BD "W
Il est évident que si BD = BF , la pression sera nulle, c’est-à-dire qu’elle sera nulle quand la direction de la force passera par le point D , ou quand l’axe neutre se confondra avec la surface de la colonne. On peut aussi remarquer que quand BF est plus grand que BD , cette pression est exprimée par une quantité positive , indiquant un alongement, mais qu’elle devient négative
3oa résistance a la tension quand BF est plus peti t que BD , et qu’elle indique une résistance à la compression. Si BF = -j BD , les deux points sont alors également comprimés.
La force a été supposée perpendiculaire au plan de section pour lequel les pressions ont été calculées , mais ceci n’est pas essentiel pour l’examen de ce sujet, seulement cette espèce de pression est la plus ordinaire sur les colonnes. En efTet , si la force , au lieu d’agir dans la direction de AF , agissait dans celle de AG, nommant C l’angle FAG , et reprenant le calcul , on trouverait que l’équation a serait alors
(BF4-AFsinC)W.cosC .
BÏ) — pression en D (c)
et
(BF + AF sin C — BD)W.cosC BD
= la pression en B., (d).
Mais , quand la force agit dans une direction olilique , il faut un étai en avant du pilier pour qu’il ne soit pas renversé , et dans quelque endroit que cet étai soit placé , c’est là que s’exercerait 1» plus grande résistance si le pilier était droit. Si le pilier est étayé en DF , alors l’étai placé dans cet endroit devient un point d’appui j et l’action des forces sur le pilier est semblable
ET A I.A COMPRESSION
à celle considérée dans la fig. 24 ■ Mais on a remarqué dans la note de l’article 77 , que le mode de calcul qui y est établi n’est pas exact quand la pièce n’est pas à peu près horizontale; cette différence est due à un changement de position de l’axe neutre causé par la direction oblique de la force. Nous allons maintenant chercher la position de cet axe, calculer la force de la section, et développer les changemens qui arrivent quand on fait varier la direction de la force.
a 3 a. On peut prouver que la résistance de la section , de chaque côté de l’axe neutre , est égale à la force d’un pouce carré multiplié par l’aire de cette section, multipliée par la distance du centre de gravité à l’axe neutre, et divisée par la distance de la surface comprimée à l’axe neutre, quand B ou D est le centre de percussion de la section (1).
a 33 . Soit x la distance de l’axe neutre au milieu de l’épaisseur;^ = EG la distance de la direction AG de la force au milieu de l’épaisseur; d === l’épaisseur ; b— la largeur, et f la résistance d’un pouce carré. Alors , l’aire de la partie comprimée delà section sera (7 d-\- x) X b , et la partie étendue delà section sera (7 d — x) X b. Par conséquent ,
(1) Emerson’s rncchanics , ed. in- 4 ° , prop. 17.
3o4 RÉSISTANCE A LA TENSION
si n ( 7 d -j- x) et n(~d — x) , sont les distances des centres de percussion à l’axe neutre , et m (\d-{-x),m{^d — x) les distances des centres de gravité , on aura
W.BG cos C mfb (i d—xY W. (BG— BD) cos C BD X (jd-f-x) BD X
mfb(\d — xY
,-,y , , , ou
BGx (ï^— ^)‘=(BG— BD)+(^+x)V *
Et après qu’on a fait les substitutions convenables, cette équation se réduit à
x % (2 — 3 n)-\- 2 jrx— \nd*z=-o.
