SUR

Cet Essai philosophique est le développement d'une leçon sur les probabilités, que je donnai en 1795 aux écoles normales, où je fus appelé comme professeur de Mathématiques avec Lagrange par un décret de la Convention nationale. J'ai publié depuis peu sur le même sujet un ouvrage ayant pour titre : Théorie analytique des Probabilités. Je présente ici, sans le secours de l'Analyse, les principes et les résultats généraux de cette théorie, en les appliquant aux questions les plus importantes de la vie, qui ne sont en effet, pour la plupart, que des problèmes de probabilité. [On peut même dire, à parler en rigueur, que presque toutes nos connaissances ne sont que probables; et dans le petit nombre des choses que nous pouvons savoir avec certitude, dans les sciences mathématiques elles-mêmes, les principaux moyens de parvenir à la vérité, l'induction et l'analogie, se fondent sur les probabilités; en sorte que le système entier des connaissances humaines se rattache à la théorie exposée dans cet essai. On y verra sans doute avec intérêt qu'en ne considérant même, dans les principes éternels de la raison, de la justice et de l'huma-

nité, que les chances heureuses qui leur sont constamment attachées, il y a un grand avantage à suivre ces principes, et de graves inconvénients à s'en écarter : leurs chances, comme celles qui sont favorables aux loteries, finissant toujours par prévaloir au milieu des oscillations du hasard.! Je désire que les réflexions répandues dans cet essai puissent mériter l'attention des philosophes, et la diriger vers un objet si digne de les occuper.

De la Probabilité.

Tous les événements, ceux mêmes qui par leur petitesse semblent ne pas tenir aux grandes lois de la nature, en sont une suite aussi nécessaire que les révolutions du soleil. Dans l'ignorance des liens qui les unissent au système entier de l'univers, on les a fait dépendre des causes^ finales, ou du hasard, suivant qu'ils arrivaient et se succédaient avec régularité, ou sans ordre apparent; mais ces causes imaginaires ont été successivement reculées avec les bornes de nos connaissances, et disparaissent entièrement devant la saine philosophie, qui ne voit en elles que l'expression de l'ignorance où nous sommes des véritables causes.)

Les événements actuels ont avec les précédents une liaison fondée sur le principe évident, qu'une chose ne peut pas commencer d'être, sans une cause qui la produise. Cet axiome, connu sous le nom de principe de la raison suffisante, s'étend aux actions mêmes que l'on juge indifférentes. La volonté la plus libre ne peut sans un motif déterminant leur donner naissance ; car

ÈSSA^ PHILOSOPHIQUE SUR LES PROBABILITES S

si, toutes les circonstances de deux positions étant exactement semblables, elle agissait dans Tune et s'abstenait d'agir dans l'autre, son choix serait en effet sans cause : elle serait alors, dit Leibniz, le hasard aveugle des épicuriens. L'opinion contraire est une illusion de l'esprit qui, perdant de vue les raisons fugitives du choix de la volonté dans les choses indifférentes, se persuade qu'elle s'est déterminée d'elle-même et sans motifs.

f Nous devons donc envisager l'état présent de l'univers comme l'effet de son état antérieur, et comme la cause de celui qui va suivre. Une intelligence qui pour un instant donné connaîtrait toutes les forces dont la nature est animée et la situation respective des êtres qui la composent, si d'ailleurs elle était assez vaste pour soumettre ces données à l'analyse, embrasserait dans la mêmejbrmule les mouvements des plus grands corps de l'univers et ceux du plus léger atome : rien ne serait incertain pour elle, et l'avenir comme le passé serait présent à ses yeux/) L'esprit humain offre, dans la perfection qu'il a su donner à l'Astronomie, une faible esquisse de cette intelligence. Ses découvertes en Mécanique et en Géométrie, jointes à celle de la pesanteur universelle, l'ont mis à portée de comprendre dans les mêmes expressions analytiques les états passés et futurs du système du monde. En appliquant la même méthode à quelques autres objets de ses connaissances, il est parvenu à ramener à des lois générales les phénomènes observés, et à prévoir ceux que des circonstances données doivent faire éclore. Tous ces efforts dans la recherche de la vérité tendent à le rapprocher sans cesse de l'intelligence que nous venons de concevoir, mais dont

il restera toujours infiniment éloigné. Cette tendance propre à l'espèce humaine est ce qui la rend supérieure aux animaux, et ses progrès en ce genre distinguent les nations et les siècles et font leur véritable gloire.

Rappelons-nous qu'autrefois, et à une époque qui n'est pas encore bien reculée, une pluie ou une sécheresse extrême, une comète traînant après elle une queue fort étendue, les éclipses, les aurores boréales, et généralement tous les phénomènes extraordinaires, étaient regardés comme autant de signes de la colère céleste. On invoquait le ciel pour détourner leur funeste influence. On ne le priait point de suspendre le cours des planètes et du soleil : l'observation eût bientôt fait sentir l'inutilité de ces prières. Mais comme ces phénomènes, arrivant et disparaissant à de longs intervalles, semblaient contrarier Tordre de la nature, on supposait que le ciel, irrité par les crimes de la terre, les faisait naître pour annoncer ses vengeances. Ainsi la longue queue de la comète de 1456 répandit la terreur dans l'Europe, déjà consternée par les succès rapides des Turcs qui venaient de renverser le Bas-Empire. Cet astre, après quatre de ses révolutions, a excité parmi nous un intérêt bien différent. La connaissance des lois du système du monde, acquise dans cet intervalle, avait dissipé les craintes enfantées par 1 ignorance des vrais rapports de l'homme avec l'univers; et Halley, ayant reconnu l'identité de cette comète avec celles des années 1531, 1607 et 1682, annonça son retour prochain pour la fin de 1758 ou le commencement de 1759. Le monde savant attendit avec impatience ce retour qui devait con-

firmer Tune des plus grandes découvertes que l'on eût faites dans les sciences, et accomplir la prédiction de Sénèque, lorsqu'il a dit, en parlant de la révolution de ces astres qui descendent d'une énorme distance : « Le jour viendra que, par une étude suivie de plusieurs siècles, les choses actuellement cachées paraîtront avec évidence, et la postérité s'étonnera que des vérités si claires nous aient échappé ». Glairaut entreprit alors de soumettre à l'analyse les perturbations que la comète avait éprouvées par l'action des deux plus grosses planètes, Jupiter et Saturne : après d'immenses calculs, il fixa son prochain passage au périhélie vers le commencement d'avril 1759, ce que l'observation ne tarda pas à vérifier. La régularité que l'Astronomie nous montre dans le mouvement des comètes a lieu, sans aucun doute, dans tous les phénomènes. La courbe décrite par une simple molécule d'air ou de vapeurs est réglée d'une manière aussi certaine que les orbites planétaires : il n'y a de différence entre elles que celle qu'y met notre ignorance.

La probabilité est relative en partie à cette ignorance, en partie à nos connaissances. Nous savons que sur trois ou un plus grand nombre d'événements, un seul doit arriver, mais rien ne porte à croire que l'un d'eux arrivera plutôt que les autres. Dans cet état d'indécision, il nous est impossible de prononcer avec certitude sur leur arrivée. Il est cependant probable qu'un de ces événements pris à volonté n'arrivera pas, parce que nous voyons plusieurs cas également possibles qui excluent son existence, tandis qu'un seul la favorise.

La théorie des hasards consiste à réduire tous les événements du même genre à un certain nombre de cas également possibles, c'est-à-dire tels que nous soyons également indécis sur leur existence, et à déterminer le nombre de cas favorables à l'événement dont on cherche la probabilité. Le rapport de ce nombre à celui de tous les cas possibles est la mesure de cette probabilité qui n'est ainsi qu'une fraction, dont le numérateur est le nombre des cas favorables et dont le dénominateur est le nombre de tous les cas possibles.

La notion précédente de la probabilité suppose qu'en faisant croître dans le même rapport le nombre des cas favorables et celui de tous les cas possibles, la probabilité reste la même. Pour s'en convaincre, que l'on considère deux urnes A et B, dont la première contienne quatre boules blanches et deux noires, et dont la seconde ne renferme que deux boules blanches et une noire. On peut imaginer les deux boules noires de la première urne attachées à un fil qui se rompt au moment où l'on saisit l'une d'elles pour l'extraire, et les quatre boules blanches formant deux systèmes semblables. Toutes les chances qui feront saisir l'une des boules du système noir amèneront une boule noire. Si Ton conçoit maintenant que les fils qui unissent les boules ne se rompent point, il est clair que le nombre des chances possibles ne changera pas, non plus que celui des chances favorables à l'extraction des boules noires; seulement, on tirera de l'urne deux boules à la fois; la probabilité d'extraire une boule noire de l'urne sera donc la même qu'auparavant. Mais alors, on a évidemment le cas

de l'urne B, avec la seule différence que les trois boules de cette dernière urne soient remplacées par trois systèmes de deux boules invariablement unies.

Quand tous les cas sont favorables à un événement, sa probabilité se change en certitude et son expression devient égale à l'unité. Sous ce rapport, la certitude et la probabilité sont comparables, quoiqu'il y ait une différence essentielle entre les deux états de l'esprit, lorsqu'une vérité lui est rigoureusement démontrée, ou lorsqu'il aperçoit encore une petite source d'erreur.

Dans les choses qui ne sont que vraisemblables, la différence des données que chaque homme a sur elles est une des causes principales de la diversité des opinions que l'on voit régner sur les mêmes objets. Supposons, par exemple, que l'on ait trois urnes A, B, G, dont une ne contienne que des boules noires, tandis que les deux autres ne renferment que des boules blanches : on doit tirer une boule de l'urne G, et l'on demande la probabilité que cette boule sera noire. Si Ton ignore quelle est celle des trois urnes, qui ne renferme que des boules noires, en sorte que Ton n'ait aucune raison de croire qu'elle est plutôt G que B ou A, ces trois hypothèses paraîtront également possibles ; et, comme une boule noire ne peut être extraite que dans la première hypothèse, la probabilité de l'extraire est égale à un tiers. Si l'on sait que l'urne A ne contient que des boules blanches, l'indécision ne porte plus alors que sur les urnes B et G, et la probabilité que la boule extraite de l'urne C sera noire est uii demi. Enfin, cette probabilité se change en certitude, si l'on est assuré que les urnes A et B ne contiennent que des boules blanches.

C'est ainsi que le même fait, récité devant une nombreuse assemblée, obtient divers degrés de croyance, suivant Tétcndue des connaissances des auditeurs. Si l'homme qui le rapporte en est intimement persuadé, et si, par son état et par son caractère, il inspire une grande confiance, son récit, quelque extraordinaire qu'il soit, aura, pour les auditeurs dépourvu- de lumières, le môme degré de vraisemblance qu'un fait ordinaire rapporté par le môme homme, et ils lui ajouteront une foi entière. Cependant, si quelqu'un d'eux sait que le même fait est rejeté par d'autres hommes également respectables, il sera dans le doute; et le fait sera jugé faux par les auditeurs éclairés qui le trouveront contraire, soit à des faits bien avérés, soit aux lois immuables de la nature.

