RÉSISTANCE
la partie étroite du milieu; alors en suivant la même marche que dans le calcul de l’équation A ,
nous aurons :
85 . Si la partie du milieu de la pièce est entièrement enlevée, à l’exception des traverses qui empêchent les côtés de dessus et de dessous de se réunir, comme dans les fig. il et 12 (Voy. art. 3a), et que d — la grande épaisseur, pd l’épaisseur de la partie enlevée au milieu, et b la largeur, alors
85 *. Jusqu’ici nous n’avons considéré que les formes où l’axe neutre divise la section en figures tout-à-fait semblables; mais il est quelques casimportans (1) où cela n’a pas lieu, comme, par exemple, quand la section est triangulaire.
Prenons le cas d’une coupe triangulaire, avec une portion enlevée au sommet, nous aurons un
(1) Ils sont importans , parce que les anciens auteurs sont tombés à cet égard dans des erreurs graves, et qu’ils ont en conséquence donné aux praticiens des idées fausses- .. .
exemple general et qui comprendra le cas où le triangle serait entier. Soit d l’épaisseur du triangle entier, et md celle de la partie tronquée au sommet; nd l’épaisseur de l’axe neutre MN , depuis le côté a b du haut de la pièce. Alors la distance de l’axe neutre jusqu’à la base sera • (1 — n — m)d. Si les deux côtés de l’axe neutre étaient les mêmes que le côté supérieur , la force serait égale à celle d’un parallélogramme abpq , ajouté à un triangle aop; alors et d’après les équations k et m nous aurons
^(4 mbn 7 d t + b n 3 d 1 ') — ^ (4»* + »)— W.
Mais, pour trouver la place de l’axe neutre, il faut comparer la force du côté inférieur à celle du côté supérieur ; et la force du côté inférieur est égale à celle du parallélogramme rectangle MIN BC moins le triangle qrC
0U Wl f — m — “)’ — ( 1 — >re — re) 3 1 = W.
Et conséquemment ,
n a ( 4/re-j-re) = 4 (* — m — — (1 — m — n ) ;
d’où
5 — un — 3 ire* / /5 — 2 /re — 3 m'S* 3 — 5/re-f-/re'-)-/ra f
.2 (l — m) V \ 3 — ( 1 - rr ) 1 —ni
RESISTANCE
quanti wj=o,i , alors «=0,592 , et 1
Mais , si «j =0 , ou si le triangle est entier, alors «=0,697, “ P eu près, (1) et
o, 33g fb<P ■ o, o565 fbd 1
Si , » sera égal a o,58i66 et
Quand m=o,i , la force est à peu près la pins grande possible , un prisme triangulaire étant d’un trente-septième environ plus fort quand l’angle est enlevé à un dixième environ de l’épaisseur (comme l’indique la partie ombrée de la figure 40- Emerson a le premier énoncé ce paradoxe apparent (3); mais il est facile de prouver que la solution qu’il en donne n’est applicable qu’à un cas imaginaire, celui où l’axe neutre
(1) Duleau a trouve dans ce cas un résultat équivalent à n= 0 , 5 '] , mais n’a fait connaître que le résultat. Essai théorique, etc., p. 77.
(2) Cette règle a déjà été publiée daus le Mag. philos. vol.47, pag.22,
( 3 ) Mechanics, ,sect, VIII ^ p. u/{. , -
est une arête incompressible à la base de la section.
Un prisme triangulaire a la même force , soit que la base ou le sommet de la section se trouve comprimé (i); et, en comparant les équations k et x , il paraît que cette force est à celle d’un prisme rectangulaire circonscrit :: 33 q : iooo,ou à peu près comme i : 3. Mais il ne faut pas oublier que ce rapport n’est applicable qu’aux pressions qui n’altèrent pas l’élasticité des matériaux, et aux cas où l’arête ne souffre pas par la pression qui s’exerce; si la force est augmentée jusqu’au point où la fracture a lieu , le triangle se trouvera encore plus faible que ne l’indique le rapport , si l’on étend l’arête ; il sera un peu plus fort , au ‘contraire , si on la comprime. 11 sera plus faible dans le premier cas , à cause de l’imperfection de la fonte qui présentera une grande surface en comparaison de la quantité de matière, comme cela arrive toutes les fois que les arêtes sont aiguës ; il sera plus fort dans le dernier , parce que ce qu’on mettra pour soutenir les poids diminuera la longueur du levier.