254. Dans une section rectangulaire ra=| , et par conséquent ou trouve , par l’équation précédente,
\iy ' J
\{i) Il est prouvé que
l sin C
* = a + ^C= a + ^ lan 8 C - Donc la distance de Taxe neutre à Taxe de la colonne
12 (a-H^tangC.)
et A LA COMPRESSION. 3„5
Et, puisque dans ce cas, m = > , il y a équilibre entre la force qui comprime et la résistance ü la compression quand
W . BG x cos C fb / \
bd T \* d + x );
Si l’on substilue pour BD, BG et or, leurs propres valeurs , cette équation devient ,
W= fbd ‘
(d+6y) cos C • • ( e )-
Mais si l’on désigne BF par « ; et si £ = AF, ce qui donnera pour FG
AF X sin^C. l s i n Q
cosC on aura
par conséquent y = a -f- L sm C
donc
fbd‘
1 co s C ’
fb<*
(d+6y) cosC d cos C-f-6acosC-l-3/sinC W ‘U )
et les axes se confondent quand l’an S lecst de 90“, c’est-àdire, quand la direction de la force est perpendiculaire a laxe de la colonne, mais jamais autrement.
Car, lorsque C = 90», la tangente C est infinie, et par conséquent la fraction qui représente x est infiniment petite, ou bien les axes coïncident.
• 3o6 RÉSISTANCE A LA TENSION
Cette équation va nous mettre en état de dé- . couvrir les conditions particulières de ce problème important.
Premièrement , si les points E et A sont dans une ligne perpendiculaire à BG , alors a = o , et l’équation devient
f bdl w (e \
d. cos C -f- 3 1 sin C
,J 11 '• ff
Secondement, si la forcé agit dans une direction parallèle à BG, alors C = go, et sin C = x , -„e£ cos C = o; l’équation /devient
Nous avons dans ce cas la même équation que dans l’article 79 , car ici l est double de la longueur qu’il a dans Pautre équation.
Troisièmement , si la force agit dans une direction perpendiculaire à BG , alors cos C=i , et sin C=so, l’équation /devient eu conséquencé
rf-f-oa
Quatrièmement, quand a =0, ou que la direction de la force se confond avec l’axe E , alors
fbd— W.
Cinquièmement enfin, si a — la moitié de l’épaisseur de la colonne, alors
Les équations h, i, k, l, s’appliquent aux colonnes courtes ou aux blocs dont la longueur n’est pas de plus de dix ou douze fois la moindre dimension de la section j et elles ont servi à établir
les règles de pratique suivantes:
T rouuer l’aire d’un bloc ou dune colonne courte
rectangulaire capable de résister à une près s ion donnée.
a35. règle. Quand la force doit être appliquée exactement dans l’axe ou centre de la section du bloc , divisez le poids en livres ou la pression, par i5ooo; le quotient sera égal, en pouces, à l’aire delà section. Mais comme pour donner cette direction à la force, il faut un degré de précision auquel il est tout-à-fait impossible d’atteindre dans la pratique ; et , que quand une force presse un bloc dont aa'Jig. 3i , est l’axe , il est toujours probable que la direction AA' de la force se portera seulement sur l’un des bords du bas de la colonne , et qu’elle
RÉSISTANCE A LA TENSION
se trouvera éloignée de l’axe de la moitié de la plus petite épaisseur, ce qui réduira à un quart la résistance du bloc; on devra toujours donner à l’aire quatre fois autant d’étendue que celle qui sera déterminée par la règle.
Quand la distance de la direction de la force à l’axe sera déterminée par la nature de la construction, on se servira de la règle générale suivante :
a36. A la largeur ou , plus exactement , à la plus petite dimension en pouces , ajoutez six fois la distance entre la direction de la force et l’axe, mesurée en pouces; et multipliez la somme par le poids qui équivaut en livres à la pression ; divisez le produit par i53oo fois le carré de la , plus petite dimension en ponces, et le quotient donnera en pouces la largeur du bloc.
