suite des temps développe , finira par en trouver d'assez fortes pour rendre au peuple soumis , son indépendance naturelle, ou pour le réunir à un état puissant qui lui soit contîgu.
Dans un grand nombre de cas, et ce sont les plus important de l'Analyse des hasards , les possibilités des événemens simples sont inconnues , et nous sommes ré* duits à chercher dans les événemens passés , des indices
qui puissent nous guider dans nos conjectures sur les causes dont ils dépendent. En appliquant l'Analyse des fonctions génératrices , au principe exposé ci-devant , sur la probabilité des causes, tirée des événemens observés, on est conduit au théorème suivant.
Lorsqu'un événement simple ou composé de plusieurs événemens simples , tel qu'une partie de jeu , a été répété un grand nombre de fois ; les possibilités des événemens simples qui rendent ce que l'on a observé , le plus probable, sont celles que l'observation indique avec le plus de vraisemblance : à mesure que l'événement observé se répète , cette vraisemblance augmente et finirait par se confondre avec la certitude , si le nombre des répétitions devenait infini.
Il y a ici deux sortes d'approximations : l'une d'elles est relative aux limites prises de part et d'autre, des possibilités qui donnent au passé lé plus de vraisemblance : l'autre approximation se rapporte à la probabilité que ces possibilités tombent dans ces limites. ta répétition de l'événement composé accroît de plus en plus cette probabilité, les limites restant les mêmes : elle resserre de plus en plus l'intervalle de ces limites, la probabilité restant la. même : dans l'infini , cet intervalle devient nul, et la probabilité se change en certitude.
Si l'on applique ce théorème , au rapport des naissances des garçons à celles des filles , observé dans lés diverses contrées de l'Europe , on trouve que ce rapport, partout à peu près égal à celui de 22 à ai, indique avec une extrême probabilité, une plus grande facilité dans les naissances des garçons. En considérant ensuite qu'il est le même à Naples et à Pétersbourg , on verra qu'à cet égard , l'influence du climat est insensible. On pouvait donc soupçonner, contre l'opinion commune, que cette
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supériorité des naissances masculines subsiste dans l'Orient même. J'avais en conséquence invité les savans français envoyés en Egypte, à s'occuper de cette -question- intéressante ; mais la difficulté d'obtenir des renseignemens précis sur les naissances , ne leur a pas permis de la résoudre. Heureusement, M. de Humboldt n'a point négligé cet objet dans l'immensité des choses nouvelles qu'il a observées et recueillies en Amérique , avec tant de sagacité, de constance et de courage. Il a retrouvé entre les tropiques, le même rapport des naissances des garçons à celles des filles que l'on observe à Paris ; ce qui doit faire regarder la supériorité des naissances masculines, comme une loi générale de l'espèce humaine. Les lois que suivent , à cet égard , les diverses espèces d'animaux , me paraissent dignes de l'attention des naturalistes.
Le rapport des naissances des garçons à celles des filles, différant très-peu de l'unité, des nombres même assez grands de naissances observées dans un lieu , pourraient offrir, à cet égard, un résultat contraire à la loi générale, sans que l'on fut en droit d'en conclure que cette loi n'y existe pas. Pour tirer cette conséquence , il faut employer de très-grands nombres, et s'assurer qu'elle est indiquée avec une grande probabilité. Buffon cite, par exemple, dans son Arithmétique politique, plusieurs communes de Bourgogne, où les naissances des filles ont surpassé celles des garçons. Parmi ces communes, celle de Carcelle-le-Grignon présente sur 2009 naissances pendant cinq années, 1026 filles et 983 garçons. Quoique ces nombres soient considérables , cependant ils n'indiquent une plus grande possibilité dans les naissances des filles, qu'avee la probabilité ■—; et cette probabilité plus petite que celle de ne pas amener
croix quatre fois de suite, au jeu de croix oujoi/e, n'est pas suffisante pour rechercher la cause de cette anomalie qui , selon toute vraisemblance , disparaîtrait , si Ton suivait, pendant un siècle, les naissances dans cette commune.
Les registres des naissances , que Ton tient avec soin pour assurer l'état 'des citoyens, peuvent servir à déter^miner la population d'un grand empire , sans recourir au dénombrement de ses habitans , opération pénible et difficile à faire avec exactitude. Mais il faut pour >cela, connaître le rapport de la population aux naissances annuelles. Le moyen d'y parvenir , le plus précis , consiste i° à choisir dans l'empire, des départemens distribués d'une manière à peu près égale sur toute sa surface , afin de rendre le résultat général , indépendant des circonstances locales ; 2° à dénombrer avec soin , pour une époque donnée, les habitans de plusieurs communes dans chacun de ces départemens; 3° à dé* terminer par le relevé des naissances durant plusieurs années qui précèdent et suivent cette époque, le nombre moyen correspondant des naissances annuelles. Ce nombre divisé par celui des habitans , donnera le rapport des naissances annuelles à la population, d'une manière d'autant plus sûre , que le dénombrement sera plus considérable. Le gouvernement convaincu de l'utilité d'un semblable dénombrement, a bien voulu en ordonner l'exécution, à ma prière. Dans trente départemens répandus également sur toute y la France, on a fait choix des communes qui pouvaient fournir les renseigne* mens les plus précis. Leurs dénombremens ont donné ao376i5 individus pour la somme totale de leurs habitans au 23 septembre 1802. Le relevé des naissances dans ces communes pendant les* années 1800, i8ot et 1802 , a donné le résultat suivant.
SXm LES PROBABILITÉS. 5g
Naissances.
no3 12 garçons.
105287 filles.
Marîagefc.
De'cès.
io365o hommes.
99443 femmes*
Le rapport de la population aux naissances annuelles est donc 28 r^TTTo ; A est pl us g^and qu'on ne lavait estimé jusqu'ici. En multipliant, par ce rapport, le nombre des naissances annuelles en France , on aura la population de ce royaume. Mais quelle est la probabilité que la population , ainsi déterminée , ne s'écartera pas de la véritable , au-delà d'une limite donnée ? En résolvant ce problème, et appliquant à sa solution les données précédentes, j'ai trouvé que le nombre des naissances annuelles en France, étant supposé d'un million, ce qui porte sa population à 28352845 babitans , il y a près de trois cent mille à parier contre un , que l'erreur de ce résultat n'est pa$ d'un demi-million.
Le rapport des naissances des garçons à celles des filles , qu'offre le relevé précédent , est celui de 22 à 2 1 ; et les mariages sont aux naissances , comme trois est à quatorze.
A Paris, les baptêmes des enfans des deux sexes S'écartent un peu du rapport de 22 à 21. Depuis 1745 , époque à laquelle on a commencé à distinguer les sexes sur les registres des naissances, jusqu'à la fin de 17849 on a baptisé , dans cette capitale , 393386 garçons et 37J555 filles. Le rapport de ces deux nombres est à peu près celui de 25 à 24 ; il parait donc qu'à Paris , une cause particulière rapproché de l'égalité, les baptêmes des deux sexes. Si l'on applique à cet objet le calcul des probabilités , on trouve qu'il y a 238 à parier contre un , en faveur de l'existence de cette cause , ce qui suffit pour «n autoriser la recherche. En y réfléchissant, il m'a
paru que la différence observée tient à ce que les pareus de la campagne et des provinces , trouvant quelque avantage à retenir près d'eux les garçons , en avaient envoyé à l'Hospice des Enfans-Trouvés de Paris , moins relativement aux filles , que suivant le rapport des naissances des deux sexes. C'est ce que le relevé des registres de cet hospice m'a prouvé. Depuis le commencement de 1745 jusqu'à la fin de 1809 , il y est entré 163499 £ ar ~ çons, et i5g4o5 filles. Le premier de ces nombres n'excède que d'un trente-huitième, le second qu'il aurait dû surpasser d'un vingt-quatrième. Ce qui confirme l'existence de la cause assignée , c'est qu'en n'ayant point égard aux enfans trouvés , le rapport des naissances des garçons à celles des filles, est à Paris, celui de 22 à ai. Les résultats précédens supposent que l'on peut assimiler les naissances , aux tirages des boules d'une urne qui renferme une infinité de boules blanches et de boules noires mêlées de manière qu'à chaque tirage , les chances de sortie soient les mêmes pour chaque boule ; mais il est possible que les variations des mêmes saisons dans les diverses années, aient quelque influence sur le rapport annuel des naissances des garçons à celles des filles. Le Bureau des Longitudes de France publie, chaque année , dans son Annuaire , le tableau du mouvement annuel de la population du Royaume. Les tableaux déjà publiés commencent à 18 17 î dans cette année ^et dans les cinq suivantes, il est né 2962361 garçons et 2781997 filles; ce qui donne à fort peu près f| pour le rapport des naissances des garçons à celles des filles. Les rapports de chaque année s'éloignent peu de N ce résultat moyen : le plus petit rapport est celui de 1822 , où il n'a été que ~\ ; le plus grand est de Tannée 18 17 , où il a égalé 7*. Ces rapports s'écartent sensible-
SUR LES PROBABILITES. 61
ment du rapport £ trouvé cî-dessus. En appliquant à cet écart, l'analyse des probabilités, dans l'hypothèse de l'assimilation des naissances , aux tirages des boules d'une urne , on trouve qu'il serait très-peu probable. Il paraît donc indiquer que cette hypothèse , quoique fort approchée , n'est pas rigoureusement exacte. Dans le nombre des naissances que nous venons d'énoncer , il y a en enfans naturels, 200494 garçons et 190698 filles. Le rapport des naissances masculines et féminines a donc été à leur égar J % , plus petit que le rapport moyen ff . Ce résultat est dans le même sens que celui des naissances des enfans trouvés ; et il semble prouver que , dans la classe des enfans naturels , les naissances des deux sexes approchent plus d'être égales, que dans la classe des enfans légitimes. La différence des climats du nord au midi de la France ne paraît pas influer sensiblement sur le rapport des naissances des garçons et des filles. Les trente départemens les plus méridionaux ont donné ff pour ce rapport , comme pour la France entière.
La constance de la supériorité des naissances des garçons sur celles des filles , à Paris et à Londres , depuis qu'on les observe , a paru à quelques savans , être une preuve de la providence sans laquelle ils ont pensé que les causes irrégulières qui troublent sans cesse la marche des événémens, aurait dû plusieurs fois, rendre les naissances annuelles des filles, supérieures à celles des garçons.
Mais cette preuve est un nouvel exemple de l'abus que l'on a fait si souvent des causes finales qui disparaissent toujours par un examen approfondi des questions , lorsqu'on a les données nécessaires pour les résoudre. La constance dont il s'agit , est un résultat des causes régulières qui donnent la supériorité aux naissances des garçons, et qui l'emportent sur les anomalies
6i ESSAI PHILOSOPHIQUE
dues au hasard , lorsque le nombre des naissances annuelles est considérable. La recherche de la probabilité que cette constance se maintiendra pendant un long espace de temps , appartient à cette branche de l'Analyse des hasards qui remonte des événemens passés à la probabilité' des événemens futurs; et il en résulte qu'en partant des naissances observées depuis iy^5 jusqu'en 1784, il y a J>rès de quatre à parier contre un, qu'à Paris les naissances annuelles des garçons surpasseront constamment, pendant un siècle, les*naissances des* filles ; il n'y a donc aucune raison de s'étonner que cela ait eu lieu pendant un demi-siècle.
Donnons encore un exemple du développement des rapports constans que les événemens présentent , à mesure qu'ils se multiplient. Concevons une série d'urnes disposées circularrement , et renfermant , chacune , un très -grand nombre de boules blanches et de boules noire» : les rapports des boules blanches aux noires 9 dans ces urnes , pouvant être très-différens à l'origine , et tels, par exemple, que Tune de ces urnes ne renferme que des boules blanches , tandis qu'une autre ne contient que des boules noires. Si Ton tire une boule de la première urne, pour la mettre dans la seconde ; qu'après avoir agité cette seconde urne , afin de bien mêler la boule ajoutée, avec les autres, on en tire une boule pour la mettre dans la troisième urne , et ainsi de suite jusqu'à la dernière urne dont on extrait une boule pour la mettre dans la première , et que l'on recommence indéfiniment cette série de tirages , l'Analyse des.pro* habilités nous montre que les rapports des boules blan* ches aux noires, dans ces urnes, finiront par être les mêmes et égaux au rapport de la somme de toutes les boules blanches , à la somme de toutes les boules noires
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contenues dans les urnes. Ainsi par ce mode régulier de changement , l'irrégularité* primitive de ces rapports disparaît à la longue pour faire place à Tordre le plus simple. Maintenant si entre ces urnes , on en intercale de nouvelles dans lesquelles le rapport de la somme des boules blanches , à la somme des boules noires qu'elles contiennent , diffère du précédent ; en continuant indéfiniment , sur l'ensemble de ces urnes , les extractions que nous venons d'indiquer , l'ordre simple établi dans les anciennes urnes sera d'abord troublé, et les rapports des boules blanches aux boules noires deviendront irréguliers ; mais peu à peu cette irrégularité disparaîtra pour faire place à un nouvel ordre qui sera enfin celui de l'égalité des rapports des boules blanches aux boules noires contenues dans les urnes. On peut étendre ces résultats à toutes les combinaisons de la nature, dans lesquelles les forces constantes dont leurs élémens sont animés, établissent des modes réguliers d'action, propres à faire éclore du sein même du chaos , des systèmes régis par des lois admirables.
Les phénomènes qui semblent le plus dépendre du hasard , présentent donc, en se multipliant , une tendance k se rapprocher sans cesse, de rapports fixes; de manière que ai l'on conçoit de part et d'autre de chacun de ces rapports , un intervalle aussi petit que l'on voudra , la probabilité que le résultat moyen des observations tombe dans cet intervalle, finira par ne différer de la certitude, que d'une quantité au-dessous de toute grandeur assignable. On peut ainsi , par le calcul des probabilités , appliqué à un grand nombre d'observations , reconnaître l'existence de ces rapports. Mais avant que d'en rechercher les causes , il est nécessaire , pour ne point s'égarer dans de vaines spéculations , de s'assurer qu'ils
sont indiqués avec une probabilité qui ne permet point de le» regarder comme des anomalies dues au hasard. La théorie des fonctions génératrices donne une expression très-simple de cette probabilité, que Ton obtient en intégrant le produit de la différentielle de la quantité dont le résultat déduit d'un grand nombre d'observations s'écarte de la vérité , par une constante moindre que l'unité, dépendante de la nature du problème, et élevée à une puissance dont l'exposant est le rapport du carré de cet écart , au nombre des observations. L'intégrale prise entre des limites données , et divisée par la même intégrale étendue à l'infini positif et négatif, exprimera la probabilité que l'écart de la vérité est compris entre ces limites. Telle est la loi générale de la probabilité des résultats indiqués par un grand nombre d'observations.
Application du Calcul des Probabilités , a la Philosophie naturelle.
Les phénomènes de la nature sont,, le plus souvent , enveloppés de tant dç circonstances étrangères , un si grand nombre de causes perturbatrices y mêlent leur influence , qu'il est très-difficile de les reconnaître. On ne peut y parvenir , qu'en multipliant les observations ou les expériences , afin que les effets étrangers venant à se détruire réciproquement , les résultats moyens mettent en évidence ces phénomènes et leurs élémens divers. Plus les observations sont .nombreuses , et moins elles s'écartent entre elles , plus leurs résultats approchent de la vérité. On remplit cette dernière condition , par le choix des méthodes d'observation , par la précision des instrumens , et par le soin que l'on met à bien obser-
SUR LES PROBABILITES. 65
ver : ensuite , on détermine, par la théorie des probabilités, les résultats moyens les plus avantageux, ou ceux qui donnent le moins de prise à l'erreur» Mais cela ne suffit pas ; il est , de plus , nécessaire d'apprécier la probabilité que les erreurs de ces résultats sont comprises dans des limites données : sans cela, on n'a qu'une connaissance imparfaite du degré d'exactitude obtenu. Des formules propres à ces objets, sont donc un vrai perfectionnement de la méthode des sciences , et qu'il est bien important d'ajouter à cette méthode. L'analyse qu'elles exigent , est la plus délicate et la plus difficile de la théorie des probabilités : c'est un des principaux objets de l'ouvrage que j'ai publié sur cette théorie , et dans lequel je suis parvenu à des formules de ce genre , qui ont l'avantage remarquable d'être indépendantes de la loi de probabilité des erreurs , et de ne renfermer que des quantités données par les observations mêmes , et par leurs expressions.
Chaque observation a , pour expression analytique , une fonction des élémens que l'on veut déterminer ; et si ces élémens sont à peu près connus , cette fonction devient une fonction linéaire de leurs corrections. En' l'égalant à l'observation même , on forme ce que l'on nomme équation de condition. Si l'on a un grand nombre d'équations semblables, ou les combine de manière à obtenir autant d'équations finales , qu'il y a d'élémens dont on détermine ensuite les corrections , en résolvant ces équations. Mais quelle est la manière la plus avan^ tageuse de combiner les équations de condition, pour obtenir les équations finales? Quelle est la loi de probabilité des erreurs dont les élémens que l'on en:tire sont encore susceptibles? c'est ce que la théorie des probabilités fait connaître. La formation d'une équation finale
au ' moyen des équations de condition , revient à multî* plier chacune de celles-ci , par un facteur indéterminé, et à réunir ces produits ; il faut donc choisir le système de facteurs qui donne la plus petite erreur à craindre. Or il est visible que si Ton multiplie les erreurs possibles d'un élément , par leurs probabilités respectives , le système le plus avantageux sera celui dans lequel la somme de ces produits , tous pris positivement , est un minimum $ car une erreur positive ou négative doit être considérée comme une perte. En formant donc cette somme de produits , la condition du minimum détermi* nera le système de facteurs qu'il convient d'adopter, ou le système le plus avantageux. On trouve ainsi que ce système est celui des cœfficiens des élémens , dans char que équation de condition ; en sorte que l'on forme une première équation finale, en multipliant respectivement chaque équation de condition , par son coefficient du premier élément, et en réunissant toutes ces équations ainsi multipliées. On forme une seconde équation finale, en employant de même les cœfficiens du second élément, et ainsi de suite. De cette manière, les élémens et les lois des phénomènes , renfermés dans le recueil d'un grand nombre d'observations , se développent avec le plus d'évidence.
La probabilité des erreurs que chaque élément laisse encore à craindre, est proportionnelle au nombre dont le logarithme hyperbolique est l'unité, élevé à une puissance égale au carré de Terreur, pris en moins , et multiplié par un coefficient constant qui peut être considéré comme le module de la probabilité des erreurs ; parce que l'erreur restant la même, sa probabilité décroît avec rapidité quand il augmente ; en sorte que l'élément obtenu pèse, si je puis ainsi dire, vers la vérité, d'autant
plus, que ce module est plus grand. Je nommerai par cette raison , ce module, poids de l'élément ou du résultat. Ce poids est le plus grand possible dans le système de facteur le plus avantageux ; c'est ce qui donne à ce système la supériorité sur les autres. Par une analogie remarquable de ce poids , avec ceux des corps comparés à leur centre commun de gravité, il arrive que si un même élément est donné par divers systèmes composés, chacun , d'un grand nombre d'observations , le résultat moyen le plus avantageux de leur ensemble est la somme des produits de chaque résultat partiel , par son poids , cette somme étant divisée par celle de tous les poids. De plus, le poids total du résultat des divers systèmes , est la somme de leurs poids partiels ; en sorte que la probabilité des erreurs du résultat moyen de leur ensemble, est prpportionnelle au nombre qui a l'unité pour logarithme hyperbolique , élevé à une puissance égale au carré de l'erreur , pris en moins , et multiplié par la somme de tous les poids. Chaque poids dépend , à la vérité , de la loi de probabilité des erreurs de chaque système, et presque toujours cette loi est inconnue ; mais je suis heureusement parvenu à éliminer le facteur qui la renferme, au moyen de la somme des carrés des écarts des observations du système, de leur résultat moyen. II serait donc à désirer, pour compléter nos connaissances sur les résultats obtenus par l'ensemble d'un grand nombre d'observations , qu'on écrivît à côté de chaque résultat, le poids qui lui correspond : l'Analyse fournit, pour cet objet , des méthodes générales et simples. Quand on a ainsi obtenu l'exponentielle qui représente la loi de probabilité des erreurs , on aura la probabilité que l'erreur du résultat est comprise dans des limites données, en prenant, dans ces limites, l'intégrale dupro-
duit de cette exponentielle par la différentielle de Ter-, reur, et en la multipliant par la racine carrée du poids du résultat , divisé par la circonférence dont le diamètre est l'unité. De là il suit que pour une même probabilité, les erreurs des résultats sont réciproques aux racines carrées de leurs poids; ce qui peut servir à comparer leurs précisions respectives.
Pour appliquer cette méthode avec succès , il faut varier les circonstances des observations ou des expériences , de manière à éviter les causes constantes d'erreur. Il faut que les observations soient nombreuses , et qu'elles le soient d'autant plus, qu'il y a plus d'élémens à déterminer ; car le poids du résultat moyen croît comme le nombres des observations, divisé par le nom- : bre des élémens. Il est encore nécessaire que les élémens suivent, dans ces observations , une marche différente; 1 car si la marche de deux élémens était rigoureusement la même , ce qui rendrait leurs coefficiens proportionnels dans les équations de condition, ces élémens ne formeraient qu'une seule inconnue, et il serait impossible de les distinguer par ces observations. Enfin, il faut que les observations soient précises : cette condition , la première de toutes , augmente beaucoup le poids du résultat, dont l'expression a , pour diviseur, la somme des carrés des écarts des observations, de ce résultat. Avec ces précautions , on pourra faire usage de la méthode précédente , et mesurer le degré de confiance que méritent les résultats déduits d'un grand nombre d'observations.
La règle que nous venons de donner pour conclure des équations de condition, les équations finales, revient à rendre un minimum , la somme des carrés des erreurs des observations ; car chaque équation de condition de-
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vient rigoureuse, en y substituant l'observation plus son erreur; et si Ton en tire l'expression de cette erreur, il est facile de voir que la condition du minimum de la somme des carrés de ces expressions , donne la règle dont il s'agit. Cette règle est d'autant plus pre'cise, que les observations sont plus nombreuses ; mais dans le cas même où leur nombre est petit, il parait naturel d'employer la même règle qui , dans tous les cas , offre un moyen simple d'obtenir, sans tâtonnement , les corrections que l'on cherche à déterminer. Elle peut servir encore à comparer la précision de diverses tables astronomiques d'un même astre. Ces tables peuvent toujours être supposées réduites à la même forme, et alors elles ne diffèrent que par les époques, les moyens mou vemens , et les coefficiens des argumens ; car si l'une d'elles contient un argument qui ne se trouve point dans les autres , il est clair que cela revient à supposer nul dans celles-ci , le coefficient de cet argument. Si , maintenant, on rectifiait ces tables , par la totalité des bonnes observations , elles satisferaient à la condition que la somme des carrés des erreurs soit un minimum ; les tables qui , comparées à un nombre considérable d'observations, approchent le plus de cette condition, méritent donc la préférence.
• C'est principalement dans l'Astronomie , que la méthode exposée ci-dessus peut être employée avec, avantage. Les tables astronomiques doivent l'exactitude vraiment étonnante qu'elles ont atteinte , à la précision des observations et des théories, et à l'usage des équations de . condition , qui font concourir un grand nombre d'excellentes observations à la correction d'un même élément. Mais il restait à déterminer la probabilité des erreurs que cette correction laisse encore à, craindre :
7 o ESSAI PHILOSOPHIQUE
c'est ce que la méthode que je viens d'exposer, fait connaître. Pour en donner quelques applications intéreà- , santés , j'ai profité de l'immense travail que M. Bouvard vient de terminer sur les mouvemens de Jupiter et de Saturne, dont il a construit des .tables très-précises. II a discuté , avec le plus grand soin , les oppositions et les quadratures de ces deux planètes, observées par Bradley et par les astronomes qui l'ont suivi jusqu'à ces dernières années ; il en a conclu les corrections des élémens de leur mouvement et leurs masses comparées à celle du soleil, prise pour unité. Ses calculs lui donnent la masse de Saturne égale à la 35 1 2 e partie de celle du soleil. En leur appliquant mes formules de probabilité, je trouve qu'il y a onze mille à parier contre un , que l'erreur de ce résultat n'est pas un centième de sa valeur, ou , ce qui. revient à très-peu près au même, qu'après un siècle de nouvelles observations ajoutées aux précédentes , et discutées de la même manière , le nouveau résultat ne différera pas d'un centième, de celui de M. Bouvard. Ce savant astronome trouve encore la masse de Jupiter égale à la 107 I e partie du soleil; et ma méthode de probabilité donne un million à parier contre un, que ce résultat n'est pas d'un centième, en erreur.
Cette méthode peut être encore appliquée , avec succès , aux opérations géodésiques. On détermine la longueur d'un grand arc à la surface de la terre, par une chaîne de triangles qui s'appuient sur une base mesurée avec exactitude. Mais quelque précision que l'on apporte dans la mesure des angles, les erreurs inévitables peuvent, en s'accumulant, écarter sensiblement de la vérité, la valeur de l'arc que l'on a conclu d'un grand nombre de triangles. On ne connaît donc qu'imparfaitement cette valeur , si l'on ne peut pas assigner la probabilité
que son erreur est comprise dans des limites données. L'erreur d'un résultat géodésique est une fonction des erreurs des angles de chaque triangle. J'ai donné, dans l'ouvrage cité, des formules générales pour avoir la probabilité des valeurs d'une ou de plusieurs fonctions linéaires d'un grand nombre d'erreurs partielles dont on connaît la loi de probabilité ; on peut donc, au moyen de ces formules , déterminer la probabilité que l'erreur d'un résultat géodésique est contenue dans des limites assignées , quelle que soit la loi de probabilité des erreurs partielles. Il est d'autant plus nécessaire de se rendre indépendant de cette loi , que les lois même les plus simples sont toujours infiniment peu probables, vu le nombre infini de celles qui peuvent exister dans la nature. Mais la loi inconnue des erreurs partielles introduit, dans les formules, une indéterminée qui ne permettrait point de les réduire en nombres, si l'on ne parvenait pas à l'éliminer. On a vu que dans les questions astronomiques où chaque observation fournit une équation de condition pour avoir les élémens, on élimine cette indéterminée , au moyen de la somme des carrés des restes , lorsqu'on a substitué dans chaque équation, les valeurs les plus probables des élémens. Les questions géodésiques n'offrant point de semblables équations , il faut chercher un autre moyen d'élimination. La quantité dont la somme des angles de chaque triangle observé surpasse deux angles droits , plus l'excès sphérique , fournit ce moyen. Ainsi l'on remplace par la somme des carrés de ces quantités , la somme des carrés des restes des équations de condition ; et l'on peut assigner en nombres, la probabilité que l'erreur du résultat final d'une suite d'opérations géodésiques , n'excède pas une quantité donnée. Mais quelle est la manière la plus
avantageuse de répartir entre les trois angles de chaque triangle, la somme observée de leurs erreurs ? L'analyse des probabilités fait voir que chaque angle doit être diminué du tiers de cette somme, pour que le poids d'un résultat géodésique soit le plus grand qu'il est possible ; ce qui rend une même erreur moins probable. Il y a donc beaucoup d'avantage à observer les trois angles de chaque triangle, et à les corriger comme on vient de. le dire. Le simple bon sens fait pressentir cet avantage ; mais le calcul des probabilités peut seul l'apprécier et faire voir que , par cette correction , il devient le plus grand qu'il est possible.