(0 Dhleau a prouve ceci dans ses expériences sur la courbure des barres triangulaires. Essai sur la résistance, etc., p. a&
RESISTANCE
11 peut être utile (le remarquer qu’un triangle contient la moitié en matière, de ce qu’il en entre dans le rectangle circonscrit, mais que sa force * v n’est que le tiers de celle du rectangle; il n’y a donc pas d’économie à employer des coupes triangulaires ; la même remarque s’applique aux sections , qui ont la forme d’un T, et dont on fait un si fréquent usage.
85». Si r on nomme d, l’épaisseur entière d’une section de la forme d’un T (Jîg. /p), b sa plus grande largeur, et (i — q) b sa plus petite largeur; alors, supposant l’épaisseur depuis le bord
étroit AE, jusqu’à l’axe neutre = j d , la force
du barreau sera
D ln % ^
Car — ■ serait l’expression du carré de l’épaisseur entière si les deux côtés de l’axe neutre étaient semblables , et la force serait égale à un rectangle de cette épaisseur, ayant pour largeur (i — q)b.
Mais, suivant l’équation t, la Force de l’autre côté de l’axe est
4 fb d 1 ( i — qp 3 ) (n— l y 6/n 1
A LA PHESSIOS .
Nous avons donc l’équation (« — i)*(i — qp 3 ) == i — q pour déterminer la place de l’axe neutre , ou
Par conséquent
4 fàd*(i—g) w
Cette formule est compliquée , mais elle offre quelques résultats curieux. Si nous faisons p=o ,
nous avons la force d’un barreau dont l’axe neutre
est en C , et la profondeur AC est
où d représente l’épaisseur entière.
Et, si AE = î DB (Jig . 4a ) , alors AC = | d ,
quand l’axe neutre est en C.
L’axe neutre peut se trouver en un point quelconque qui peut être choisi entre le point C et la moitié de l’épaisseur, en variant à cet effet les •valeurs de q et de p.
Si nous faisons
ç=o,']5elp—o / 5 l alors AM= — *iet DF=CM; et aussi
la force est alors
RESISTANCE AE =ï DB;
6xa,4^
La figure fa est dans ces proportions; b représente l’épaisseur entière , et d la plus grande largeur. Sa force est à celle du rectangle circonscrit
par les lignes
comme 5 : 12.
Ces équations montrent la relation entre la force des pièces et le poids qu’elles doivent supporter dans quelques-uns des cas les plus utiles , lorsque la charge estplacéecoçomedanslafigurei4- Mais, avant d’examiner comment ces équations seront affectées en variant la manière de supporter la pièce, il est bon de donner, quelques règles pour évaluer la courbure que prennent les pièces.
86. La courbure d’une barre supportée comme celle de la figure 16 est causée par l’alopgement des fibres du côté supérieur , et par la compression de celles du côté inférieur ; la ligne neutre A B A' conserve la même longueur.
Si l’on conçoit une barre divisée , dans le sens de sa longueur , en un grand nombre de parties
indiqué
ponctuées, comme — j : 1 ou 2 »4
égales , et que l’alongement d’une de ces parties vers le haut de la pièce, soit représenté par ab, alors l’inflexion produite par cet alongement sera représentée par de-, et, comme les angles acb et dce sont égaux , on aura bc : de :: ab : de ; la petitesse des angles devant faire regarder comme nulle la très petite différence de similitude.
Mais, quelque petites que nous supposions les parties dans lesquelles la longueur se trouve divisée, il n’en est pas moins certain que^la pression sera variable sur les différentes parties de la longueur , et que , par conséquent , l’inflexion le sera aussi ; mais si nous regardons l’inflexion produite par l’alongement d’une partie quelconquê, comme une moyenne proportionnelle arithmétique entre la plus grande et la plus petite compression dans cette partie , nous aurons un terme infiniment rapproché de l’exactitude.
