SECTION III

hé

Des formes des barres qui offrent la plus grande résistance.

20 . J’ai dit dans l’introduction qu’une des propriétés les plus précieuses de la fonte consistait dans la facilité qu’on a de lui donner, en la coulant , la forme la plus forte pour le but que l’on se propose -, et afin de tirer de cette propriété le parti le plus avantageux , il est utile que nous examinions les moyens d’appliquer à la pratique les connaissances théoriques que nous avons sur ce sujet.

11 existe deux moyens d’augmenter la force d’une barre : le premier consiste à disposer , dans la forme la plus avantageuse , les parties de la section transversale ; le second à diminuer la barre vers les parties où elle est exposée à une moindre pression , de manière que la résistance puisse être égale dans tous les poiuts de la longueur.

FIGURES

Des formes d'égale résistance des barres qui doivent résister à une pression transversale.

21. Avant d’indiquer les formes d’égale résistance, qui répondent aux diverses manières de placer la change, ou d’appliquer la pression, voyons quelles sont les conditions essentielles considérées relativement ,à la 'pratique. Premièrement, les parties soutenues doivent avoir assez de grandeur pour garantir leur stabilité j car il est beaucoup plus important que tous les assemblages soient bien solides , et que les purties chargées ne soient pas exposées à être écrasées-, qu’ilue l’est de faire une petite économie sur la quantité de la matière qu’on emploie. Quand les mathématiciens s’occupent des figures d’égale résistance, ils ne -prennent pas en considération la manière de les assembler ou de les soutenir. Girard a fait voir que quelle que soit la lignequi engendre un solide d’égale résistance , ce solide se termine toujours en un simple. point , ou dans une arête qui est ou perpendiculaire ou parallèle à la direction de la force de pression (i). Par conséquent les formes doouées par ce mode

(i) Traité analytique de la résistance de* solides > art. 129. '

d’égale résistance. 5g

de pression ne conviennent dans la pratique qù’auJtant qu’on sait les modifier.

ai*. 11 est facile de démontrer que, dans une section rectangulaire , quand un poids est porté par une barre , l’aire de la section au point de la plus grande résistance, doit être à Paire de la section au point de la plus petite résistance , comme six fois la longueur est à l’épaisseur au point de la plus grande résistance ( 1 ) , et c’est la moindre proportion que l’on doive suivre. Maintenant quand la longueur et l’épaisseur son légales, l’aire du point de moindre résistance doit être la sixième partie de l’aire du point de plus grande résistance , au lieu de u’être simplement qu’un point ou une arête.

aa. Quand une barre est soutenue à ses extrémités, et qu’elle est chargée sur un point quelconque entre les appuis, la charge agissant toujours

(i) Car on verra (art. 79), que^-p— =*>. Maisla force

de résistance étant simplement proportionnelle à la surface , nous aurons fb'it = v au point le plus faible. bd‘

Donc — b'd! ou bl \ d \\ bd \ b' et. I exprimant la

longueur, bd l’aire du point de plus grande résistance , et b'd l’aire «lu point de plus petite résistance.

FIGURES

dans ia même direction , le meilleur plan paraît etre de tenir le côté étendu parfaitement droit, et de faire que la largeur soit partout la même ; alors la forme géométrique du côté comprimé est celle qu’on a en tirant deux lignes semi-para bo* liqiies ACD et BCD , Jig. 3 , C étant le point où la force agit ( i ) j mais comriïe la coui'be se termine en A , il est nécessaire , dans la-prati^ue , d’ajouter quelques portions de matière aux ex-' trémités , comme on le voit indiqué pâr des lignes ponctuées. La meme formé contient à une barre dont le point d’appuLaat au jrçfHieu , comme aux bras d’une balancée \ P y, 4 a3. Cependant des agitions irrégulières de cette espèce rendent l’effet de là forée qui agit difficile à évaluer 1 2 *? qü’il vaut mieux’

renfermer la forme parabolique tout simplement entre des lignes droites , ce qui peut aisément s’exécuter , ainsi que l’a proposé - lè docte uï» Young ( 2 ) , en faisant les lignes, qui bornent le côté comprimé tangentes aux' paraboles, comme dans h Jig. 4 . Si AE, dans cette figure, e^t égal à la moitié de CD , alors EG est tangente au

(1) Greg. médian les , i , art. 180. Galilée Partit déjà démontré-

(2) Nat. pbil. , vol. 1, pag. 767.

d’égale résistance. 6i

point G d’une parabole inscrite AC , dont le sommet est en A.

En donnant cette forirle à une barre , on économise un quart de la matière ; mais elle prendra

une inflexion plus grande d’un peu plus d’un tiers , de sorte qu’il y aura une perte quant à la force de résistance de la barre.