C'est à l'influence de l'opinion de ceux que la multitude juge les plus instruits, et à qui elle a coutume de donner sa confiance sur les plus importants objets de la vie, qu'est due. la propagation de ces erreurs qui, dans les temps d'ignorance, ont couvert la face du monde. La Magie et l'Astrologie nous en offrent deux grands exemples. Ces erreurs inculquées dès l'enfance, adoptées sans examen, et n'ayant pour base que la croyance universelle, se sont maintenues pendant très longtemps; jusqu'à ce qu'enfin le progrès des sciences les ait détruites dans l'esprit des hommes éclairés dont ensuite l'opinion les a fait disparaître chez le peuple même, par le pouvoir de l'imitation et de l'habitude, qui les avait si généralement répandues. Ce pouvoir, le plus puissant ressort du monde moral, établit et conserve dans toute une nation des idées entièrement contraires à celles qu'il maintient ailleurs avec le même

empire. Quelle indulgence ne devons-nous donc pas avoir pour les opinions différentes des nôtres, puisque cette différence ne dépend souvent que des points de vue divers où les circonstances nous ont placés ! Eclairons ceux que nous ne jugeons pas suffisamment instruits, mais auparavant examinons sévèrement nos propres opinions, et pesons avec impartialité leurs probabilités respectives.

La différence des opinions dépend encore de la manière dont on détermine l'influence des données qui sont connues. La théorie des probabilités tient à des considérations si délicates, qu'il n'est pas surprenant qu'avec les mêmes données deux personnes trouvent des résultats différents, surtout dans les questions très compliquées. Exposons ici les principes généraux de cette Théorie.

Principes généraux du Calcul des Probabilités.

Premier Principe.

Le premier de ces principes est la définition même de la probabilité qui, comme on Ta vu, est le rapport du nombre des cas favorables à celui de tous les cas possibles.

Deuxième Principe.

Mais cela suppose les divers cas également possibles. S'ils ne le sont pas, on déterminera d'abord leurs possibilités respectives dont la juste appréciation est un des

points les plus délicats de la théorie des hasards. Alors la probabilité sera la somme des possibilités de chaque cas favorable. Eclaircissons ce principe par un exemple.

Supposons que Ton projette en l'air une pièce large et très mince dont les deux grandes faces opposées, que nous nommerons croix et pile, soient parfaitement semblables. Cherchons la probabilité d'amener croix, une fois au moins en deux coups. Il est clair qu'il peut arriver quatre cas également possibles, savoir, croix au premier et au second coup ; croix au premier coup et pile au second ; pile au premier coup et croix au second; enfin pile aux deux coups. Les trois premiers cas sont favorables à l'événement dont on cherche la probabilité qui, par conséquent, est égale à -|; en sorte qu'il y a trois contre un à parier que croix arrivera au moins une fois en deux coups.

On peut ne compter à ce jeu que trois cas différents, savoir : croix au premier coup, ce qui dispense d'en jouer un second; pile au premier coup et croix au second ; enfin pile au premier et au second coup. Cela réduirait la probabilité à -§, si l'on considérait avec d'Alembert ces trois cas comme également possibles. Mais il est visible que la probabilité d'amener croix au premier coup est j, tandis que celle des deux autres cas est ^; le premier cas étant un événement simple qui correspond aux deux événements composés, croix au premier et au second coup, et croix au premier coup, pile au second. Maintenant si, conformément au second principe, on ajoute la possibilité * de croix au premier coup à la possibilité -j de pile arrivant au premier coup, et croix au second, on aura f pour la probabilité cherchée, ce qui s'accorde avec ce que Ton

trouve dans la supposition où l'on joue les deux coups. Cette supposition ne change point le sort de celui qui parie pour cet événement : elle sert seulement à réduire les divers cas à des cas également possibles.

Troisième Principe.

Un des points les plus importants de la Théorie des Probabilités, et celui qui prête le plus aux illusions, est la manière dont les probabilités augmentent ou diminuent par leurs combinaisons mutuelles. Si les événements sont indépendants les uns des autres, la probabilité de l'existence de leur ensemble est le produit de leurs probabilités particulières. Ainsi la probabilité d'amener un as avec un seul dé étant un sixième, celle d'amener deux as en projetant deux dés à la fois est un trente-sixième. En effet, chacune des faces de l'un pouvant se combiner avec les six faces de l'autre, il y a trente-six cas également possibles-, parmi lesquels un seul donne les deux as. Généralement, la probabilité qu'un événement simple dans les mêmes circonstances arrivera de suite, un nombre donné de fois, est égale à la probabilité de cet événement simple, élevée à une puissance indiquée parce nombre. Ainsi, les puissances successives d'une fraction moindre que l'unité diminuant sans cesse, un événement qui dépend d'une suite de probabilités fort grandes peut devenir extrêmement peu vraisemblable. Supposons qu'un fait nous soit transmis par vingt témoins, de manière que le premier l'ait transmis au second, le second au troisième, et ainsi de suite. Supposons encore que la probabilité de chaque témoignage soit égale à ^ : celle du fait,

résultante des témoignages, sera moindre qu'un huitième. On ne peut mieux comparer cette diminution de la probabilité qu'à l'extinction de la clarté des objets, par l'interposition de plusieurs morceaux de verre; un nombre de morceaux peu considérable suffisant pour dérober la vue d'un objet qu'un seul morceau laisse apercevoir d'une manière distincte. Les historiens ne paraissent pas avoir fait assez d'attention à cette dégradation de la probabilité des faits, lorsqu'ils sont vus à travers un grand nombre de générations successives : plusieurs événements historiques, réputés certains, seraient au moins douteux, si on les soumettait à cette épreuve.

Dans les sciences purement mathématiques, les conséquences les plus éloignés participent de la certitude du principe dont elles dérivent. Dans les applications de l'Analyse à la Physique, les conséquences ont toute la certitude des faits ou des expériences. Mais dans les sciences morales, où chaque conséquence n'est déduite de ce qui la précède que d'une manière vraisemblable, quelque probables que soient ces déductions, la chance de Terreur croît avec leur nombre, et finit par surpasser la chance de la vérité dans les conséquences très éloignées du principe.

Quatrième Principe.

Quand deux événements dépendent l'un de l'autre, la probabilité de l'événement composé est le produit de la probabilité du premier événement, par la probabilité que cet événement étant arrivé l'autre arrivera. Ainsi, dans le cas précédent de trois urnes

A, B, C, dont deux ne contiennent que des boules blanches et dont une ne renferme que des boules noires, la probabilité de tirer une boule blanche de l'urne G est ■§, puisque sur trois urnes, deux ne contiennent que des boules de cette couleur. Mais lorsqu'on a extrait une boule blanche de l'urne C, l'indécision relative à celle des urnes qui ne renferment que des boules noires ne portant plus que sur les urnes A et B, la probabilité d'extraire une boule blanche de l'urne B est ^, le produit de | par -g-, ou -^ est donc la probabilité d'extraire à la fois des urnes B et C deux boules blanches. En effet, il est nécessaire pour cela que l'urne A soit celle des trois urnes, qui contient des boules noires, et la probabilité de ce cas est évidemment ~.

On voit, par cet exemple, l'influence des événements passés sur la probabilité des événements futurs. Car la probabilité d'extraire une boule blanche de l'urne B, qui primitivement est -§, devient J, lorsqu'on a extrait une boule blanche de l'urne G: elle se changerait en certitude, si Ton avait extrait une boule noire de la même urne. On déterminera cette influence au moyen du principe suivant qui est un corollaire du précédent.

Cinquième Principe.

Si l'on calcule à priori la probabilité de l'événement arrivé, et la probabilité d'un événement composé de celui-ci et d'un autre qu'on attend, la seconde probabilité divisée par la première sera la probabilité de l'événement attendu, tirée de l'événement observé.

Ici se présente la question agitée par quelques philo-

sophes, touchant l'influence du passé sur la probabilité de l'avenir. Supposons qu'au jeu de croix ou pile, croix soit arrivé plus souvent que pile : par cela seul, nous serons portés à croire que dans la constitution de la pièce, il existe une cause constante qui le favorise. Ainsi, dans la conduite de la vie, le bonheur constant est une preuve d'habileté, qui doit faire employer de préférence les personnes heureuses. Mais si, par l'instabilité des circonstances, nous sommes ramenés sans cesse à l'état d'une indécision absolue; si, par exemple, on change de pièce à chaque coup, au jeu de croix ou pile, le passé ne peut répandre aucune lumière sur l'avenir, et il serait absurde d'en tenir compte.

Sixième Principe.

Chacune des causes, auxquelles un événement observé peut être attribué, est indiquée avec d'autant plus de vraisemblance, qu'il est plus probable que cette cause étant supposée exister, l'événement aura lieu; la probabilité de l'existence d'une quelconque de ces causes est donc une fraction dont le numérateur est la probabilité de l'événement, résultante de cette cause, et dont le dénominateur est la somme des probabilités semblables relatives à toutes les causes: si ces diverses causes considérées à priori sont inégalement probables, il faut au lieu de la probabilité de l'événement, résultante de chaque cause, employer le produit de cette probabilité, par la possibilité de la cause elle-même. C'est le principe fondamental de cette branche de l'Analyse des hasards, qui consiste à remonter des événements aux causes.

Ce principe donne la raison pour laquelle on attribue les événements réguliers aune cause particulière. Quelques philosophes ont pensé que ces événements sont moins possibles que les autres, et qu'au jeu de croix ou pile, par exemple, la combinaison dans laquelle croix arrive vingt fois de suite, est moins facile à la nature que celles où croix et pile sont entremêlés d'une façon irrégulière. Mais cette opinion suppose que les événements passés influent sur la possibilité des événements futurs, ce qui n'est point admissible. Les combinaisons régulières n'arrivent plus rarement, que parce qu'elles sont moins nombreuses. Si nous recherchons une cause, là où nous apercevons de la symétrie, ce n'est pas que nous regardions un événement symétrique comme moins possible que les autres, mais cet événement devant être l'effet d'une cause régulière, ou celui du hasard, la première de ces suppositions est plus probable que la seconde. Nous voyons sur une table des caractères d'imprimerie disposés dans cet ordre, Conslantinople, et nous jugeons que cet arrangement n'est pas l'effet du hasard, non parce qu'il est moins possible que les autres, puisque si ce mot n'était employé dans aucune langue, nous ne lui soupçonnerions point de cause particulière, mais ce mot étant en usage parmi nous, il est incomparablement plus probable qu'une personne aura disposé ainsi les caractères précédents, qu'il ne l'est que cet arrangement est dû au hasard.

C'est ici le lieu de définir le mot extraordinaire. Nous rangeons par la pensée tous les événements possibles en diverses classes, et nous regardons comme extraordinaires , ceux des classes qui en comprennent

un très petit nombre. Ainsi au jeu de croix ou pile, l'arrivée de croix cent fois de suite nous paraît extraordinaire, parce que le nombre presque infini des combinaisons qui peuvent arriver en cent coups étant partagé en séries régulières, ou dans lesquelles nous voyons régner un ordre facile à saisir, et en séries irrégulières, celles-ci sont incomparablement plus nombreuses. La sortie d'une boule blanche d'une urne qui, sur un million de boules, n'en contient qu'une seule* de cette couleur, les autres étant noires, nous paraît encore extraordinaire, parce que nous ne formons que deux classes d'événements relatives aux deux couleurs. Mais la sortie du n° 475813, par exemple, d'une urne qui renferme un million de numéros, nous semble un événement ordinaire, parce que comparant individuellement les numéros les uns aux autres, sans les partager en classes, nous n'avons aucune raison de croire que l'un d'eux sortira plutôt que les autres.

De ce qui précède nous devons généralement conclure que plus un fait est extraordinaire, plus il a besoin d'être appuyé de fortes preuves. Car ceux qui l'attestent, pouvant ou tromper ou avoir été trompés, ces deux causes sont d'autant plus probables que la réalité du fait Test moins en elle-même. C'est ce que l'on verra particulièrement, lorsque nous parlerons de la probabilité des témoignages.

Septième Principe.

La probabilité d'un événement futur est la somme des produits de la probabilité de chaque cause, tirée de l'événement observé, par la probabilité que, cette

cause existant, l'événement futur aura lieu. L'exemple suivant éclaircira ce principe.