Nous avons vu (art. 77 ) que la force est en raison directe du poids et du levier, et en raison inverse de la largeur et du carré de l’épaisseur. Pour généraliser l’examen de cette question , considérons comme variables le poids, la largeur et l’épaisseur, et nommons l, b et d la longueur, la largeur et l’épaisseur du milieu ou du point supporté ; w lé poids total, et X, y, et w, l’épaisseur, la largeur et le poids en tout autre point.
RESISTANCE
Alors la courbure produite par la charge en un point quelconque C, sera comme
W l x w (de) 2 2 bd 2 e w (d c) 3
TbS : ' yx 2 : ‘\ e 1 W Lyx' 5
et si z égale la longueur d’une des parties dans lesquelles nous avons supposé la longueur totale divisée; dans ce cas , l’inflexion produite par
la force moyenne agissant sur la longueur z au
point c, sera
übcPeuJZ ^ (dc 2 -\- (dc~\-s 2 )
ZT x
W lyx r’
et, puisque la courbure totale DA est la somme des courbures des parties, nous avons
2 w//^ " X ( ia+3,+ctc .+( ,ra - 1 )’+^-)=DA. .(a),
87. Premier cas, Quand une barre est rectangulaire , que sa largeur et son épaisseur sont uniformes , et cpie la charge porte sur une de ses extrémités, alors
b =y , d~x, et W = w.
La progression devient donc
TT x(«‘+3*+etc.),
progression dont la somme est :
2 eV
— la courbe DA (b).
88. Deuxième cas. Quand la section de la barre <?st rectangulaire, que la charge porte sur une de ses extrémités, que l’épaisseur est uniforme, mais que la largeur varie comme 1* longueur , dans ce cas la progression est
a ez* ~d~
el
X ( 1 2 + ctc.) •= -^» = la courbure DA. .(o).
Cette barre est celle de force uniforme ou d’égale résistance décrite art. a 5 ,Jig. 6; sa courbure est d’un tiers plus grande que celle d’une barre dont la largeur est égale dans toute son étendue. La courbure de la barre d’égale résistance, décrite art. 26* , est la même ; l’axe neutre devient un' cercle dans ces deux barres (1).
11 serait facile de prouver par d’autres raisonnemens que , dans ce cas , la courbe de l’axe neutre est un arc de cercle ; et personne n’ignore que dans un arc de très petite courbure , tel par exemple que ceux que forment dans la pratique les inflexions dés barres , le 6ÎnuS verse est sensiblè-
! r.-.im-.-. = v • '
(1) JVJ. Girard arrive à cette conclusion erronée; <juc toijs lés solides d’égale résistance se courbent en arcs Circulaires (Traite analytique, p. 8 ?. ), parce qu’il négligede tenir compte de l’elFet de l’épaisseur du solide sur le ( rayon de courbure. ,
RÉSISTANCE
ment proportionnel au carré du sinus.Ceci mettra le lecteur en état de se former une idée de l’exactitude de la méthode que je suis ici. Je suis convaincu qu’elle est d’une précision suffisante pour servir dans la construction des machines et des édifices , et qu’il est très inutile d’employer des règles plus savantes et plus difficiles, propres seulement à embrouiller ce sujet. J’ai cru devoir cette explication à ces théoriciens scrupuleux qui tendent plutôt à une perfection imaginaire qu’à une application utile.
89. Troisième cas. Quand la section de la pièce est rectangulaire, que la charge porte sur une des extrémités, que la largeur est uniforme, et que l’épaisseur varie dans le rapport de la racine carrée de la longueur; ce qui donne une pièce parabolique d’égale résistance ( art. 22 ,
Dans ce cas la progression est / a#/ 5 **X + + etc.) ou
• fcl 1 .
-jjj- = *a oourbnre DA (</).
L’inflexion est double de celle d’uim barre uniforme, quoique la quantité de matière ne soit diminuée que d'un tiers.
A LA PRESSION. ' IJC)
1 ) 0 . Qitaln )me cas. Quand la section diminue depuis le poil t d’appui jusqu’à l’extrémité où la charge est placée , de manière que toutes les sections sont des figures semblables; alors la courbe qui borne les côtés de la pièce, est une parabole cubique, c’est-à-dire que l’épaisseur sera partout proportionnel! 3 à la racine cubique de la longueur.
