CHAPITRE III

L'alsèbre des grandeurs non-commutatives.

Les formes de Pfaff et la théorie des équations différentielles.

Celui des aspects de la mathématique nouvelle que nous nous proposons d'examiner 1ci est relatif à la non-commutativité de la multiplication dans certaines parmi les plus importantes des théories algébriques modernes. Soient a et b deux grandeurs d’une théorie ; cette théorie est noncommutative si l’on a a b < b a. C’est là une propriété qui distingue profondément ces théories de l’arithmétique et de algèbre ordinaires et dont la richesse est considérable, puisqu'elle contient la clé des relations d'incertitude en mécanique quantique. |

La mécanique de SCHRÔDINGER associe en effet à toute grandeur physique une expression abstraite qu’on appelle un «opérateur » et deux grandeurs À et B ne sont simultanément mesurables que si les opérateurs qui leur correspondent sont permutables, c’est-à-dire si la multiplication de ces opérateurs est commutative. Or, si l’on fait correspondre (1) à une coordonnée g, l'opérateur Q, qui signifie : multiplication par gq;, et à la quantité de mouvement selon

(x) Voir pour tout ceci : L. DE BROGLIE, La théorie de la quantification dans la nouvelle mécanique (Hermann), p. 190.