Pour s'assurer de l'exactitude de la valeur d'un grand arc qui s'appuie sur une base mesurée à l'une de ses extrémités, on mesure une seconde base vers l'autre extrémité, et l'on conclut, de l'une de ces bases, la longueur de l'autre. Si cette longueur s'écarte très-peu de l'observation , il y a tout lieu de croire que la chaîne de triangles , qui unit ces bases , est exacte à fort peu près, ainsi que la valeur du grand arc qui en résulte. On corrige ensuite cette valeur, en modifiant les angles des triangles, de manière que les bases calculées s'accordent avec les bases mesurées. Mais cela peut se faire d'une infinité de manières parmi lesquelles on doit préférer celle dont le résultat géodésique a le plus grand poids , puisque la même erreur devient moins probable. L'analyse des probabilités donne des formules pour avoir directement la correction la plus avantageuse qui résulte des mesures de plusieurs bases , et les lois de probabilité que fait naître la multiplicité des bases , lois qui deviennent plus rapidement décroissantes par cette multiplicité'.
Généralement, les erreurs des résultats déduits d'un
SUR LES PROBABILITES. 7 3
grand nombre d'observations sont des fonctions linéaires des erreurs partielles de chaque observation. Les coefficiens de ces fonctions dépendent de la nature du problème et du procédé suivi pour obtenir les résultats. Le procédé le plus avantageux est évidemment celui, dans lequel une même erreur dans les résultats , est moins probable que suivant tout autre procédé. L'application du calcul des Probabilités à la Philosophie naturelle, consiste donc à déterminer analytiquement la probabilité des valeurs de ces fonctions, et à choisir leurs coefficiens indéterminés , de manière que la loi de cette probabilité soit le plus rapidement décroissante. En éliminant ensuite des formules , par les données de la question , le facteur qu'introduit la loi presque toujours inconnue de la probabilité des erreurs partielles, on pourra évaluer numériquement la probabilité que les erreurs des résultats n'excèdent pas une quantité donnée. On aura ainsi tout ce que l'on peut désirer touchant les résultats déduits d'un grand nombre d'observations.
On peut encore obtenir des résultats fort approchés , par d'autres considérations. Supposons , par exemple , que l'on ait mille et une observations d'une même grandeur. La moyenne arithmétique de toutes ces observations est le résultat donné par la méthode la plus avantageuse. Mais on pourrait choisir le résultat d'après la condition que la somme de ses écarts de chaque valeur partielle , pris tous positivement , soit un minimum. Il paraît , en effet , naturel de regarder comme très-approché , le résultat qui satisfait à cette condition. Il est facile de voir que si l'on dispose les valeurs données par les observations, suivant l'ordre de grandeur, la valeur qui occupera le milieu, remplira la condition précé-
dente, et le calcul fait voir que dans le cas d'un nombre infini d'observations, elle coïnciderait avec la vérité. Mais le résultat donné par la méthode la plus avantageuse, est encore préférable.
On voit, par ce qui précède, que la théorie des probabilités ne laisse rien d'arbitraire dans la manière de répartir les erreurs des observations : elle donne, pour cette répartition , les formules les plus avantageuses, ou qui diminuent le plus qu'il est possible , les erreurs à craindre sur les résultats.
La considération des probabilités peut servir à démêler les petites inégalités des mouvemens célestes, enveloppées dans les erreurs des observations , et à remonter à la cause des anomalies observées dans ces mouvemens. Ce fut en comparant entre elles toutes ses observations, que Ticho-Brahé reconnut la nécessité d'appliquer à la lune, une équation du temps, différente de celle que Ton appliquait au soleil et aux planètes. Ce fut pareillement l'ensemble d'un grand nombre d'observations , qui fit connaître à Mayer, que le coefficient de l'inégalité de la précession , doit être un peu diminué pour la lune. Mais comme cette diminution, quoique confirmée et même augmentée par Mason , ne paraissait pas résulter delà gravitation universelle T la plupart des astronomes la négligèrent dans leurs calculs. Ayant soumis au calcul des probabilités, un nombre considérable d'observations lunaires , choisies dans cette vue, et que M. Bouvard voulut bien discuter à ma prière, elle me parut indiquée avec une probabilité si forte, t[ue je crus devoir en rechercher la cause. Je vis bientôt qu'elle ne pouvait être que Pellipticité du sphéroïde* terrestre, négligée jusqu'alors dans la théorie du mouvement lunaire , comme ne devant y produire que des
termes insensibles. J'en conclus que ces termes deviennent sensibles par les intégrations successives des équations différentielles. Je déterminai donc ces termes , par une analyse particulière; et je découvris, d'abord , l'inégalité du mouvement lunaire en latitude, qui est proportionnelle au sinus de la longitude de la lune , et qu'aucun astronome n'avait encore soupçonnée. Je reconnus ensuite , au moyen de cette inégalité , qu'il en existe une autre dans le mouvement lunaire en longitude , qui produit la diminution observée par Mayer dans l'équation de la précession , applicable à la lune. La quantité de cette diminution , et le coefficient de l'inégalité précédente en latitude , sont très-propres à fixer l'aplatissement de la terre. Ayant fait part de mes recherches à M. Burg qui s'occupait alors à perfectionner les tables de la lune , par la comparaison de toutes les bonnes observations ; je le priai de déterminer, avec tin soin particulier, ces deux quantités. Par un accord très-remarquable , les valeurs qu'il a trouvées , donnent à la terre, le même aplatissement^, aplatissement qui diffère peu du milieu conclu des mesures des degrés du méridien , et du pendule ; mais qui , vu l'influence des erreurs des observations et des causes perturbatrices, sur ces mesures, me paraît plus exactement déterminé par ces inégalités lunaires.
Ce fut encore par la considération des probabilités , , que je reconnus la cause de l'équation séculaire de la lune. Les observations modernes de cet astre, comparées aux anciennes éclipses , avaient indiqué aux astronomes, une accélération dans le mouvement lunaire ; mais les géomètres , et particulièrement Lagrange , ayant inutilement cherché , dans les perturbations que ce mouvement éprouve, les termes dont cette accélération dépend,
ils la rejetèrent. Un examen attentif des observations anciennes et modernes, et des éclipses intermédiaires observées par les Arabes , me fit voir qu'elle était indiquée avec une grande probabilité. Je repris alors, sous ce point de vue , la théorie lunaire, et je reconnus que l'équation < séculaire de la lune est due à l'action du soleil sur ce satellite , combinée avec la variation séculaire de l'excentricité de l'orbe terrestre; ce qui me fit découvrir les équations séculaires des mouvemens des nœuds et du périgée de l'orbite lunaire , équations qui n'avaient pas même été soupçonnées par les astronomes. L'accord très-remarquable de cette théorie , avec toutes' les observations anciennes et modernes , l'a portée au plus haut degré d'évidence.
Le calcul des probabilités m'a conduit pareillement à la cause des grandes irrégularités de Jupiter et de Saturne. En comparant les observations modernes aux anciennes , Halley trouva une accélération dans le mouvement de Jupiter , et un ralentissement dans celui de Saturne. Pour concilier les observations, ilassujétitces mouvemens à deux équations séculaires de signes contraires , et croissantes comme les carrés des temps écoulés depuis 1700. Euler et Lagrange soumirent à l'Analyse, les altérations que devait produire dans ces mouvemens, l'attraction mutuelle des deux planètes. Ils y trouvèrent des équations séculaires; mais leurs résultats étaient si diflerens , que l'un d'eux , au moins , devait être erroné. Je me déterminai donc à reprendre ce problème important de la Mécanique céleste , et je reconnus l'invariabilité des moyens mouvemens planétaires; ce qui fit disparaître les équations séculaires introduites par Halley , dans les tables de Jupiter et de Saturne. D ne restait ainsi , pour expliquer les grandes irrégularités
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£UR LES PROBABILITES.- 77
de ces planètes , que les attractions des comètes auxquelles plusieurs astronomes eurent effectivement recours , ou l'existence d'une inégalité à longue période , produite dans les mouvemens des deux planètes par leur action réciproque, et affectée de signes contraires pour chacune d'elles. Un théorème que je trouvai sur les inégalités de ce genre , me rendit cette inégalité trèsvraisemblable. Suivant ce théorème , si le mouvement de Jupiter s'accélère, celui de Saturne se ralentit, ce qui est déjà conforme à ce que Halley avait remarqué : de plus , l'accélération de Jupiter, résultante du même théorème , est au ralentissement de Saturne, à très-peu près dans le rapport des équations séculaires proposées par Halley. En considérant les moyens mouvemens de Jupiter et de Saturne, il me fut aisé de reconnaître que deux fois celui de Jupiter , ne diffère que d'une trèspetite quantité, de cinq fois celui de Saturne. La période d'une inégalité qui aurait pour argument cette différence, serait d'environ neuf siècles. A la vérité, son coefficient serait de l'ordre des cubes des excentricités des orbites ; mais je savais qu'en vertu des intégrations successives , il acquiert pour diviseur, le carré du trèspetit multiplicateur du temps dans l'argument de cette inégalité , ce qui peut lui donner une grande valeur ; l'existence de cette inégalité me parut donc très-probable. La remarque suivante accrut encore sa probabilité. En supposant son argument nul , vers l'époque des observations de Ticho-Brahé, je vis que Halley avait dû trouver par la comparaison des observations modernes aux anciennes , les altérations qu'il avait , indiquées ; tandis que la comparaison des observations modernes entre elles, devait offrir des altérations contraires et pareilles à celles que. Lambert avait conclues de cette
comparaison. Je n'hésitai donc point à entreprendre le calcul long et pe'nible, nécessaire pour réassurer de l'existence de cette inégalité. Elle fut entièrement confirmée par le résultat de ce calcul qui , de plus , me fit connaître un grand nombre d'autres inégalités dont l'ensemble a porté les tables de Jupiter et de Saturne,, à la précision des observations mêmes.
Ce fut encore au moyen du calcul des probabilités , que je reconnus la loi remarquable des mouvemens moyens des trois premiers satellites de Jupiter, suivant laquelle la longitude moyenne du premier , moins trois fois celle du second , plus deux fois celle du troisième , est rigoureusement égale à la demi-circonférence. L'approximation avec laquelle les moyens mouvemens de ces astres satisfont à cette loi, depuis leur découverte, indiquait son existence avec une vraisemblance extrême; j'en cherchai donc la cause, dans leur- action mutuelle. L'examen approfondi de cette action , me fit voir qu'il a suffi qu'à l'origine , les rapports de leurs moyens mouvemens aient approché de cette loi , dans certaines limites , pour que leur action mutuelle l'ait établie et la maintienne en rigueur. Ainsi ces trois corps se balanceront éternellement dans l'espace , suivant la loi précédente ; à moins que des causes étrangères , telles que les comètes , ne viennent changer brusquement leurs mouvemens autour de Jupiter.
On voit, par là, combien il faut être attentif aux indications de la nature, lorsqu'elles sont le résultat d'un grand nombre d'observations , quoique d'ailleurs elles soient inexplicables pari les moyens connus. L'extrême difficulté des problèmes relatifs au système du monde, a forcé les géomètres de recourir à des approximations qui laissent toujours à craindre que les quantités négli-
§Uf^ LES PROBABILITES. 79
gées n'aient une influence sensible. Lorsqu'ils ont été avertis de cette influence , par les observations , ils sont revenus sur leur analyse : en la rectifiant , ils ont toujours retrouvé la cause des anomalies observées ; ils en ©ut déterminé les lois, et souvent, ils ont devancé l'observation , en découvrant des inégalités qu'elle n'avait pas encore indiquées. Ainsi l'on peut dire que la nature elle-même a concouru à Ja perfection analytique des théories fondées sur le principe de la pesanteur universelle ; et c'est , à mon sens , une des plus fortes preuves de la vérité de ce principe admirable.
Dans les cas que je viens, de considérer, la solution analytique des questions a converti la probabilité des causes , en certitude. Mais le plus souvent cette solution est impossible, et il ne reste qu'à augmenter de plus en plus cette probabilité. Au milieu des nombreuses et incalculables modifications que l'action des causes reçoit alors des circonstances étrangères , ces causes conservent toujours avec les effets observés, des rapports propres à les faire reconnaître et à vérifier leur existence. En déterminant ces rapports , et en les comparant avec un grand nombre d'observations , si l'on trouve qu'ils y satisfont constamment , la probabilité des causes pourra «'en accroître au point d'égaler celle des faits sur lesquels on ne se permet aucun doute. La recherche de ces rapports des causes à leurs effets , n'est pas moins utile dans la philosophie naturelle, que la solution directe des problèmes, soit pour vérifier la réalité de ces causes, soit pour déterminer les lois de leurs effets 5 pouvant être employée dans un grand' nombre de questions dont la solution directe n'est pas possible, elle la remplace de la manière la plus avantageuse. Je vais exposer ici l'application que j'en ai faite à l'un des .plus intéressans
8o . ESSAI PHILOSOPHIQUE»
phénomènes de la nature, au flux et au reflux delav mèr.
Pline le naturaliste a donné de ce phénomène, une description remarquable par son exactitude, et dans laquelle on voit que les anciens avaient observé que les marées de chaque mois sont les plus grandes vers les syzygies , et les plus petites vers les quadratures ; qu'elles sont plus hautes dans le périgée que dans l'apogée de la lune, et dans les équinoxes, que dans les solstices. Ils en avaient conclu que ce phénomène est dû à l'action du soleil et de la lune sur la mer. Dans la préface de son ouvrage De Stella Martis, Kepler admit une tendance des eaux de la mer vers la lune ; mais ignorant la loi de cette tendance, il ne put donner sur cet objet, qu'un aperçu vraisemblable. Newton convertit en certitude la probabilité de cet aperçu , en le rattachant à son grand principe de la pesanteur universelle. Il donna l'expression exacte des forcés attractives qui produisent le flux et le reflux de la mer; et pour en déterminer les effet*, il supposa que la mer prend, à chaque instant, la figure d'équilibre qui convient à ces forces. Il expliqua de cette manière les principaux phénomènes des marées ; mais il suivait de cette théorie , que dans nos ports , les deux marées du même jour seraient fort inégales, lorsque le soleil et la lune auraient une grande déclinaison. À Brest , par exemple, la marée du soir serait, dans les syzygies des solstices , environ huit fois plus grande que la marée du matin; ce qui est entièrement contraire aux observations qui prouvent que ces deux marées sont à fort- peu près égales. Ce résultat de la théorie newtonienne pouvait tenir à la supposition que la mer parvient à chaque instant à la figure d'équilibre , supposition qui n'est pas admissible. Mais la recherche de la
SUR LES PROBABILITES. Si
vraie figure de la mer présentait de grandes difficultés. 'Aidé par les découvertes que les géwaètres venaient de faire sur la théorie du mouvement des fluides et sur le calcul aux différences paxtifllles^ j'entrepris cette recherche, et je donnai les équations différentielles du mouvement de la mer, en supposant qu'elle recouvre la terre entière. En me approchant ainsi de la nature, j'eus la satisfaction de voir que mes- résultat» se rapprochaient des observations , surtout à l'égard du peu de différence qjii existe , dans nos ports % entre les deux marées syay~gies soJsJticiales d'au même jouis Je trouvai qu'elles seraient égales , si la mer avait partout la même profondeur ; je trouvai enewe qu'en donnant à cette profondeur * des valeurs convenables, on pouvait Mgmentcr la hauteur d&s marées dans un port, conformément aux observations. Mais ces cherche*, maigre leur généralité, ne Sfttisfai^ai^nt point aux grandes diiïérences que présentent , k cet égard f des ports a^me très-voisin», et qui pïovven.t l'influence des circonstances locales. L'imr possibilité de connaître ces circonstances et l'irrégularité du bassin des mers, et celle d'intégrer les équations aux différences partielles qui y sont relatives, m'a forcé d'y suppléer par la méthode que j'ai ci-dessus indiquée. J'ai donc cherché à déterminer le plus de rapports qu'il est possible , entre les forces qui sollicitent toutes les molé^cules de la mer , et leurs effets observables dans nos ports. Pour cela j'ai fait usage du principe suivant, qui penjt s'appliquer à beaucoup d'autres phénomènes.
. « L'état d'uu système de corps, dans lequel les con-
3» ditions primitives du mouvement ont disparu par les
» rés&ances que ce mouvement éprouve, est périodique
« comme les fotces qui l'animent. »
En combinant ce principe , avec celui de la eoexts-
Si ESSAI PHILOSOPHIQUE
tence des oscillations très-petites, je suis parvenu à une expression de la hauteur des marées , dont les arbitraire* comprennent 1'eflet des circonstances locales de chaque port, et sont réduites au plus petit nombre possible : il ne s'agissait plus que de la comparer à un grand nombre d'observations.
Sur l'invitation de l'Académie de? Sciences^ on fit à Brest , au commencement du dernier siècle, des observations des marées , qui furent continuées pendant les ' six années consécutives. La situation de ce port est trèsfavorable à ce genre d'observations : il communique avec la mer, par un canal qui aboutit à une rade fort vaste , au fond de laquelle le port a été construit. Les irrégularités de la mer parviennent ainsi dans ce»port, très-affaiblies ; à peu près , comme les oscillations que le mouvement irrégulier d'un vaisseau produit dans le baromètre , sont atténuées par un étranglement fait au tube de cet instrument. D'ailleurs les marées étant considérables à Brest , les variations accidentelles causées par les vents , n'en sont qu'une faible partie : aussi l'on remarque dans les observations de ces marées , pour peu qu'on les multiplie , une grande régularité qui «ne fit proppser au gouvernement, d*ordonner dans ce port, une nouvelle suite d'observations des marées , continuée pendant- une période du mouvement des nœuds de l'orbite lunaire. C'est ce que l'on a entrepris. Ces observations datent du i cr juin de l'année' 1806 , et depuis cette époque, elles ont été faites , chaque jour, sans interruption. Je dois au zèle infatigable de M. Bouvard, pour tout ce qui intéresse l'Astronomie, les calculs immenses que la comparaison de mon analyse avec les observations, a exigés. Il y a employé près de six mille observations faites pendant l'année 1807 et les quinze années
SUR LES PROBABILITES. 83
suivantes. Il résulte de cette comparaison , que mes formules représentent avec une précision remarquable, toutes les variétés des marées, relatives à l'élongation de la lune au soleil , aux déclinaisons de ces astres , à leurs distances à la terre et aux lois de variation près du maximum et du minimum de chacun de ces élémens. Il résulte de cet accord , une probabilité que le flux et le reflux de la mer est dû à l'attraction du soleil et de la lune, si approchante de la certitude, qu'elle ne doit laisser lieu à aucun doute raisonnable. Elle se change en certitude quand on considère que cette attraction dérive de la loi de la pesanteur universelle démontrée par tous les phénomènes célestes.
L'action de la lune sur la mer est plus que double de celle du soleil. Newton et ses successeurs n'avaient eu égard , dans le développement de cette action , qu'aux termes divisés par le cube de la distance de la lune à la terre, jugeant que les effets dus aux termes suivans devaient être insensibles. Mais le calcul des probabilités fait . voir que les plus petits effets des causes régulières peuvent se manifester dans les résultats d'un très-grand nombre d'observations disposées dans l'ordre le plus propre à les indiquer. Ce calcul détermine encore leur probabilité, et jusqu'à quel point il faut multiplier les observations pour la rendre fort grande. En l'appliquant aux nombreuses observations discutées par M. Bouvard, fai reconnu qu'à Brest, l'action de la lune sur la mer est plus grande dans les pleines lunes que dans les nouvelles lunes , et lorsque la lune est australe , que lorsqu'elle est boréale ; phénomènes qui ne peuvent résulter que des (fermes de Faction lunaire , divisés par la quatrième puissance de la distance de la lune à la terre. Pour arriver à l'Océan , l'action du soleil et de la lune
traverse l'atmosphère qui doit par conséquent en éprouver l'influence , et être assujétie à des mouvemens semblables à ceux de la mer. Ces mouvemens produisent dans le baromètre , des oscillations périodiques. L'analyse m'a fait voir qu'elles sont insensibles dans nos climats,. Mais comme les circonstances locales accroissent considérablement les marées dans nos ports , j'ai recher- . ché si des circonstances pareilles ont rendu sensibles ces oscillations du baromètre. Pour cela , j'ai fait usage des observations météorologiques que l'on fait, chaque jour» depuis plusieurs années à l'Observatoire royal. Les hauteurs du baromètre et du thermomètre y sont observées à neuf heures du matin , à midi , à trois heures et à onze heures du soir. M. Bouvard a bien voulu relever sur ses registres les observations des huit années écoulées depuis le I er octobre i8i5 jusqu'au I er octobre i8a3. En disposant ces observations , de la manière la plus propre à indiquer le flux lunaire atmosphérique i Paris, je ne trouve qu'un dix-huitième de millimètre pour l'étendue de l'oscillation correspondante du baromètre. C'est ici , surtout , que se fait sentir la nécessité d'une méthode pour déterminer la probabilité d'un résultat , méthode sans laquelle on est exposé à présenter comme lois de la nature, les effets des causes irrégulières ; ce qui est arrivé souvent en Météorologie. Cette méthode appliquée au résultat précédent , en montre l'incertitude, malgré le grand nombre d'observations employées f qu'il faudrait décupler pour obtenir un résultat suffisamment' probable.
Le principe qui sert de base à ma théorie des marées peut s'étendre à tous les effets du hasard auquel.se joignent des causes variables suivant des lois régulières. L'action de ces causes produit dans les résultats moyens
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d'un grand nombre d'effets , des variétés qui suivent les mêmes lois, et que l'on peut reconnaître par l'analyse des probabilités. A mesure que les effets se multiplient , ces variétés se manifestent avec une probabilité toujours croissante qui se confondrait avec la certitude, si le nombre de ces effets devenait infini. Ce théorème est analogue à celui que j'ai développe précédemment sur l'action des causes constantes. Toutes les fois donc qu'une cause dont la marche est régulière, peut influer sur un genre d'événemens, nous pouvons chercher à reconnaître son influence, en multipliant les observations et en l«es disposant dans l'ordre le plus propre A l'indiquer. Quand cette influence paraît se manifester, l'analyse des probabilités détermine la probabilité de son existence et celle de son intensité. Ainsi la variation de la tempe* rature du jour à la nuit , pouvant modifier la pression de l'atmosphère, et par conséquent les hauteurs du baromètre, il est naturel de penser que des observations multipliées de ces hauteurs doivent manifester' l'influence de la chaleur solaire. En effet , on a reconnu depuis long-temps, à Féquateur où cette influence paraît être la plus grande,- une petite variation diurne dans la hauteur du baromètre, dont le maximum a lieu vers neuf heures du matin, et le minimum, vers trois heures du soir. Un second maximum a lieu vers ox*ze heures dti soir, et le second minimum vers quatre heures du matin; ]>s oscillations de la nuit sont moindres que celles du jour, dont l'étendue. est d'environ deux millimètres. L'inconstance de nos climats n'a point dérobé cette variation à nos observateurs , quoiqu'elle y soit moins sensible qu'entre les tropiques. M. Ramond l'a reconnue et déterminée à Germant, chef -lieu du département du Puy-tU-D6me , par une suite d'observations précises,
faites pendant plusieurs années ; il a même trouvé qu'elle est plus petite dans les mois d'hiver, que dans les autres mois. Les nombreuses observation^ que j'ai discutées pour reconnaître l'influence des attractions du soleil et dé la lune sur les hauteurs barométriques à Paris , m'ont servi à déterminer leur variation diurne. En comparant les hauteurs de neuf heures du matin à celles des mêmes jours à trois heures du soir , cette variation s'y manifeste avec une telle évidence, que sa valeur moyenne de chaque mois a été constamment positive pour chacun des 72 mois écoulés depuis le I er janvier 18 17 , jusqu'au i ep janvier 1823 : sa valeur moyenne dans ces 72 mois a été à fort peu près , huit dixièmes de millimètre, un peu plus petite qu'à Qermont, et beaucoup moindre qu'à l'équateur. J'ai reconnu que le résultat moyen des variations diurnes du baromètre, de neuf heures du matin , à trois heures du soir, n'a été que de o m ,54^8 dans les trois mois de novembre , décembre et janvier , et qu'il s'est élevé à i m ,o563 dans les trois mois suivans ; ce qui coïncide avec les observations de M. Ramond. Les autres mois ne m'ont offert rien de semblable.
Pour appliquer à ce phénomène le calcul des probabilités, j'ai commencé par déterminer la loi de probabilité des anomalies de Jia variation diurne , dues au hagard. En l'appliquant ensuite aux observations de ce phénomène, j'ai trouvé qu'il y a plus de trois cent mille à parier contre un , qu'une cause régulière le produit. Je ne cherche point à déterminer cette cause : je me borne à constater son existence. La période de la variation diurne, réglée sur le jour solaire, indique évidemment que dette variation est due à l'action du soleil. L'extrême petitesse de l'action attractive du soleil sur
Sim LES PROBABILITÉS. 85
l'atmosphère, est prouvée par la petitesse des effets dus aux attractions réunies du soleil et de la lune. C'est donc par 1 action de sa chaleur, que le soleil produit la variation diurne du baromètre; mais il est impossible de soumettre au calcul , les effets de cette action sur la hauteur du baromètre et sur les vents.
La variation diurne de l'aiguille aimantée, est certainement un effet de l'action du soleil. Mais cet astre agit-il ici, comme dans la variation diurne du baromètre, par sa chaleur, ou par son influence sur l'électricité et sur le magnétisme, ou enfin par la réunion de ces influences ? c ? est ce qu'une longue suite d'observations faites dans divers pays pourra nous apprendre.