Imaginons une urne qui ne renferme que deux boules dont chacune soit ou blanche, ou noire. On extrait une de ces boules, que l'on remet ensuite dans l'urne, pour procéder à un nouveau tirage. Supposons que dans les deux premiers tirages on ait amené des boules blanches; on demande la probabilité d'amener encore une boule blanche au troisième tirage.

On ne peut faire ici que ces deux hypothèses : ou l'une des boules est blanche, et l'autre noire, ou toutes deux sont blanches. Dans la première hypothèse, la probabilité de l'événement observé est ~ ; elle est l'unité ou la certitude dans la seconde. Ainsi, en regardant ces hypothèses comme autant de causes, on aura, par le sixième principe, ~ et i pour leurs probabilités respectives. Or, si la première hypothèse a lieu, la probabilité d'extraire une boule blanche au troisième tirage est ! : elle égale l'unité dans la seconde hypothèse; en multipliant donc ces dernières probabilités, par celles des hypothèses correspondantes, la somme des produits, ou -, sera la probabilité d'extraire une boule blanche au troisième tirage.

Quand la probabilité d'un événement simple est inconnue, on peut lui supposer également toutes les valeurs depuis zéro jusqu'à l'unité. La probabilité de chacune de ces hypothèses, tirée de l'événement observé, est par le sixième principe une fraction dont le numérateur est la probabilité de l'événement dans cette hypothèse, et dont le dénominateur est la somme des probabilités semblables relatives à toutes les hypothèses. Ainsi, la probabilité que la possibilité de l'événement est

comprise dans des limites données, est la somme des fractions comprises dans ces limites. Maintenant, si Ton multiplie chaque fraction par la probabilité de l'événement futur, déterminée dans Y hypothèse correspondante, la somme des produits relatifs à toutes les hypothèses sera par le septième principe la probabilité de l'événement futur, tirée de l'événement observé. On trouve ainsi qu'un événement étant arrivé de suite, un nombre quelconque de fois, la probabilité qu'il arrivera encore la fois suivante est égale à ce nombre augmenté de l'unité, divisé par le même nombre augmenté de deux unités. En faisant, par exemple, remonter la plus ancienne époque de l'histoire à cinq mille ans, ou à 1.826.213 jours, et le soleil s'étant levé constamment dans cet intervalle, à chaque révolution de vingt-quatre heures, il y a 1.826.214 à parier contre un qu'il se lèvera encore demain. Mais ce nombre est incomparablement plus fort pour celui qui, connaissant par l'ensemble des phénomènes le principe régulateur des jours et des saisons, voit que rien dans le moment actuel ne peut en arrêter le cours.

Buffon, dans son Arithmétique politique, calcule différemment la probabilité précédente. 11 suppose qu'elle ne diffère de l'unité que d'une fraction dont le numérateur est l'unité, et dont le dénominateur est le nombre deux élevé à une puissance égale au nombre des jours écoulés depuis l'époque. Mais la vraie manière de remonter des événements passés à la probabilité des causes et des événements futurs, était inconnue à cet illustre écrivain.

De l'Espérance.

La probabilité des événements sert à déterminer l'espérance ou la crainte des personnes intéressées à leur existence. Le mot espérance a diverses acceptions : il exprime généralement l'avantage de celui qui attend un bien quelconque dans des suppositions qui ne sont que probables. Cet avantage, dans la théorie des hasards, est le produit de la somme espérée par la probabilité de .l'obtenir : c'est la somme partielle qui doit revenir lorsqu'on ne veut pas courir les risques de l'événement, en supposant que la répartition se fasse proportionnellement aux probabilités. Cette répartition est la seule équitable, lorsqu'on fait abstraction de toutes circonstances étrangères, parce qu'un égal degré de probabilité donne un droit égal sur la somme espérée. Nous nommerons cet avantage, espérance mathématique.

Huitième Principe.

Lorsque l'avantage dépend de plusieurs événements, on l'obtient, en prenant la somme des produits de la probabilité de chaque événement par le bien attaché à son arrivée.

Appliquons ce principe à des exemples. Supposons qu'au jeu de croix ou pile, Paul reçoive deux francs, s'il amène croix au premier coup, et cinq francs, s'il ne l'amène qu'au second. En multipliant deux francs, par la probabilité \ du premier cas, et cinq francs, par la probabilité -J- du second cas, la somme des produits,

ou deux francs et un quart, sera l'avantage de Paul. C'est la somme qu'il doit donner d'avance à celui qui lui a fait cet avantage, car pour l'égalité du jeu, la mise doit être égale à l'avantage qu'il procure.

Si Paul reçoit deux francs en amenant croix au premier coup et cinq francs en l'amenant au second coup, dans le cas môme où il l'aurait amené au premier, alors la probabilité d'amener croix au second coup étant ~, en multipliant deux francs et cinq francs par 4, la somme de ces produits donnera trois francs et demi pour l'avantage de . Paul, et par conséquent pour sa mise au jeu.

Neuvième Principe.

Dans une série d'événements probables, dont les uns produisent un bien et les autres une perte, on aura l'avantage qui en résulte, en faisant une somme des produits de la probabilité de chaque événement favorable, par le bien qu'il procure, et en retranchant de cette somme celle des produits de la probabilité de chaque événement défavorable, par la perte qui y est attachée. Si la seconde somme l'emporte sur la première, le bénéfice devient perte et l'espérance se change en crainte.

On doit toujours, dans la conduite de la vie, faire en sorte d'égaler au moins le produit du bien que Ton espère par sa probabilité, au produit semblable relatif à la perte. Mais il est nécessaire pour y parvenir d'apprécier exactement les avantages, les pertes et leurs probabilités respectives. Il faut pour cela une grande justesse d'esprit, un tact délicat et une grande expé-

rience des choses : il faut savoir se garantir des préjugés, des illusions de la crainte et de l'espérance, et de ces fausses idées de fortune et de bonheur dont la plupart des hommes bercent leur amour-propre.

L'application des principes précédents à la question suivante a beaucoup exercé les géomètres. Paul joue à croix ou pile, avec la condition de recevoir deux francs, s'il amène croix au premier coup ; quatre francs, s'il ne l'amème qu'au second; huit francs, s'il ne l'amène qu'au troisième, et ainsi de suite. Sa mise au jeu doit être par le huitième principe égale au nombre des coups, en sorte que si la partie continue à l'infini, la mise doit être infinie. Cependant, aucun homme raisonnable ne voudrait exposer à ce jeu une somme même modique, cinquante francs, par exemple. D'où vient cette différence entre le résultat du calcul, et l'indication du sens commun ? On reconnut bientôt qu'elle tenait à ce que l'avantage moral qu'un bien nous procure n'est pas proportionnel à ce bien, et qu'il dépend de mille circonstances souvent très difficiles à définir, mais dont la plus générale et la plus importante est celle de la fortune. En effet, il est visible qu'un franc a beaucoup plus de prix pour celui qui n'en a que cent, que pour un millionnaire. On doit donc distinguer dans le bien espéré sa valeur absolue de sa valeur relative : celle-ci se règle sur les motifs qui le font désirer, au lieu que la première en est indépendante. On ne peut donner de principe général, pour apprécier cette valeur relative. En voici cependant un proposé par Daniel Bernoulli, et qui peut servir dans beaucoup de cas.

Dixième Principe.

La valeur relative d'une somme infiniment petite est égale à sa valeur absolue divisée par le bien total de la personne intéressée. Cela suppose que tout homme a un bien quelconque dont la valeur ne peut jamais être supposée nulle. En effet, celui même qui ne possède rien, donne toujours au produit de son travail et à ses espérances une valeur au moins égale à ce qui lui est rigoureusement nécessaire pour vivre.

Si Ton applique l'analyse au principe que nous venons d'exposer, on obtient la règle suivante.

En désignant par l'unité, la partie de la fortune d'un individu, indépendante de ses expectatives; si l'on détermine les diverses valeurs que cette fortune peut recevoir en vertu de ces expectatives, et leurs probabilités, le produit de ces valeurs élevées respectivement aux puissances indiquées par ces probabilités, sera la fortune physique qui procurerait à l'individu le même avantage moral qu'il reçoit de la partie de sa fortune, prise pour unité, et de ses expectatives ; en retranchant donc l'unité de ce produit, la différence sera l'accroissement de la fortune physique, dû aux expectatives : nous nommerons cet accroissement, espérance morale. Il est facile de voir qu'elle coïncide avec l'espérance mathématique, lorsque la fortune prise pour unité devient infinie par rapport aux variations qu'elle reçoit des expectatives. Mais lorsque ces variations sont une partie sensible de cette unité, les deux espérances peuvent différer très sensiblement entre elles.

Cette règle conduit à des résjultats conformes aux indications du sens commun, que l'on peut par ce

moyen apprécier avec quelque exactitude. Ainsi, dans la question précédente on trouve que si la fortune de Paul est de deux cents francs, il ne doit pas raisonnablement mettre au jeu plus de neuf francs. La même règle conduit encore à répartir le danger sur plusieurs parties d'un bien que l'on attend, plutôt que d'exposer ce bien tout entier au même danger. Il en résulte pareillement qu'au jeu le plus égal, la perte est toujours relativement plus grande que le gain. En supposant, par exemple, qu'un joueur ayant une fortune de cent francs, en expose cinquante au jeu de croix ou pile, sa fortune après sa mise au jeu sera réduite à quatre-vingt-sept francs, c'est-à-dire que cette dernière somme procurerait au joueur le même avantage moral, que l'état de sa fortune après sa mise. Le jeu est donc désavantageux, dans le cas même où la mise est égale au produit de la somme espérée par sa probabilité. On peut juger par là de l'immoralité des jeux dans lesquels la somme espérée est au-dessous de ce produit. Ils ne subsistent que par les faux raisonnements et par la cupidité qu'ils fomentent, et qui, portant le peuple à sacrifier son nécessaire à des espérances chimériques, dont il est hors d'état d'apprécier l'invraisemblance, sont la source d'une infinité de maux.

Le désavantage des jeux, l'avantage de ne pas exposer au même danger tout le bien qu'on attend, et tous les résultats semblables indiqués par le bon sens, subsistent, quelle que soit la fonction de la fortune physique qui, pour chaque individu, exprime sa fortune morale. Il suffît que le rapport de l'accroissement de cette fonction à l'accroissement de la fortune physique diminue, à mesure que celle-ci augmente.

Des méthodes analytiques du Calcul des Probabilités.

L'application des principes, que nous venons d'exposer, aux diverses questions de probabilité exige desméthodes dont la recherche a donné naissance à plusieurs branches de l'Analyse, et spécialement à la théorie des combinaisons et au calcul des différences finies.

Si l'on forme le produit des binômes, l'unité plus une première lettre, l'unité plus une seconde lettre, l'unité plus une troisième lettre, et ainsi de suite, jusqu'à zi lettres, en retranchant l'unité de ce produit développé, on aura la somme des combinaisons de toutes ces lettres prises une à une, deux à deux, trois à trois, etc., chaque combinaison ayant l'unité pour coefficient. Pour avoir le nombre des combinaisons de ces n lettres prises s à s, on observera que si l'on suppose ces lettres égales entre elles, le produit précédent deviendra la puissance n du binôme, un plus la première lettre ; ainsi le nombre des combinaisons des n lettres prises s à s, sera le coefficient de la puissance 5 de la première lettre, dans le développement de ce binôme; on aura donc ce nombre par la formule connue du binôme.