Celte règle est la traduction littérale de l’équation i , art. 234 , et elle convient à la résistance à la tension comme à celle à la compression.
aSy. L’auteur de l’article pont, du supplément à l’Encyclopédie méthodique de Napier, a prouvé que quand la force agit dans la direction de la diagonale d’uu bloc, comme on le voit fig. 3a , la pression est le double de celle qui a lieu quand la même force agit dans la direction
ET A LA COMPRESSION. 3 oO
île l’axe. (1). Or, le lecteur ne peut pas douter qu’à raison des tassemens ou d’autres causes , une colonne ne soit toujours exposée à être pressée de celle manière, et il sentira la nécessité d’éviter de donner trop de largeur aux bouts des colonnes sous le prétexte djjjugrnenter leur stabilité ; car cet élargissement ne ferait que rendre l'effet de la pression plus considérable, s’il arrivait quelque dérangement accidentel dans leur assiette , comme dans la fig. 33 . J’ai recommandé , dans mon Traité de la charpente (2) , de soutenir le bas des pièces soumises à une force de pression , par dés appuis circulaires qui tendent à diminuer l’effet de tout changement partiel dans la position de ces pièces, idée que Serlio parait avoir eue avant moi ( 3 ).
238 . Une équation générale pour exprimer la pression et la résistance, quand la colonne est cylindrique, est compliquée 5 mais il est un cas particulier où le résultat estextrèmement simplejc’est lorsque l’axe neutre est une des surfaces de la colonne. Si d est le diamètre de la colonne , alors 0,7854 d*= l’aire, et £ rf=la distance du centre
( 1 ) Napier’s supp. to cncyc. l>rit art. bridge, p. 4<)9.
( 2 ) Trcdgold’s elenaentnry priuciples ol'carj>ciitry, p. 1 4*. t3) Architecture de Serlio , liv. 1 , p. i3. Paris, i5^5.
3 10 RÉSISTANCE A LA TENSION
de gravité, et par conséquent
W. BG. cos C 0,7854 d*f BD — a
Mais quand l’axe neutre se trouve à la surface du cylindre
BG = BD, ou W =
o, 7854 rfy
2 co s C
Dans ce cas la distance entre la direction de la force et l’axe de la colonne , est de j du diamètre, le centre de percussion étant éloigné de | de l’axe neutre.
239. Il suit de là que quand la distance entre la direction de la force et l’axe, est de | d, la force d’un cylindre est à celle du prisme carré circonscrit, comme sept fois l’aire du cylindre est à huit fois l’aire du prisme , à peu près comme 5,5 : 8 , ou :: 1 : 1,46- Quand les axes neutres se confondent avec les axes des pièces , ou qu’ils en sont très voisins, le l'apport entre la force du cylindre et celle du prisme devient .
ou i : 1,7
ainsi que l’a démontré le docteur Young dans ses
ET A LA COMPRESSION. 3ll
leçons de Physique ; par conséquent , dans une colonne qui résiste à la fois à la compression et à la tension, le rapport varie entre i : 1,4 6, et 1 : 1,7 , et le rapport moyen est à peu près celui de ià j, 6.
De la force des piliers et des colonnes qui ont beaucoup de longueur.
240. Si un support est comprimé dans la direction de sa longueur, et que l’iuflexion soit assez considérable pour augmenter sensiblement la distance entre la direction de la force et l’axe, au milieu do la longueur du support, il est évident que l’effort sera également augmenté} et comme dans la pratique la courbure ne peut être que fort petite , nous pouvons supposer qu’elle est un arc « de cercle. Dans un cercle le carré de la longueur de la corde d’un petit arc est sensiblement égal au rayon multiplié par huit fois le sinus verse v , ou
= R. La courbure sera la plus grande quand
l’axe neutre se confondra avec l’axe; et en prenant ce cas extrême pour exemple , nous aurons cette - •
proportion : le changement en longueur du côté concave est à la longueur primitive, comme la moitié de l’épaisseur est au rayon , ou
Donc
RÉSISTANCE A LA TENSION
t ~ ± pf fc
8»- ae et ^ — 45 — * a courbure au milieu,
3 4 x - Nommons a la distance entre la direction de la force et l’axe, lorsque cette force a commencé à agir. Alors elle sera, à raison de la courbure, comme nous l’avons vu art. a34, égale à
45 ’ et P ar conséquent on aura, par l’équation (i) ,
fbæ
QP e W ...... (m).