L'un des phénomènes les plus remarquables du système du monde, * est celui de tous les mouvemens de rotation et de révolution des planètes et des satellites , dans le sens de- la rotation du soleil , et à peu près dans le plan de son équateur. Un phénomène aussi remarquable n'est point l'effet du hasard : il indique une cause générale qui a déterminé tous ses mouvemens. Pour avoir la probabilité' avec laquelle cette cause est indiquée, nous observerons que le système planétaire tel que nous le connaissons aujourd'hui , esf composé de onze planètes et de dix- huit satellites, du moins si l'on attribue, avec Herschel, six satellites à la planète Uranus. On a reconnu les mouvemens de rotation du soleil, de six planètes , de la lune ; des satellites de Jupiter, de l'anneau de Saturne, et d'un de ses satellites. Ces mouvemens forment avec ceux de révolution , un* ensemble de quarante-troisimouvemens dirigés dans le même sens; or on trouve, par 'l'analyse des probabilités, qu'il y a plus de quatre jmllennilliards à parier contre un ; que cette disposition, n'est pas l'effet du hasard ; ce qui forme
8S ESSAr PHILOSOPHQUE
une probabilité bien supérieure A celle des ^véttemens historiques sur lesquels on ne se permet aucun doute. Nous devons donc croire, au moins avec la même -confiance , qu'une cause primitive a dirige les mouvement planétaires ; surtout si nous considérons que l'inclinaison du plus grand nombre de ces moavemens à Féquatfcur solaire* est fort petite.
Un autre phénomène également remarquable du système solaire * est le peu d'excentricité des orbes des planètes et des satefiiees, tandis que ceux des comètes sowt très^aflongés : les orbes de ce système n'offrant point de nuances intermédiaires entre une grande et nne petite excentricité. Nous sommes encore forcés die reconnaître ici l'effet <L»une cause régulière : le hasard n'eût point donné une ferme presque circulaire aux orbes de toutes les planètes et de leurs satellites vil est detoc nécessaire que là cause qui a déterminé les meuvemens de ces corps > les ait rendus presque circulaires. Il faut encore que les grandes excentricités des orbes des comètes ré* sultenÉ de l'existence de cette cause, sans qu'elle s*t mflué sur les directions de leurs mouvemens; car* on trouve qu'il y a presque autant de comètes rétrogrades , que de comètes directes * et que l'inclinaison moyenne de tous leurs orbes à l'écliptïqne^ approche très-près d'un demiaagle droit, comme cela doit être , si ees corps ont été lancés au hasard.
Qoelle que sett k nature de 1a cause dent il s'agit, puisqu'elle a produit ou dirigé les mouvemens des pla- «êtes-, il fii ut quelle ait embrassé tous ces corps; et vu les distances qui les séparent , «lie ne peut «voir été qu'uaa fluide d'une immense étendue : pour leur avoir donné dans le même sens, un mouvement presque circulaire autour du soleil; il faut qtae ce fluide ait envi*-
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ronné cet astre, comme une atmosphère. La considération des mouvemens planétaires nous coudait donc à penser qu'en vertu d'une chaleur excessive, l'atmosphère du soleil s'est primitivement étendue au-delà des orbes de toutes les planètes , et qu'elle s'est resserrée successivement jusqu'à ses limites actuelles.
Dans l'état primitif où nous supposons le soleil, 3 ressemblait aux nébuleuses que le télescope nous montre composées d'un noyau plus ou moins brillant, entouré, d'une nébulosité qui , en se condensant à la surface du noyau, doit le transformer, un jour, en étoile. Si l'on conçoit par analogie , toutes les étoiles formées de cette manière, on peut imaginer leur état antérieur de nébulosité, précédé hcvmême par d'autres états dans lesquels la matière nébuleuse était de plus en plus diffuse, le noyau étant de noms en moins lumineux et dense. On arme ainsi , en remontant aussi loin qu'il est possible , a une nébulosité tellement diffuse, que l'on pourrait i peine en soupçonner l'existence.
Tel est, en effet , le premier état des nébuleuses que Hersehel a observées avec un soin particulier, au moyen deaes puissans télescopes, et dans lesquelles il a suivi les progrès de la condensation , non *ur une seule, ces progrès ne pouvant devenir sensibles pour npus , qu'après des -siècles , mais sur leur ensemble ; à peu près comme on peut, dans une vaste forêt, suivre l'accroissement' des arbres, aur les individus de dtaers iges qu'elle rôt-*fem«v il a d'abord observé la matière nébuleuse répandue <eu «mas divers, dans les différentes partie$ du ciel dont eue occupe une grande étendue. Il a vu dan*quel~ ' quefrnns de ces amas , cette matière faiblement condensée autour d'un *u de plusieurs noyaux peu briliaus. Dans d'autres nébuleuses, ces noygux briHcnt
go ESSAI PHILOSOPHIQUE
davantage relativement à la nébulosité qui les envi* ronne. Les atmosphères de chaque noyau , venant à se séparer par une condensation ultérieure, il en résulte des nébuleuses multiples formées de noyaux brillans très-voisins et environnés , chacun , d'une atmosphère : quelquefois , la matière nébuleuse en se condensant d'une .manière uniforme , a produit les nébuleuses que Ton nomme planétaires. Enfin , un plus grand degré .de condensation transforme toutes ces nébuleuses en étoiles. Les nébuleuses classées d'après cette vue philosophique, indiquent, avec une extrême vraisemblance, leur transformation future en étoiles , et l'état antérieur de nébulosité , des étoiles existantes. Les considérations suivantes viennent à l'appui des preuves tirées de ces analogies. <
Depuis long-temps , la disposition particulière de quelques étoiles visibles à la vue simple, a frappé des observateurs philosophes. Mitchel a déjà remarqué combien il est peu probable que les étoiles des Pléiades , par exemple , aient été resserrées dans l'espace étroit qui les renferme , par les seules chances du hasard ; et il en a conclu que ce groupe d'étoiles, et les groupes semblables que le ciel nous présente, sont les effets d'une cause primitive, ou d'une loi générale de la nature. Ces groupes sont un résultat nécessaire de la condensation des nébuleuses à plusieurs noyaux ; car il est visible que la matière nébuleuse étant sans cesse attirée par ces noyaux divers , ils doivent former à la longue un groupe d'étoiles , pareil à celui des Pléiades. La condensation des nébuleuses, à deux noyaux forme semblablement des étoiles très-ràpprochées tournant l'une autour de l'autre, pareilles à celles dont Herschel a déjà considéré les mouvemsns respectifs. Telles sont encore la soixante-unièm#
du Cygne et sa suivante, dans lesquelles Bessel vient de reconnaître des mouvemens propres , si considérables et si peu 'différens , que la proximité de ces astres entre eux , et leur mouvement autour de leur centre commun de gravité , ne doivent laisser aucun doute. Ainsi , Ton descend par les progrès de condensation de la matière nébuleuse, à la considération du soleil environné autrefois d'une vaste atmosphère, considération à laquelle on îremonte , comme on l'a vu , par l'examen des phénomènes du système solaire. Une rencontre aussi remarquable donne à l'existence de cet état antérieur du soleil, une probabilité fort approchante de la certitude.
Mais comment l'atmosphère solaire a-t-elle déterminé les mouvemens de rotation et de révolution des planète? et des satellites? Si ces corps avaient pénétré profondément dans cette atmosphère, sa résistance les aurait fait tomber sur le soleil ; on est donc' conduit à croire, ârvec beaucoup de vraisemblance , que les planètes ont été formées aux limites successives de l'atmosphère solaire qui en se resserrant par le refroidissement; a dû abandonner dans le plan de son équateur, des zones de vapeurs que l'attraction mutuelle de leurs molécules a changées en divers sphéroïdes. Les satellites ont été pareillement formés par les atmosphères de leurs planètes respectives.
J'ai développé avec étendue, dans mon Exposition du Système du monde > cette hypothèse qui mé paraît satisfaire à tous les phénomènes que tee système nous présente. Je me bornerai ici à considérer que la vitesse angulaire de rotation du soleil et des planètes , s'étant accélérée, par la condensation* successive de leurs atmosphères à leurs surfaces, elle doit surpasser la vitesse angulaire de révolution des corps le* plus voisins qui
circulent autour d'eux. C'est , en effet , ce que l'observa* tion confirme à l'égard des planètes et des satellites , et même par rapport à l'anneau de Saturne dont la durée de révolution est o>,438 , tandis que la durée de rotation de Saturne est 01,427.
Dans cette hypothèse, les comètes sont étrangères au système planétaire. En attachant leur formation à' celle des nébuleuses, on peut les regarder comme de petites nébuleuses à noyaux, errantes de systèmes en systèmes solaires , et formées par la condensation de la matière nébuleuse répandue avec tatot de profusion dans l'univers. Les comètes .seraient ainsi , par rapport à notre système , ce , que les aérolithes sont relativement à la terre, à laquelle ils paraissent étrangers. Lorsque ces astres deviennent visibles pour nous, ils offrent une ressemblance si parfaite avec les nébuleuses , qu'on les confond souvent avec elle»; et èe n'est que par leur mouvement , ou par la connaissance de tontes les nébuleuses renfermées dans la partie du ciel où ils se montrent, qu'on parvient à les en distinguer. Cette supposition explique d'une manière heureuse, la grande extension que prennent les têtes et les queues des comètes , à mesure qu'elles approchent du soleil, et l'extrême rareté de ces queues qui malgré leur immense profondeur, n'affiuUissent point sensibler ment l'éclat des étoiles que l'on voit à travers.
Lorsque de petites nébuleuses parviennent dajots la partie de l'espace où l'attraction du $oleil est prédominante , et que nous nommerons sphère d'activité de cet astre , il les force à décrire cfes orbes elliptiques ou hyperboliques. Mais leur vitesse étant également possiUe suivant toutes les directions, elles doivent se mouvoir indifféremment dans tous tes sens et sous toute* les inclinaisons à l'éct ptique^ oe qui est conforme à ce que l'on observe.
La grande excentricité des orbes cométaires , résulte encore de l'hypothèse précédente. En effet, si ces orbes sont elliptiques, ils sont très-allongés , puisque leurs grands axes sont au moins égaux au rayon de la sphère d'activité du soleil. Mais ces orbes peuvent être hyperboliques , et si les axes de ces hyperboles ne sont pas très-grands par rapport à la moyenne distance du soleil à la terre, le mouvement des comètes qui les décrivent , paraîtra sensiblement hyperbolique. Cependant sur cent comètes dont on a déjà les élémens, aucune n'a paru certainement se mouvoir dans une hyperbole ; il faut donc que les chances qui donnent une hyperbole sensible, soient extrêmement rares par rapport aux chances contraires.
Les comètes sont si petites , que pour devenir visibles, leur distance du périhélie doit être peu considérable. Jusqu'à présent cette distance n'a surpassé que deux fois, le diamètre de l'orbe terrestre, et le plus souvent , elle a été au-dessous du rayon de cet orbe. On conçoit que pour approcher si près du soleil , leur vitesse au moment de leur entrée dans sa sphère d'activité , doit avoir une grandeur et une direction, comprises dans d'étroites limités. En déterminant, par l'analyse des probabilités, le rapport des chances qui , dans ces limites , donnent. une hyperbole sensible , aux chances qui donnent un orbe que 1W puisse confondre avec une parabole , j'ai trouvé qu'il y a six mille au moins, à parier contre l'unité, qu'une nébuleuse qui pénètre dans la sphère d'activité du soleil , de manière à pouvoir être observée, décrira ou une ellipse très-allongée , ou une hyperbole qui par la grandeur de son axe , se confondra sensiblement aVec une parabole , dans la partie que l'on observe ; il n'est donc pas surprenant que jusqu'ici, l'on n'ait point reconnu de mouvemens hyperboliques.
L'attraction des planètes , et peut-être encore la résistance des milieux éthérés, a dû changer plusieurs orbes cométairës , dans des ellipses dont le grand axe est moindre que le rayon de la sphère d'activité du soleil ; ce qui augmente les chances des orbes- elliptiques. On peut croire que ce changement a eu lieu pour la comète de 1759, et pour la comète dont le période n'est que de douze cents jours, et qui reparaîtra sans cesse dans ce court intervalle , à moins que l'évaporation qu'elle éprouve à chacun de ses retours au périhélie, ne finisse par là rendre invisible.
On peut encore, par l'analysé des probabilités , vérifier l'existence ou l'influence de certaines causes dont on a cru remarquer l'action sur les êtres organisés. De tous les instrumens que nous pouvons employer pour connaître les agens imperceptibles de la nature , les plus sensibles sont les nerfs , surtout lorsque des causes particulières exaltent leur, sensibilité. C'est par leur moyen qu'on a découvert la faible électricité que développe le contact de deux métaux hétérogènes ; ce qui a ouvert un champ vaste aux recherches des physiciens et des chimistes. Les phénomènes singuliers qui résultent de l'extrême sensibilité des nerfs dans quelques individus , ont donné naissance à diverses opinions sur l'existence d'un nouvel agent que, l'on a nommé magnétisme animal, sur l'action du magnétisme ordinaire, et sur l'influence du soleil et de la lune , dans quelques affections nerveuses ; enfin sur les impressions que peut faire éprouver .la proximité des métaux ou d'une eau courante. Il est naturel de penser que l'action de ces causes est trèsfaible , et qu'elle peut être facilement troublée par des circonstances accidentelles ; ainsi , parce que dans quelques cas r elle ne s'est point manifestée, % on ne doit pas
rejeter son existence. Nous sommes si loin de connaître tous les a gens de la nature et leurs divers modes d'action , qu'il serait peu philosophique de nier les phénomènes , uniquement parce qu'ils sont inexplicables dans l'état actuel de nos connaissances. Seulement , nous devons les examiner avec une attention d'autant plus scrupuleuse, qu'il paraît plus difficile de les admettre; et c'est ici que le calcul des probabilités devient indispensable, pour déterminer jusqu'à quel point il faut multiplier les observations ou les expériences, afin d'obtenir, en faveur des agens qu'elles indiquent , une probabilité supérieure aux raisons que l'on peut avoir d'ailleurs , de ne pas les admettre.
Le calcul des probabilités peut faire apprécier les avantages et les inconvéniens des méthodes employées dans les sciences conjecturales. Ainsi, pour reconnaître le meilleur des traitemens en usage dans la guérison d'une maladie, il suffit d'éprouver chacun d'eux sur un même nombre de malades , en rendant toutes les circonstances parfaitement semblables : la supériorité du traitement le plus avantageux se manifestera de plus en plus, à mesure que ce nombre s'accroîtra ; et le calcul fera connaître la probabilité correspondante de son avantage , et du rapport suivant lequel il est supérieur aux autres.
application du Calcul des Probabilités aux sciences morales.
On vient de voir les avantages de l'analyse des probabilités , dans la recherche des lois des phénomènes naturels dont les causes sont inconnues ou trop compliquées pour que leurs effets puissent être soumis au calcul C'est
*g6 ESSAI PHILOSOPHIQUE
le cas de presque tous les objets des sciences morales. Tant de causes imprévues , ou cachées , ou inappréciables, influent sur les institutions humaines, qu'il est impossible d'en juger à priori les résultats. La série des événemens que le temps amène, développe ces-résultats, et indique les moyens de remédier i ceux qui sont nuisibles. On a souvent fait à cet égard , des lois sages ; mais, parce que Ton avait négligé d'en conserver les motifs , plusieurs ont été abrogées comme inutiles, et il a fallu, pour les rétablir, que de fâcheuses expériences en aient fait de nouveau sentir le besoin. Il est donc bien important de tenir dans chaque branche, de l'administration publique , un registre exact des effets qu'on! produits les divers moyens dont on a fait usage , et qui sont autant d'expériences faites en grand, par les gouvcraemens. Appliquons aux sciences politiques et morales, la méthode fondée sur l'observation et sur le calcul, méthode qui nous a si bien servi dans les soichaes naturelles. N'opposons point une résistance inutile et souvent dangereuse, aux effets inévitables du progrès des lumières ; mais ne changeons qu'avec une circonspection extrême, nos institutions et les usages auxquels nous sommes depuis long-temps plies. Nous connaissons bien par l'expérience du passé , les inçonvéniens qu'ils présentent; mais nous ignorons quelle est l'étendue, des maux que leur changement peut produire. Dans cette ignorance , la théorie des probabilités prescrit d'éviter tout changement : surtout il faut éviter les changemens brusques qui , dans l'ordre moral , comme dans Pordre physique, ne s'opèrent jamais sans une grande perte de force vive.»
Déjà, le calcul des probabilités a été appliqué avec succès à plusieurs objets des sciences morales. Je vais en présenter ici les principaux résultats.
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SUR liES PROBABILITÉS. ^7
De la Probabilité des témoignages.
La plupart de nos jugemens étant fondés sur la probabilité des témoignages , il est bien important de la soumettre au calcul. La chose, il est vrai; devient souvent impctesible , par la difficulté d'apprécier la véracité des témoins , et par le grand nombre de circonstances dont les faits qu'ils attestent, sont accompagnés. Mais on peut, dans plusieurs cas , résoudre des problèmes qui ont* beaucoup d'analogie avec les questions qu'on se propose, et dont les solutions peuvent être regardées comme des approximations propres à nous guider et à nous garantir des erreurs et des dangers auxquels de mauvais raisonnetnens nous exposent. Une approximation de ce genre , lorsqu'elle est bien conduite, est toujours préférable aux raisonnemens les plus spécieux. Essayons donc de donner quelques règles générales pour y parvenir.
On a extrait un seul numéro, d'une urne qui en renferme inille. Un témoin de ce tirage annonce que le n° 79 est sorti ; on demande la probabilité de cette sortie. Supposons que l'expérience ait fait connaître que ce témoin trompe une fois^ur dix , en sorte que la probabilité de son témoignage soit ~. Ici , l'événement observé est le témoin attestant que le n° 79. est sorti. Cet événement peut résulter des deux hypothèses suivantes , savoir , que le témoin énonce la vérité, ou qu'il trompe. Suivant le principe que nous avons exposé sur la probabilité des causes , tirée des événemens observés , il faut d'abord déterminer à priori, la probabilité de l'événement dans chaque hypothèse. Dans la première , la probabilité que le témoin annoncera le n° 79, est la . probabilité même de la sortie de ce numéro , c'est-àdire rsTTî- D faut la multiplier par la probabilité 7- de la
véracité du témoin ; on aura donc -^ pour la probabilité de l'événement observé, dans cette hypothèse. Si le témoin trompe, le û° 79 n'est pas sorti ; et la probabilité de ce cas est —;• Mais pour annoncer la sortie de: ce numéro , le témoin doit le choisir parmi les 999 numéros non sortis ; et comme il est supposé n'avoir aucun * motif de préférence pour les uns plutôt que pour les autres , la probabilité qu'il choisira le n° 79 est ^ ; en multipliant donc cette probabilité , par la précédente , on aura —^ pour la probabilité que le témoin annoncera le n° 79 , dans la seconde hypothèse. Il faut encore multiplier cette probabilité , par la probabilité •— de l'hypothèse elle-même ; ce qui donne L pour la probabilité de l'événement , relative à cette hypothèse. Présentement , si l'on forme une fraction dont le numérateur soit la probabilité relative à la première hypothèse , et dont le dénominateur soit la somme des probabilités relatives aux deux hypothèses , on aura , par le sixième principe, la probabilité de la .première hypothèse, et cette probabilité sera -^ , c'est-à-dire la véracité même du témoin. C'est aussi la probabilité de la sortie du n° 79. La probabilité du mensonge du témoin et de la nonsortie de ce numéro* , est ~~.
Si le témoin voulant tromper, avait quelqu'intérêt à choisir le n° 79 parmi les numéros non sortis ; s'il jugeait, par exemple, qu'ayant placé sur ce numéro une mise considérable, l'annonce de sa sortie augmentera son crédit , la probabilité qu'il choisira ce numéro , ne sera plus , comme auparavant , ^ ; elle pourra être alors 7,5, etc. , suivant l'intérêt qu'il aura d'annoncer sa sortie. En la supposant 7 , il faudra multiplier par cette fraction , la probabilité ^21 9 pour avoir, dans l'hypothèse du mensonge, la probabilité de l'événement
observé , qu'il faut encore multiplier par ^ ; ce qui . donne -Ili- pour la probabilité de l'événement dans la seconde hypotbèse. Alors la probabilité de la première hypothèse , ou de la sortie du n° 79 , se réduit, par la règle précédente, à r f 7 . Elle est donc très-affaiblie par la considération de l'intérêt que. le témoin peut avoir à annoncer la sortie du n° 79. A la vérité, ce même intérêt augmente la probabilité -^ que le témoin dira la vérité, si le n° 79 sort. Mais cette probabilité ne peut excéder l'unité ou ~ 5 ainsi la probabilité de la sortie du n° 79 , ne surpassera pas -*£. Le bon sens nous dicte que cet intérêt doit inspirer de la défiance ; mais le calcul en apprécie l'influence. ■ * ,
La probabilité à priori du numéro énoncé par le témoin , est l'unité divisée par le nombre des numéros de l'urne ; elle se transforme, en vertu du témoignage, dans la véracité même du témoin ; elle peut donc être affaiblie par ce témoignage. Si , par exemple, l'urne ne ren- ' ferme que deux numéros , ce qui donne i pour la probabilité à priori de la sortie r dû n° 1 ; et si la véracité d'un témoin qui l'annonce est 7 4 ? , cette sortie en devient moins probable.* En effet, il est visible que le témoin ayant alors plus 4e pente vers le mensonge que vers la vérité, son témoignage doit diminuer la probabilité du fait attesté, toutes les fois que cette probabilité égale ou surpasse i. Mais s'il y a trois numéros dans l'urne , la probabilité à priori de la sortie du n° 1 , 'est accrue par l'affirmation d'un témoin dont la véracité surpasse ~.
Supposons maintenant que l'urne renferme 999 boules noires et une boule blanche, et qu'une boule en ayant été extraite , un témoin du tirage annonce que cette boule est blanche. La probabilité de l'événement observé, déterminée à priori dans la première hypothèse, sera ici,
ioo ESSAI PHILOSOPHIQUE
comme dans la question précédente, égale à -JL.; Mais dans l'hypothèse où le témoin trompe, la boule blanche n'est pas sortie, et la probabilité de ce cas est J2SL. Il faut
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la multiplier par la probabilité £ du mensonge , ce qui donne -22L pour la probabilité de l'événement observé , relative à la seconde hypothèse. Cette probabilité n'était que -1- dans la question précédente : cette grande différence tient à ce qu'une boule noire étant sortie , le témoin qui veut tromper n'a point de choix à faire parmi les 999 boules non sorties, pour annoncer la sortie d'une boule blanche. Maintenant , si l'on forme deux fractions dont les numérateurs soient les probabilités relatives à chaque hypothèse, et dont le dénominateur commun soit la somme de ces probabilités ; on aura j-~ pour la probabilité de la première hypothèse et de la sortie d'une boule blanche , et .222. pour la probabilité de la seconde hypothèse et de la sortie d'une boule noire. Cette dernière probabilité est fort approchante de la certitude : elle en approcherait beaucoup plus encore, et deviendrait m" 99 , si l'urne renfermait un million de boules
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dont une seule serait blanche; la sortie d'une boule blanche devenant alors beaucoup plus extraordinaire. On voit ainsi comment la probabilité du mensonge croît à mesure que le fait devient plus extraordinaire.
Nous avons supposé jusqu' ici que le témoin ne se trompait point ; mais si l'on admet encore la chance de son erreur, le fait extraordinaire devient plus invraisemblable. Alors au lieu de deux hypothèses, "on aura les quatre suivantes , savoir , celle du témoin ne trompant point et ne se trompant point ; celle du témoin ne trompant point et se trompant ; l'hypothèse du témoin trompant et ne se trompant point ; enfin celle du témoin trompant et se trompant. En déterminant à
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priori, dans chacune de ces hypothèses, la probabilité de l'événement observé, on trouve, par le sixième principe, la probabilité que le fait attesté est faux , égale à une fraction dont le numérateur est le nombre des boules noires de l'urne, multiplié par la somme des probabilités que le témoin ne trompe point et se trompe , ou qu'il trompe et ne se trompe point , et dont le dénominateur est ce numérateur augmenté de la somme des probabilités que le témoin ne trompe point et ne se trompe point , ou qu'il trompe et se trompe à la fois. On voit par là , que si le nombre des boules noires de l'urne est très-grand , ce qui rend extraordinaire la sortie de la boule blanche , la probabilité que le fait attesté n'est pas, approche extrêmement de la certitude.
En étendant cette conséquence à tous les faits exlraor^ dinaires, il cm résulte que la probabilité de Terreur ou du mepsonge du témoin, devient d'autant plus grande, que le fait attesté est plus extraordinaire. Quelques auteurs ont avancé le contraire, en se fondant sur ce que la vue d'un fait extraordinaire, étant parfaitement semblable à celle d'un fait ordinaire, les mêmes motifs doivent nous porter à croire également le témoin , quand il affirme l'un ou l'autre de ces faits. Le simple bon sens repousse une aussi étrange assertion , mais le calcul des probabilités , en confirmant l'indication du sens commun , apprécie , de plus , l'invraisemblance des témoignages sur les faits extraordinaires.
Ces auteurs insistent et supposent deux témoins également dignes de foi> dont le premier atteste qu'il a vu mort, il y a quinze jours, un individu que le second témoin affirme avoir vu , hier , plein de vie. L'un ou l'autre de ces faits n'offre rien d'invraisemblable, La résurrection de l'individu est une conséquence de leur
loa ESSAI PHILOSOPHIQUE
ensemble ; mais les témoignages ne portant point directement sur elle, ce qu'elle a (^'extraordinaire ne doit point affaiblir la croyance qui leur est due. ( Encyclopédie, art. Certitude. )
Cependant , si la conséquence qui résulte de l'ensemble des témoignages était impossible , l'un d'eux' serait nécessairement faux ; or une conséquence impossible est la limite des conséquences extraordinaires, comme l'erreur est la limite des invraisemblances ; la valetfr des témoignages, qui devient nulle dans le cas d'une conséquence impossible, doit donc être très-affaiblie dans celui d'une conséquence extraordinaire. C'est , en effet, ce que le calcul des probabilités confirme.