On aura égard à la situation respective des lettres dans chaque combinaison, en observant que si l'on joint une seconde lettre à la première, on peut la placer au premier et au second rang, ce qui donne deux combinaisons. Si l'on joint à ces combinaisons une troisième lettre, on peut lui donner dans chaque combi-

naison le premier, le second et le troisième rang-, ce qui forme trois combinaisons relatives à chacune des deux autres ; en tout, six combinaisons. De là il est facile de conclure que le nombre des arrangements dont s lettres sont susceptibles, est le produit des nombres depuis l'unité jusqu'à s; il faut donc, pour avoir égard à la situation respective des lettres, multiplier par ce produit le nombre des combinaisons des n lettres prises s à s, ce qui revient à supprimer le dénominateur du coefficient du terme du binôme, qui exprime ce nombre.

Imaginons une loterie composée de n numéros dont r sortent à chaque tirage; on demande la probabilité de la sortie de s numéros donnés dans un tirage. Pour y parvenir, on formera une fraction dont le dénominateur sera le nombre de tous les cas possibles, ou des combinaisons des n numéros pris r à r, et dont le numérateur sera le nombre de toutes ces combinaisons qui contiennent les s numéros donnés. Ce dernier nombre est évidemment celui des combinaisons des autres numéros pris n moins s à n moins s. Cette fraction sera la probabilité demandée, et Ton trouvera facilement qu'elle se réduit à une fraction dont le numérateur est le nombre des combinaisons de r numéros pris s à s, et dont le dénominateur est le nombre des combinaisons des n numéros pris semblablement sas. Ainsi, dans la loterie de France, formée, comme on sait, de 90 numéros dont cinq sortent à chaque tirage, la probabilité de la sortie d'un extrait donné est ^ ou ^ ; la loterie devrait donc alors pour l'égalité du jeu rendre dix- huit fois la mise. Le nombre total des combinaisons deux à deux de 90 nu-

méros est 4005, et celui des combinaisons deux à deux de cinq numéros est dix. La probabilité de la sortie d'un ambe donné est donc Ï0J 5, et la loterie devrait rendre alors quatre cents fois et demie la mise : elle devrait la rendre 11748 fois pour un terne, 511038 fois pour un quaterne, et 43949268 fois pour un quine. La loterie est loin de faire aux joueurs ces avantages. Supposons dans une urne a boules blanches et h boules noires, et qu'après en avoir extrait une boule on la remette dans l'urne; on demande la probabilité que, dans le nombre n de tirages, on amènera m boules blanches et n moins m boules noires. Il est clair que le nombre de cas qui peuvent arriver à chaque tirage est a plus b. Chaque cas du second tirage, pouvant se combiner avec tous les cas du premier, le nombre de cas possibles en deux tirages est le carré du binôme a plus b. Dans le développement de ce carré, le carré de a exprime le nombre des cas dans lesquels on amène deux fois une boule blanche; le double produit de a par b, exprime le nombre des cas dans lesquels une boule blanche et une boule noire sont amenées; enfin le carré de b exprime le nombre des cas dans lesquels on amène deux boules noires. En continuant ainsi, on voit généralement que la puissance n du binôme a plus b, exprime le nombre de tous les cas possibles dans n tirages; et que dans le développement de cette puissance, le terme multiplié par la puissance m de a, exprime le nombre des cas dans lesquels on peut amener m boules blanches et n moins m boules noires. En divisant donc ce terme par la puissance entière du binôme, on aura la probabilité d'amener m boules blanches et n moins m boules noires. Le rapport des nombres a et

a plus h étant la probabilité d'amener une boule blanche dans un tirage, et le rapport des nombres h et a plus h étant la probabilité d'amener une boule noire; si l'on nomme p et q ces probabilités, la probabilité d'amener m boules blanches dans n tirages, sera le terme multiplié par la puissance m de p, dans le développement de la puissance n du binôme p plus q : on peut observer que la somme p plus q est l'unité. Cette propriété remarquable du binôme est très utile dans la théorie des probabilités.

Mais la méthode la plus générale et la plus directe, pour résoudre les questions de probabilité, consiste à les faire dépendre d'équations aux différences. En comparant les états successifs de la fonction qui exprime la probabilité, lorsque Ton fait croître les variables, de leurs différences respectives, la question proposée fournit souvent un rapport très simple entre ces états. Ce rapport est ce que Ton nomme équation aux différences ordinaires ou partielles; ordinaires, lorsqu'il n'y a qu'une variable; partielles, lorsqu'il y en a plusieurs. Donnons-en quelques exemples.

Trois joueurs, dont les forces sont supposées les mêmes, jouent ensemble aux conditions suivantes. Celui des deux premiers joueurs, qui gagne son adversaire, joue avec le troisième, et s'il le gagne, la partie est finie. S'il est vaincu, le vainqueur joue avec l'autre, et ainsi de suite, jusqu'à ce que l'un des joueurs ait gagné consécutivement les deux autres, ce qui termine la partie; on demande la probabilité que la partie sera finie dans un nombre quelconque n de coups. Cherchons d'abord la probabilité qu'elle finira précisément au coup n. Pour cela, le joueur qui gagne doit entrer au

jeu au coup m moins un, et le gagner ainsi que le coup suivant. Mais si, au lieu de gagner le coup n moins un, il était vaincu par son adversaire, celui-ci venant de gagner l'autre joueur, la partie finirait ace coup. Ainsi la probabilité qu'un des joueurs entrera au jeu au coup n moins un, et le gagnera, est égale à celle que la partie finira précisément à ce coup ; et comme ce joueur doit gagner le coup suivant, pour que la partie se termine au coup n, la probabilité de ce dernier cas ne sera qu'un demi de la précédente. Cette probabilité est évidemment une fonction du nombre n) cette fonction est donc égale à la moitié de la même fonction, lorsqu'on y diminue n de l'unité. Cette égalité forme une de ces équations que l'on nomme équations aux différences finies ordinaires .

On peut déterminer facilement à son moyen la probabilité que la partie finira précisément à un coup quelconque. Il est visible que la partie ne peut finir au plus tôt qu'au second coup; et pour cela, il est nécessaire que celui des deux premiers joueurs qui a gagné son adversaire gagne au second coup le troisième joueur; la probabilité que la partie finira à ce coup est donc ^. l^e là» en vertu de l'équation précédente, on conclut que les probabilités successives de la fin de la partie sont \ pour le troisième coup, \ pour le quatrième, etc., et généralement \ élevé à la puissance n moins un, pour le nieme coup. La somme de toutes ces puissances de J est l'unité moins la dernière de ces puissances, c'est la probabilité que la partie sera terminée, au plus tard, dans n coups.

Considérons encore le premier problème un peu difficile que Ton ait résolu sur les probabilités, et que Pas-

cal proposa de résoudre à Fermât. Deux joueurs A et B, dont les adresses sont égales, jouent ensemble avec la condition que celui, qui le premier aura vaincu l'autre un nombre donné de fois, gagnera la partie et emportera la somme des mises au jeu : après quelques coups, les joueurs conviennent de se retirer sans avoir terminé la partie; on demande de quelle manière cette somme doit être partagée entre eux. Il est visible que les parts doivent être proportionnelles aux probabilités respectives de gagner la partie; la question se réduit donc à déterminer ces probabilités. Elles dépendent évidemment des nombres de points qui manquent à chaque joueur pour atteindre le nombre donné. Ainsi la probabilité de A est une fonction de ces deux nombres que nous nommerons indices. Si les deux joueurs convenaient de jouer un coup de plus (convention qui ne change point leur sort, pourvu qu'après ce nouveau coup le partage se fasse toujours proportionnellement aux nouvelles probabilités de gagner la partie), alors, ou A gagnerait ce coup, et dans ce cas le nombre des points qui lui manquent serait diminué crime unité; ou le joueur B le gagnerait, et dans ce cas le nombre des points manquants à ce dernier joueur deviendrait moindre d'une unité. Mais la probabilité de chacun de ces cas est * ; la fonction cherchée est donc égale à la moitié de cette fonction, dans laquelle on diminue de l'unité le premier indice, plus à la noitié de la même fonction dans laquelle le second indice est diminué de Punité. Cette égalité est une de ces équations que l'on nomme équations aux différences partielles.

On peut déterminer à son moyen les probabilités de

A, en partant des plus petits nombres, et en observant que la probabilité ou la fonction qui l'exprime est égale à l'unité, lorsqu'il ne manque aucun point au joueur A, ou lorsque le premier indice est nul, et que cette fonction devient nulle avec Je second indice. En supposant ainsi qu'il ne manque qu'un point au joueur A, on trouve que sa probabilité est ^-, ■§, -J, etc., suivant qu'il manque à B, un point, ou deux, ou trois, etc. Généralement elle est alors l'unité, moins la puissance de -§• égale au nombre des points qui manquent à B. On supposera ensuite qu'il manque deux points au joueur A, et Ton trouvera sa probabilité égale à \, -\-, ^, etc.. suivant qu'il manque à B, un point, ou deux, ou trois, etc. On supposera encore qu'il manque trois points au joueur A, et ainsi de suite.

Cette manière d'obtenir les valeurs successives d'une quantité au moyen de son équation aux différences est longue et pénible. Les géomètres ont cherché des méthodes pour avoir la fonction générale des indices, qui satisfait à cette équation, en sorte que l'on n'ait besoin pour chaque cas particulier que de substituer dans cette fonction les valeurs correspondantes des indices. Considérons cet objet d'une manière générale. Pour cela, concevons une suite de termes disposés sur une ligne horizontale et tels que chacun d'eux dérive des précédents, suivant une loi donnée. Supposons cette loi exprimée par une équation entre plusieurs termes consécutifs, et leur indice ou le nombre qui indique le rang qu'ils occupent dans la série. Cette équation est ce que je nomme équation aux différences finies à un seul indice. L'ordre ou le degré de cette équation est la différence du rang de ses deux termes extrêmes. On peut à

son moyen déterminer successivement les termes de ia série, et la continuer indéfiniment; mais il faut pour cela connaître un nombre de termes de la série, égal au degré de l'équation. Ces termes sont les constantes arbitraires de l'expression du terme général de la série, ou de Tintégrale de l'équation aux différences.

Concevons maintenant, au-dessus des termes de la série précédente, une seconde série de termes disposés horizontalement; concevons encore, au-dessus des termes de la seconde série, une troisième série horizontale, et ainsi de suite à l'infini; et supposons les termes de toutes ces séries liés par une équation générale entre plusieurs termes consécutifs, pris tant dans le sens horizontal que dans le sens vertical, et les nombres qui indiquent leur rang dans les deux sens. Cette équation est ce que je nomme équation aux différences finies partielles a deux indices.

Concevons pareillement, au-dessus du plan des séries précédentes, un second plan de séries semblables dont les termes soient placés respectivement au-dessus de ceux du premier plan; concevons ensuite, au-dessus de ce second plan, un troisième plan de séries semblables, et ainsi à l'infini; supposons tous les termes de ces séries liés par une équation entre plusieurs termes consécutifs, pris dans les sens de la longueur, de la largeur et de la profondeur, et les trois nombres qui indiquent leur rang dans ces trois sens. Cette équation est ce que je nomme équation aux différences finies partielles a trois indices.

Enfin, en considérant la chose d'une manière abstraite et indépendante des dimensions de l'espace, concevons généralement un système de grandeurs qui

soient fonctions d'un nombre quelconque d'indices,, et supposons entre ces grandeurs, leurs différences relatives à ces indices, et les indices eux-mêmes, autant d'équations qu'il y a de ces grandeurs; ces équations seront aux différences finies partielles à un nombre quelconque d'indices.