Dansée cas la progression est
■ X f J 3 -f- a’ -f- etc. j =
= la courbure DA ........ (e).
Cette courbure est à celle d’une barre uniforme :: i, 8: i.
gi. Cinquième cas. Quand une pièce a partout la même largeur, et que sa section verticale est une ellipse ( Voy . fig. 8, art. a6. ), l’inflexion produiteparun poids placé sur le point le plus élevé peut se développer sous la forme d’une progression telle que celle-ci,
-pctc.+
^ l( 2 /a — s’)* (4Zz+4 2 *)* 1 (zlmz —
+clc.N \ (a/ — z) * /
P es *
— j-elc. ^ — DÂ.
iQo RÉSISTANCE
Eu additionnant cette progression dans le cas où m = io, on a
% t\jà • f
o,8 J7/ .Ç ^ cour ij Ur e DA (f).
92. Sixième cas. Si une pièce rectangulaire , de largeur et d’épaisseur uniforme, est chargée de manière que l'effort sur un point quelcqpque C soit comme '
» x iht . • rfcXWX (a/— dey.
Z* : de x (2 1 — de) :: W : iv— ^
Cette valeur de W étant substituée dans l’équation a , on aura
ÿj 2 /(»*+ *> +otc.) - *(i 3 -h 2* +etc: ) = ^xf-^ . ssz ^ == la courbure DA . (g )
Cette courbure est celle d’un barreau uniformément chargé, et supporté aux extrémités, l exprimant la moitié delà longueur.-
g 3 . Septième cas. Quand la section d’une barre est rectangulaire, que la largeur est uniforme, mais qu’une portion de l’épaisseur varie dans le rapport de la longueur, le reste de l’épaisseu»
étant uniforme; dans ce cas, l’épaisseur en un point quelconque C sera
~ (i — ni-f-nz)=x î
L’épaisseur au point où le poids agit étant i — n partie de l’épaisseur au point de support.
Cette valeur étant substituée pour x dans l’équation a de l’art. 86 , elle devient
Si n = o , 5 commp dans les pièces dès -figures 4 et 5, on a
■ l , 0 9ff — la courbure DA a
ainsi l’inflexion que prend une barre uniforme étant désignée par i , celle-ci sera infléchie de i,635 par la même force, les sections du milieu étant les mêmes. G -• v ’ r ■
Si l’épaisseur est diminuée à l’extrémité des deux tiers de ce qu’elle est au milieu , alors on aura t»=ï, et’
sala courbure DA (*).
* V ’ v ‘ • • il * ■ ‘ 1 *,
90 a . Huitième cas ■ Si une barre rectangulaire
RÉSISTANCE
est supportée en son milieu et uniformément chargée daus le sens de sa longueur, alors
Il de V. W :
Ainsi, en substituant cette valeur de w dans ^équation a , art. 86, on a, quand la largeur et l’épaisseur sont uniformes ,
X ( » +a , +3 3 -4- etc.) = ^ = la courbure DA . . . (t).
, Dans ce cas la courbure est égale aux trois quarts de celle que prendrait la même barre si toute la charge était réunie aux extrémités.
q3 \ Neuvième cas. Si un solide est engendré par la révolution d’une parabole semi-cubique autour de son axe , ce qui est la figure d’égale résistance pour une pièce supportée au milieu , quand la charge est uniformément étendue sur toute la longueur, alors
l'IcP :t (d c y : x x =^p- .
■ ' . , , . ' (afc)W
et jr — x ; de meme tv s= * — - — .
Ces quantités étant substituées dansl’équation a, art. 86, donnent
wM f
-f-aï + 3 J + etc.
7“ ad “
Ici la courbure égale a ^ fois celle d’une barre uniforme avec la charge aux extrémités.
g3. Dixième cas. Si une barre destinée à porter une charge uniformément distribuée, est partout de mémé largeur, l’épaisseur variant en raison directe de la distance des extrémités , comme dans la fig. ai. Dans ce cas,
l:d:: ( dc):x=