Pour le faire voir, considérons deux urnes A et B dont la première contienne un million de boules blanches , et la seconde, un million de boules noires. On tire de l'une de ces urnes , une boule que l'on remet dans l'autre urne dont on extrait ensuite une boule. Deux témoins , l'un du premier tirage, l'autre du second , attestent que la boule qu'ils ont vu extraire , est blanche, sans indiquer l'urne dont elle a été extraite. Chaque témoignage pris isolément , n'a rien d'invraisemblable ; et il est facile de voir que la probabilité du fait attesté, est la véracité même du témoin. Mais il suit de l'ensemble des témoignages â qu'une boule blanche a été extraite de l'urne A au premier tirage, et qu'ensuite, mise dans l'urne B, elle a reparu au second tirage, ce qui est fort extraordinaire ; car cette seconde urne renfermant alors une boule blanche sur un million de boules noires , la probabilité d'en extraire la boule blanche est IOO ' OOI . Pour déterminer l'affaiblissement qui en résulte dans la probabilité de la chose énoncée par les deux témoins , nous remarquerons que l'événement observé est ici l'affirma*
SDR LES PROBABILITES. id3
tion par chacun d'eux , que la boule qu'il a vu extraire,' est blanche. Représentons par 7 9 - la probabilité qu'il énonce la vérité, ce qui peut avoir lieu dans le cas prêt sent , lorsque le*témoin ne trompe point, et ne se trompe point , et lorsqu'il trompe et se trompe à la fois. On peut former les quatre hypothèses suivantes. -*
i°. Le premier et le second témoin disent la vérité. Alors une boule blanche a d'abord été extraite de l'urne A, et la probabilité de cet événement est i , puisque la boule extraite au premier tirage a pu sortir également de l'une ou de l'autre urne. Ensuite, la boule extraite mise dans l'urne B a reparu au second tirage : la probabilité de cet événement est i : la probabilité du fait énoncé est
donc l En la multipliant par le produit des proba-
bilités 7^ et -^ que les témoins disent la vérité , on aura £l — pour la probabilité de l'événement observé, dans cette première hypothèse.
2°. ^e premier témoin dit la vérité, et le second ne la dit point, soit qu'il trompe et ne «se trompe point, soit qu'il ne trompe point et se trompe. Alors une boule blanche est sortie de l'urne A au premier tirage , et la probabilité de cet événement et £. Ensuite cette boule ayant été mise dans l'urne B , une boule noire en a été extraité : la probabilité dé cette extraction est ;°***°* ; on a donc lôoôÔp. pour la probabilité de l'événement composé. En la, multipliant par le produit des deux probabilités^ et tV que le premier témoin dit la vérité, et que le second ne la dit point, onaura a ;j"^™ pourlaprobabilité de l'événement observé, dans la seconde hypothèse.
3°. Le premier témoin ne dit pas la vérité, et le second l'énonce!. Alors une boule noire est sortie de l'urne B au premier tirage , et après avoir été mise dans l'urne A, une boule blanche a été extraite de cette urne. La pro-
*o4 ESSAI PHILOSOPHIQUE
«habilite du premier de ces événemens est 4, et celle du second est ,0 °22£ ; la probabilité de l'événement composé est donc loooor ». En la multipliant par le produit des
aooooot i x x
probabilités ~ et •—, que le premier témoin ne dit pas la vérité, et que le second l'énonce, on aura JE22221 pour la probabilité de l'événement observé , relative à cette hypothèse.
4°. Enfin, aucun des témoins ne dit la vérité. Alors une boule noire a 'té extraite de Pùrne B au premier tirage ; ei. suite ayar^ été mise dans lWne A, elle a reparu au stc, ad tirage : la probabilité de cet événement composé <*' - -—. ' \ la multipliant par le produit des probabilité ,Veti~, que chaque témoin ne dit pas la vérité , on aura ' pour la probabilité de l'événe-
ment observé, dans cette hypothèse.
Maintenant, pour avoir la probabilité de la chose énoncée par les deux témoins, savoir qu'une boule blanche a été extraite à chacun des tirages , il faut diviser la probabilité correspondante à la première hypothèse, par la somme des probabilités relatives aux quatre hypothèses ; et alors on a , pour cette probabilité, —h — , fraction extrêmement petite.
Si les deux témoins affirmaient , le premier , qu'une boule blanche a été extraite de l'une des deux urnes A et B , le second, qu'une boule blanche a été pareillement extraite de l'une des deux urnes A' et B', en tout semblables aux premières, la probabilité de la chose énoncée parles deux témoins serait le produit des probabilités de leurs témoignages ou ^ ; çlle serait donc çen]t quatrevingt mille fois, au moins , plus grande que la précédente. On voit par là , combien dans le premier cas , la réapparition, au second tirage , de la boule blanche e*-
StJR LES PROBABILITÉS. 10S
traite au premier, conséquence extraordinaire des deux témoignages, en affaiblit la valeur.
Nous n'ajouterions point foi au témoignage d'un homme qui nous attesterait qu'en projetant cent dés en l'air, ils sont tous retombés sur la même face. Si nous avions été nous-mêmes spectateurs de cet événement, nous n'en croirions nos propres yeux , qu'après en avoir scrupuleusement examiné toutes les circonstances, et après eu avoir rendu d'autres yeux témoins , pour être bien sûrs qu'il n'y a eu ni hallucination ni prestige. Mais après cet examen , nons ne balancerions point à l'admettre, malgré son extrême invraisemblance; et personne ne serait tenté, pour l'expliquer, de recourir à un renversement des lois de la vision. Nous devons en conclure que la probabilité de la constance des lois de la nature est, pour nous , supérieure à celle que l'événement dont il s'agit ne doit point avoir lieu , probabilité supérieure elle-même à celle de la plupart des faits historiques que nous regardons comme incontestables. On peut juger par là du poids immense de témoignages, nécessaire pour admettre une suspension des lois naturelles : et combien il serait abusif d'appliquer à ce cas les règles ordinaires de la critique. Tous ceux qui sans offrir cette immensité de témoignages , étayent ce qu'ils avancent, de récits d'événemens contraires à ces lois, affaiblissent plutôt qu'ils n'augmentent la croyance qu'ils cherchent à inspirer ; car alors ces récits rendent trèsprobable l'erreur ou le mensonge de leurs auteurs. Mais ce qui diminue la croyance des hommes éclairés , accroît souvent celle du vulgaire , toujours avide du merveilleux.
Il y a des choses tellement extraordinaires , que rien ne peut en balancer l'invraisemblance. Mais celle-ci, par
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l'effet d'une opinion dominante , peut être affaiblie au» point de paraître inférieure à la probabilité des témoignages; et quand cette opinion vient à changer, un récit absurde admis unanimement dans le siècle qui lut a donné naissance , n'offre aux siècles suivans , qu'une nouvelle preuve de l'extrême influence de l'opinion générale , sur les meilleurs esprits. Deux grands hommes du siècle de Louis XIV , Racine et Pascal en sont des exemples frappans. Il est affligeant de voir avec quelle complaisance, Racine, ce peintre admirable du cœur humain et le poète le plus parfait qui fut jamais, rapporte comme miraculeuse, la guérison de la jeune Perrier , nièce de Pascal et pensionnaire à l'abbaye de Port- Rôyal : il est pénible de lire les raisonnemqps par lesquels Pascal cherche à prouver que ce miracle devenait nécessaire à la religion, pour justifier la doctrine des religieuses de cette abbaye, alors persécutées par les Jésuites. La jeune Perrier était, depuis trois ans et demi , affligée d'une fistule lacrymale : elle toucha de son œil malade, une relique que l'on prétendait être une des épines de la couronne du Sauveur , et elle se crut à l'instant guérie. Quelques jours après , les médecins et les chirurgiens constatèrent la guérison , et ils jugèrent que la nature et les remèdes n'y avaient eu aucune part. Cet événement, arrivé en i656, ayant fait un grand bruit, « tout Paris se porta , dit Racine, à Port-Royal. » La foule croissait de jour en jour , et Dieu même sem- » blait prendre plaisir à autoriser la dévotion des peu- » pies , par la quantité de miracles qui se firent en cette » église. » A cette époque , *les miracles et les sortilèges ne paraissaient pas encore invraisemblables ; et l'on n'hésitait point à leur attribuer les singularités de la nature , t[ue l'on ne pouvait autrement expliquer.
-SUR LES PROBABILITES. 107
Cette manière d'envisager les effets extraordinaires , se retrouve dans les ouvrages les plus remarquables du siècle de Louis XIV, dan* l'Essai même sur l'entendement humain , du sage Locke , qui dit en parlant des dçgrés d'assentiment : « quoique la commune expérience » et le cours ordinaire des choses aient, avec raison, une » grande influence sur l'esprit des hommes, pour les » porter à donner ou à refuser leur consentement à une » chose qui leur est proposée à croire , il y a pourtant » un cas où ce qu'il y a d'étrange dans un fait{ n'affai- » Mit point l'assentiment que nous devons donner au » témoignage sincère sur lequel il est fondé. Lorsque » des événemens surnaturels sont conformes aux fins 1 » que se propose celui qui a le pourvoir de changer le » cours de la nature , dans un tel temps et dans de telles » circonstances , ils peuvent être d'autant plus propres » à- trouver créance dans nos esprits, qu'ils sont plus 1» au-dessus desf observations ordiu aires , ou même qu'ils w y sont plus opposés, n Les vrais principes de la probabilité des témoignages' ayant été ainsi méconnus des philosophes auxquels la raison est principalement redevable de ses progrès, j'ai cru devoir exposer, avec étendue , les résultats du calcul sur cet important objet.
Ici se présente naturellement la discussion d'un argument fameux dePascal, que Craig, mathématicien anglais, a reproduit sous une formé géométrique. Des témoins attestent qu'ils tiennent de la Divinité même, tpi'en se, conformant à telle chose, on jouira, non pas d'une bu* de deux , mais d'une infinité de vies heureuses. Quelque faible que soit la probabilité des témoignages, pourvu qu'dle ne soit pas infiniment petite , il est clair que l'avantage de ceux qui se conforment à la chose prescrite , est infini, puisqu'il. est le produit de cette probabilité
io8 ESSAI PHILOSOPHIQUE
par un bien infini ; on ne doit donc point balancer à se procurer cet avantage.
Cet argument est fondé sur le nombre infini des vies heureuses promises au nom de la Divinité , par les témoins ; il faudrait donc faire ce qu'ils prescrivent , parce qu'ils exagèrent leurs promesses au-delà de toutes limites, conséquence qui répugne au bon sens. Aussi le calcul nous fait-il voir que cette exagération même affaiblit la probabilité de leur témoignage , au point de la rendre infiniment petite ou nulle. En effet, ce cas revient à celui d'un témoin qui annoncerait la sortie du numéro le plus élevé, d'une urne remplie d'un grand nombre de numéros dont un seul a été extrait, et qui aurait un grand intérêt à annoncer la sortie de ce numéro. On a vu précédemment combien cet intérêt affaiblit son témoignage. En n'évaluant qu'à i la probabilité que si le témoin trompe, il choisira le plus grand numéro, le calcul donne la probabilité de son annonce , plus petite qu'une fraction dont le numérateur est l'unité , et dont le dénominateur est l'unité plus la moitié du produit du nombre des numéros , par la probabilité du mensonge considérée à priori ou indépendamment de l'annonce. Pour assimiler ce cas à celui de l'argument de Pascal, il suffit de représenter par les numéros de l'urne , tous les nombres possibles de vies heureuses, ce qui rend le nombre de ces numéros infini , et d'observer que si les témoins trompent, ils ont le plus grand intérêt, pour accréditer leur mensonge , à promettre une éternité de bonheur. L'expression de la probabilité de leur témoignage devient alors infiniment petite. En la multipliant par le nombre infini de vies heureuses promises, l'infini disparaît du produit qui exprime l'avantage résultant de cette promesse , ce qui détruit l'argument de Pascal.
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Considérons présentement la probabilité de l'ensemble de plusieurs témoignages sur un fait déterminé. Pour fixer les idées , supposons que ce fait soit la sortie d'un numéro d'une urne qui en referme cent , et dont on a extrait un seul numéro. Deux témoins de ce tirage , annoncent que le n° 2 est sorti ; et l'on demande la probabilité résultante de l'ensemble de ces témoignages. On peut former ces deux bypotbèses : les témoins disent la vérité ; les témoins trompent. Dans la première hypothèse , le n° 2 est sorti , et la probabilité de cet événement est t~ Il faut la multiplier par le produit des véracités des témoins , véracités que nous supposerons être & et /ô •• on aura donc rso^s pour la probabilité de l'événement observé , dans cette hypothèse. Dans la seconde, le n° 2 n'est pas sorti, et la probabilité de cet événement est -^. Mais l'accord des témoins exige alors qu'en cherchant à tromper , ils choisissent tous deux le numéro 2 , sur les 99 numéros non sortis : la probabilité de cejchoix , si les témoins ne s'entendent point, est le produit de la fraction ^ par elle-même ; il faut en- « suite multiplier ces deux probabilité^ ensemble, et par le produit des probabilités •— et 7- que les témoins trompent ; on aura ainsi -J — pour la probabilité de événement observé , dans la seconde hypothèse. Maintenant on aura la probabilité du fait attesté ou de la sortie du n° 2 , en divisant la probabilité relative à la première hypothèse, par la somme des probabilités relatives aux deux hypothèses; cette probabilité sera donc |££| ; et la probabilité de la non-sortie de ce numéro et du mensonge des témoins sera ?£&.
Si l'urne ne renfermait que les numéros 1 et 2 , on trouverait de la même manière fi pour la probabilité de la sortie du n° 2 , et par conséquent ~ pour la proba-
i io ESSAI PHILOSOPHIQUE
bilité du mensonge des ténioins, probabilité quatre-vingtquatorze fois au moins , plus grande que la précédente.
. On voit par là , combien la probabilité du mensonge des témoins* diminue , quand le fait qu'ils attestent est moins probable en lui-même. En effet, on conçoit qu'alors l'accord des témoins , lorsqu'ils trompent , devient plus difficile , à moins qu'ils ne s'entendent , ce que nous ne supposons pas ici.
Dans le cas précédent où l'urne ne renfermant que deux numéros, la probabilité à priori du fait attesté est ; la probabilité résultante des témoignages, est le produit des véracités, des témoins , divisé par ce produit ajouté à celui des probabilités respectives de leur mensonge.
; U nous reste à considérer l'influence du temps sur' la probabilité des faits transmis par une chaîne traditionnelle ' de témoins. H est clair que cette probabilité doit diminuer à mesure que la chaîne se prolonge. Si le fait n'a aucune probabilité par lui-même, tel que la
f sortie d'un n° d'une urne qui en renferme une infinité, celle qu'il acquiert par les témoignages , décroît suivant le produit continu de la véracité des témoins. Si le fait a , par lui-même , une probabilité ; si , par exemple , ce fait est la sortie du n° 2 d'une urne qui en renferme un nombre fini , et dont il est certain qu'on a extrait un seul numéro , ce que la chaîne traditionnelle ajoute à cette probabilité décroît suivant un produit continu,, dont le premier facteur est le rapport du nombre des numéros de l'urne moins un , à ce même nombre , et dont chaque autre facteur est la véracité de chaque témoin, diminuée du rapport de la probabilité de son mensonge, au nombre des numéros de l'urne moins un ; en sorte que la limite de la probabilité du fait, est celle de
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■ce fait considérée à priori ou indépendamment des témoignages, probabilité égale à l'unité divisée par le nombre des numéros de l'urne»
L'action du temps affaiblit donc, sans cesse, la probabilité des faits historiques , comme elle altère les monumens les plus durables. On peut , à la vérité , la ralentir en multipliant et conservant les témoignages et les monumens qui les étayent. L'imprimerie offre , pour cet objet , un grand moyen malheureusement inconnu des anciens. Malgré les avantages infinis qu'elle procure , les révolutions physiques et morales dont la surface de ce globe sera toujours agitée, finiront, en se joignant à l'effet inévitable du temps, par rendre douteux, après des milliers d'années, les faits .historiques aujourd'hui les plus certains.
Craig a essayé de soumettre au calcul l'affaiblissement graduel des preuves de la religion chrétienne : en supposant que le monde doit finir à l'époque où elle cessera d'être probable , il trouve que cela doit arriver i454 ans après le moment où il écrit. Mais son analyse est aussi fautive , que son hypothèse sur la durée du monde est bizarre.
Des choix et des décisions des assemblées.
La probabilité des décisions d'une assemblée dépend de la pluralité des voix , des lumières et de l'impartialité des membres qui la composent. Tant de passions et d'intérêts particuliers y mêlent si souvent leur influence, ' qu'il est impossible de soumettre au calcul cette probabilité. 11 y a cependant quelques résultats généraux dictés par le simple bon sens , et que le calcul confirme. Si, par exemple, rassemblée est très-peu éclairée sur
t il ESSAI PfflLGSOPH^UE
l'objet soumis A sa décision ; si cet objet exige des considérations délicates , ou si la vérité sur ce point est cou* traire à des préjugés reçus, en sorte qu'il y ait pli» d'un contre un à parier que chaque votant s'en écartera . alors la décision de la majorité sera probablement mauvaise , et la crainte à cet égard sera d'autant plus fondée , que l'assemblée sera plus nombreuse/ Il importe donc à la chose publique , que les assemblées n'aient à prononcer que sur des objets à la portée du plus grand nombre : il lui importe que l'instruction soit généralement répandue , et que de bons ouvrages fondés sur la raison et sur l'expérience, éclairent ceux qui sont appelés à décider du sort de leurs semblables ou à les gouverner , et les prémunissent d'avance contre les faux aperçus et les préventions de l'ignorance. Les savans ont de fréquentes occasions de remarqner que les premiers aperçus trompent souvent , et que le vrai n'est pas toujours vraisemblable.
Il est difficile de connaître et même de définir le vœu d'une assemblée , au milieu de la variété des opinions de ses membres. Essayons de donner sur cela, quelques règles , en considérant les deux cas les plus ordinaires , l'élection entre plusieurs candidats , et celle entre plusieurs propositions relatives au même objet.
Lorsqu'une assemblée doit choisir entre plusieurs candidats qui se présentent pour une ou plusieurs places du même genre , ce qui paraît le plus simple est de faire écrire à chaque votant sur un billet , les noms de tous les candidats , suivant l'ordre du mérite qu'il leur attribue. En supposant qu'il les classe de bonne foi , l'inspection de ces billets fera connaître les résultats des élections , de quelque manière que les candidats soient comparés entre eux ; en sorte que de nouvelles élections
ne peuvent apprendre rien de plus à cet égard. II s'agit présentement d'en conclure l'ordre de préférence, que les billets établissent entre les candidats. Imaginons que l'on donne à chaque électeur , une urne qui contienne * Une infinité de boules au moyen desquelles il puisse nuancer tous les degrés de mérite des candidats : concevons encore qu'il tire de son urne, un nombre de boules proportionnel au mérite de chaque candidat , et supposons ce nombre écrit sur un billet, à côté du nom du candidat. Il est clair qu'en faisant une somme de tous les nombres relatifs à chaque candidat sur chaque billet, celui de tous les candidats qui aura la plus grande somme , sera le candidat que l'assemblée préfère ; et qu'en général, l'ordre de préférence des candidats, sera celui des sommes relatives à chacun d'eux. Mais: les billets ne marquent point le nombre des boules que chaque électeur donne aux candidats : ils indiquent seu« lemenf que le premier en a plus que le second , le second plus que le troisième , et ainsi de suite. En supposant donc au premier , sur un billet donné , un nombre quelconque de boules , toutes les combinaisons des nombres inférieurs, qui remplissent les conditions précédentes, sont également admissibles, et l'on aura le nombre de boules , relatif à chaque candidat , en faisant une somme de tous les nombres que chaque combinaison lui donne, et en la divisant par le nombre entier des combinaisons. Une analyse fort simple fait voir que les nombres qu'il faut écrire sur chaque billet à côté du dernier nom, de Favant-dernier , etc., sont proportionnels aux termes de la progression arithmétique i, 2, 3, etc. En écrivant donc ainsi, sur chaque billet , les termes de cette progression , et ajoutant les termes relatifs à chaque candidat sur ces billets, les diverses sommes mdi-
n4 ESSAI pnolosophique
queront par leur grandeur, l'ordre de préférence qui doit être établi entre les candidats. Tel est le mode d'élection , qu'indique la Théorie des Probabilités. Sans doute, il serait le meilleur , si chaque électeur inscrivait sur son billet les non» des candidats , dans Tordre du mérite qu'il leur attribue. Mais les intérêts particuliers et beaucoup de considérations étrangères au mérite, doivent troubler cet ordre , et faire placer quelquefois au dernier rang, le candidat le plus redoutable à celui que l'on préfère ; ce qui donne trop d'avantage aux candidats d'un médiocre mérite. Aussi l'expérience *4-eHe fait abandonner cemocU d'élection, dans les établisse* mens qui l'avaient adopté. *
L'élection & la majorité absolue des suffrages réunit à la certitude de n'admettre aucun des candidats que cette majorité rejette, l'avantage d'exprimer > le plus souvent , le vœu de Rassemblée. Elle coïncide toujours avec le mode précédent , lorsqu'il n'y a que deux candidats» À la vérité» elle expose à l'inconvénient de readre les élections interminables. Mais l'expérience a fait voir que cet inconvénient est nul, et que le désir général de mettre fin aux élections, réunit bientôt la majorité des suffrages sur un des candidats.
Le choix entre plusieurs propositions relatives au même objet , semble devoir être assujéti aux mêmes règles , que l'élection entre plusieurs candidats. Mais il existe entre ces deux cas, cette différence, savoir, que le mérite d'un candidat n'exclut point celui de ses coneurrens ; au lieu que si les propositions entre lesquelles il faut choisir sont contraires , la .vérité de Fune exclut la vérité des autres. Voici comme on doit alors envisager la question.
Donnons à chaque votant , une urne qui renferme
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SUR LES PROBABILITÉS, u5
un nombre infini de boules ; et supposons qu'il les distribue sur les diverses propositions , en raison des probabilités respectives qu'il leur attribue. Il est clair que le nombre total des boule* exprimant la certitude , et le votant. étant, par l'hypothèse, assuré que l'une des propositions doit être vraie , il répartira ce nombre en entier , sur les propositions. Le problème se réduit donc à déterminer les combinaisons dans lesquelles les boules seront réparties de manière qu'il y en ait plus sur la première proposition du billet , que sur la seconde ; plus sur la seconde «que sur la troisième, etc.; à faire les sommes de tous les nombres de boules , relatifs à chaque proposition dans ces diverses combinaisons ; et à diviser cette somme , par le nombre des combinaisons : les quotiens seront les nombres de boules , que Ton doit attribuer aux propositions sur, un billet quelconque. On trouve par l'analyse , qu'en partant de la dernière proposition, pour remonter à la première; ces quotiens sont entre eux , comme les. quantités suivantes : t° l'unité divisée par le nombre des propositions ; a° la quantité précédente augmentée de l'unité divisée par le nombre de? propositions moins une J 3° cette seconde quantité augmentée de l'unité divisée par le nombre des propositions moins deux ; et ainsi du reste. On écrira donc, sur chaque billet , ces quantités à côté des propositions correspondantes \ et en ajoutant les quantités relatives à chaque proposition , sur les divers billets , les sommes indiqueront par leur grandeur , l'ordre de préférence que l'assemblée donne à ces propositions.
Disons un mot de la manière de renouveler les assemblées qui doivent changer en totalité , dans un nombre d'années déterminé. Le renouvellement doit - il se faire à la fois; ou convient-il de le partager entre ces années?
D'après ce dernier mode i rassemblée serait formée sous rinfluence des diverses opinions dominantes pendant la durée de son renouvellement; l'opinion qui y régnerait alors, serait donc très-probablement la moyenne de toutes ces opinions. L'assemblée recevrait ainsi du temps, le même avantage que lui donne l'extension des élections de ses membres , à toutes les parties du territoire qu'elle représente. Maintenant , si l'on considère ce que l'expérience n'a que trop fait connaître, savoir, que les élections sont toujours dirigées dans le sens le plus exagéré des opinions dominantes, on sentira combien il est utile de tempérer ces opinions , les unes par les autres y au moyen d'un renouvellement partiel.
De la probabilité des Jugemens des tribunaux.
L'analyse confirme ce que le simple bon sens nous dicte, savoir, que la f bonté des jugemens est d'autant plus probable , que les juges sont plus nombreux et .plus éclairés. Il importe donc que les tribunaux d'appel rem- , plissent ces deux conditions. Les tribunaux de première instance, plus rapprochés des justiciables, leur offrent l'avantage d'un premier jugement déjà probable, et dont ils se contentent souvent , soit en transigeant , soit en se désistant de leurs prétentions. Mais si l'incertitude de l'objet 'en litige et son importance déterminent un plaideur à recourir au tribunal d'appel, il doit trouver dans une plus grande probabilité d'obtenir un jugement équitable , plus de sûreté pour sa fortune, et la compensation des embarras et des frais qu'une nouvelle procédure entraîne. C'est ce qui n'avait point lieu dans l'institution de l'appel réciproque des tribunaux de département, institution par là, très-préjudiciable aux intérêts des citoyens. Il serait , peut-être , convenable
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et conforme au calcul des probabilités , d'exJgèft une majorité de deux voix au moins , dans un tribunal d'appel, pour infirmer la sentence du tribunal infërïéifr.' On obtiendrait ce résultat , si le tribunal d'appel étaàt composé d'un nombre pair de juges , la sentence sub$is* tait dans le cas de l'égalité des voix.
Je vais considérer particulièrement les jugemens ei* matière criminelle.
Il faut sans doute aux juges, pour condamner un accusé, les plus fortes preuves de son délit. Mais une preuve morale n'est jamais qu'une probabilité ; et l'ex^' périence n'a que trop fait connaître les erreurs dont les jugemens criminels, ceux mêmes qui paraissent être les plus justes , sont encore susceptibles. La possibilité de réparer ces erreurs est le plus solide argument des philosophes qui ont voulu proscrire la peine de 1 mort. Nous devrions donc nous abstenir déjuger, s'il nous fallait attendre l'évidence mathématique. Mais le jugement est commandé pas le dafcger qui résulterait de l'impunité du crime. Ce jugement se déduit, si je fte me trompe, à la solution de la question suivante. La preuve du délit de l'accusé a-t-elle le haut degré de probabilité nécessaire, pour que les citoyens aient moins à redouter les erreurs des tribunaux, s'il est innocent et condamné , que ses nouveàtt* attentats , et ceux des malheureux qu'enhardirait l'exemple de son impunité, s'il était coupable et absous ? { La solution de Cette question dépend de plusieurs éléniens très-difficiles à connaître. Telle est l'imminence du danger tpri menacerait la société, si l'accusé criminel restait impqni. Quel- , quefois, ce danger est si grand, <jue le magistrat se voit contraint de renoncer aux formes sagement établies pour la sûreté de l'innocence* Mais ce qui rend presque
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toujours la question dont il s'agit, insoluble , est l'impossibilité d'apprécier exactement la probabilité du délit, et de fixer celle qui est nécessaire pour la condamnation de l'accusé. Chaque juge , à cet égard , est forcé de s'en rapporter à son propre tact. Il forme son opinion , en comparant les divers témoignages et les circonstances dont le délit est accompagné, aux résultats de ses réflexions et de son expérience ; et sous ce rapport , une longue habitude d'interroger et de juger les accusés, donne beaucoup d'avantage pour saisir la vérité au milieu d'indices souvent contradictoires.