On peut à leur moyen déterminer successivement ces grandeurs. Mais de même que l'équation à un seul indice exige pour cela que l'on connaisse un certain nombre de termes de la série, de même Féquation à deux indices exige que l'on connaisse une ou plusieurs lignes de séries, dont les termes généraux puissent être exprimés chacun par une fonction arbitraire d'un des indices. Pareillement, l'équation à trois indices exige que Ton connaisse un ou plusieurs plans de séries, dont les termes généraux puissent être exprimés chacun par une fonction arbitraire de deux indices; ainsi de suite. Dans tous ces cas, on pourra par des éliminations successives déterminer un terme quelconque des séries. Mais toutes les équations entre lesquelles on élimine étant comprises dans un même système d'équations, toutes les expressions des termes successifs que l'on obtient par ces éliminations doivent être comprises dans une expression générale, fonction des indices qui déterminent le rang du terme. Cette expression est l'intégrale de l'équation proposée aux différences, et sa recherche est l'objet du Calcul intégral.

Taylor est le premier qui, dans son ouvrage intitulé Melhodus incremenlonim, ait considéré les équations linéaires aux différences finies. Il y donne la manière d'intégrer celles du premier ordre, avec un coefficient et un dernier terme, fonctions de l'indice. A la vérité,

les relations des termes des progressions arithmétiques et géométriques que l'on a considérées de tous temps, sont les cas les plus simples des équations linéaires aux différences; mais on ne les avait pas envisagées sous ce point de vue, l'un de ceux qui, se rattachant à des théories générales, conduisent à ces théories et sont par là de véritables découvertes.

Vers le même temps, Moivre considéra sous la dénomination de suites récurrentes, les équations aux difféences finies d'un ordre quelconque, à coefficients constants. Il parvint à les intégrer d'une manière très ingénieuse. Gomme il est toujours intéressant de suivre la marche des inventeurs, je vais exposer celle de Moivre, en l'appliquant à une suite récurrente dont la relation entre trois termes consécutifs est donnée. D'abord, il considère la relation entre les termes consécutifs d'une progression géométrique, ou l'équation à deux termes, qui l'exprime. En la rapportant aux ternies inférieurs d'une unité, il la multiplie dans cet état par un facteur constant, et il retranche le produit de l'équation primitive. Par là, il obtient une équation entre trois termes consécutifs de la progression géométrique. Moivre considère ensuite une seconde progression dont la raison des termes est le facteur même qu'il vient d'employer. Il diminue pareillement d'une unité l'indice des termes de l'équation de cette nouvelle progression : dans cet état, il la multiplie par la raison des termes de la première progression, et il retranche le produit de l'équation de la seconde progression, ce qui lui donne entre trois termes consécutifs de cette progression une relation entièrement semblable à celle qu'il a trouvée pour la première progression. Puis il

observe que si Ton ajoute terme à terme les deux progressions, la même relation subsiste entre trois quelconques de ces sommes consécutives. 11 compare les coefficients de cette relation à ceux de la relation des termes de la suite récurrente proposée, et il trouve pour déterminer les raisons des deux progressions géométriques une équation du second degré, dont les racines sont ces raisons. Par là, Moivre décompose la suite récurrente en deux progressions géométriques, multipliées chacune par une constante arbitraire qu'il détermine au moyen des deux premiers termes de la suite récurrente. Ce procédé ingénieux est au fond celui que d'Alembert a depuis employé pour l'intégration des équations linéaires aux différences infiniment petites à coefficients constants, et queLagrange a transporté aux équations semblables à différences finies.

Ensuite, j'ai considéré les équations linéaires aux différences partielles finies, d'abord sous la dénomination de suites récurro-récurrentes, et après sous leur dénomination propre. La manière la plus générale et la plus simple d'intégrer toutes ces équations me paraît être celle que j'ai fondée sur la considération des fonctions génératrices dont voici l'idée.

Si Ton conçoit une fonction V d'une variable t, développée suivant les puissances de cette variable, le coefficient de l'une quelconque de ces puissances sera une fonction de l'exposant ou indice de cette puissance, indice que je désignerai par x. V est ce que je nomme fonction génératrice de ce coefficient, ou de la fonction de l'indice.

Maintenant, si Ton multiplie la série du développement de V, par une fonction de la même variable, telle,

par exemple, que l'unité plus deux fois cette variable, le produit sera une nouvelle fonction génératrice dans laquelle le coefficient de la puissance x de la variable t sera égal au coefficient de la même puissance dans V, plus au double du coefficient de la puissance inférieure d'une unité. Ainsi la fonction de l'indice x dans le produit, égalera la fonction de l'indice x dansV, plus le double de cette même fonction dans laquelle l'indice est diminué de l'unité. Cette fonction de l'indice x est ainsi une dérivée de la fonction du môme indice dans le développement de V, fonction que je nommerai fonction primitive de l'indice. Désignons la fonction dérivée, par la caractéristique 8 placée devant la fonction primitive. La dérivation indiquée par cette caractéristique dépendra du multiplicateur de V, que nous nommerons T, et que nous supposerons développé, comme V, par rapport aux puissances de la variable t.

Si l'on multiplie de nouveau par T le produit de V par T, ce qui revient à multiplier Vpar le carré de T, on formera une troisième fonction génératrice dans laquelle le coefficient de la puissance x de t sera une dérivée semblable du coefficient correspondant du produit précédent; on pourra donc l'exprimer par la même caractéristique o, placée devant la dérivée précédente; et alors ;ette caractéristique sera deux fois écrite devant la onction primitive de x. Mais au lieu de l'écrire ainsi leux fois, on lui donne pour exposant le nombre 2.

En continuant ainsi, on voit généralement que si l'on nultiplie V par la puissance n de T, ou aura le coefficient de la puissance x de t, dans le produit de V par a puissance n de T, en plaçant devant la fonction prinitive la caractéristique o avec n pour exposant.

Supposons, par exemple, que T soit l'unité divisée par t\ alors dans le produit de V par T, le coefficient de la puissance x de t sera le coefficient de la puissance supérieure d'une unité dans V; ce coefficient dans le produit de V par la puissance n de T sera donc la fonction primitive dans laquelle x est augmenté de n unités.

Considérons maintenant une nouvelle fonction Z de t, développée, comme V et T, suivant les puissances de t) désignons par la caractéristique A, placée devant la fonction primitive, le «coefficient de la puissance x de t, dans le produit de V par Z; ce coefficient dans le produit de V par la puissance n de Z, sera exprimé par la caractéristique A affectée de l'exposant /i, et placée devant la fonction primitive de x.

Si, par exemple, Z est égal à l'unité divisée par t, moins un, le coefficient de la puissance x de t dans le produit de V par Z sera le coefficient de la puissance x plus un de t dans V, moins le coefficient de la puissance x. Il sera donc la différence finie de la fonction primitive de l'indice x. Alors la caractéristique A indique une différence finie delà fonction primitive, dans le cas où l'indice varie de l'unité; et la puissance n de cette caractéristique, placée devant la fonction primitive, in diquera ladifférence finie nieme de cette fonction. Si foi suppose que T soit l'unité divisée par t, on aura T éga au binôme, Z plus un. Le produit de Y par la puissance n de T sera donc égal au produit de V par la puissance de /i du binôme, Z plus un. En développant cette puissance par rapport aux puissances de Z, les produit! de V par les divers termes de ce développement seron les fonctions génératrices de ces mêmes termes, dam

lesquels on substitue, au lieu des puissances de Z, les différences finies correspondantes de la fonction primitive de l'indice.

Maintenant, le produit de V par la puissance n de T est la fonction primitive, dans laquelle l'indice x est augmenté de n unités; en repassant donc des fonctions génératrices à leurs coefficients, on aura cette fonction primitive ainsi augmentée, égale au développement de la puissance n du binôme Z plus un; pourvu que dans ce développement on substitue, au lieu des puissances de Z, les différences correspondantes de la fonction primitive, et que l'on multiplie le terme indépendant de ces puissances, par la fonction primitive. On aura ainsi la fonction primitive dont l'indice est augmentée d'un nombre quelconque ;i, au moyen de ses différences.

En supposant toujours à T et à Z les valeurs précédentes, on aura Z égal au binôme, T moins un; le produit de V par la puissance n de Z sera donc égal au produit de V par le développement de la puissance n du binôme, T moins un. En repassant des fonctions génératrices à leurs coefficients, comme on vient de le faire, on aura la différence nieme de la fonction primitive, exprimée par le développement de la puissance n du binôme, T moins un, dans lequel on substitue aux puissances de T cette même fonction dont l'indice est augmenté de l'exposant de la puissance, et au terme indépendant de t et qui est l'unité la fonction primitive : ce qui donne cette différence au moyen des termes consécutifs de cette fonction.

S placé devant la fonction primitive, exprimant la dérivée de cette fonction, qui multiplie la puissance x de / dans le produit de V par T, et A exprimant la

même dérivée dans le produit de V par Z, on est conduit, par ce qui précède, à ce résultat général : quelles que soient les fonctions de la variable t, représentées par T et Z, on peut dans le développement de toutes les équations identiques, susceptibles d'être formées entre ces fonctions, substituer les caractéristiques o et A, au lieu de T et de Z, pourvu que Ton écrive la fonction primitive de l'indice à la suite des puissances et des produits de puissances des caractéristiques, et que l'on multiplie par cette fonction les termes indépendants de, ces caractéristiques.

On peut, au moyen de ce résultat général, transformer une puissance quelconque d'une dilférence de la fonction primitive de l'indice x, dans laquelle x varie d'une unité, en une série de différences de la même fonction, dans lesquelles x varie d'un nombre quelconque d'unités, et réciproquement. Supposons en effet que T soit la puissance i de l'unité divisée par /, moins un, et que Z soit toujours l'unité divisée par /, moins un; alors le coefficient de la puissance x de t, dans le produit de V par T, sera le coefficient de ia puissance x plus i de t dans V, moins le coefficient de la puissance x de t) il sera donc la différence finie de la fonction primitive de l'indice x, dans laquelle on fait varier cet indice, du nombre i. Il est facile de voir que T est égal à la différence entre la puissance i du binôme, Z plus un, et l'unité; la puissance n de T est donc égale à la puissance n de cette différence. Si, dans cette égalité, on substitue au lieu de T et de Z les caractéristiques S et A, et qu'après le développement on place à la fin de chaque terme la fonction primitive de l'indice x, on aura la différence ;iieme de cette

fonction, dans laquelle x varie de i unités, exprimée par une suite de différences de la même fonction, dans laquelle x varie d'une unité. Cette suite n'est qu'une transformation de la différence qu'elle exprime, et qui lui est identique ; mais c'est dans de semblables transformations que réside le pouvoir de l'Analyse.

La généralité de l'Analyse permet de supposer dans cette expression ai négatif. Alors les puissances négatives de 3 et de A indiquent des intégrales. En effet, la différence riieme de la fonction primitive, ayant pour fonction génératrice le produit de V par la puissance n du binôme, un divisé par t, moins l'unité, la fonction primitive qui est l'intégrale nie^e de cette diffé rence a pour fonction génératrice celle de la même différence, multipliée par la puissance /i prise en moins du binôme, un divisé par ty moins l'unité, puissance à laquelle répond la même puissance de la carac téristique A; cette puissance indique donc une intégrale du même ordre, l'indice x variant de l'unité, et les puissances négatives de S indiquent également des intégrales, x variant de i unités. On voit ainsi delà manière la plus claire et la plus simple la raison de l'analogie observée entre les puissances positives et les différences, et entre les puissances négatives et les intégrales.