24. Si la force agit tantôt sur un côté, tantôt sur l’autre côté d’une barre , les deux côtés doivent être semblables, comme dans la fig. 5 . C’est ainsi que cela a lieu pour le balancier d’une machine à vapeur à double effet. AB et BF doivent être égaux entre eux , chacun étant égal à la moitié de CD , comme on l’a dit.

a 5 . Il est quelquefois convenable de conserver partout la même épaisseur ; et , dans ce cas , la section faite dans toute l’étendue de la longueur de la barre , perpendiculairement à la direction de la force, doit avoir la figure d’un trapéfce ; on l’a représentée dans la Jîg. 6 (1). La force agit perpendiculairement en C , les points d’appui sont en A et B. Une figure de cette espèce serait évidemment sans stabilité; mais , modifiée comme dans la figure 7 , les extrémités formées comme

CO Gregory’s niechanics , 1, art. 1 77.

FIGURES

on le volt en B, on peut obtenir toute la stabilité que l’on voudra , et en employant moins de matière que lorsque l’épaisseur est diminuée , comme dans la forme parabolique. Les flèches sont aussi moins fortes, ce qui donne à cette forme uu très grand avantage lorsqu’il s’agit de supporter des charges. Cette forme peut également être employée pour un barreau dont le point d’appui est au milieu , et dont les extrémités sont chargées, comme dans une balance.

25 *. Quand une barre va en diminuant régulièrement jusqu’aux points où la pression est la plus petite , de manière que toutes les sections soient des ligures semblables, soit que les extrémités reposent sur des appuis , et que la charge se trouve au milieu, soit que le point d’appui en porte le milieu , et que la charge pèse sur les extrémités , son contour doit être une parabole cubique (i); et si la section, au point de plus grande pression , est un cercle , la (orme de cette barre serait engendrée par la révolution de la parabole cubique autour de son axe , le sommet se trouvant au point de sa moindre pression.

(i) Greg. mecfianics , art. 1 8 1 , ou f.mcrson’s mecliaaics, prop. LXX1I1 , cor. i .

d’égale résistance. G 3

Mais, clans la pratique, il vaut mieux, en général, employer une portion de cône, ou une pyramide , le diamètre du point de plus grande résistance devant être à celui du point de plus petite résistance , comme 3 esta 2 (i).

La même figure convient à une pièce encastrée par une de ses extrémités , l’effort agissant sur l’autre j ainsi elle convient à un mât destiné à porter une seule voile.

26. Si un poids est uniformément distribué sur la longueur d’un barreau dont les extrémités sont soutenues sur des appuis, et si sa largeur est partout la même, la ligne qui termine le côté comprimé doit former une demi-ellipse quand le côté inférieur est droit , comme on le voit dans la Jig. 8 (2).

Je suis dans l’usage de donner au côté comprimé , au lieu de la forme d’une ellipse , celle d’une portion de cercle dont le rayon est égal au carré de la moitié de la longueur , divisé par l’épaisseur du barreau. La ligne ponctuée de la fiÿ. 8 en montre la forme.

La même figure , d’égale force , doit être em-

(i) Un cône ou une pyramide semblable renfermera la figure d’égale résistance, la soutangente étant égale à 3 fois, son abscisse. A

' (aJ-.Young’s natural philosophy , 1 , p, 767.

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ployée cpiand le barreau est destiné à résister à la pression d’une charge qui roule sur lui ; ainsi les poutres d’un pont, les ornières d’un chemin en fer , etc., doivent avoir cette forme.

26”. Quand un barreau doit supporter un poids uniformément distribué sur toute sa longueur, et que son épaisseur est partout la même, le barreau étant appuyé aux deux extrémités , alors le conloiwdela largeur doit former deux paraboles ABC et ADB, réunies par leurs bases, et dout les sommets C et D se trouvent au milieu de la longueur , ainsi qu’on le voit fig. 35 (1). Dans la pratique, les arcs ACB et ADB peuvent être des portions de cercle.

Quand les extrémités sont modifiées, comme dans la Jig. 7 , cette forme est la plus avantageuse pour un barreau destiné à supporter un poids distribué uniformément sur sa longueur , soit solive , linteau , ou toute autre pièce de même nature.

2G 4 . Quand un barreau n’est encastré que par une de ses extrémités, et qu’il doit supporter un poids uniformément distribué sur sa longueur , si la section est partout circulaire , alors la figure

0 ) Emerson’* méchantes , prop.LXXIII, cor. 2.

d’égale résistance. 65

d’égale résistance sera engendrée par la révolution d’une demi-parabole cubique autour de son axe (i).

11 suffira , dans la pratique , d’employer un conoïde dont le diamètre à l’extrémité qui n’a pas de support, soit le tiers de celui de l’extrémité encastrée ( 2 ).

( 1 ) Emerson’s Mechanies , prop. LXX1II, cor 2 .

( 2 ) En effet, l’équation de la courbe est ax ■= y »• Donc | x = la soutangente = 1 ,5 x\ et la longueur du cône qui renfermerait la forme de plus grande résistance est égale à 1 ,5 de fois la longueur du barreau.

FORME DE SECTION

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