La question précédente dépend encore delà grandeur de la peine appliquée au délit ; car on exige naturellement , pour prononcer la mort , des preuves beaucoup plus fortes , que pour infliger une détention de quelques mois. C'est une raison de proportionner la peine au. délit ; une peine grave appliquée à un léger délit, devant inévitablement faire absoudre beaucoup de coupables. Une loi qui donne aux juges la faculté de modérer la peine dans les cas de circonstances atténuantes, est donc conforme à la fois aux principes d'humanité envers le coupable , et à l'intérêt de la société. Le produit de la probabilité du délit par sa gravité , étant la mesure du danger que l'absolution de l'accusé peut faire éprouver à la société 9 on pourrait penser que la peine doit dépendre de cette probabilité» C'est ce que l'on fait indirectement dans les tribunaux où l'on retient pendant quelque temps l'accusé contre lequel s'élèvent des preuves très-fortes, mais insuffisantes pour lecondamnert dans la vue d'acquérir de nouvelles lumières, on ne le remet % point sur-le-champ au milieu de ses concitoyens qui ne ie re verraient pas sans de vives alarmes. Mais l'arbitraire de cette mesure et l'abus qu'on peut en faire ,
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Font lait x^lier dans les pays où l'on attache le plus grand prix à la liberté individuelle.
Maintenant , quelle est la probabilité que la décision d'un tribunal qui ne peut condamner qu'à une majorité donnée, sera juste , c'est-à-dire conforme à la vraie solution de la question posée ci-dessus? Ce problème important bien résolu , donnera le moyen de comparer entre eux , les tribunaux divers. La majorité d'une seule voix dans un nombreux tribunal , indique que J'affaire . dont il s'agit , est à fort peu près douteuse ; la condauvr nation de l'accusé serait donc alors contraire aux principes d'humanité , protecteurs de l'innocence. L'unanimité des juges donnerait une très-grande probabilité d'usé décision juste ; mais en s'y astreignant , trop de coupables seraient absous. H faut donc, ou limiter lé nombre des juges, si l'on veut qu'ils soient unanimes, ou accroître la majorité néceàsaire pour condamner, lorsque le tribunal devient plus nombreux. Je vais essayer d'appliquer le calcul à cet objet , persuadé qu'il est toujours le meilleur guide , lorsqu'on l'appuie sur les données que le bon sens nous suggère.
La probabilité que l'opinion de chaque juge est juste, entre comme élément principal dans ce calcul. Cette probabilité est évidemment relative à chaque affaire. Si dans un tribunal de mille et un juges , cinq cent un sont d'une opinion , et cinq cents sont de l'opinion contraire, il est visible que la probabilité de l'opinion de chaque juge surpasse bien peu ~ ; car en la supposant sensiblement plus grande, une seule voix de différence serait un événement invraisemblable. Mais si les juges sont unanimes , cela indique , dans les preuves , ee degré de force qui entraîne la conviction ; la probabilité de l'opinion de t&aque juge est donc alors très-près de
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l'unité ou de la certitude ; à moins que des passions ou des préjugés communs n'égarent à la fois tous les juges. Hors de ces cas, le rapport des voix pour ou contre l'accusé , doit seul déterminer cette probabilité. Je sup- . pose ainsi qu'elle peut varier dépuis £ jusqu'à l'unité, mais qu'elle ne peut être au-dessous de £. Si cela n'était pas , la décision du tribunal serait insignifiante comme le sort : elle n'a de valeur , qu'autant que l'opinion du juge a plus de tendance à la vérité, qu'à l'erreur. C'est' ensuite par le rapport des nombres de voix favorables et contraires à l'accusé, que je détermine la probabilité de cette opinion.
Ces données suffisent pour avoir l'expression générale de la probabilité que la décision d'un tribunal jugeant a une majorité connue, est juste. Dans les tribunaux où sur huit juges , cinq voix seraient nécessaires pour la condamnation d'un accusé, la probabilité de l'erreur à craindre sur la justesse de la décision , surpasserait {. Si le tribunal était réduit à six membres qui ne pourraient condamner qu'à la pluralité de quatre voix, la probabilité de l'erreur à craindre , serait au-dessous de { ; il y aurait donc, pour l'accusé, un avantage àjcette réduction du tribunal. Dans l'un et l'autre cas , la majorité exigée est la même et égale à deux. Ainsi cette majorité demeurant constante , la probabilité de l'erreur augmente avec le nombre des juges : cela, est général, quelle que soit la majorité requise , pourvu qu'elle reste la même. En prenant donc pour règle, le rapport arithmétique , l'accusé se trouve dans une position de moins en moins avantageuse, à mesure que le tribunal devient plus nombreux. On pourrait croire que dans un tribunal ou l'on exigerait une majorité de douze voix , quel que fût le nombre des juges, les voix de la minorité, neiitralî-
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sant nu pareil nombre des voix de la majorité , les douze voix restantes représenteraient l'unanimité d'un jury de douze membres , requise en Angleterre, pour la condamnation d'un accusé. Mais on serait dans une grande erreur. Le bon sens fait voir qu'il y a différence entre la décision d'un tribunal de deux cent douze juges dont cent douze condamnent l'accusé , tandis que cent l'absolvent , et celles d'un tribunal de douze juges unanimes pour la condamnation. Dans le premier cas , les cent voix favorables à l'accusé, autorisent à penser que les preuves sont loin d'atteindre le degré de force qui entraîne la conviction ? dans le second cas, l'unanimité des juges porte à croire qu'elles ont atteint ce degré. Mais le simple bon sens ne suffit point pour apprécier l'extrême différence de la probabilité de l'erreur dans ces deux cas. U faut alors recourir au calcul , et l'on trouve un cinquième à peu près , pour la probabilité de l'erreur dans le premier cas , et seulement ~/^ pour cette probabilité dans le second cas, probabilité qui n'est pas un millième dé la première. C'est une confirmation du principe , que le rapport arithmétique .est défavorable à l'accusé, quand le nombre des juges augmente. Au contraire , si l'on prend pour règle , le rapport géométrique , la probabilité de l'erreur de la décision diminue , quand le nombre des j uges s'accroît. Par exemple, dans les tribunaux qui ne peuvent condamner qu'à la pluralité des deux tiers des voix , la probabilité de l'erreur à craindre est à peu près un quart , si le nombre des juges est six : elle est au-dessous de £ , si ce nombre s'élève à douze. Ainsi, l'on ne doit se régler, ni sur le rapport arithmétique , ni sur le rapport géométrique, % si l'on veut que la probabilité de Terreur ne soit jamais au-dessus ni au-dessous d'une fraction déterminée.
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Mais i quelle fraction doit«on se fixer? c'est ici que l'arbitraire commence, et les tribunaux offrent, à rat égard, de grandes variétés» Dans les tribunaux spéciaux od cinq voix sur huit, suffisent pour la condamoatiou de l'accusé , la probabilité de l'erreur à craindre sur la bonté du jugement, est ^ ou au-dessus de i. La grandeur de cette fraction est enrayante ; mais ce qui doit rassurer un peu, est la considération que le plus souvent, le juge qui absout un accusé, ne le regarde pas comme innocent : il prononce seulement, qu'il n'est pas atteint par des preuves suffisantes pour qu'il soit con* damné. On est surtout rassuré par la pitié que la nature a mise dans le cœur de l'homme , et gui dispose l'esprit k voir difficilement un coupable , dans l'accusé soumis à son jugement. Ce sentiment plus vif dans ceux qui n'ont point l'habitude des jugemens criminels, compense les inconvénieus attachés à l'inexpérience des ju* rés. Dans un jury de douze membres, si la pluralité exigée pour la condamnation est de huit voix sur douée , la probabilité de l'erreur à craindre , est $~ , ou un peu plus grande qu'un huitième : elle esta peu près ^, si cette pluralité est de neuf voix. Dans le cas de l'unanimité , la probabilité de l'erreur à craindre est ^7 , c'est à-dire, plus de mille fois moindre que dans nos jurys. Gela suppose que l'unanimité résulte uniquement des preuves' favorables ou contraires à l'accusé; mais des motifs entièrement étrangers doivent souvent concourir à la produire, lorsqu'elle est imposée au jury, comme une condition nécessaire de son jugement. Alors ses décisions dépendant du tempérament , du caractère , des habitudes des jurés, et des circonstances où ils se trouvent, elles sont quelquefois contraires aux décisions que la majorité du jury aurait prises , s'il n'eût écouté que
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les preuves; ce qui me paraît être un grand défaut de cette manière de juger.
La probabilité des décisions est trop faible dans uw jurys; et je pense que pour donner une garantie suffisante à l'innocence, On doit exiger au moins, la pluralité de neuf voix sur douze. , .
Des Tables de mortalité, et des durées moyennes de la vie, des mariages et des associations quelconques. x
La manière de former les Tables de mortalité est fort simple. On prend dans les registres civils, un grand nombre d'individus dont la naissance et la mort soient indiquées. On détermine combien de ces individus sont morts, dans la première année de leur âge, combien dans la seconde année , et ainsi de suite. On en conclut le nombre d'individus vivans an commencement de chaque année, et l'on écrit ce nombre dans la table à cMé de celui qui indique Tannée. Ainsi l'on écrit à côté de zéro, le nombre des naissances ; à côté de l'année i, le nombre des en&ns qui ont atteint une année ; à côté de l'année 2 , le nombre des enfans qui ont atteint deux années , et ainsi du reste. Mais comme dans les deux premières années de la vie , la mortalité est très-rapide ; il faut pour plus d'exactitude, indiquer, dans ce premier âge , le nombre des survivans à la fin de chaque demi-année.
Si l'on divise la somme des années de la vie de tous les individus inscrits dans une Table de mortalité, par le nombre de ces individus , on aura la durée moyenne de la vie qui correspond à cette Table. Pour cela , on multipliera par une demi-année , le nombre des morts dans la première année , nombre égal à la différence
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des nombres d'individus inscrits à côté des années o et i . Leur mortalité devant être répartie sur Tannée entière, la durée moyenne de leur vie , n'est qu'une demi-année. On multipliera par une année et demie , le nombre des morts dans 1* seconde année : par deux années et demie, 1» nombre des morts dans la troisième année , et ainsi de suite. La somme de ces produits , divisée par le nombre des naissances , sera la durée moyenne de la vie. Il est facile d'en conclure que l'on aura cette durée, en formant la somme des nombres inscrits dans la Table à côté de chaque année , en la divisant par le nombre des naissances, et en retranchant un demi, du quotient , Tannée étant prise pour unité. La durée moyenne de ce qui reste à vivre , en partant d'un âge quelconque , se détermine de la \nême manière , en opérant sur le nombre des individus qui sont parvenus à cet âge, comme on vient de le faire sur le nombre des naissances. Ce n'est point au moment de la naissance , que la durée moyenne de la vie est la plus grande; c'est lorsqu'on^ échappé aux dangers de la première enfance , et alors elle est d'environ quarante-trois ans. La probabilité d'arriver à un âge quelconque en partant d'un âge donné , est égale au rapport des deux nombres d'individus, indiqués dans la table à ces deux âges.
ta précision de ces résultats exige que pour la formation des tables , on emploie un très-grand nombre de naissances. L'analyse donne alors des formules très-simples pour apprécier la probabilité que les nombres indiqués dans ces tables ne s'écarteront de la vérité , que dans d'étroites limites. On voit par ces formules , que l'intervalle des limites diminue et que la probabilité augmente , à mesure que Ton considère plus de naissances ; en sorte que les tables représenteraient exactement la
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vraie loi de la mortalité, si le nombre des naissances employées devenait infini.
Une table de mortalité est donc une table des probabilités de la vie humaine. Le rapport des individus inscrits à côté de chaque année, au nombre des naissan ces, est la probabilité qu'Un nouveau-né atteindra cette année. Comme on estime la valeur de l'espérance, en faisant une somme des produits de chaque bien espéré, par la probabilité de l'obtenir , on peut également évaluer la durée moyenne delà vie, en ajoutant lés produits de chaque année , par la demi-somme des probabilités d'en atteindre le commencement et la fin ; ce qui conduit au résultat trouvé ci-dessus. Mais cette manière d'envisager la durée moyenne de la .vie, a l'avantage de faire voir que dans une population stationnaire , c'est-à-dire telle que le nombre des' naissances égale celui des morts , la durée moyenne.de la vie est le rapport même de la population aux naissances annuelles ; car la population étant supposée stationnaire, le nombre des individus d'un âge compris entre deux années consécutives de la table, est égal au nombre des naissances annuelles, multiplié par la demi-somme des probabilités d'atteindre ces années ; la somme de tous ces produits sera donc la population entière ; or il est aisé de voir que cette somme divisée par le nombre des naissances annuelles , coïncide avec la durée moyenne de la vie, telle que nous venons de la définir.
Il est facile, au moyen d'une table de mortalité , de former la table correspondante de la population supposée stationnaire. Pour cela, on prend des moyennes arithmétiques entre les nombres de la table de mortalité co»respondans aux âges , zéro et un an , un et deux ans , deux et trois ans, etc. La somme de toutes ces moyennes est.
la population entière :' on l'écrit à côté de l'âge zéro. On retranche de cette somme , la première moyenne ; et le reste est le nombre des individus d'an an et au-dessus : on l'écrit à côté de Tannée i. On retranche de ce premier reste , la seconde moyenne ; ce second reste est le nombre des individus de deux années et au-dessus : on l'écrit à côté de l'année a ; et ainsi de suite.
Tant de causes variables influent su? la mortalité, que les tables qui la représentent , doivent changer suivant les lieux et les temps. Les divers états de la vie offrent, . à cet égard, des différences sensibles relatives aux fatigues et aux dangers inséparables de chaque état, et dont il est indispensable de tenir compte dans les calculs fondés sur la durée de la vie. Mais ces différences n'ont pas été suffisamment observées. Elles le seront nn jour : alors on saura quel sacrifice de la vie , chaque profession exige , et l'on profitera de ces connaissances , pour en diminuer les dangers.
La salubrité plus on moins grande du sol , son élévation , sa température , les mœurs des habitans , et les opérations des gouvernemens ont sur la mortalité , une influence considérable. Mais il faut toujours faire précéder la recherche de la cause des différences observée^, par celle de la probabilité avec laquelle cette cause est indiquée. Ainsi le rapport de la population aux nais* sances annuelles , que l'on a vu s'élever en France , à vingt-huit et un tiers , n'est pas égal à vingt-einq dans l'ancien duché de Milan. Ces rapports établis l'un et l'autre , sur nn grand nombre de naissances , ne permettent pas de révoquer en doute l'existence dans le Milanès , d'une cause spéciale de mortalité , qu'il importe au gouvernement de ce pays , de rechercher et de faire disparaître.
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Le rapport de la papulalion aux naissances s'accroîtrait encore , si Fou parvenait à diminuer ou à éteindre quelques maladies dangereuses et très-répandues* C'est ce que l'on a feit heureusement pour la petite vérole x d'abord par l'inoculation de cette maladie r ensuite d'une naaaaière beaucoup plu» avantageuse, pair l'inoculation de la vaccine, découverte inestimable de Jeûner qui par là s'est rendu l'un des pins grands bienfaiteurs de l'humanité.
La petite vérole a cela de particulier , savoir , que le même individu n'en est pas deux fois atteint, ou du moins , ce cas est si rare , que l'on peut en faire abstraction, dans le calcul. Cette maladie à laquelle peu de monde échappait avant la découverte de la vaccine , est souvent mortelle et fait périr un septième environ de ceux qu'elle attaque. Quelquefois elle est 4>énigne , et l'expérience a fait connaître qu'on lui donnait ce dernier caractère t en l'inoculant sur des personnes saines , préparées par un bon régime , et dans une saison favorable. Alors le rapport des individus qu'elle fait périr, aux inoculés, n'est pas un trois-centième. Ce grand avantage de l'inoculation , joint à ceux de né point altérer la beauté , et de préserver des suites fâcheuses que la petite vérole naturelle entraîne souvent après elle , la fit adopter par un grand nombre de personnes. Sa pratique fut vi vement recommandée ; mais , ce qui arrive presque toujours dans les choses sujettes à des inconvéniens , elle fut vivement combattue. Au milieu de cette dispute , Daniel Bernoulli se proposa de soumettre au calcul des probabilités, l'influence de l'inoculation sur la durée moyenne de la vie. Manquant de données précises sur la mortalité produite par la petite vérole, aux divers âges de la vie, il supposa que le danger d'avoir cette ma-
ladîe et celui d'en périr , sont les mêmes à tout âge. Au moyen de ces suppositions , il parvint par une analyse délicate , à convertir une table ordinaire de mortalité , dans celles qui auraient lieu , si la petite vérole n'existait pas , ou si elle ne faisait périr qu'un très-petit nombre de malades ; et il en conclut que l'inoculation augmenterait de trois ans au moins, la durée moyenne de la vie ; ce qui lui parut mettre hors de doute , l'avantage de cette opération. D'Alembert attaqua l'analyse de Bernotdli, d'abord sur l'incertitude de ses deux hypothèses; ensuite , sur son insuffisance , en ce que l'on n'y faisait point entrer ,1a comparaison du danger prochain , quoique très-petit , de périr par l'inoculation , au danger beaucoup plus grand , mais plus éloigné , de succomber à la petite vérole naturelle. Cette considération qui disparaît, lorsque l'on considère un grand nombre dindividus, est par là, indifférente aux gouvenemens, et laisse subsister pour eux, les avantages de l'inoculation ; mais die est d'un grand poids pour un père de famille qui doit craindre , en faisant inoculer sesenfans, de voir périr ce qu'il a de plus cher au monde , et d'en être cause. Beaucoup de parens étaient retenus par cette crainte que la découverte de la vaccine a heureusement dissipée. Par un de ces mystères qi^e la nature nous offre si fréquemment, le vaccin est un préservatif de la petite vérole , aussi sûr que le virus variolique, et il n'a aucun danger : il n'expose à aucune maladie , et ne demande que très-peu de soins. Aussi sa pratique s'est-elle promptement répandue ; et pour la rendre universelle , il ne reste plus à vaincre que l'inertie naturelle du peuple , contre laquelle il faut lutter sans cesse , même lorsqu il s'agit de ses plus chers intérêts, Le moyen le plus simple de calculer l'avantage que
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produirait l'extinction d'une maladie , consiste à déterminer par l'observation, le nombre d'individus d'un âge donne' , qu'elle fait périr , chaque année , et à le retrancher du nombre des morts au même âge. Le rapport de la différence , au nombre total d'individus de l'âge donné, serait la probabilité de périr dans l'année, à cet âge , si la maladie n'existait pas. En faisant donc une somme de ces probabilités depuis la naissance jusqu'à un âge quelconque , et retranchant cette somme de l'unité , le reste sera la probabilité de vivre jusqu'à cet âge, correspondante à l'extinction delà maladie. La série de ces probabilités sera la table de mortalité , relative à cette hypothèse; et l'on en conclura, par ce qui précède, la durée moyenne de la vie. C'est ainsi que Duvilard a trouvé que l'accroissement de la durée moyenne de la vie , dû à l'inoculation de la vaccine , est de trois ans au moins. Un accroissement aussi considérable en produirait un fort grand dans la population , si d'ailleurs, elle n'était pas restreinte par la diminution relative des subsistances.
C'est principalement par le défaut des subsistances , que la marche progressive de la population est arrêtée. Dans toutes les espèces d'animaux et de végétaux , la nature tend sans cesse à augmenter le nombre des individus , jusqu'à ce qu'ils soient au niveau des moyens de subsister. Dans l'espèce humaine, les causes morales ont une grande influence sur la population. Si le sol, par de faciles défrichemens , peut fournir une nourriture abondante à des générations nouvelles , la certitude de faire vivre une nombreuse famille, encourage les mariages et les rend plus précoces et plus féconds. Sur un sol pareil , la population et les naissances doivent croître à la fois en progression géométrique. Mais quand les
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défrichemens deviennent plus difficiles et plus rares; alors l'accroissement de la population diminue : elle se rapproche continuellement de l'état variable des subsistances , en faisant autour de lui , des oscillations , à peu près comme un pendule, dont on promène d'un mouvement retardé, le point de suspension , oscille autour de ce point , par, sa' pesanteur. Il est difficile d'évaluer le maximum d'accroissement de la population : il paraît d'après quelques observations, que dans de Favorables circonstances , la population de l'espèce humaine pourrait doubler , tous les quinze ans. On estime que dans l'Amérique septentrionale, la période de ce doublement est de vingt-deux années. Dans cet état de choses , la population , les naissances , les mariages , la mortalité , tout croît suivant la même progression géométrique dont on a le rapport constant des termes consécutifs , par l'observation des naissances annuelles à deux époques. Une table de mortalité , représentant les probabilités de la vie humaine, on peut déterminer, à son moyen , la durée des mariages. Supposons pour simplifier, que la mortalité soit la même pour les deux sexes , on aura la probabilité que le mariage subsistera un an, ou deux, ou trois , etc. , en formant une éuite de fractions dont le dénominateur commun soit le produit des deux nombres de la table , correspondans aux hges des conjoints , et dont les numérateurs soient les produits successifs des nombres correspondans à ces âges augmentés d'une , de deux, de trois, etc., années. La somme de ces fractions, augmentée d'un demi , sera la durée moyenne du mariage, l'année étant prise pour unité. Il est facile d'étendre la même règle , à la durée moyenne d'une association formée de trois ou d'un plus grand nombre d'individus.
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Des bénéfices des établissemens qui dépendent de la probabilité des événemens.
Rappelons ici ce que nous avons dit en parlant de 1 espérance. On a vu que pour obtenir l'avantage qui résulte de plusieurs événemens simples dont les uns pro- ' duisent un bien , et les autres , une perte , il faut ajouter les produits de la probabilité de chaque événement favorable , par le bien qu'il procure, et retrancher de leur somme, celle des produits de la probabilité de chaque événement défavorable , par la perte qui y est attachée. Mais quel que soit l'avantage exprimé par la différence de ces sommes, un seul événement composé de ces événemens simples, ne garantit point de la crainte d'éprouver une perte. On conçoit que cette crainte doit diminuer lorsque l'on multiplie l'événement composé. L'analyse des probabilités conduit à ce théorème général.
Par la répétition d'un événement avantageux , simple ou composé , le bénéfice réel devient de plus en plus probable, et s'accroît sans cesse : il devient certain, dans l'hypothèse d'un nombre infini de répétitions ; et en le divisant par ce nombre, le quotient ou le bénéfice moyen de chaque événement , est l'espérance mathématique elle-même, ou l'avantage relatif à l'événement. Il en est de même de la perte qui devient certaine à la longue, pour peu que l'événement soit désavantageux.
Ce théorème sur les bénéfices et les pertes , est analogue à ceux que nous avons donnés précédemment sur les rapports qu'indique la répétition indéfinie des événemens simples ou composés ; et comme eux , il prouve que la régularité finit par s'établir dans les choses mêmes les plus subordonnées à ce que nous nommons hasard.
Lorsque les événemens sont en grand nombre, l'Analyse donne encore une expression fort simple de la probabilité que le bénéfice sera compris dans des limites déterminées , expression qui rentre dans la loi générale de la probabilité, que nous avons donnée ci-dessus , en parlant des probabilités qui résultent de la multiplication indéfinie des événemens. .
C'est de la vérité du tbéorème précédent , que dépend la stabilité des établissemens fondés sur les probabilités. Mais pour qu'il puisse leur être appliqué, il faut que ces établissemens , par de nombreuses affaires , multiplient les événemens avantageux.
On a fondé sur les -probabilités de la vie humaine, divers établissemens , tels que les rentes viagères et les tontines. La méthode la plus générale et la plus simple de calculer les bénéfices et les charges de ces établissemens , consiste à les réduire en capitaux actuels. L'intérêt annuel de l'unité, est ce que l'on nomme taux de l'intérêt. A la fin de chaque année, un capital acquiert pour facteur, l'unité plus le taux de l'intérêt ; il crott donc suivant une progression géométrique dont ce facteur est la raison. Ainsi par l'effet du temps , il devient immense. Si , par exemple, le taux de l'intérêt est ^ onde cinq pour cent , le capital double à fort peu près en quatorze ans , quadruple en vingt-neuf ans , et dans moins de trois siècles , il devient deux millions de fois plus considérable.
Un accroissement aussi prodigieux a fait naître l'idée de s'en servir, pour amortir la dette publique. On forme pour cela une caisse d'amortissement à laquelle on consacre un fonds annuel , employé au rachat des effets publics et sans cesse accru de l'intérêt des effets rachetés. Il est clair qu'à la longue, cette caisse absor-
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bera une grande partie de la dette nationale. Si lorsque les besoins de l'Etat obligent à faire un emprunt , on consacre une partie de cet emprunt à l'accroissement du fonds annuel d'amortissement, les variations des effets publics seront moindres ; la confiance des préteurs , et la probabilité de retirer sans perte le capital prêté, quand on le désire, en seront augmentées , et rendront les conditions de l'emprunt moins onéreuses. D'heureuses expériences ont pleinement confirmé ces avantages. Mais la fidélité dans les engagemens et la stabilité , si nécessaires au succès de pareils établissemens , ne peuvent être bien garanties, que par un gouvernement dans lequel la puissance législative est divisée en plusieurs pouvoirs indépendans. La confiance qu'inspire le concours nécessaire de ces pouvoirs', double la force de l'État ; et le Souverain lui-même gagne alors en puissance légale , beaucoup plus qu'il ne perd en puissance arbitraire.
Il résulte de ce qui précède , que le capital actuel équivalent à une somme qui ne doit être payée qu'après un certain nombre d'années , est égal à cette somme multipliée par la probabilité qu'elle sera payée à cette époque, et divisée par l'unité augmentée du taux de l'intérêt et élevée à une puissance exprimée par le nombre de ces années.
Il est facile d'appliquer ce principe , aux rentes viagères sur une ou sur plusieurs têtes, et aux caisses d'épargne et d'assurance d'une nature quelconque. Supposons que l'on se propose de former une table de rentes viagères, d'après une table donnée de mortalité. Une rente viagère payable au bout de cinq ans , par exemple , et réduite en capital actuel , est, par ce principe, égale au produit des deux quantités suivantes,
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savoir, la rente divisée par la cinquième puissance de l'unité augmentée du taux de l'intérêt, et la probabilité de la payer. Cette probabilité est le rapport inverse du nombre des individus inscrits dans la table , vis-à-vis de l'âge de celui qui constitue la rente, au nombre inscrit vis-à-vis de cet âge augmenté de cinq années. En formant donc une suite de fractions dont les dénominateurs- soient les produits du nombre de personnes indiquées dans la table de mortalité, comme vivantes à l'âge de celui qui constitue la rente, par les puissances successives de l'unité augmentée du taux de l'intérêt, et dont les numérateurs soient les produits de la rente, par le nombre des personnes vivantes au même âge augmenté successivement d'une année , de deux années , etc. , la somme de ces fractions sera le capital requis pour la rente viagère à cet âge.