Si la fonction indiquée par la caractéristique o placée devant la fonction primitive est nulle, on aura une équation aux différences finies, et V sera la fonction génératrice de son intégrale. Pour avoir cette fonction génératrice, on observera que dans le produit de V par T toutes les puissances de / doivent disparaître, excepté les puissances inférieures à l'ordre de l'équa-

lion aux différences; V esl donc égal à une fraction dont T est le dénominateur, et dont le numérateur est un polynôme dans lequel la puissance la plus élevée de t est moindre d'une unité que l'ordre de l'équation aux différences. Les coefficients arbitraires des diverses puissances de t dans ce polynôme, en y comprenant la puissance zéro, seront déterminés par autant de valeurs de la fonction primitive de l'indice, lorsqu'on y fait successivement x égal à zéro, à l'unité, à deux, etc. Quand l'équation aux différences est donnée, on détermine T en mettant tous ces termes dans le premier membre, et zéro dans le second; en substituant dans le premier membre l'unité au lieu de la fonction qui a le plus grand indice; la première puissance de t au lieu de la fonction primitive dans laquelle cet indice est diminué d'une unité; la seconde puissance de t à la fonction primitive où cet indice est diminué de deux unités, et ainsi de suite. Le coefficient de la puissance x de t, dans le développement de l'expression précédente de V, sera la fonction primitive de x, ou l'intégrale de l'équation aux différences finies. L'Analyse fournit pour ce développement divers moyens parmi lesquels on peut choisir celui qui est le plus propre à la question proposée, ce qui est un avantage de cette méthode d'intégration.

Concevons maintenant que V soit une fonction des deux variables t et /', développée suivant les puissances et les produits de ces variables; le coefficient d'un produit quelconque des puissances x et x' de / et de /' sera une fonction des exposants ou indices x et x' de ces puissances, fonction que je nommerai fonction primitive et dont V est la fonction génératrice.

Multiplions V par une fonction T des deux variables t et tT , développée, comme V, par rapport aux puissances et aux produits de ces variables; le produit sera la fonction génératrice d'une dérivée de la fonction primitive, si T, par exemple, est égal a la variable t, plus à la variable t\ moins deux; cette dérivée sera la fonction primitive dont on diminue de l'unité l'indice x, plus cette même fonction primitive dont on diminue de l'unité l'indice x', moins deux fois la fonction primitive. En désignant, quel que soit T, par la caractéristique o, placée devant la fonction primitive, cette dérivée, le produit de V par la puissance n de T sera la fonction génératrice de la dérivée de la fonction primitive, devant laquelle on place la puissance n de la caractéristique §. De là résultent des théorèmes analogues à ceux qui sont relatifs aux fonctions d'une seule variable.

Supposons que la fonction indiquée par la caractéristique S soit zéro; on aura une équation aux différences partielles, si, par exemple, on fait, comme cidessus, T égal à la variable t, plus à. la variable i\ moins deux; on a zéro égal à la fonction primitive dont on diminue de l'unité l'indice x, plus la même fonction dont on diminue de l'unilé l'indice x', moins deux fois la fonction primitive. La fonction génératrice V de cette fonction primitive, ou de l'intégrale de cette équation, doit donc être telle que son produit par T ne renferme point les produits de7 par t' ; mais V peut renfermer séparément les puissances de t et celles de wt c'est-à-dire une fonction arbitraire de t et une fonction arbitraire de t' ; V est donc une fraction, dont le numérateur est la somme de ces deux fonctions

arbitraires, et dont T est le dénominateur. Le coefficient du produit de la puissance x de t, par la puissance x' de l\ dans le développement de cette fraction, sera donc l'intégrale de l'équation précédente aux différences partielles. Cette méthode d'intégrer ce genre d'équations me paraît être la plus simple et la plus facile, par l'emploi des divers procédés analytiques pour le développement des fractions rationnelles.

De plus amples détails sur cette matière seraient difficilement entendus sans le secours du calcul.

En considérant les équations aux différences partielles infiniment petites comme des équations aux différences partielles finies, dans lesquelles rien n'est négligé, on peut éclaircir les points obscurs de leur calcul, qui ont été le sujet de grandes discussions parmi les géomètres. C'est ainsi que j'ai démontré la possibilité d'introduire des fonctions discontinues dans leurs intégrales, pourvu que la discontinuité n'ait lieu que pour les différentielles de l'ordre de ces équations, ou d'un ordre supérieur. Les résultats transcendants du calcul sont, comme toutes les abstractions de l'entendement, des signes généraux dont on ne peut connaître la véritable étendue qu'en remontant par l'analyse métaphysique aux idées élémentaires qui y ont conduit : ce qui présente souvent de grandes difficultés, car l'esprit humain en éprouve moins encore à se porter en avant, qu'à se replier sur lui-même.

La comparaison des différences infiniment petites avec les différences finies peut semblablement répandre un grand jour sur la métaphysique du calcul infinitésimal.

On prouve facilement que la différence finie 7iiome

d'une fonction, dans laquelle l'accroissement de la variable est E, étant divisée par la puissance n de E, le quotient réduit en série par rapport aux puissances de l'accroissement E est formé d'un premier terme indépendant de E. A mesure que E diminue, la série approche de plus en plus de ce premier terme, dont elle peut ainsi ne différer que de quantités moindres que toute grandeur assignable. Ce terme est donc la limite de la série, et il exprime dans le calcul différentiel la différence infiniment petite ;iieme de la fonction, divisée par la puissance n de l'accroissement infiniment petit.

En considérant sous ce point de vue les différences infiniment petites, on voit que les diverses opérations du calcul différentiel reviennent à comparer séparément, dans le développement d'expressions identiques, les termes finis ou indépendants des accroissements des variables que Ton regarde comme infiniment petits : ce qui est rigoureusement exact, ces accroissements étant indéterminés. Ainsi le calcul différentiel a toute l'exactitude des autres opérations algébriques.

La même exactitude a lieu dans les applications du calcul différentiel à la Géométrie et à la Mécanique. Si l'on conçoit une courbe coupée par une sécante dans deux points voisins, en nommant E l'intervalle des ordonnées de ces deux points, E sera l'accroissement de l'abscisse depuis la première jusqu'à la seconde ordonnée. Il est facile de voir que l'accroissement correspondant de l'ordonnée sera le produit de E par la première ordonnée divisée par sa sous-sécante; en augmentant donc dans l'équation de la courbe la première ordonnée de cet accroissement, onaural'équa-

tion relative à la seconde ordonnée; la différence de ces deux équations sera une troisième équation qui, développée par rapport aux puissances de E et divisée par E, aura son premier terme indépendant de E, et qui sera la limite de ce développement. Ce terme égalé à zéro donnera donc la limite des sous-sécantes, limite qui est évidemment la sous-tangente.

Cette manière singulièrement heureuse d'obtenir les sous-tangentes est due à Fermât qui Ta étendue aux courbes transcendantes. Ce grand géomètre exprime par la caractéristique E l'accroissement de l'abscisse; et en ne considérant que la première puissance de cet accroissement, il détermine exactement, comme on le fait par le Calcul différentiel, les sous-tangentes des courbes, leurs points d'inflexion, les maxima et minima de leurs ordonnées, et généralement ceux des fonctions rationnelles. On voit même, par sa belle solution du problème de la réfraction de la lumière, insérée dans le Recueil des Lettres de Descartes, qu'il savait étendre sa méthode aux fonctions irrationnelles, en se débarrassant des irrationnalités par l'élévation des radicaux aux puissances. On doit donc regarder Fermât comme le véritable inventeur du Calcul différentiel. Newton a depuis rendu ce Calcul plus analytique dans sa méthode des Fluxions, et il en a simplifié et généralisé les procédés par son beau théorème du binôme. Enfin, presqu'en même temps, Leibniz a enrichi le Calcul différentiel d'une notation qui, en indiquant le passage du fini à l'infiniment petite réunit à l'avantage d'exprimer les résultats généraux de ce calcul, celui de donner les premières valeurs approchées des différences et des sommes des quantités, notation qui s'est

adaptée d'elle-même au calcul des différentielles partielles.

On est souvent conduit à des expressions qui contiennent tant de termes et de facteurs, que les substitutions numériques y sont impraticables. C'est ce qui a lieu dans les questions de probabilité, lorsque Ton considère un grand nombre d'événements. Cependant, il importe alors d'avoir la valeur numérique des formules, pour connaître avec quelle probabilité les résultats, que les événements développent en se multipliant, sont indiqués. 11 importe surtout d'avoir la loi suivant laquelle cette probabilité approche sans cesse de la certitude qu'elle finirait par atteindre, si le nombre des événements devenait infini. Pour y parvenir, je considérerai que les intégrales définies de différentielles multipliées par des facteurs élevés à de grandes puissances, donnaient par l'intégration des formules composées d'un grand nombre de termes et de facteurs. Cette remarque me fît naître l'idée de transformer dans de semblables intégrales les expressions compliquées de l'analyse, et les intégrales des équations aux différences. J'ai rempli cet objet, par une méthode qui donne à la fois la fonction comprise sous le signe intégral, et les limites de l'intégration. Elle offre cela de remarquable, savoir que cette fonction est la fonction môme génératrice des expressions et des équations proposées, ce qui rattache cette méthode à la théorie des fonctions génératrices dont elle est ainsi le complément. Il ne s'agissait plus ensuite que de réduire l'intégrale définie , en série convergente. C'est ce que j'ai obtenu par un procédé qui fait converger la série avec d'autant plus de rapidité que la formule qu'elle repré-

sente est plus compliquée, en sorte qu'il est d'autant plus exact qu'il devient plus nécessaire. Le plus souvent, la série a pour facteur la racine carrée du rapport de la circonférence au diamètre, quelquefois elle dépend d'autres transcendantes dont le nombre est infini.

Une remarque importante qui tient à la grande généralité de l'Analyse, et qui permet d'étendre celte méthode aux formules et aux équations à différences, que la théorie des probabilités présente le plus fréquemment, est que les séries-auxquelles on parvient, en supposant réelles et positives les limites des intégrales définies, ont également lieu dans le cas où l'équation qui détermine ces limites n'a que des racines négatives ou imaginaires. Ces passages du positif au négatif et du réel à l'imaginaire, dont j'ai le premier fait usage, m'ont conduit encore aux valeurs de plusieurs intégrales définies singulières, que j'ai ensuite démontrées directement. On peut donc considérer ces passages comme un moyen de découverte, pareil à l'induction et à l'analogie employées depuis longtemps par les géomètres, d'abord avec une extrême réserve, ensuite avec une entière confiance, un grand nombre d'exemples en ayant justifié l'emploi. Cependant il est toujours nécessaire de confirmer par des démonstrations directes les résultats obtenus par ces divers moyens.

J'ai nommé Calcul des fonctions génératrices l'ensemble des méthodes précédentes : ce calcul sert de fondement à l'ouvrage que j'ai publié sous ce titre, Théorie analytique des Prohabilités. 11 se rattache à l'idée simple d'indiquer les multiplications répétées

d'une quantité par elle-même, ou ses puissances entières et positives, en écrivant vers le haut de la lettre qui l'exprime les nombres qui marquent les degrés de ces puissances. Cette notation employée par Descartes dans sa Géométrie, et généralement adoptée depuis la publication de cet important ouvrage, est peu de chose, surtout quand on la compare à la théorie des courbes et des fonctions variables, par laquelle ce grand Géomètre a posé les fondements des calculs modernes. Mais la langue de l'Analyse, la plus parfaite de toutes, étant par elle-même un puissant instrument de découvertes, ses notations, lorsqu'elles sont nécessaires et heureusement imaginées, sont autant de germes de nouveaux calculs. C'est ce que cet exemple rend sensible.