j . c , oie v*v-
Pour la fonte f— 1 53 oo livres , et e = — - —
(art. 106 et i 74.), et si l = la longueur en pieds , et que a, b et d, soient des pouces, on aura cette formule de pratique pour la force d’un prisme rectangulaire: ‘ ’ * ,
i53oo bd* • iS 3 oobd 3 __
fj i j °i 1 a? 1 -f-ZitAi +o,i 8/ a ' I -'’
(0 Pour le chêne, — . — w 4 cP-\-baci -f- 0,0 /*
ET A LA COMPRESSION. 3 l 3
a4a. Si a = o , alors la direction de la force coïncide avec l’arc, et la règle devient,
i 53 o obcP X7lT
d r +~^i W ~~ vv •
Mais il serait imprudent , dans la pratique , de calculer sur cette exacte coïncidence de la direction de la force et de l’axe que suppose l’équation précédente; il arrive l>ien rarement, au contraire, que l’on ne soit pas plus près de la vérité, en supposant cette direction comme s’éloignant de l’axe d’une moitié de l’épaisseur, et dans ce cas a = ^ d, ainsi
i 53 oo btP
243. On peut , par approximation , calculer la résistance d’un cylindre à la compression dans le
Pour le fer forcé 17800 b d' — yj,
rour le 1er lorgc , bda + Q > l( ; p — w
, . , „ , 1 -7800 b tP
(2) Pour le fer forge , , J . = W.
Pour le cjiène ,
3 gGo b d'
« vmwa- ’4 ^q. 0> 5/‘
3l 4 RÉSISTASCE A LA TEHSION
sens de sa longueur, au moyen de la règle que
voici :
i53oo<f* c)562£/*
i,6(cP-f-o,i8/ a ) d* + o,i8Æ*
a 44- Et quand la direction de la force s’écarte de l’axe d’une quantité de pouces = a , cette règle devient
yy
rf> + 6ak+o,i8/ a “
Si la force agit dans la direction de l’une des surfaces de la colonne , alors a = d et
C'est cette dernière équation qui a servi à calculer la Table III, où l’on donne la force des colonnes pour résister aux pressions.
Dans toutes les règles depuis l’équation n jusqu’à l’équation s, l marque la longueur, AA', Jlg. 3i , en pieds; J= soit le diamètre, soit le
(.) Pour le fer forgé, = W.
Pour le chêne ,
plus petit côté en pouces; b — le plus grand côté, aussi en pouces, et W est, en livres, le poids à porter.
245 . Exemple I. On demande quel poids supporterait, sans danger, une colonne cylindrique de 11 pieds de long et de 5 pouces d*diamètre, dans la supposition qu’il est probable que la force agirait dans la direction AA 3 1 , à la distance d’un demi diamètre de l’axe.
L’équation s est celle dont il faut se servir dans cet exemple. Elle donne ... .
g 56 a dl __ 9562x5*
4^-+o,i8/ a 4x5 a -|-o,i8xii*
=W= 4go8oliv.,
ou un peu plus de 22 tonneaux.
On calculerait de cette manière la force des piliers destinés à porter des étages de maisons. Quand il est question de maisons d’habitation , il faut calculer toute l’augmentation de poids qui peut résulter de la quantité de personnes qui s’y réunissent; et quand ce sont des magasins, il est nécessaire de tenir compte du poids le plus grand en marchandises qu’on pourrait y placer.
246. Exemple II. On demande de déterminer la compression qu’une pièce courbe pourra soutenir dans la direction de sa corde; la plus grande distance entre l’axe de la courbe et la
3l6 RÉSISTANCE A LA TENSION
direction de la corde, étant supposée de 6 pouces, les dimensions delà pièce étant de 3 pouces carrés, et la longueur de la corde égale à 5 pieds.
Inéquation n, art. 241 , donne
*53oo bcP i53ooX3*
d*-l-6c/a-l-o,i8/ u S'q-ôxSxô+OjiSxS 1
= 3o6oo livres.
C’est le poids équivalent à la compression cherchée.