Supposons maintenant qu'une personne veuille, au moyen d'une rente viagère, assurer à ses héritiers , un capital payable à la fin de l'année de sa mort. Pour déterminer la valeur de cette rente, on peut imaginer que la personne emprunte en viager à une caisse, ce capital, et qu'elle le place à intérêt perpétuel à la même caisse. Il est clair que ce capital sera dû par la caisse , à ses héritiers , à la fin de l'année de sa mort ; mais elle n'aura payé, chaque année, que l'excès de l'intérêt viager sur l'intérêt perpétuel. La table des rentes viagères fera donc connaître ce que la personne doit payer anuellement à la caisse , pour assurer ce capital après sa mort.
Les assurances maritimes , celles contre les incendies et les orages, et généralement tous les établissement de ce genre, se calculent par les mêmes principes» Un négociant a des vaisseaux en mer , il veut assurer leur valeur et celle de leur cargaison , contre les dangers
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qu'ils peuvent courir : pour cela il donne une somme à une compagnie qui lui répond de la valeur estimée de ses cargaisons et de ses vaisseaux. Le rapport de cette valeur à la somme qui doit être donnée pour prix de l'assurance, dépend des dangers auxquels les vaisseaux sont exposés, et ne peut être apprécié que par des observations nombreuses sur le sort des vaisseaux partis du port pour la même destination.
Si les personnes assurées ne donnaient à la compagnie d'assurance, que la somme indiquée par le calcul des probabilités , cette compagnie ne pourrait pas subvenir aux dépenses de son établissement ; il faut donc qu'elles paient d'une somme plus forte , le prix de leur assurance. Mais alors quel est leur avantage ? C'est ici que la considération du désavantage moral attaché à l'incertitude, devient nécessaire. On conçoit que le jeu le plus égal devenant , comme on l'a vu précédemment , désavantageux , parce que le joueur échange une mise certaine , contre un bénéfice incertain , l'assurance par laquelle on échange l'incertain contre le certain , doit être avantageuse. C'est, en effet, ce qui résulte de la règle que nous avons donnée ci-dessus pour déterminer l'espérance morale, et par laquelle on voit de plus jusqu'où peut s'étendre le sacrifice que l'on doit faire à la compagnie d'assurance, en conservant toujours un avantage moral. Cette compagnie peut donc , en procurant cet avantage, faire elle-même un grand bénéfice, si le nombre des assurés est très-considérable, condition nécessaire à son existence durable. Alors son bénéfice devient certain, et ses espérances mathématiques et morales coïncident. Car l'Analyse conduit à ce théorème général , savoir, que si les expectatives sont très-nombreuses, les deux espérances approchent sans cesse l'une de Pau*
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tre, et finissent pair coïncider dans le cas d'un nombre infini d'expectatives.
Nous avons dit, en parlant des espérances mathématique et morale, qu'il y a un avantage moral à répartir les risques d'un bien que l'on attend , sur plusieurs de ses parties. Ainsi , pour faire parvenir une somme d'argent d'un port éloigné , il vaut mieux la répartir sur plusieurs vaisseaux , que de l'exposer sur un seul. C'est ce que l'on fait au moyen des assurances mutuelles. Si deux personnes, ayant chacune la même somme sur deux vaisseaux différent partis du même port pour la même destination , conviennent de partager également tout l'argent qui leur arrivera , il est clair que par cette convention , chacune d'elles répartit également sur les deux vaisseaux, la somme qu'elle attend. A la vérité, ce genre d'assurances laisse toujours de l'incertitude sur la perte que l'on peut craindre. Mais cette incertitude diminue à mesure que le nombre des associés augmente : l'avantage moral s'accroît de plus en plus , et finit par coïncider avec l'avantage mathématique, sa limite naturelle. Cela rend l'association d'assurances mutuelles, lorsqu'elle est très-iiombreuse , plus avantageuse aux assurés, que les compagnies d'assurances qui, à raison du bénéfice qu'elles font , donnent un avantage moral , toujours inférieur à l'avantage mathématique. Mais la surveillance de leur administration peut balancer l'avantage des assurances mutuelles. Tous ces résultats sont, comme on l'a vu précédemment , indépendans de la loi qui exprime l'avantage moral.
On peut envisager un peuple libre, comme une grande association dont les membres se garantissent mutuelle* ment leurs propiétés, en supportant proportionnellement les charges de cette garantie. La confédération de
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plusieurs peuples leur donnerait des avantages analogues à ceux que chaque individu retire de la société. Un congrès de leurs représentons discuterait les objets d'une utilité commune à tous ; et sans doute, le système des poids , des mesures et des monnaies , proposé par les sa vans français , serait adopté dans ce congrès,, comme une des choses les plus utiles aux relations commerciales.
Parmi les établissemens fondés sur les probabilités de la vie humaine , les meilleurs sont ceux dans lesquels , au moyen d'un léger sacrifice de son revenu , on assure son existence et celle de sa famille pour un temps où Ton doit craindre de ne plus suffire à ses besoins. Autant le jeu est immoral, autant ces établissemens sont avantageux aux mœurs , en favorisant les plus doux penchans de la nature. Le Gouvernement doit «donc les encourager et les respecter dans les vicissitudes de la fortune publique ; car les espérances qu'ils présentent , portant sur un avenir éloigné , ils ne peuvent prospérer qu'à l'abri de toute inquiétude sur leur durée. C'est un avantage que l'institution du Gouvernement représentatif leur assure.
Disons un mot des emprunts. H est clair que pour emprunter en perpétuel , il faut payer, chaque année, le produit du capital par lje taux de l'intérêt. Mais on peut vouloir acquitter ce capital, en paiemens égaux faits pendant un nombre déterminé d'années , paiemens que l'on nomme annuités y et dont on obtient ainsi la valeur. Chaque annuité , pour être réduite au moment actuel , doit être divisée par une puissance de l'unité augmentée du taux d» l'intérêt , égale au nombre des années après lesquelles on doit payer cette annuité. En formant donc une progression géométrique dont le pre*
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mier terme soit l'annuité divisée. par l'unité augmentée du taux de l'intérêt , et dont le dernier soit cette annuité divisée par la même quantité élevée à une puissance égale au nombre des années pendant lesquelles le paiement doit avoir lieu , la somme de cette progression sera équivalente au capital emprunté ; ce qui détermine la valeur de l'annuité. Une caisse d'amortissement n'est au fond , qu'un moyen de convertir en annuités une rente perpétuelle, avec la seule différence, que dans le cas d'un emprunt par annuités , l'intérêt est supposé constant, au lieu que l'intérêt des rentes acquises par la caisse d'amortissement est variable. S'il était le même dans ces deux cas , l'annuité correspondante aux rentes acquises serait formée de ces rentes , et de ce que l'état donne annuellement à la caisse.
Si l'on veut faire un emprunt viager, on observera que les tables de rentes viagères donnant le capital requis pour constituer une rente viagère, à un âge quelconque, une simple proportion donnera la rente que l'on doit faire à l'individu dont on emprunte un capital. On peut calculer, par ces principes , tous les modes possibles d'emprunt.
Les principes que nous venons d'exposer sur les bénéfices et sur les pertes des établissemens , peuvent servir à déterminer le résultat moyen d'un nombre quelconque d'observations déjà faites, lorsqu'on veut avoir égard aux écarts des résultats correspondans aux diverses observations. Désignons par ai la correction du résultat lé plus faible, et par x augmenté successivement de ?> ?'> ?"> etc., les corrections des résultats su i vans. Nommons i , % , i" , etc. , les erreurs des observations , dont nous supposerons la loi de probabilité connue. Chaque observation étant une fonction du résultat , il
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est facile de voir qu'en supposant très-petite , la correction x de ce résultat, l'erreur i de la première observation sera égale au produit de x par un coefficient déterminé. Pareillement l'erreur % de la seconde observation sera le produit de la somme q plus x , par un coefficient déterminé , et ainsi du reste. La probabilité de l'erreur i étant donnéeparune fonction connue, elle sera exprimée par la même fonction du premier des produits précédens. La probabilité de % sera exprimée par la même fonction du second de ces produits , et ainsi des autres. La probabilité de l'existence simultanée des erreurs t 9 •', i", etc., sera donc proportionnelle au produit de ces diverses fonctions , produit qui sera une fonction de x. Cela posé , si l'on conçoit une courbe dont x soit l'abscisse, et dont l'ordonnée correspondante soit ce produit, cette courbe représentera la probabilité des diverses valeurs de x , dopt les limites seront déterminées par les limites des erreurs i , t , etc. Maintenant, désignons par X, l'abscisse qu'il faut choisir; X diminué de x 9 sera l'erreur que l'on commettrait, si l'abscisse x était la véritable correction. Cette erreur multipliée par la probabilité de x ou par l'ordonnée correspondante de la courbe, sera le produit de la perte par sa probabilité; en regardant comme on doit le faire , cette erreur, comme une perte attachée aux choix de X. En multipliant ce produit par la différentielle de x , l'intégrale prise depuis la première extrémité de la courbe , jusqu'à X, sera le désavantage deX, résultant des valeurs de x inférieures à X. Pour les valeurs de x supérieures 4X,i moins X serait l'erreur de X , si x était la véritable correction ; l'intégrale du produit de x par l'ordonnée, correspondante de la courbe et par la différentielle de x sera donc le désavantage de X , résultant des
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valeurs de x supérieures à x ; cette intégrale étant prise depuis x égal à X , jusqu'à la dernière extrémité de la courbe. En ajoutant ce désavantage au précédent, la somme sera le désavantage attaché au choix de X. Ce choix doit être déterminé par la condition que ce désavantage soit un minimum ; et un calcul fort simple montre que pour cela , X doit être l'abscisse dont l'ordonnée divise la courbe en deux parties égales , en sorte qu'il est aussi probable que la vraie valeur de x tombe en-deçà qu'au-delà de X.
Des géomètres célèbres ont choisi pour X , la valeur de x la plus probable , et par conséquent celle qui correspond à la plus grande ordonnée de la courbe ; mais la valeur précédente me parait être évidemment celle que la théorie des probabilités indique.
Des illusions dans l'estimation des Probabilités.
L'esprit a ses illusions , comme le sens de la vue ; et de même que le toucher corrige celles-ci , la réflexion et le calcul corrigent les premières. La probabilité fondée sur une expérience journalière, ou exagérée par la crainte et par l'espérance, nous frappe plus qu'une probabilité supérieure, mais qui n'est qu'un simple résultat du calcul. Ainsi nous ne craignons point, pour de faibles avantages , d'exposer notre vie à des dangers beaucoup moins invraisemblables que la sortie d'un quine à la loterie de France ; et cependant personne ne voudrait se procurer les mêmes avantages , avec la certitude de perdre la vie, si ce quine arrivait.
Nos passions , nos préjugés et les opinions dominantes , en exagérant les probabilités qui leur sont favo-
SUR LES PROBABILITES. i^
râbles, et en atténuant les probabilités contraires , sont des sources abondantes d'illusions dangereuses.
Les maux présens et la cause qui les fait naître, nous affectent beaucoup plus , que le souvenir des maux produits par la cause contraire : ils nous enpéchent d'ap-> précier avec justesse , les inconvéniens des uns et des autres , et la probabilité des moyens propres à nous en préserver. C'est ce qui porte alternativement vers le despotisme et vers l'anarchie, les peuples sortis, de l'état de repos dans lequel ils ne rentrent jamais qu'après de longues et cruelles agitations.
Cette impression vive que nous recevons de la présence des événemens , et qui nous laisse à peine remarquer les événemens contraires observés par d'autres , est une cause principale d'erreur, dont on ne peut trop se garantir.
C'est principalement au jeu , qu'une foule d'illusions entretient l'espérance et la soutient contre les chances défavorables. La plupart de ceux qui mettent aux loteries , ne savent pas combien de chances sont à leur avantage, combien leur sont contraires. Ils n'envisagent que la possibilité, pour une mise légère, de gagner une somme considérable ; et les projets que leur imagination enfante , exagèrent à leurs yeux la probabilité de l'obtenir : le pauvre surtout , excité par le désir d'un meilleur sort, expose à ce jeu son nécessaire, en s'attachant aux combinaisons les plus défavorables , qui lui promettent un grand bénéfice. Tous seraient sans doute effrayés du nombre immense des mises perdues , s'ils pouvaient les connaître ; mais on prend soin , au contraire , de donner aux gains , une grande publicité qui devient une nouvelle cause d'excitation à ce jeu funeste.
Lorsqu'à la loterie de France, un numéro n'est pas
Digitizéd
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sorti depuis long-temps , la foule s'empresse de le couvrir de mises. Elle juge que le numéro resté long-temps sans sortir, doit, au prochain tirage, sortir de préférence aux autres. Une erreur aussi commune me paraît tenir à une illusion par laquelle on se reporte involontairement à l'origine des événemens. Il est , par exemple , très-peu vraisemblable qu'au jeu de croix ou pile, on amènera croix dix fois de suite. Cette invraisemblance qui nous frappe encore, lorsqu'il est arrivé neuf fois , nous porte à croire qu'au dixième coup pile arrivera. Cependant le passé, en indiquant dans la pièce une plus grande pente pour croix que pour^MÏe, rend le premier de ces événemens, plus probable que l'autre : il augmente , comme on l'a vu , la probabilité d'amener croix au coup suivant. Une illusion semblable persuade à beaucoup de monde, que l'on peut gagner sûrement à la loterie, en plaçant chaque fois , sur un même numéro jusqu'à sa sortie, une mise dont le produit surpasse la somme de toutes les mises. Mais quand même de semblables spéculations ne seraient pas souvent arrêtées par l'impossibilité de les soutenir , elles ne diminueraient point le désavantage mathématique des spéculateurs , et elles accroîtraient leur désavantage moral , puisqu'à chaque tirage, ils exposeraient une plus grande partie de leur fortune.
J'ai vu des hommes désirant ardemment d'avoir un fils , n'apprendre qu'avec peine les naissances des garçons dans le mois où ils allaient devenir pères. S'îmaginant que le rapport de ces naissances à celles des filles , devait être le même à la fin de chaque mois , ils jugeaient que les garçons déjà nés rendaient plus probables, les naissances prochaines des filles. Ainsi l'extraction d'une boule blanche, d'une urne qui renferme un nombre
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limité de boules blanches et de boules noires, accroît la probabilité d'extraire une boule noire, au tirage suivant. Mais cela cesse d'avoir lieu , quand le nombre des boules de l'urne est illimité, comme on doit le supposer, pour assimiler ce cas à celui des naissances. Si dans le cours d'un mois , il était né beaucoup plus de garçons que de filles , on pourrait soupçonner que vers le temps de leur conception , une cause générale a favorisé les conceptions masculines; ce qui rendrait la naissance prochaine d'un garçon , plus probable. Les événemens irréguliers de la nature ne sont pas exactement comparables à la sortie des numéros d'une loterie dans laquelle tous les numéros sont mêlés à chaque tirage, de manière à rendre les chances de leur sortie, parfaitement égales. La fréquence d'un de ces événemens semble indiquer une cause un peu durable qui le favorise , ce qui augmente la probabilité de son prochain retour ; et sa répétition long-temps prolongée, telle qu'une longue suite de jours pluvieux, peut développer des causes inconnues de son changement ; en sorte qu'à chaque événement attendu , nous ne sommes point , comme à chaque tirage d'une loterie, ramenés au même état d'indécision sur ce qui doit arriver. Mais à mesure que l'on multiplie les observations de ces événemens , la comparaison de leurs résultats avec ceux des loteries devient plus exacte.
Par une illusion contraire aux précédentes, on cherche dans les tirages passés de la loterie de France , les numéros le plus souvent sortis, pour en former des combinaisons sur lesquelles on croit placer sa mise avec avantage. Mais vu la manière dont le mélange des numéros se fait à cette loterie , le passé ne doit avoir sur l'avenir , aucune influence. Les sorties plus fréquentes d'un numéro ne sont que des anomalies du hasard :
i44 ESSAI PHILOSOPHIQUE
j'en ai soumis plusieurs au calcul, et j'ai constamment trou te' qu'elles étaient renfermées dans des limites que la , supposition d'une égale possibilité de sortie de tous les numéros , permet d'admettre sans invraisemblance.
Dans une longue série d'événemens du même genre, les seules chances du hasard doivent quelquefois offrir ces veines singulières de bonheur ou de malheur, que la plupart des joueurs ne manquent pas d'attribuer à une sorte de fatalité. Ilarrive souvent dans les jeux qui dépendent à la fois du hasard et de l'habileté des joueurs, que celui qui perd, troublé par sa perte, cherche à la réparer par des coups hasardeux qu'il éviterait dans une autre situation : il aggrave ainsi son propre malheur, et il en prolonge la durée. C'est cependant alors , que la prudence devient nécessaire, et qu'il importe de se convaincre que le désavantage moral attaché aux chances défavorables , s'accroît par le malheur même.
Le sentiment par lequel l'homme s'est placé longtemps au centre de l'univers , en se considérant comme l'objet spécial des sojns de la nature, porte chaque individu à se faire le centre d'une sphère plus ou moins étendue, et à croire que le hasard a pour lui des préférences.. Soutenus par cette opinion , les joueurs exposent souvent des sommes considérables , à des jeux dont ils savent que les chances leur sont contraires. Dans la conduite de la vie, une semblable opinion peut quelquefois avoir des avantages ; mais le plus souvent , elle conduit à des entreprises funestes. Ici , comme en tout , les illusions sont dangereuses , et la vérité seule est généralement utile.
Un des grands avantages du calcul des probabilités , est d'apprendre à se défier des premiers aperçus. Comme on reconnaît qu'ils trompent souvent , lorsqu'on peut
SUR LES PR0BWHLK8ÈSÏ tffi
les sotnaetire au calcul, on «bit en, conclure que sur d'autres objets, il ne faut s?y livre* qu'avec} mue circotn- l spection extrême. Prouvons cela par des exemples.
Une urne reoierme quatre boules noires ou blanches, mais qui ne sont pas toutes de la même couleur. On fc extrait une dé ces boules, dont ta couleur est blanche* et que l'on a nemise dans l'urne pour procéder encore à de semblables tirages. Qn demande la probabilité de . n'extraire que des boules noires, t dans: les quatre tirages suivais.
Si les boules blanches et noires! étaient en nombre égpl, cette probabilité serait la quatrième puissance de la probabilité i d'extraire une boule noire à chaque tirage ; elle serait donc rgv Mais Festraetion d'une boule blanche au premier tirage indique une supériorité dans le nombre des boules blanches de l'urne ; car si Yom suppose dans l'urne, trois boules blanches et une noire, la probabilité d^en extraire un boulé blanche est f; elle est f, si l'qn suppose deux boules blanches et deux noires;, enfin y elle, se réduit, à ~, si Fon suppose trois boules noires et une blanche. Suivant le principe de ïa probabilité des causes , tirée des, événement , les proba- . hilites de ces trois suppositions sont entre elles , comme « les quantités \, |, 7 ? elles sont par conséquent égafes à f , £, £. Il y a ainsi cinq contre uni parier que le nombre des boules noires est inférieur, ou tout auf plus égal à celui des blanches. Il semble donc que d'après ' l'extraction d'une boule blanche au premier tirage , la probabilité d'extraire de suite, quatre boules noires, doive être moindre que dans le cas de l'égalité des eouleuDrs, ou plus petite qu'un seizième. Cependant cela n'e^t pas, et l'on trouve, par un calcul fort simple, cette probabilité plus grande qu'on quatorzième. En effet ,
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elle serait la quatrième puissance de £ , de {- et de f d&n# la première, la seconde et la troisième des suppositions précédentes sur les couleurs des boules de l'urne. Ett multipliant, respectivement chaque puissance, par la 1 probabilité de la supposition correspondante, ou par f, | et \ ; la somme des produits sera la probabilité d'extraire cte .suite, quatre boules noires. On a ainsi pour cette probabilité ^ , .fraction plus grande que ~. Ce paradoxe s'explique en, considérant que l'indication de la supériorité des boules blanches sur les noires par le prer mier tirage , n'exclut point k supériorité des boules noires sur les blanches, supériorité qu'exclut la supposition de l'égalité "des couleurs. Or cette supériorité, quoique peu vraisemblable , doit rendre la probabilité d'amener de suite un nombre donné de boules noires , plus grande que dans cette supposition, si ce nombre est considérable; et l'on vient de voir que v cela commence, lorsque le nombre donné est égal à quatre.
Considérons encore une urne .qui renferme plusieurs boules' blanches et noires. Supposons d'abord qu'il n'y ait qu'une boule blanche et une noire. On peut alors parier avec égalité, d'extraire une boule blanche, daps un tirage. Mais il semble que pour l'égalité du pari , on doive donner à celui qui parie d'extraire la boule blanche, deux tirages, si l'urne renferme deux boules noires 1 et une blanche; trois tirages, si elle renferme trois boules noires et une blanche ; et ainsi du reste : on suppose qu'après chaque tirage, la boule extraite est remise' dans l'urne.
]Vfais il est facile de se convaincre que ce premier aperçu est erroné. En effet , dans le cas de deux boules noires sur une blanche, la probabilité d'extraire de l'urne, deux boules noires en deux tirages, est la seconde
SUR LES PROBABILITÉS. t4?
puissance de £ ou f ; mais cette probabilité ajoutée i celle d'amener une boule blanche en deux tirages , est la certitude ou l'unité ; puisqu'il est certain que l'on doit amener deux boules noires , ou au moins une boule blanche ; la probabilité de ce dernier cas est donc £, fraction plus grande que ~. Il y aurait plus d'avantage encore à parier d'amener une boule blanche en cinq tirages , lorsque l'urne contient cinq boules noires et une blanche; ce pari est même avantageux en quatre tirages: il revient alors à celui d'amener six en quatre coups , avec un seul dé.
Le chevalier de Méré, ami de Pascal , et qui fit naître le calcul des probabilités , en excitant ce grand géomètre à s'en occuper, lui disait « qu'il avait trouvé fausseté » dans les nombres par cette raison. Si l'on entreprend » de faire six avec un dé, il y a de l'avantage à l'entre- » prendre en quatre coups, comme de 671 à 6a5. Si » l'on entreprend de faire sonnés avec deux dés , il y a » désavantage à l'entreprendre en 24 coups. Néanmoins » 24 est à 36 nombre de faces de deux dés , comme 4 » est à 6 nombre des faces d'un dé. Voilà , écrivait » Pascal à Fermât, quel était son grand scandale qui » lui faisait dire hautement , que les propositions n'é- ». taient pas constantes et que l'Arithmétique se dénien-
» tait Il a très-bon esprit ; mais il n'est pas géomètre :
» c'est , comme vous savez , un grand défaut. » Le chevalier de Méré, trompé par une fausse analogie, pensait que, dans le cas de l'égalité des paris, le nombre des coups doit croître proportionnellement au nombre de toutes les chances possibles , ce qui n'est pas exact , mais ce qui approche d'autant plus de l'être , que ce nombre est plus grand.
On a essayé d'expliquer la supériorité des naissances
148 EffSAl PffttJOaOPmQVE
âéà gâtfonS sut les naissances dés filles, par ledéar générai des pères, cFàvflir vtn fils qui perpétue leur nom. Ainsi, en imaginant tfne urûe remplie d'une infinité de boules blanches et de boules noires , en nombre égal, et supposant vtà gTaind nombre dé personnels dorti chacune tire une boule de cetfe urne , et continue 6è tirage avec l'intention de s'arrêter quand elle aura ex* trait une boule blanche, on a cru que cette intentibtt devait fendre le rioritbfe dé$ boules blanches elttaites, supérieur à celui des ribiretf. En effet, elle donne nécessairement, après tous les tirages, un notobte de bottte» blanches égal à celui des personnes ; et il est possible qxlé ces tirages n'amènent aucune bôùlë notée. Mais il est facile de reconnaître que cet aperçu n'est qu'une iHttsîcrn ; car si l'on conçoit que dàfcs uri premier tirage, toutes les personnes tirent à la fois une boalè dé f*urne, il est évident que leur intention ne peut avoir aucune influence sût la couleur desi boules qui doivent sortir A ce tirage.. Son unique eflet sera d'exclure du second tirage, les pèrsottnes qui âûrbnt amené une boulé blanche ait premier. Il est pareillement visible que l'intention des personnes qui prendront part au nouveau tirage*, n'itifluéra point sûr là couleur àeé boules qui sortiront , et qu'il en sera de triême des tirages! sttivâns. Cette intention n'influera donc point sut* la couleur des bblilést extraites datis l'ensemble dçs tirages : seulement, elle fetfa participé*" JJlkfe bu bibine de përsonties à chaciîtt d'êii*. ; Le rMppbrt deà bouïes blanches ettraltëS , atii noires , sera ainsi t*èé-£eù différent de l'uiiité. il suit de là, que le hbihbre des personnes étant supposé fort grand , si l'obsërVatibii donne entre lès cbuléitts ëxtrai tes , un rapport qui diffère sensiblement de l'ûiiiié , il est très-probable que la même différence a lieu à fort
SUR Ï4&S PAQBAWWTES. *49
peu^ près entre l'unité et le rapport <Jes boujes blanches aux boule? noires contenues dans l'urne.