Wallis qui, dans son ouvrage intitulé Arilhmetica infinitorum, l'un de ceux qui ont le plus contribué aux progrès de l'Analyse, s'est attaché spécialement à suivre le fil de l'induction et de l'analogie, considéra que si l'on divise l'exposant d'une lettre, par deux, trois, etc., le quotient sera suivant la notation cartésienne, et lorsque la division est possible, l'exposant de la racine carrée, cubique, etc., delà quantité que représente la lettre élevée à l'exposant dividende. En étendant par analogie ce résultat au cas où la division n'est pas possible, il considéra une quantité élevée à un exposant fractionnaire comme la racine du degré indiqué par le dénominateur de cette fraction, de la quantité élevée à la puissance indiquée par le numérateur. Il observa ensuite que, suivant la notation cartésienne, la multiplication de deux puissances d'une même lettre revient à ajouter leurs exposants, et que leur division revient à soustraire l'exposant de la puissance divi-

seur de celui de la puissance dividende, lorsque le second de ces exposants surpasse le premier. Wallis étendit ce résultat au cas où le premier exposant égale ou surpasse le second, ce qui rend la différence nulle ou négative. Il supposa donc qu'un exposant négatif indique l'unité divisée par la quantité élevée au même exposant pris positivement. Ces remarques le conduisirent à intégrer généralement les différentielles monômes, d'où il conclut les intégrales définies d'un genre particulier de différentielles binômes dont l'exposant est un nombre entier positif. En observant ensuite la loi des nombres qui expriment ces intégrales, une série d'interpolations et d'inductions heureuses où l'on aperçoit le germe du calcul des intégrales définies, qui a tant exercé les géomètres, et l'une des bases de ma nouvelle Théorie des Probabilités, lui donna le rapport de la surface du cercle au carré de son diamètre, exprimé par un produit infini qui^ lorsqu'on l'arrête, resserre ce rapport dans des limites de plus en plus rapprochées : résultat l'un des plus singuliers de l'Analyse. Mais il est remarquable que Wallis, qui avait si bien considéré les exposants fractionnaires des puissances radicales, ait continué de noter ces puissances comme on l'avait fait avant lui. Newton, si je ne me trompe, employa, le premier, dans ses Lettres à Oldenbourg, la notation de ces puissances par des exposants fractionnaires. En comparant par la voie de l'induction, dont Wallis avait fait un si bel usage, les exposants des puissances du binôme avec les coefficients des termes de son développement, dans le cas où cet exposant est entier et positif, il détermina la loi de ces coefficients et il l'étendit par analogie aux puissances fractionnaires

et négatives. Ces divers résultats, fondés sur la notation de Descartes, montrent son influence sur les progrès de l'Analyse. Elle a encore l'avantage de donner l'idée la plus simple et la plus juste des logarithmes qui ne sont en effet que les exposants d'une grandeur dont les puissances successives, en croissant par degrés infiniment petits, peuvent représenter tous les nombres.

Mais l'extension la plus importante que cette notation ait reçue, est celle des exposants variables, ce qui constitue le calcul exponentiel, l'une des branches les plus fécondes de l'Analyse moderne. Leibniz a indiqué, le premier, les transcendantes à exposants variables, et par-là il a complété le système des éléments dont une fonction finie peut être composée; car toute fonction finie explicite d'une variable se réduit en dernière analyse à des grandeurs simples, combinées par voie d'addition, de soustraction, de multiplication et de division, et élevées à des puissances constantes ou variables. Les racines des équations formées de ces éléments sont des fonctions implicites de la variable. C'est ainsi qu'une variable ayant pour logarithme l'exposant de la puissance qui lui est égale dans la série des puissances du nombre dont le logarithme hyperbolique est l'unité, le logarithme d'une variable en est une fonction implicite.

Leibniz imagina de donner à sa caractéristique différentielle les mômes exposants qu'aux grandeurs; mais alors, ces exposants, au lieu d'indiquer les multiplications répétées d'une même grandeur, indiquent les différentiations répétées d'une même fonction. Cette extension nouvelle de la notation cartésienne conduisit Leibniz à l'analogie des puissances positives avec les

différentielles, et des puissances négatives avec les intégrales. Lagrange a suivi cette analogie singulière clans tous ses développements; et par une suite d'inductions, qui peut être regardée comme une des plus belles applications que l'on ait faites de la méthode d'induction, il est parvenu à des formules générales, aussi curieuses qu'utiles, sur les transformations des différences et des intégrales les unes dans les autres, lorsque les variables ont des accroissements finis divers, et lorsque ces accroissements sont infiniment petits. Mais il n'en a point donné les démonstrations qu'il jugeait difficiles. La théorie des fonctions génératrices étend à des caractéristiques quelconques la notation cartésienne; elle montre avec évidence l'analogie des puissances et des opérations indiquées par ces caractéristiques, en sorte qu'elle peut encore être envisagée comme le calcul exponentiel des caractéristiques. Tout ce qui concerne les séries et l'intégration des équations aux différences, en découle avec une extrême facilité.

Applications du calcul des probabilités.

Des jeux.

Les combinaisons que les jeux présentent ont été l'objet des premières recherches sur les probabilités. Dans l'infinie variété de ces combinaisons, plusieurs d'entre elles se prêtent avec facilité au calcul, d'autres exigent des calculs plus difficiles; et les difficultés croissant à mesure que les combinaisons deviennent plus compliquées, le désir de les surmonter et la curiosité

ont excité les géomètres à perfectionner de plus en plus ce genre d'analyse. On a vu précédemment que Ton pouvait facilement déterminer par la théorie des combinaisons les bénéfices d'une loterie. Mais il est plus difficile de savoir en combien de tirages on peut parier un contre un, par exemple, que tous les numéros seront sortis, n étant le nombre des numéros, r celui des numéros sortants à chaque tirage, et i le nombre inconnu de tirages, l'expression de la probabilité de la sortie de tous les numéros dépend de la différence finie 7iieme de la puissance i d'un produit de /* nombres consécutifs. Lorsque le nombre n est considérable^ la recherche de la valeur de ï, qui rend cette probabilité égale à -|, devient impossible, à moins qu'on ne convertisse cette différence dans une série très convergente. C'est ce que l'on fait heureusement par la méthode cidessus indiquée pour les approximations des fonctions de très grands nombres. On trouve ainsi que la loterie étant composée de dix mille numéros dont un seul sort à chaque tirage, il y a du désavantage h parier un contre un que tous les numéros sortiront dans 95767 tirages, et de l'avantage à faire le môme pari pour 95768 tirages. A la loterie de France, ce pari est désavantageux pour 85 tirages, et avantageux pour 86 tirages. Considérons encore deux joueurs A et B jouant ensemble à croix ou pile, de manière qu'à chaque coup, si croix arrive, A donne un jeton à B qui lui en donne un, si pile arrive : le nombre des jetons de B est limité; celui des jetons de A est illimité; et la partie ne doit finir que lorsque B n'aura plus de jetons. On demande en combien de coups on peut parier, un contre un, que la partie sera terminée. L'expression de la proba-

bilité que la partie sera terminée dans un nombre i de coups, est donnée par une suite qui renferme un grand nombre de termes et de facteurs, si le nombre des jetons de B est considérable ; la recherche delà valeur de 1 inconnue i, qui rend cette suite égale à ^, serait donc alors impossible, si l'on ne parvenait pas à réduire la suite dans une série très convergente. En lui appliquant la méthode dont on vient de parler, on trouve une expression fort simple de l'inconnue, de laquelle il résulte que si, par exemple, B a cent jetons, il y a un peu moins d'un contre un k parier que la partie sera finie en 23780 coups, et un peu plus d'un contre un à parier qu'elle sera finie dans 23781 coups.

Ces deux exemples, joints à ceux que nous avons déjà donnés, suffisent pour faire voir comment les problèmes sur les jeux ont pu contribuer à la perfection de l'Analyse.

Des inégalités inconnues qui peuvent exister entre les chances que l'on suppose égales.

Les inégalités de ce genre ont sur les résultats du calcul des probabilités une influence sensible qui mérite une attention particulière. Considérons le jeu de croix ou pile, et supposons qu'il soit également facile d'amener Tune ou l'autre face de la pièce. Alors la probabilité d'amener croix au premier coup est ^, e^ celle de l'amener deux fois de suite est \. Mais s'il existe dans la pièce une inégalité qui fasse paraître une des faces plutôt que l'autre, sans que l'on connaisse quelle est la face favorisée par cette inégalité,

la probabilité d'amener croix au premier coup sera toujours ^, parce que dans l'ignorance où Ton est de la face que cette inégalité favorise, autant la probabilité de l'événement simple est augmentée, si cette inégalité lui est favorable, autant elle est diminuée, si l'inégalité lui est contraire. Mais dans cette ignorance même, la probabilité d'amener croix deux fois de suite est augmentée. En effet, cette probabilité est celle d'amener croix au premier coup, multipliée par la probabilité que, l'ayant amené au premier coup, on l'amènera au second ; or son arrivée au premier coup est un motif de croire que l'inégalité de la pièce le favorise; l'inégalité inconnue augmente donc alors la probabilité d'amener croix au second coup, elle accroît par conséquent le produit des deux probabilités. Pour soumettre cet objet au calcul, supposons que cette inégalité augmente d'un vingtième la probabilité de l'événement simple qu'elle favorise. Si cet événement est croix, sa probabilité sera 4 plus ^ ou ^, et la probabilité de l'amener deux fois de suite sera le carré de ^ ou ^- Si l'événement favorisé est pile, la probabilité de croix sera \ moins ^ ou ^, et la probabilité de l'amener deux fois de suite sera J^. Gomme on n'a d'avance aucune raison de croire que l'inégalité favorise l'un de ces événements plutôt que l'autre, il est clair que, pour avoir la probabilité de l'événement composé croix croix, il faut ajouter les deux probabilités précédentes et prendre la moitié de leur somme; ce qui donne ^ pour cette probabilité qui surpasse \ de — ou du carré de l'accroissement^ que l'inégalité ajoute à la possibilité de l'événement qu'elle favorise. La probabilité d'amener pile pile est pareillement JÎJJ; mais les probabilités d'à-

mener croix pile, ou pile croix, ne sont chacune que H, car la somme de ces quatre probabilités doit égaler la certitude ou l'unité. On trouve ainsi généralement que les causes constantes et inconnues qui favorisent les événements simples que l'on juge également possibles, accroissent toujours la probabilité de la répétition d'un même événement simple.

Dans un nombre pair de coups, croix et pile doivent arriver tous deux, ou un nombre pair ou un nombre impair de fois. La probabilité de chacun de ces cas est ~, si les possibilités des. deux faces sont égales; mais s'il existe entre elles une inégalité inconnue, cette inégalité est toujours favorable au premier cas.

Deux joueurs, dont on suppose les adresses égales, jouent avec les conditions qu'à chaque coup celui qui perd donne un 'jeton à son adversaire, et que la partie dure, jusqu'à ce que l'un des joueurs n'ait plus de jetons. Le calcul des probabilités nous montre que pour l'égalité du jeu les mises des joueurs doivent être en raison inverse de leurs jetons. Mais s'il existe entre leurs adresses une petite inégalité inconnue, elle favorise celui des joueurs qui a le plus petit nombre de jetons. Sa probabilité de gagner la partie augmente, si les joueurs conviennent de doubler, de tripler leurs jetons et elle serait -}2 ou la même que la probabilité de l'autre joueur, dans le cas où les nombres de leurs jetons deviendraient infinis, en conservant toujours le même rapport.

On peut corriger l'influence de ces inégalités inconnues, en les soumettant elles-mêmes aux chances du hasard. Ainsi au jeu de croix ou pile, si Ton a une seconde pièce que l'on projette chaque fois avec la pre-

mière, et que l'on convienne de nommer constamment croix la face amenée par cette seconde pièce, la probabilité d'amener croix deux fois de suite avec la première pièce, approchera beaucoup plus d'un quart, que dans le cas d'une seule pièce. Dans ce dernier cas, la différence est le carré du petit accroissement de possibilité que l'inégalité inconnue donne à la face de la première pièce qu'elle favorise, dans l'autre cas, cette différence est le quadruple produit de ce carré, par le carré correspondant relatif à la seconde pièce.