Exemple 111. Un autre cas intéressant auquel ces équations peuvent s’appliquer est celui de la tige du piston d’un» machine à vapeur à double effet. Mes lecteurs me pardonneront si j’ai * recours aux signes algébriques pour rendre la règle générale.
Soit D le diamètre du cylindre à vapeur eii pouces, et p la plus forte pression, exprimée en livres , de la vapeur sur un pouce circulaire du piston. Alors W=Dy?.
Mais on a fait voir dans une note à l’art. 344 5 que, pour le fer forgé,
alors ,
vyp
ou D = 53 ^ a \/ P (d> + ^4Fÿ
Mais il n’est aucune circonstance où la longueur en pieds puisse être triple du nombre de pouces qu’a le diamètre; substituons cette valeur de /, et nous aurons
53 “ dm
Si la pression est de 8 livres sur un pouce circulaire, ce qui donne un peu plus de îo livres
sur un pou ce carr £ )C na^=:il. C’est-à-dire que
la lige du piston ne doit jamais avoir moins de la quinzième partie du diamètre du cylindre dans une machine à double elTet. Dans la pratique on lui dorme ordinairement la dixième partie du diamètre, ce qui ne parait pas trop quand on considère qu’elle s’use avec le temps.
De la force des barres et des tringles pour résister à la tension.
247. Quand on examine l’effet de la courbure sur les barres pour résister à la tension , on trouve une fort grande différence; car bien loin que la
3ïJ3 RÉSISTANCE A LA TENSION
force soit diminuée par la flexibilité, celle-ci, ou n’a aucun effet , ou bien en a un directement opposé : de sorte que, dans tous les ouvrages exécutés en métaux, la force de tension des matériaux devrait être employée de préférence à toute autre, à moins que le volume ne fût considérable par rapport à la longueur. Dans le bois cette force ne peut pas être avantageusement employée, parce qu’il est difficile d’en lier les extrémités avec assez de fermeté, mais une semblable difficulté n’existe pas pour les métaux.
Quand une barre ou une tringle est courte, on peut calculer sa résistance par les articles a35 et 236.
Mais quand elle est longue , et que la barre est courbée ou que la force n’est pas dans la direction de l’axe , alors l’effet de la courbure doit être pris en considération.
L’équation t, art. 234, peut s’appliquera tous le$ cas dans lesquels la direction de la force est parallèle aux extrémités de la barre, c’est-à-dire
yy
d- |-6a “ VV *
L’inflexion est alors = ^ , quand l
désigne la longueur en pieds, et que
ET A LA COMPRESSION. 3 lg
Mais cette inflexion doit être déduite de la distance à l’axe.
D’après cela
i53oobd 3 d*-\-8ad — o,i8/ a
Quand la direction de la force est écartée de l’axe de la moitié du plus petit côté, alors a = ; d, et
i53oo bd 3
Et quand la direction de la force coïncide ,avec l’axe
i 53 ooW = W...'.. (je).
Quand un barreau est cylindrique, sa force est à celle d’une barre carrée comme i : 1,46 à peu près (art. 339). Donc
d? -f- 6ad — o, 1 8 l 2
Cr)-
0 Po«r 1= fer forgé , =W.
El pour le *ta , 3 ^- 0 , S,- = W.
3 20 RÉSISTANCE A TA TENSION
Ou quand la force agit sur une des surfaces de la tringle ,
Il était utile de faire voir en quoi consiste l’avantage d’une force de tension, mais je ne crois pas devoir adopter ces équations pour servir de règles dans la pratique , parce qu’elles ne sont ni si simples ni d’une application aussi facile que les règles déjà données art. a 35 et 286 , qui ne pécheront jamais que d’une très petite quantité et par excès, quand on aura la précaution de prendre, le plus grand écart possible entre la force qui doit agir et l’axe de la pièce qui y résistera.
Exemple I. On demande quel poids peut être suspendu à une barre de fonte de 4 pouces sur 8 , dans la supposition que la direction de la force sera sur une des surfaces larges de la barre.