Je mets encore au rang des illusions, l'application que Leibnitz et Daniel Bernoylli o|it faite du calcul des ppo- . ba^iUtës, à la sommation des séries. Si Ton réduit la, fraction dont le numérateur { e?t l'unité , et dont ,1e dénominateur est l'unité plus une variable, dans une suite ordonnée par rapport aux puissances de cette variable , il est facile de voir qu'en supposant la variable; égale à l'unité, k jÇraçtipn devient 7, et la suite devient , plus i+n 9 moins un, plus y,n 9 moins un, etc. En ajoutant le,$ dçu? premiers ternies , les deux suiy ans , et ainsi du reste , pu transforme la suite çlan$ u,n<e autre dont ch,a-r q#e terme est zéro. Qrandi , jésuite italien , en avait conclu la possibilité de la création; parce que la suite éteint toujours égale £ ■$ -, U voyait, cette fraction naître d'Une infinité Ae z,éros, ou du néant. Ce fut ainsi que Leibnitz criut voir. l'image de la création , dans son Ari thrujétique binaire; où il n'employait que les deux caractères z^ro et l'unité. Il imagina que I^ieu pouvant 4tre représenté pa^ l'unité , et 1 le néant par zéro , 'l'£t|$ * $upr&pe avait tiré 4 U néants tous }es jêtres , comme l'unité avec Je zéro , exprime ,t0jU5 les nombres dans ce $y3t£me d'arith nié tique. Cette idée plnt tellement £ l,eibnitz, «Ju'il en û^t part au jesujte GvimalcU président çLu tribunal de Mathématique? à la Chine , dans Tespérance que cet emblème de la création convertirait $u christianisme l'empereur d'alors .qui aimait particulièrement les sciences. Je ne rapporte ce trait , que ppu?, montrer ju^u'à quel point les préjugés de rejn&nee peuvent égarer les plus grands hcjmmes,
Leibnitz toujours conduit par : u&e ,niétftpîiy«iq^ sinr ; ggtâ&re # itpr^d^liée , çon$i4éy& $Wiki mits ; plus un,
i5o ESSAI PHILOSOPHIQUE
moins un, plus un, etc., devient l'unité ou zéro, suivant que Ton s'arrête à un nombre de termes impair oti pair ; et comme dans l'infini , il n'y a aucune raison de préférer le nombre pair à l'impair, on doit, suivant les règles de probabilités, prendre la moitié des résultat» relatifs à ces deux espèces de nombres, et qui sont zéro* et l'unité ; ce qui donne 7 pour la valeur de la série. Daniel Bernoulli a étendu, depuis, ce raisonnement à la sommation des séries formées de' termes périodiques! Mais toutes ces séries n'ont point, à proprement parler, de valeurs : elles n'en prennent que dans le cas où leurs termes sont multipliés par les puissances successives d'une variable moindre que l'unité. Alors, ces séries sont toujours convergentes, quelque petite que Poit suppose la différence de la variable à l'unité ; et il est facile de démontrer que les valeurs assignées par Ber*noulli , en vertu de la règle des probabilités , sont les valeurs mêmes des fractions génératrices des séries, lorsque l'on suppose dans ces fractions la variable égale à l'unité. Ces valeurs sont encore les limites dont les séries approchent de plus en plus , à mesure que la variable approche de l'unité. Mais lorsque la variable est exactement égale à l'unité , les séries cessent d'être convergentes : elles n'ont de valeurs , qu'autant qu'on les arrête. Le rapport remarquable de cette application du calcul dés probabilités, avec les limites des valeurs des séries périodiques , suppose que les termes de ces séries sout multipliés par toutes les puissances consécutives de la variable. Mais ces séries peuvent résulter du développement d'une infinité de fractions différentes , dans lesquelles cela n'a pas lieu. Ainsi la série , plus un, moins un, plus un, etc. , peut naître du développement d'une fraction dont le numérateur est l'unité plus la variable »
et dont le dénomma teur est ce numérateur augmenté du carré delà variable. Eu supposant la variable égale à l'unité, ce développement se change 1 dans la série proposée, et la fraction génératrice devient égale à |; les règles dès probabilités donneraient donc alors un faux résultat ; ce qui prouve combien il serait dangereux d'employer de semblables raisomiemens, surtout dans les sciences mathématiques que la ligueur de leurs procédés doit éminemment distinguer.
Nous sommes portés naturellement à croire que l'ordre suivant, lequel nous voyons les choses se renouveler* sur la terre , a existé de tout temps , et subsistera toujours. En effet , si l'état présent de l'univers était entièrement semblable à l'état antérieur qui l'a produit, il ferait naître, à son tour, un état pareil; la succession de ces états serait donc alors éternelle. J'ai reconnu par l'application de l'Analyse à la loi de la pesanteur universelle, que les mouvemens de rotation et de révolution 1 des planètes et des satellites , et la position de leurs orbites et de leurs équateurs , ne sont assujétis qu'à des inégalités périodiques. En comparant aux anciennes éclipses, la théorie de l'équation séculaire de la lune, j'ai trouvé que, depuis Hipparque, la durée du jour n'a pas varié d'un jcentième de seconde , et que la température moyenne de la. terre n'a pas diminué d'un centième de degré. Ainsi la stabilité de l'ordre actuel paraît établie k la fois par la théorie et par les observations. Mais cet ordre est troublé par diverses causes qu'un examen attentif fait apercevoir , et qu'il est impossible de soumettre au calcul.
Les actions de l'Océan , de l'atmosphère et des météores 9 les tremblemens de terre , et les éruptions de volcans , agitent sans cesse la surface terrestre , et doi-
i5a ESSAI PHILOSOPHIQUE
vent y opérer à la longue, des changements considérables. La température des climats , le volume de l'atmosphère, et la proportion des gaz qui la constituent, peuvent varier d'une manière insensible. Les instrumens et les moyens propres à déterminer ces variations étant nouveaux, l'observation n'a pu, jusqu'ici, rien nous apprendre à cet égard. Mais il est très-peu. vraisemblable que les causes qui absorbent et renouvellent les gaz een» stitutifs de notre àir , en maintiennent exactement les quantités respectives. Une longue suite 'de siècles fera connaître les altérations qu'éprouvent tous «es élémens si essentiels à la conservation des êtres organisés. Quoique les moniuriens historiques ne remontent pas à une très-haute antiquité, ils nous offrent cependant , d'assez grands changemens survenus par l'action lente et continue des agens naturels. En fouillant dans les entrailles de la terre, on découvre de nombreux débris d'une nature jadis vivante et toute différente de la mature actuelle. D'ailleurs, si la terre entière a été primitivement fluide, comme tout parait l'indiquer , on conçoit qu'en passant de cet état, à celui qu'elle a maintenant, *sa surface a dû éprouver de prodigieux changemens. Le ciel jnéme, malgré l'ordre de ses mouvement , n'est pas inaliénable. La résistance de la lumière >et des autres fluides éthérés et l'attraction des étoiles, doivent, -après un trèsgrand nombre de siècles, cxmstf érableufcentahérerWmottvemens planétaires. Les variations déjà observées dans les étoiles et dans la forme des nébuleuses , font pressentir celles que le temps développera dans le système de -ces grands corps. On peut représenter les états successifs de l'univers , par une courbe dont le temps serait l'abscisse, et dont les ordonnées exprimeraient ces divers états. Connaissant à peine un élément de cette courbe , nous
SDR LES PROBABILITÉS. i53
eomows loin de pouvoir remonter à son origine ; et si , pour reposer l'imagination toujours inquiète d'ignorer la cause des phénomènes qui l'intéressent, on hasarde quelques conjectures , il est sage de ne les présenter -qu'avec une extrême réserve.
11 existe dans l'estimation des probabilités , un genre d'illusions qui , dépendant spécialement des lois de l'organisation intellectuelle, exige, pour s'en garantir y un ««amen approfondi de ces lois. Le désir de pénétrer dans l'avenir, et les rapports de quelques événemens remarquables avec les prédictions ces astrologues , des devins etdes augures , avec les pressentimens et les songes , avec les nombres et les jours réputés heureux ou malheureux , ont donné naissance à une foule de préjugés encore trèsrépandus. On ne réfléchit point au grand nombre de non-coïncidences qui u'ont fait aucune impression, ou que l'on ignore » Cependant , il est nécessaire de les connaître, pour apprécier la probabilité des causes aux*quelles on attribue les coïncidences. Cette connaissance confirmerait, sans doute, ce que la raison nous dicte à l'égard «de ees préjugés, Ainsi, le philosophe dé l'antiquité, auquel on montrait dans un tefnple, pour exalter la puissance du dieu qu'on y adorait , les ex votode tous ceux qui après l'avoir invoqué, s'étaient sauvés du naufrage , fit une remarque conforme au calcul des probabilités , en observant qu'il 71e voyait point inscrits , les noms de ceux qui , malgré cette invocation , avaient péri. Gicéron a réfuté tous ces préjugés , avec beaucoup de raison et d'éloquence , dans son Traite de la Dwination, qu'il termine par un passage que je vais citer; car on aime à retrouver chez les anciens , les traits de la raison universelle qui après avoir dissipé tous les préjugés par sa lumière, deviendra l'unique fondement des institutions humaines.
Digit^dby GoOgk
i54 ESSAI PHILOSOPHIQUE
« Il faut , dit l'orateur romain , rejeter la divination » par les songes , et tous les préjugés semblables. La su- » perstition partout répandue a subjugué la plupart des >» esprits et s'est emparée de la faiblesse des hommes*. » C'est ce que nous avons développé dans nos livres sur » la nature des dieux et spécialement dans cet ouvrage r » persuadé que nous ferons une chose utile au^autres
* et à nous-raême, si nous parvenons à détruire la
* superstition. Cependant, (et je désire surtout qu'à cet » égard , ma pensée soit bien comprise )+ en détruisant » la superstition, je suis loin de vouloir ébranler la re- » .ligion. La sagesse nous prescrit de maintenir les insti* » tutions et les cérémonies de nos ancêtres , touchant te » culte des dieux. D'ailleurs , la beauté de l'univers et » l'ordre des choses célestes nous forcent à reconnaître » quelque nature supérieure qui doit être remarquée » et admirée du genre humain. Mais autant U convient » de propager la religion qui est jointe à la connaissance » de la nature , autant il faut travailler à extirper la su- » perstition. Car elle vous tourmente, vous presse et » vous poursuit sans cesse en tous lieux. Si vous consul- » tez un devin ou un présage; si vous immolez une » victime ; si vous regardez le vol d'un oiseau ; si vous » rencontrez un chaldéen , ou un aruspice ; s'il éclaire f » s'il tonne , si la foudre tombe ; enfin s'il naît ou se
* manifeste une espèce de prodige ; toutes choses dont
* souvent quelqu'une doit arriver ; alors la superstition » qui vous domine , ne vous laisse point de repos. Le » sommeil même , ce refuge des mortels dans leurs pei- » nés et dans leurs travaux, devient par elle, un nou- » veau sujet d'inquiétudes et de Jfrayeurs. »
Tous ces préjugés et les frayeurs qu'ils inspirent, tiennent à des causer physiologiques qui continuent
quelquefois d'agir fortement , après que la raison nous a désabusés. Mais la répétition d'actes contraires à ces préjugés, peut toujours les détruire. C'est ce que nous allons établir par les considérations suivantes.
Aux limites de la Physiologie visible , commence une autre Physiologie dont les phénomènes beaucoup plus variés que ceux de la première , sont comme -eux., assujétis à des lois qu'il est très-important de connaître. Cette Physiologie que nous désignerons sous le nom de Psychologie, est sans douté, une cdfctimiation de la Physiologie visible. Les nerfs dont les filamens se per-* dent dans la substance médullaire du cerveau , y propagent les impressions qu'ils reçoivent des objets extérieurs, et ils y laissent des impressions permanentes qui modifient , d'une manière inconnue , le sensorium ou siège de la sensation et de la pensée (i). Les sens extérieurs ne peuvent rien apprendre sur la nature de ces modifications étonnantes par leur infinie variété , et par la distinction et l'ordre qu'elles conservent dans le petit espace qui les renferme ; modifications dont les phénomènes si variés de la lumière et de l'électricité nous donnent quelque idée. Mais en appliquant aux observations du sens interne qui peut seul les apercevoir , la méthode dont on a fait usage pour les observations des sens externes , on pourra porter dans la théorie de l'entendement humain , la même exactitude que dans le$ autres branches de la Philosophie naturelle.
Déjà quelques-uns des principes (2) de Psychologie
(1) Les considérations suirantes sont entièrement indépendantes du lieu de ce siège et de sa nature. '
(a) Je désigne ici par la dénomination de principes les rapports généraux des phénomènes»
i56 E§S4I j?Wl,p / SOPHIQ0^
ont été reconnus et développés avec succès, Telle est Ja tendance de tous les êtres, sflmblablemeut organes, à se mettre entre eux en harmonie. Cette tendance qui constitue la sympathie^ existe même entre de,s animaux d'espèces diverses : elle diminue £ mesm'e que leur organisation est plus dissemblable. Parmi les êtres doués d'une même organisation, quelques- un^ se coordonnent plus promptemenY entre eux, qu'a tec les autres, La nature inorganjque.uous offre ,de semblables phénomènes r deux' pendules : ou deux montras >dontJa f ina^be est Inès-peu différente , étant placées sur un même support, finissent par avoir exactement la même marche j et dans un système de cordes sonores , les vibrations de ,l'uu£ d'elles font résonner toutes ses harmoniques. Ces effets dont les causes iien connues ont, été soumises.au calcul,, donnent une idée juste de la sympathie qui dépend de causes bien plus compliquées.
Un sentiment agréable accompagne presque toujours les mouvemens sympathiques. Dans la plupart .des espèces d'animaux, les individus s'attachent ainsi les uns aux autres , et se réunissent en sociétés. Dans l'espèce humaine, les imaginations fortes ressentent np vrai bonheur à dominer les imaginations faiblfîS qui.n'eu ressentent pas moins à leur ob(âr,;l*es seutimeus sympathiques excités à la fois dans un grand nombre d'individus, s'accroissent par leur réaction mutuelle , comme on l'observe au théâtre. Le plaisir qui. en résulte, rapproche les personnes d'opinions semblables , que leur réunion exalte quelquefois jusqu'au fanatisme. De là naissent les sectes , la ferveur qu'elles excitent , et la rapidité de leur propagation. EHes offrent, dans l'histoire , les plus etohnans et les plus funestes exemples du pouvoir de sympathie. On a souvent' lieu de remarquer Ja t facilité avec
t SWi LES PRCWÀBffilTÊS. 1S5
laquelle le* 1 mot/remets syàrpathiques , tek qtre le rire , se coffimàttiqueat par la simple vue» sans le concours d'aucune autre cause dans ceux qui les reçoivent. L'influence de la sympathie sur le sensorium est incomparablement plus puissante : les vibrations qu'elle y excite , lorsqu'elles sont extrêmes , produisent, en réagissant sur T&onotnie animale, des eflettf extraordinaires que l'on a, dans les siècles de sttper^tïtion , attribués à des a gens surnaturels, et qui , j>âr leur singuiartoé, méritent l'attentiott des observateur?.
Là tendance à Fimitatibû existe mféine a l'égard des objets dé Tîmaginattelï. Placés dans une 'voiture qui irôû^ ^al*âtt se dirigé* Vers un obstacle, nous imitons iiiVdlàntairenl&nt, U mouVettÉent <ju ? èlle doit prendre pWtt Inviter. Oh peut cohcevoir que l'idée de ce motivênient et la tetfddncé à l'ûnïter correspondent à deà nioùvemend dû senWrlutn, dont le premier produit le secctotd, à pèû prè* cothirie lèà vibratïoris d'une corde SOttorfe font Vibrer se* hârnïoniques. On explique ainsi * comnient l'idée de ta chute dans un précipice fortement ithprime'e par la peur, peut y faiçe tomber celui qui le tî*âVë*se sur Une planche étroite qu'il parcourrait d'u** pafr ferine, si elle était posée dans toute sa longueur sur là terre. Je • ctfttnaii dès personnes qui éprouvent une telle ëicilàfibn à se précipite!» d'une grande hauteur oit elles se voient élevées , qu'elles èoht forcées, pour y re* srSter, d'augUienter les précautions prises pour lés retenir , et cependant bien propres à les rassurer:
Par tine noble prérogative de l'espèce huînaïne, le récit d'actions grandes et vertueuses nous enflamme et nous porte à les imiter.. Mais quelques individus tiennent de leur organisation ou de pernicieux exemples , des penchans funestes qu'excite vivement le récit d'une
i58 ÏSSÀI PHILOSOPHIQUE §
action criminelle devenue l'objet de l'attention publique. Sous ce rapport , la publicité des crimes n'est pas sans danger.
La commisération , la bienveillance et beaucoup d'autres sentimens dérivent de la sympathie. Par elle , on ressent les maux d'autrui et l'on partage le contentement du malheureux qu'on soulage. Mais je ne veux ici qu'exposer les principes de Psychologie, sans entrer dans le développement de leurs conséquences (i).
L'un de ces principes , le plus fécond de tous , est celui de la liaison de toutes les choses qui ont eu dans le sensprium une existence simultanée, ou régulièrement successive ; liaison qui par le retour de l'une d'elles , rappelle les autres. Les objets que nous avons déjà vus , réveillent les traces des choses qui, dans la première vue, leur étaient associées. Ces traces réveillent semblable* ment celles des autres objets, et ainsi de suite ; en sorte qu'à l'occasion d'une chose présente, nous pouvons en rappeler une infinité d'autres, et arrêter notre attention sur celles que nous voulons considérer. A ce principe se rattache l'emploi des signes et des langues pour le rappel des sensations et des idées , pour la formation de l'analyse des idées complexes , abstraites et générales , et pour le raisonnement. Plusieurs philosophes ont bien développé cet objet qui, jusqu'à présent, constitue la partie réelle de la Métaphysique.
C'est en vertu de ce principe , que Ton parvient à estimer les distances à la simple vue. Une comparaison souvent répétée du mètre, avec diverses distances qui
(i) La narration que Montaigne fait, dans ses Essais, de l'amitié qui existait entre lui et la Boëtie , offre un exemple bien remarquable d'un genre de sympathie extrêmement rare.
StJR XES PKOBÀBffiïfÊS. i5g>
en contiennent des nombres entiers, imprimé dan* la mémoire, ces traces associées aux nombres de mètres qui leur correspondent. La vtie d'une distante que Voa veut apprécier réveille ces traces; et si l'une d'elles s'adapte exactement ou à fort peu près , à l'impression de la distance qu« l'on a sous les y'eux, on juge que cette distance renferme le nombre de mètres associé, dans la mémoire, à la trace qui paraît lui être égale. C'est encore ainsi que l'on parvient à estimer le poids de corps , en les soupesant.
On peut établir en principe de Psychologie, que le$ impressions souvent répétées d'un même objet sur dirers sens /modifient le sensorium, de manière que Tirnpression intérieure correspondante à l'impression extérieure de l'objet sur un seul sens, devient très-diflférente de ce qu'elle était à l'origine. Développons ce principe, et pour cela, considérons un aveugle de naissance , auquel on vient d'abaisser la cataracte. L'image de l'objet qui se peint sur sa rétine , produit dans son sensorium , une impression que je nommerai seconde image, sans prétendre l'assimiler à la première, ni rien affirmer sur sa nature. Cette seconde image n'est pas d'abord une représentation fidèle de l'objet. Mais la comparaison habituelle des impressions de cet objet par le tact , avec celles qu'il produit par la vue, finit, en modifiant le sensorium , par rendre la seconde image conforme à la nature représentée fidèlement par le toucher. L'image peinte sur la rétine, ne change point j mais l'image inférieure qu'elle fait naître , n'est plus la même ; comme les expériences faites sur plusieurs aveugles de naissance auxquels on avait rendu la vue , l'ont prouvé.
C'est principalement dans l'enfance , que le sensorium acquiert ces modifications, L'enfant comparant sans
160 BSSAI HnUMOPfflQÛ»
cesse lés impressions qu'il reçoit d'un même objet , par les organes de la vue et du toueher , rectifie les impressions de la vue. Il dispose son sensorium à donner aux objets Visibles la forme indiquée par le tact, dont les impressions s'associent intimement avec celles de la vue, qui les rappellent toujours. Alors les objets visibles sont aussi fidèlement représentes que les objets) tactiles. Un rayon lumineux devient pour la vue , ce qu'est un bâton pour le toucher. Par ce moyens le premier de ces sens étend , beaucoup plus loin que le second , la sphère des; objets de ses impressions. Mais la voûte céleste elle-même, à laquelle nous attachons les .astres , est encore très~baiv. née ; et ce n'est que par une longue suite d'observation* et de calculs , que nous sommes parvenus k reconnaître les grandes distances de ces ctarps , et à les éloigner indéfiniment dans l'immensité de l'espace.
Il paraît que dans plusieurs espèce» d'animaux, la disposition du sensorium, qui nous fait apprécier les» distances, est naturelle. .Mais l'homme, pour lequel la nature a remplacé presque en tout* l'instinct, par l'intelligence, a besoin, pour le suppléer , d'observations et de comparaisons qui servent merveilleusement à développer ses facultés intellectuelles et à lui assurer , par ee développement , l'empire de la terre.
Les images intérieures ne sont donc pas les efleta d'une cause unique :■ elles résultent,, soit des hnpressious reçues simultanément par ;le même sens ou par des sens. dûTérens , soit des impression» intérieures rappelées, par la mémoire. L'influence réciproque cle ces impression* est un principe psychologique fécond en conséquences* Développons quelques-unes des- principales. .
Qu'un observateur placé dans une profonde obscurité, voie à des distances différentes, deux globe* lumi-
SUR LE5 PROBABILITES. rôi
tteux d'un même diamètre ; ils lui paraîtront d'inégale grandeur. Leurs images intérieures seront proportiôû- «îelles aux images correspondantes, peintes sur la rétine. Mais si , l'obscurité venant à cesser, il aperçoit en même temps que les globes , tout l'espace intermédiaire , cette vue agrandit l'image intérieure du globe le plu3 éloigné, et la rend presque égale à celle de l'autre globe. C'est ainsi qu'un homme , vu aux distances de deux et de quatre mètres , nous paraît de la même grandeur : son image intérieure ne varie point, quoique l'une des images peintes sur la rétine , soit double de l'autre. C'est -encore par l'impression des objets intermédiaires , que la lune a l'horizon nous semble plus grande qu'au zénith. On aperçoit au-dessus d'une branche voisine de l'œil , un objet que l'on rapporte au loin , et qui paraît fort grand. On vient ensuite à reconnaître le lien qui l'unit à la branche : sur-le-champ , la perception de ce lien change l'image intérieure , et la réduit à une dimension beaucoup moindre. Toutes ces choses' ne sont point desimpies juge mens, comme quelques métaphysiciens l'ont pensé : elles sont des effets physiologiques dépendans des dispositions que le sensorium a contractées par la comparaison habituelle des impressions d'un même objet sur les organes de plusieurs sens , et spécialement sur ceux du toucher et de la vue.
L'influence des traces rappelées par la mémoire , sur les impressions qu'excitent les objets extérieurs, se fait' remarquer dans un grand nombre de cas. On voit de loin , des lettres , sans pouvoir distinguer le mot qu'elles expriment. Si quelqu'un prononce ce mot , ou si quelque circonstance en rappelle la mémoire, aussitôt, l'image intérieure de ces lettres ainsi rappelées, se superpose, si je puis ainsi dire, à l'image confuse produite
ife ESSAI PHILOSOPHIQUE
"par l'impression des caractères extérieurs , et la .rend distincte. La voix d'un acteur que vous entendez confusément , devient distincte , lorsque vous Usez ce qu'il récite. La vue des caractères rappelle les traces des sons qui leur répondent ; et ces traces se mêlant aux sons confus de la voix , les font distinguer, La peur transforme souvent de cette manière, les objets qu'une trop faible lumière ne fait pas reconnaître, en objets effrayans qui ont avec eux de l'analogie. L'image de ces derniers objets , fortement retracée dans le sensorium par la crainte, se rend propre l'impression des objets extérieurs. Il est important de se garantir de cette cause d'illusion , dans les conséquences que l'on tire d'observations de cboses qui ne font qu'une impression trèslégère : telles sont les observations de la dégradation de la lumière à la surface des planètes et des satellites, d'où l'on a conclu l'existence et l'intensité de leurs atmosphères, et leurs mouvemens de rotation. Il est souvent à craindre que des images intérieures ne s'assimilent ces impressions et le penchant qui nous porte à croire à l'exîst tence des choses que représentent les impressions reçues par les sens.
Ce penchant remarquable tient à un caractère particulier qui distingue les impressions venant du dehors , des traces produites par l'imagination , ou rappelées par la mémoire. Mais il arrive quelquefois par un désordre du sensorium ou des organes qui agissent sur lui , que ces traces ont le caractère et la vivacité des impressions extérieures : alors , on juge présens leurs objets ; on est visionnaire. Le calme et les ténèbres de la nuit favorisent ces illusions qui dans le sommeil sont complètes et forment les rêves dont on aura une juste idée , si l'on conçoit que les traces des objets qui se présentent à no-
SUR LES PROBABILITES. i63
tre imagination dans l'obscurité, acquièrent une grande intensité pendant le sommeil.
Tout porte à croire que, dans les somnambules, quelques-uns des sens ne sont pas complètement endormis. Si le sens du toucher, par exemple, reste encore un peu sensible au contact des objets extérieurs , les impressions faibles qu'il en reçoit , transmises au sensorium , peuvent, en se combinant avec les images du rêve d'un somnambule, les modifier, et diriger ses mouvemens. En examinant , d'après cette considération , les récits bien avérés des choses singulières opérées par les somnambules , il m'a paru que l'on pouvait en donner une explication fort simple.
Quelquefois les visionnaires croient entendre parler les personnages qu'ils se figurent , et ils ont avec eux une conversation suivie : les ouvrages des médecins sont remplis de faits de ce genre.
Charles Bonnet cite , comme l'ayant souvent observé , son aïeul maternel , « vieillard, dit-il, plein de santé, » qui indépendamment de toute impression du dehors , » aperçoit de temps en temps devant lui , des figures » d'hommes , de femmes , d'oiseaux , de voitures , de » Mtimens , etc. Il voit ces figures se donner difTérens » mouvemens , s'approcher , s'éloigner , fuir , diminuer » et augmenter de grandeur , paraître , disparaître , » reparaître. Il voit les bâtimens s'élever sous ses yeux, etc. » Mais il ne prend point ses visions pour des réali- » tés : sa raison s'en amuse. Il ignore , d'un moment à » l'autre , quelle vision va s'offrir à lui. Son cerveau est » un théâtre qui exécute des scènes d'autant plus sur- » prenantes pour le spectateur , qu'il ne les a point pré- » vues. » En lisant l'histoire de Jeanne d'Arc , on est forcé de reconnaître une visionnaire de bonne foi , dans
i64 ESSAI PHILOSOPHIQUE
cette 611e admirable dont r exaltation courageuse contribua si puissamment à délivrer la France de ses ennemis. Il est vraisemblable que plusieurs de ceux qui se sont annoncés comme ayant reçu leurs doctrines d'un être surnaturel, étaient visionnaires : ils ont d'autant mieux persuade les autres, qu'ils étaient eux-mêmes persuadés. Les fraudes pieuses et les moyens yiolens dont ensuite Us ont fait usage, leur ont paru justifiés par l'intention de propager ce qu'ils jugeaient être des Vérités nécessaires aux hommes.