Que Ton jette dans une urne cent numéros depuis un jusqu'à cent, clans l'ordre de la numération, et qu'après avoir agité l'urne pour mêler ces numéros, on en tire un ; il est clair que si le mélange a été bien fait, les probabilités de sortie des numéros seront les mômes. Mais si Ton craint qu'il n'y ait entre elles de petites différences dépendantes de l'ordre suivant lequel les numéros ont été jetés dans l'urne, on diminuera considérablement ces différences, en jetant dans une seconde urne ces numéros suivant leur ordre de sortie de la première urne, et en agitant ensuite cette seconde urne pour mêler ces numéros. Une troisième urne, une quatrième, etc., diminueraient de plus en plus ces différences déjà insensibles dans la seconde urne.

Des Lois de la Probabilité qui résultent de la multiplication indéfinie des événements.

Au milieu des causes variables et inconnues que nous comprenons sous le nom de hasard, et qui rendent

incertaine et irrégulière la marche des événements, on voit naître à mesure qu'ils se multiplient une régularité frappante qui semble tenir à un dessein, et que l'on a considérée comme une preuve de la providence. Mais en y réfléchissant, on reconnaît bientôt que cette régularité n'est que le développement des possibilités respectives des événements simples qui doivent se présenter plus souvent, lorsqu'ils sont plus probables. Concevons, par exemple, une urne qui renferme des boules blanches et des boules noires, et supposons qu'à chaque fois que l'on en tire. une boule, on la remette dans l'urne pour procéder à un nouveau tirage. Le rapport du nombre des boules blanches extraites, au nombre des boules noires extraites, sera le plus souvent très irrégulier dans les premiers tirages; mais les causes variables de cette irrégularité produisent des effets alternativement favorables et contraires à la marche régulière des événements et qui, se détruisant mutuellement dans l'ensemble d'un grand nombre de tirages, laissent de plus en plus apercevoir le rapport des boules blanches aux boules noires contenues dans l'urne, ou les possibilités respectives d'en extraire une boule blanche ou une boule noire à chaque tirage. De là résulte le théorème suivant.

La probabilité que le rapport du nombre des boules blanches extraites au nombre total des boules sorties ne s'écarte pas, au-delà d'un intervalle donné, du rapport du nombre des boules blanches au nombre total des boules contenues dans l'urne, approche indéfiniment de la certitude par la multiplication indéfinie des événements, quelque petit que Ton suppose cet intervalle.

Ce théorème indiqué par le bons sens était difficile à démontrer par l'Analyse. Aussi l'illustre géomètre Jacques Bernoulli, qui s'en est occupé le premier, attachait-il une grande importance à la démonstration qu'il en a donnée. Le calcul des fonctions génératrices appliqué à cet objet, non-seulement démontre avec facilité ce théorème, mais de plus il donne la probabilité que le rapport des événements observés ne s'écarte que dans certaines limites du vrai rapport de leurs possibilités respectives.

On peut tirer du théorème précédent cette conséquence qui doit être regardée comme une loi générale, savoir, que lés rapports des effets de la nature sont à fort peu près constants, quand ces effets sont considérés en grand nombre. Ainsi, malgré la variété des années, la somme des productions pendant un nombre d'années considérable est sensiblement la môme ; en sorte que l'homme, par une utile prévoyance, peut se mettre à l'abri de l'irrégularité des saisons, en répandant également sur tous les temps les biens que la nature distribue d'une manière inégale. Je n'excepte pas de la loi précédente les effets dus aux causes morales. Le rapport des naissances annuelles à la population et celui des mariages aux naissances n'éprouvent que de très petites variations: à Paris, le nombre des naissances annuelles est à peu près le même ; et j'ai ouï dire qu'à la poste, dans les temps ordinaires, le nombre des lettres mises au rebut par les défauts des adresses change peu chaque année, ce qui a été pareillement observé à Londres.

Il suit encore de ce théorème que dans une série d'événements, indéfiniment prolongée, l'action des

causes régulières et constantes doit remporter à la longue sur celle des causes irrégulières. C'est ce qui rend les gains des loteries aussi certains que les produits de l'agriculture ; les chances qu'elles se réservent leur assurant un bénéfice dans l'ensemble d'un grand nombre de mises. Ainsi des chances favorables et nombreuses étant constamment attachées à 'observation des principes éternels de raison, de justice et d'humanité, qui fondent et maintiennent les sociétés, il y a grand avantage à se conformer à ces principes, et de graves inconvénients h s'en écarter. Que l'on consulte les histoires et sa propre expérience, on y verra tous les faits venir à l'appui de ce résultat du calcul. Considérez les heureux effets des institutions fondées sur la raison et sur les droits naturels de l'homme chez les peuples qui ont su les établir et les conserver. Considérez encore les avantages que la bonne foi a procurés aux gouvernements qui en ont fait la base de leur conduite, et comme ils ont été dédommagés des sacrifices qu'une scrupuleuse exactitude à tenir ses engagements leur a coûté. Quel immense crédit au dedans ! quelle prépondérance au dehors ! Voyez au contraire dans quel abîme de malheurs les peuples ont été souvent précipités par l'ambition et par la perfidie de leurs chefs. Toutes les fois qu'une grande puissance, enivrée de l'amour des conquêtes, aspire à la domination universelle, le sentiment de l'indépendance produit entre les nations menacées une coalition dont elle devient presque toujours la victime. Pareillement, au milieu des causes variables qui étendent ou qui resserrent les divers états, les limit< 1 naturelles, en agissant comme causes constantes, doi-

vent finir par prévaloir. Il importe donc à la stabilité comme au bonheur des empires de ne pas les étendre au-delà de ces limites dans lesquelles ils sont ramenés sans cesse par Faction de ces causes, ainsi que les eaux des mers, soulevées par de violentes tempêtes, retombent dans leurs bassins par la pesanteur. C'est encore un résultat du calcul des probabilités, confirmé par de nombreuses et funestes expériences. L'histoire, traitée sous le point de vue de l'influence des causes constantes, unirait à l'intérêt de la curiosité celui d'offrir aux hommes les plus utiles leçons. Quelquefois on attribue les effets inévitables de ces causes à des circonstances accidentelles qui n'ont fait que développer leur action. Il est, par exemple, contre la nature des choses qu'un peuple soit à jamais gouverné par un autre qu'une vaste mer ou une grande distance en sépare. On peut affirmer qu'à la longue cette cause constante se joignant sans cesse aux causes variables qui agissent dans le même sens, et que la suite des temps développe, finira par en trouver d'assez fortes pour rendre au peuple soumis son indépendance naturelle, ou pour le réunir à un état puissant qui lui soit contigu.

Dans un grand nombre de cas, et ce sont les plus importants de l'Analyse des hasards, les possibilités des événements simples sont inconnues, et nous sommes réduits à chercher dans les événements passés des indices qui puissent nous guider dans nos conjectures sur les causes dont ils dépendent. En appliquant l'Analyse des fonctions génératrices au principe exposé cidevant sur la probabilité des causes, tirée des événements observés, on est conduit au théorème suivant.

Lorsqu'un événement simple ou composé de plusieurs événements simples, tel qu'une partie de jeu, a été répété un grand nombre de fois, les possibilités des événements simples, qui rendent ce que Ton a observé le plus probable, sont celles que l'observation indique avec le plus de vraisemblance : à mesure que l'événement observé se répète, cette vraisemblance augmente et finirait par se confondre avec la certitude, si le nombre des répétitions devenait infini.

Il y a ici deux sortes d'approximations : l'une d'elles est relative aux limites prises, de part et d'autre, des possibilités qui donnent au passé le plus de vraisemblance : l'autre approximation se rapporte à la probabilité que ces possibilités tombent clans ces limites. La répétition de l'événement composé accroît de plus en plus cette probabilité, les limites restant les mêmes : elle resserre de plus en plus l'intervalle de ces limites, la probabilité restant la même : dans l'infini, cet intervalle devient nul, et la probabilité se change en certitude.

Si Ton applique ce théorème au rapport des naissances des garçons à celles des filles, observé dans les diverses contrées de l'Europe, on trouve que ce rapport, partout à peu près égal à celui de 22 à 21, indique avec une extrême probabilité une plus grande facilité dans les naissances des garçons. En considérant ensuite qu'il est le même à Naples et à Pétersbourg, on verra qu'à cet égard l'influence du climat est insensible. On pouvait donc soupçonner, contre l'opinion commune, que cette supériorité des naissances masculines subsiste dans l'Orient même. J'avais en conséquence invité les savants français

envoyés en Egypte à s'occuper de celte question intéressante; mais la difficulté d'obtenir des renseignements précis sur les naissances ne leur a pas permis de la résoudre. Heureusement, M. de Humboldt n'a point négligé cet objet dans l'immensité des choses nouvelles qu'il a observées et recueillies en Amérique avec tant de sagacité, de constance et de courage. Il a retrouvé entre les tropiques le même rapport des naissances des garçons à celles des filles, que Ton observe à Paris, ce qui doit faire regarder la supériorité des naissances masculines comme une loi générale de l'espèce humaine. Les lois que suivent à cet égard les diverses espèces d'animaux, me paraissent dignes de l'attention des naturalistes.

Le rapport des naissances des garçons à celles des filles différant très peu de l'unité, des nombres même assez grands de naissances, observées dans un lieu, pourraient offrir à cet égard un résultat contraire à la loi générale, sans que Ton fût en droit d'en conclure que cette loi n'y existe pas. Pour tirer cette conséquence, il faut employer de très grands nombres, et s'assurer qu'elle est indiquée avec une grande probabilité. Buffon cite, par exemple, dans son Arithmétique politique, plusieurs communes de Bourgogne, où les naissances des filles ont surpassé celles des garçons. Parmi ces communes, celle de Carcelle-le-Grignon présente sur 2009 naissances pendant cinq années, 1026 filles et 983 garçons. Quoique ces nombres soient considérables, cependant ils n'indiquent une plus grande possibilité dans les naissances des filles qu'avec la probabilité^; et cette probabilité plus petite que celle de ne pas amener croix quatre fois de suite, au jeu de croix ou pile,

n'est pas suffisante pour rechercher la cause de cette anomalie qui, selon toute vraisemblance, disparaîtrait, si l'on suivait pendant un siècle les naissances dans cette commune.

Les registres des naissances, que Ton tient avec soin pour assurer l'état des citoyens, peuvent servir à déterminer la population d'un grand empire, sans recourir au dénombrement de ses habitants, opération pénible et difficile à faire avec exactitude. Mais il faut pour cela connaître le rapport de la population aux naissances annuelles. 'Le moyen d'y parvenir le plus précis consiste : 1° à choisir dans l'empire les départements distribués d'une manière à peu près égale sur toute sa surface, afin de rendre le résultat général indépendant des circonstances locales ; 2° à dénombrer avec soin, pour une époque donnée, les habitants de plusieurs communes dans chacun de ces départements; 3° à déterminer par le relevé des naissances durant plusieurs années, qui précèdent et suivent cette époque, le nombre moyen correspondant des naissances annuelles. Ce nombre, divisé par celui des habitants, donnera le rapport des naissances annuelles à la population d'une manière d'autant plus sûre, que le dénombrement sera plus considérable. Le gouvernement, convaincu de l'utilité d'un semblable dénombrement, a bien voulu en ordonner l'exécution à ma prière. Dans trente départements répandus également sur toute la France, on a fait choix des communes qui pouvaient fournir les renseignements les plus précis. Leurs dénombrements ont donné 2.037.615 individus pour la somme totale de leurs habitants au 23 septembre 1802. Le relevé des naissances dans ces

communes pendant les années 1800,, 1801 et 1802, a donné