L’équation t de cet article convient à ce cas. On a alors, a = 2 pouces, ou la moitié de la plus petite dimension de la barre, ce qui est la distance à laquelle la direction de la force est supposée se trouver de l’axe, et par conséquent
fbil‘ i 53 oo X 8 X 4 *
à ~l- 6<i 4 -}- la
= 122400 livres.
C’est le poids demandé. Yoyez la règle détaillée, art. a 36 .
Si l’on veut observer que la moindre inexactitude dans la manière dont les pièces sont liées peut faire porter l’effort entier sur un des côtés de la barre, on reconnaîtra combien il est prudent de suivre ce mode de calcul.
Exemple II. On demande de déterminer l’aire qu’il conviendrait de donner aux barres de fonte d’un pont suspendu, pour une ouverture de 3^0 pieds ; les points de suspension étant placés à 3 o pieds au-dessus du point le plus bas de la courbe; la charge la plus considérable, y compris le poids du pont même, devant être de 5 oo tonneaux ( Soqooo kilogrammes ).
La charge étant distribuée à peu près uniformément, la courbe que prendront les chaînes ne différera pas sensiblement d’une parabole (1); et la moitié du poids sera à la tension, au point le plus bas de la courbe, dans le même rapport que celui
( 1 ) V oyez Elemcntary principles of Carpentry , art. 57.
RESISTA NCK A I.A TENSION
de Pciévalion au quart de l’ouverture, c’est-à-dire qu’on aura
5oo , 5oo X 3^0 2 " 8 X 3o
771 tonneaux.
771 tonneaux sont la même chose que 172704»
livres avoir du poids , et par la règle de l’article 235 , on a
~ — = 110 pouces carres i5ooo r
pour l’aire des barres , en supposant que l’effort de la charge s’exerce dans la direction précise de l’une et l’autre barre ; et si l’on double cette sur- 1 face, on sera en garde contre une déviation qui serait égale à la sixième partie du diamètre. Cet excès de force serait suffisant , attendu qu’il est peu probable que ce pont fût jamais entièrement couvert d’hommes, et que j’ai établi le calcul dans la supposition qu’il pourrait l’ètre. La somme des aires des chaînes au point le plus bas devrait donc être de a 3 o pouces canes. L’aire, à tout autre point de la courbe , devrait être à l’aire au point le plus bas, comme la sécante de l’angle qu’une tangente à la courbe ferait avec une ligne horizontale, serait au rayon. Dans ce cas-ci , la somme des aires au point de suspension devrait être de 24a pouces
ni /v h.i
wiurnuooiuw .
SV
carres. Des chaînes en fonte seraient bien supéi ieures pour un pont à des chaînes de fer forgé ; elles dureraient plus et coûteraient moins pour obtenir le même résultat; et leur poids, en leur donnant la force nécessaire , préviendrait de trop fortes vibrations causées par des forces peu considérables. La plupart des ponts en fer pa- vief* 1 -» laissent très faibles, et devoir peu durer, quand on les examine d’après les règles que j’ai établies, et qui me paraissent fondées sur des principes incontestables.
Exemple III. Déterminer l’aire d’une lige de piston pour une pompe à simple effet, la force qui doit s’exercer sur le piston étant équivalente à ii livres sur un pouce carré, et en calculant sur la possibilité d’une déviation dans la direction de la force qui serait égale à la distance entre le demi-diamètre de la tige et l’axe. Dans ce cas , la force est égale à onze fois le carré du diamètre du piston , en pouces. Et si l’on nomme D le diamètre du piston d’une machine à vapeur, et d celui de la tige du piston, on a pour le fer forgé
P’TmS
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ou , à très peu près ,
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hesistànck a i.a tension
C’est-à-dire que le diamètre de la tige du piston devrait être d’un vingtième du diamètre du cylindre à vapeur , si l’on n’avait pas égard à ce qu’il perd par l’usage ; mais si l’on y a égard , ainsi qu’on doit le faire , il faut que le diamètre demandé soit de la quinzième partie du diamètre du cylindre à vapeur.
RÉSISTANCE A l’iMPULSION.