Un caractère particulier distingue des produits de l'imagination , les traces rappelées par la mémoire , et qui sont dues aux impressions des objets extérieurs. H nous porte, comme par instinct, à reconnaître l'existence passée de ces objets , dans l'ordre que la mémoire nous présente. Les expériences que nous faisons à chaque instant, de la vérité des conséquences que nous eu tirons pour nous conduire, fortifient ce penchant» Quel est le mécanisme qui, dans cette opération du sensorium, détermine notre jugement? nous l'ignorons , et nous ne pouvons en observer que les effets. En vertu de ce mécanisme, les traees de la mémoire, quoique faibles, nous font apprécie* leur intensité primitive que nous pouvons ainsi comparer aux impressions d'objets présens. Nous, jugeons > de cette manière, qu'une couleur que nous avons vue , la veille , était plus vive que celle qui frappe maintenant notre vue.
Les impressions qui accompagnent les traces de la mémoire , servent à nous en rappeler les ca-uses. Ainsi , lorsqu'au souvenir d'une chose qui nous a été dite , se joint le souvenir delà confiance que nous avons donnée au narrateur , si son nom nous échappe , nous le retrouvons, en rappelant successivement les noms de ceux qui
nous ont entretenu* , jusqu'à ce que nous parvenions an nom qui nous a inspiré cette confiance.
Les impressions reçues dans l'enfance , se conservent jusque dans Feïtrême vieillesse , et se renouvellent alors même que des impressions profondes de l'âge mur sont entièrement effacées. Il semble que les première» impressions gravées profondément dans le sensorium, n'attendent pour reparaître , que l'affaiblissement des impressions subséquentes, par l'âge ou pôr la maladie: à peu près comme les astres qu'effaçait la clarté du jxror se montrent dans la nuit ou dans les éclipses de soleil.
Les traces de la mémoire acquièrent de l'intensité , par l'effet du temps et à notre insu. Les choses que l'on apprend , le soir , se gravent dates le sensorium pendant le sommeil, et se retiennent facilement par ce moyen, fai observé plusieurs fois, qu'e* cessant de penser pendant quelques jours, à des matières trèa-compliq;uées , elles me devenaient faciles, lorsque je les considérais de nouveau.
Si ifcotis revoyons tffc objet qui nous avait frappés par sa grandeur , long-temps après que la vue fréquente d'objets du même genre, beaucoup plus grands, a diminué Fimpression de grandeur quftls font éprouver, nous sommes surpris de le trouver fort au-dessous de son impression conservée dans la mémoire.
Quelqtres nommes sont doués d'une mémoire prodfc gieuse. L'exactitude avec laquelle ils répètent de longs discours qu'ils viennent d'entendre, nous étonne. Mais lorsqu'on réfléchit à tout ce que renferme la mémoire de la plupart des hommes , on est bien plus étonné que tant dé choses y soient placées sans confusion. Considérez un chanteur sur la scènfe : sa mémoire lui rappelle chaque mot dts son rôle, le ton, la mesure et le geste qni doivent! l'accompagner. Un nouveau rôle suc-
'cède-t-il au premier , celui-ci semble comme effacé de sa mémoire qui retrace, dans Torde convenable, toutes les parties du second rôle , et qui rappellerait , de la même manière, les divers rôles que le chanteur a étudiés. Ces traces dont le nombre est immense , ou du moins les dispositions propres à les faire naître , existent à la fois dans son sensorium sans se confondre, et l'acteur peut les rappeler à sa volonté. Je dois répéter ici , que par les mots, trace, image, vibrations, etc., je n'entends exprimer que des phénomènes du sensorium, sans rien affirmer sur leur nature et sur leurs causes ; comme en mécanique, on n'exprime que des effets, par les mots force, attraction, affinité, etc.
Les opérations du sensorium et les mouvemens qu'il fait exécuter , deviennent plus faciles et comme naturels, par de fréquentes répétitions. De ce principe psychologique découlent nos habitudes. En se cqmbinant avec la sympathie, il prpduit les coutumes, les mœurs et leurs étranges variétés. Il fait qu'une chose généralement reçue chez un peuple, est regardée par un autre avec horreur. Les combats de gladiateurs , dont les Romains aimaient passionnément le spectacle , et les sacrifices humains qui souillent les annales des nations, nous paraîtraient horribles. Quand on considère l'état déplor rable des esclaves , l'avilissement des Parias dans Flnde, et l'absurdité de tant de croyances contraires à la raison et au témoignage de tous nos sens , on est affligé de voir jusqu'à quel point l'habitude de l'esclavage et les préjugés ont dégradé l'espèce humaine.
Cette disposition que la fréquence des répétitions donne au sensorium, rend très-difficile la distinction des habitudes acquises , d'avec les penchans qui , dans l'homme , tiennent à son organisation ; car il est natu-
rel de penser que l'instinct si étendu et si puissant chez, lès animaux , n'est pas nul dans l'espèce humaine, et que l'attachement d'une mère à sw enfant en dérive. La double influence de l'habitude et de la sympathie , modifie ces penchans : souvent elle les fortifie , quelque- Cois elle les dénature au point de leur substituer des penchans contraires.
Plusieurs observations faites sur l'homme et sur les animaux, et qu'il est bien important de continuer, portent à croire que les modifications du sensorium , auxquelles l'habitude a donné une grande consistance , se transmettent fles pères aux enfans par voie de génération , comme plusieurs dispositions organiques. Une disposition originelle à tous les mouvemens extérieurs et intérieurs qui accompagnent les actes habituels , explique , de la manière la plus simple , l'empire que les habitudes enracinées par les siècles exercent surtout un peuple , et la facilité de leur communication aux enfans , lors même qu'elles sont les plus contraires à la raison et aux droits imprescriptibles de la nature humaine.
La facilité qu'un exercice fréquent donne aux organes , est telle qu'ils continuent souvent d'eux-mêmes les mouvemens que la volonté leur imprime. Lorsqu'en marchant , nous sommes fortement occupés d'une idée , .la cause qui renouvelle à chaque instant notre mou ver ment , agit sans le concours de notre volonté , et sans que nous en ayons la conscience. On a vu des personnes surprises en marchant par le sommeil , continuer leur route et ne se réveiller que par la rencontre d'un obstacle. Il paraît qu'en vertu d'une disposition que la volonté de marcher donne au système moteur , la marche continue ; à peu près comme le mouvement d'une montre est entretenupar le développement de son res-
i68 ESSAI PflltOSOpHIQtfE
sort spiral;, Un dérangement dans Y économie animale peut produire cette disposition. Alors k marche est involontaire , et je tiens d'un médecin éclairé , que dans une maladie de ce genre qu'il avait traitée , le malade ne pouvait s'arrêter, qu'en se retenant à un point fixe. Les* observation^ des maladies peuvent ainsi répandre un grand jour sur la Psychologie , quand les médecins joignent aux connaissances de leur art et des sciences accessoires , l'esprit d'exactitude et de cïitiqne que donne- Tétude des Mathématiqueret spécialement de là science des probabilités.
Le sensorium peut recevoir des impressions trop faibles pour être senties , maïs suffisantes pour déterminer des actions dont nous ignorons la causé. Barben-Dubourg, traducteur français des Œuvres de Franklin, rapporté, dans sa traduction , le fait suivant qu'il tenait d'un marchand de Paris : « Un jour , dit-il , que cet » honnête homme marchait dans les rues de Saint-J&er- * main , songeant à des affaires fort sérieuses , il ne put » s'empêcher de moduler tout bas , chemin faisant, l'air ». cf une ancienne chanson qu'il avait oubliée depuis » bien àes années. Arrivé à deux cents pas de là , il corn- » mença à entendre dans la place publique , un aveugle » jouer ce même air sur son violon ; et il imagina que i» c*était une perception légère, une semi-perception du » son de cet instrument , affaibli par l'éloignement , qui » avait monté ses organes sur ce ton , d'une manière » insensible à lui-même. Il assure que depuis ce temps , » il s'est donné souvent le plaisir de suggérer des airs à » son gré à un atelier d'ouvrières, sans pouvoir être » entendu d'elles. Lorsqu'il cessait un moment de les » entendre chanter , il fredonnait tout bas l'air qu'il » voulait qu'elles chantassent , et cela ne manquait pres-
&JR LES PROMBIUÎÉS. 169
»♦ que jamais de leur arriver, sans qu'elles l'eussent » sensiblement entendu , ou qu'aucune d'elles s'en dou- » tât » v
D'aprè§ ce que nous avons dit sur l'influence réciproque des traces du sensorium , on conçoit que la musique, par de fréquentes répétitions, peut communiqur à nos mouvemens , la régularité de sa- mesure. C'est ce que l'on observe dans la danse et dans divers exercices où la précision dés mouvemens ainsi régularisés , nous semble eîtraordinaire. Par cette régularité, la musique rend généralement plus faciles , les mouvemens que plusieurs personnes exécutent à la fois.
Un phénomène psychologique très-remarquable , est la grande influence de l'attention sur les traces du sensorium : elle les grave profondément dans la mémoire ; et elle en accroît la vivacité , en même temps qu'elle affaiblit les impressions concomitantes. Si nous regardons fixement un objet , pour y démêler quelques particularités , l'attention peut nous rendre insensibles aux impressions que d'autres objets font en même temps sur la rétine. Par elfe, les images des choses que nous voulons comparer, acquièrent l'intensité nécessaire pour que leurs rapports occupent seuls notre pensée. Elle réveille les traces de la mémoire, qui peuvent set.vir à cette comparaison ; et par là elle devient le plus puissant ressort de l'intelligence humaine.
L'attention donnée fréquemment à une qualité particulière des objets, finit par douer les organes , d'une exquise sensibilité qui fait reconnaître cette qualité, lorsqu'elle devient insensible au commun des hommes.
Ces principes expliquent les singuliers effets des panoramas. Quand les règles de la perspective y sont bien observées , les objets se peignent sur la rétine , comme
i 7 o ESSAI PHILOSOPHIQUE
s'Us étaient réels. Le spectateur est donc alors dans l'état que ferait naître la réalité des objets. Mais la perspective n'est jamais assez exacte , pour que l'identité soit parfaite. , D'ailleurs les impressions étrangères, quoique faibles, se mêlant aux sensations principales que produit la perspective , nuisent d'abord à l'illusion. L'attention donnée au panorama les efface ; mais il faut, pour cela, un temps plus ou moins long, dépendant des dispositions du sensorium, et de la perfection du panorama. Dans tous ceux que j'ai vus, un intervalle de quelques minutes m'a été nécessaire pour acquérir une illusion complète.
Le principe suivant de Psychologie, explique un grand nombre de phénomènes qui ont un rapport direct avec l'objet de cet ouvrage. « Si l'on exécute fréquemment » les actes qui découlent d'une modification particu- » lière du sensorium , leur réaction sur cet organe peut, » non-seulement accroître cette modification, mais quel- » quefois lui donner naissance. » Ainsi le mouvement de la main qui tient une longue chaîne suspendue , se propage le long de la chaîne jusqu'à son extrémité inférieure : et si, la chaîne étant parvenue au repos, on met en mouvement cette extrémité ; la vibration remonte jusqu'à la main qu'elle fait mouvoir à son tour. Ces mouvemens réciproques deviennent faciles par la fréquence de leurs répétitions.
Les effets de ce principe sur la croyance sont remarquables. La croyance ou l'adhésion que nous donnons à une proposition , est ordinairement fondée sur l'évidence, sur le témoignage des sens, ou sur des probabilités : dans ce dernier cas , son degré de force dépend de celui de la probabilité qui dépend elle-même des données que chaque individu peut avoir sur l'objet de son jugement.
Nous agissons souvent en vertu de notre croyance , sans avoir besoin d'en rappeler les preuves. La croyance est donc une modification du sensorium , qui subsiste indépendamment de ces preuves quelquefois entièrement oubliées, et qui nous détermine à produire les actes qui en sont les conséquences. Suivant le principe que nous venons d'exposer, une répétition fréquente de ces actes , peut faire naître cette modification , surtout s'ils sont répétés à la fois par un grand nombre de personnes; car alors , à la force de leur réaction, se joint le pouvoir de l'imitation , suite nécessaire de la sympathie* Quand' ces actes sont un devoir que les circonstances nous imposent , la tendance de l'économie animale à prendre l'état le plus favorable à notre bien-être nous dispose encore à la croyance qui les fait exécuter avec plaisir. Peu d'hommes résistent à l'action de toutes ces causes.
Pascal a bien développé ces effets, dans un article de ses Pensées , qui a ce singulier titre, qu'il est difficile de démontrer V existence de Dieu par les lumières naturelles, mais que le plus sûr est de la croire. Il ^'exprime ainsi en s'adressant à un incrédule. « Vous voulez aller à la foi , » et vous n'en savez pas le chemin ; vous voulez guérir » de l'infidélité, et vous en demandez le remède. Ap- » prenez-le de ceux qui ont été tels que vous , et qui » n'ont présentement aueun doute. Us savent ce chemin » que vous voudriez suivre, et ils sont guéris d'un mal » dont vous voulez guérir. Suivez la manière par où ils » ont commencé. Imitez leurs actions extérieures, si vous » ne pouvez encore entrer dans leurs dispositions inté- » Heures; quittez ces vains amusemens qui vous* occu- » pent tout entier. J'aurais bientôt quitté ces plaisirs , » dites-vous , si j'avais la foi. Et moi je vous dis que vous
i7* ESSAI PHILOSOPHIQUE
» auriez bientôt la foi , sa vous aviez quitté ces pkkrrs. » Or c'est à vous à commencer. SU je pouvais, je Vous » donnerais la foi : je ne le puis , ni par conséquent » éprouver la vérité de ce que vous dites ; mais vous » pouvez bien quitter ces plaisirs , et éprouver si ce que » je vous dis est vrai.
» H ne faut pas se méconnaître : nous sommes corp* » autant qu'esprit; et de là vient que l'instrument par » lequel la persuasicta se fait , n'est pas la seule démonw stration. Combien y a-t-il peu de choses démontrées? >» Les preuves ne convainquent que Fesprit : lia coutume » "fait nos preuves les plus fortes. Elle incline les sens
* qui entraînent l'esprit sans qu'il y pense. Qui a dé- » montré qu'il fera demain jour , et que nous mour- » rons? et qu'y a-t-ilde plus universellement cru? C'est » donc la coutume qui nous eu persuade ; c'est elle qui » fait tant de turcs et de païens ; c'est elle qui fait les » métiers , les soldats , etc. Il est vrai qu'il ne faut pas
* commencer par elle , pour trouver la vérité ; mais il » faut avoir recours à elle, quand nne fois l'esprit a vu » pu est la vérité, afin de nous abreuver et de nous
* teindre de cette croyance qui nous échappe à toute h heure : car d'en avoir toujours les preuves présentes, » c'est trop d'affaires. H faut acquérir une croyance » plus facile , qui est celle de l'habitude qui sans vion ïence, sans art, sans argument, nous fait croire » les choses , et incline toutes nos puissances .à cette » croyance, en sorte que notre ame y tombe naturelle- » ment. Ce n'est pas assez de ne croire que par la force » de la conviction , si les sens nous portent à croire le n contraire. It faut donc faire marcher nos deux pièces >» ensemble ; l'esprit , par les raisons qu'il suffit d'avoir » vues une fois en «a vie; et les sens, par ta coutume,
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» et en ne leur permettant pas de s'incliner au con- » traire. »
Le moyen que Pascal propose pour la conversion d'un incrédule, peut être employé avec succès pour détruire un préjugé reçu dès l'enfance , et enraciné par l'habitude. Ces sortes de préjugés naissent souvent de la plus faible cause, dans les imaginations actives. Qu'une personne attachant au mot gauche, une idée de malheur, fesse journellement de la main droite , une chose que l'on puisse exécuter indifféremment de l'une ou de l'antre main , cette habitude peut accroître la répugnance à se servir pour cela de la main gauche, au point dp rendre la raison impuissante contre ce préjugé. Il est naturel de croire qu'Auguste doué d'une raison supérieure à tant d'égards , s'est reproché Quelquefois sa faiblesse de n'oser se mettre eh route, le lendemain d'un jour «Je foire , et qu'il a voulu la surmonter. Mais au moment , d'entreprendre un voyage dans l'un de ces jours réputés malheureux , il a pu se dire que le plus sûr était de le différer , augmentant ainsi sa répugnance par l'habitude d'y céder. La répétition fréquente d'actes contraires à ces préjugés, doit, à la longue, les affaiblir 4?t les faire entièrement disparaître.
L'attachement que l'on porte aux personnes qu'on a souvent obligées , découle du principe que nous venons de développer. La répétition fréquente d'actes en leur faveur, accroît et fait même naître quelquefois, le sentiment dont ils sont la suite naturelle. Les actes que le goût d'une chose nous fait exécuter fréquemment , augmentent l'intensité de ce goût , et le transforment souvent en passion.
On voit , par ce qui précède, combien notre croyance dépend de nos habitudes. Accoutumés à juger et à nous
conduire , d'après un certain genre de probabilités , nous donnons à ces probabilités , notre assentiment , comme par instinct , et elles nous déterminent avec plus de force , que des probabilités bien supérieures , résultats de la réflexion ou du calcul. Pour diminuer, autant qu'il est possible , cette cause d'illusion , il faut appeler l'imagination et les sens au secours de ta raison. Que l'on figure , par des lignes , les probabilités respectives , on sentira beaucoup mieux leur différence. Une ligne qui représenterait la probabilité du témoignage sur lequel un fait extraordinaire est appuyé, placée à côté de la ligne qui représenterait l'invraisemblance de ce fait, rendrait très-sensible la probabilité de l'erreur du témoignage ; comme un tableau dans lequel les hauteurs des montagnes sont rapprochées , donne une idée frappante des rapports de ces hauteurs. Ce moyen peut être employé dans plusieurs cas avec succès. Pour rendre sensible l'immensité de l'univers, que l'on représente par une quantité presque imperceptible, par un dixième de millimètre, la plus grande étendue de la France en longueur ; la distance du soleil à la terre, sera de quatorze mètres : celle de l'étoile la plus proche , surpassera un million et demi de mètres , c'est-à-dire sept ou huit fois le rayon du plus grand horizon que l'œil puisse embrasser du point le plus élevé. On n'aura encore ainsi qu'une très-faible image de la grandeur de l'univers qui s'étend infiniment au-delà des plus brillantes étoiles, comme le prouve ce nombre prodigieux d'étoiles placées les unes au-delà des autres et se dérobant à la vue dans la profondeur des cieux. Mais toute faible qu'elle est , cette image suffit pour nous faire sentir l'absurdité des idées de prééminence de l'homme sur toute la nature , idées dont on a tiré de si étranges conséquences.
Nou$ établirons enfin, comme principe de Psychologie, l'exagération des probabilités , par les passions. La chose que l'on craint ou que Ton désire vivement , nous semble, par cela même, plus probable. Son image fortement retracée dans le sensorium , affaiblit l'impression des probabilités contraires , et quelquefois les efface au point de faire croire la chose arrivée. La réflexion et le temps , en diminuant la vivacité de ces sentimens , rendent à l'esprit le calme nécessaire pour bien apprécier la probabilité des choses.
Les vibrations du sensorium doivent être, comme tous les mouvemens , assujéties aux lois de la Dynamique , et cela est confirmé par l'expérience. Les mouvemens qu'elles impriment au système musculaire , et que ce système communique aux corps étrangers , sont, comme dans le développement des ressorts, tels que le centre commun de gravité de notre corps et de ceux qu'il fait mouvoir , reste immobile. Ges vibrations se superposent les unes aux autres , comme on voit les ondulations des fluides se mêler sans se confondre. Elles se communiquent aux individus, comme les vibrations d'un corps sonore aux corps qui l'environnent. Les idées complexes se forment de leurs idées simples, comme le flux de la mer se compose des flux partiels que produisent le soleil et la lune. L'hésitation entre des motifs opposés , est un équilibre de forces égales. Les changemens brusques que l'on produit dans le sensorium, éprouvent la résistance qu'un système matériel oppose à des changemens semblables ; et si l'on veut éviter les secousses et ne pas perdre de force vive, il faut agir, comme dans ce système, par nuances insensibles.' Une attention forte et continue épuise le sensorium , comme une longue suite de commotions épuise une pile voltaïque, ou l'organe électrique
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des poissons. Presque toutes les comparaisons que nous tirons des objets matériels, pour rendre sensibles les choses intellectuelles , sont , au fond , des identités.
Je désire que les considérations précédentes , tout imparfaites qu'elles sont , puissent attirer l'attention des observateurs philosophes sur les lois du sensorium ou du monde intellectuel, lois qu'il nous importe autant d'approfondir , que celles du monde physique. On a imaginé des hypothèses à peu près semblables, pour expliquer les phénomènes de ces deux mondes. Mais les fondemens de ces hypothèses échappant à tous nos moyens d'observation et de calcul, on peut,, à leur égard, dire avec Montaigne, que V ignorance et V incuriosité sont un mol et doux chevet, pour reposer une tête bien faite.
x Des divers moyens Rapprocher de la certitude],
L'induction , l'analogie , des hypothèses fondées sur les faits et rectifiées sans cesse par de nouvelles observations , un tact heureux donné par des comparaisons nombreuses de ses indications avec l'expérience; tels sont les principaux moyens de parvenir à la vérité.
Si l'on considère avec attention la série des objets de même nature , on aperçoit entre eux , et dans leurs changemens , des rapports qui se manifestent de plus en plus à mesure que la série se prolonge, et qui , en s'étendant et se généralisant sans cesse , conduisent enfin au principe dont ils dérivent. Mais souvent ces rapports sont enveloppés de tant de circonstances étrangères, qu'il faut une grande sagacité pour les démêler et pour remonter à ce principe : c'est en cela que consiste le véritable génie des sciences. L'Analyse et la Philosophie naturelle doivent leurs plus importantes découvertes , à
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te moyen fécond que Ton nomme induction. Newton lui a été redevable de son théorème du binôme, et du principe de la gravitation universelle. Il est difficile d'apprécier la probabilité des résultats de l'induction qui sçfonde sur ce que les rapports les plus simples sont les plus communs : c'est ce qui se vérifie dans les formules de l'Analyse, et ce que l'on retrouve dans les phénomènes naturels, dans la cristallisation , et dans les combinaisons chimiques. Cette simplicité de rapports ne paraîtra point étonnante , si l'on considère que tous les effets de la nature, ne sont que les résultats mathématiques d'un petit nombre de lois immuables.
Cependant l'induction , en faisant découvrir les principes générante des sciencies, ne suffit pas pour les établir en rigueur. Il faut toujours le&confirmer par des démonstrations , ou par des expéretbces décisives : car l'histoire des sciences nous montre que l'induction a quelquefois conduit à des résultats inexacts. Je citerai pour exemple , un théorème de Fermât sur tes nombres premiers. Ce grand géomètre qui avait profondément médité sut iéùr théorie , cherchait une formule qui ne renfermant que des nombres premiers , donnât directement un nombre premier plus grand qu'aucun nombre assignable. Xi'îndufetion le conduisit à penser que deux , élevé à une puissance qui était elle-même une puissance de deux, formait, avec l'unité, un nombre premier. Ainsi deux * élevé au carré, plus un , forme le nombre premier cihtç : den&, ^levé à là seconde puissance de deux ,' ou seize, forme avec un , le nombre premier dix-sept. Il trouva que cela était encore vrai pour la huitième et la seizième puissance de deux , augmentées de l'unité, et cette induction appuyée de plusieurs considérations arithmétiques , lui fit regarder ce résultat
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comme gênerai. Cependant il avoua qu'il ne l'avait pas démontré. En effet, Exiler a reconnu que cela cesse d'avoir lieu pour la trente-deuxième puissance de deux, qui augmentée de l'unité, donne 4 2 949^7 2 97> nombre divisible par 64 1.
Nous jxtgeons par induction , que si des événemens divers , des mouvemens par exemple , paraissent constamment et depuis long-tenjps , liés par un rapport simple , ils continueront sans cesse d'y être assujétis ; et nous en concluons, par la théorie des probabilités, que ce rapport est dû , non au hasard 9 mais à une cause régulière. Ainsi' l'égalité des mouvemens de rotation et de révolution de la lune ; celle des mouvemens des nœuds de l'orbite et de l'équateur lunaire , et la coïncidence de ces nœuds ; le rapport singulier des mouvemens des trois premiers satellites de Jupiter, suivant lequel la longitude moyenne du premier satellite, moins trois fois celle du second , plus deux fois celle du troisième , est égale à deux angles droits ; l'égalité de l'intervalle des marées , à celui des passages de la lune au méridien ; le retour des plus grandes marées avec les syzygies, et des plus petites avec les quadratures ; toutes ces choses qui se maintiennent depuis qu'on les observe, indiquent avec une vraisemblance extrême , l'existence de causes constantes que les géomètres sont heureusement parvenus à rattacher à la loi de la pesanteur universelle, et dont la connaissance rend certaine la perpétuité de ces rapports.
Le chancelier Bacon, promoteur si éloquent de la vraie méthode philosophique, a fait de l'induction un abus bien étrange , pour prouver l'immobilité de la terre. Voici comme il raisonne dans le Novwn Organwn, son plus bel ouvrage. Le mouvement des astres, d'orient en occident, est d'autant plus prompt, qu'ils sont
plus éloignés de la terre. Ce mouvement, est le plus rapide pour les étoiles : il se ralentit un peu pour Saturne , un peu plus pour Jupiter, et ainsi de suite, jusqu'à la lune et aux comètes les moins élevées. Il est encore perceptible dans l'atmosphère , surtout entre les tropiques, à cause des grands cercles que les molécules de l'air y décrivent ; enfin il est presque insensible pour POcéan, il est donc nul pour la terre. Mais cette induction prouve seulement que Saturne et les astres qui lui sont inférieurs ont des mouvemens propres, contraires au mouvement réel ou apparent qui emporte toute la sphère céleste d'orient en occident , et que ces mouvemens paraissent plus lents pour les astres plus éloignés ; ce qui est conforme aux lois de l'Optique. Bacon aurait dû être frappé de l'inconcevable vitesse qu'il faut supposer aux astres , pour accomplir leur révolution diurne, si la" terre est immobile, et de l'extrême simplicité avec laquelle sa rotation explique comment des corps aussi distans les uns des autres , que les étoiles, le soleil, les planètes et la lune, semblent tous assujétis à cette révolution. Quant à l'Océan et à l'atmosphère , il ne devait point assimiler leur mouvement à celui des astres , qui sont détachés de la terre , au lieu que l'air et la mer faisant partie du globe terrestre , ils doivent participer à son mouvement ou à son repos. Il est Singulier que Bacon porté aux grandes vues par son génie, n'ait pas été entraîné par l'idée majestueuse que le système de Gopernic offre de l'univers. Il pouvait cependant trouver , en faveur de ce système , de fortes analogies, dans les découvertes de Galilée, qui lui étaient connues. Il a donné, pour la recherche de la vérité , le précepte et non l'exemple. Mais en insistant avec toute la force de la raison et de l'éloquence , sur la nécessite
