LAN MERE

la coordonnée q:, l'opérateur P, — — A so , on trouve 271 dgx que ces opérateurs ne sont pas permutables :

Re D ET PE NOEL dqx 274 ou encore :

h P;, — P = — Q k k Q sr

Il résulte de ces équations qu’une coordonnée et la quantité de mouvement correspondante ne sont pas simultanément mesurables et l’indétermination dont est affecté le système des deux mesures est elle-même mesurée par la valeur d’une différence de type ab— ba.

La théorie des opérateurs de la mécanique quantique n'est, comme l’a montré M. von NEUMANN (1), qu’un cas particulier de la théorie générale des anneaux (2) d’opérateurs dans l’espace de HILBERT, et les problèmes relatifs à la commutativité ou la non-commutativité de deux éléments jouent dans l’étude de la structure de ces anneaux le même rôle que dans l’étude d’anneaux de nombres algébriques. Cette structure est en effet caractérisée par des possibilités de décomposition dimensionnelle de l’anneau en somme directe de composantes, analogue aux décompositions globales que nous avons décrites au chapitre I, et le point de vue de la commutativité de la multiplication y intervient par le fait que la décomposition globale de l'anneau est, dans certains cas, solidaire d’une décomposition globale du centre de l’anneau. Le centre d’un anneau est formé par l’ensemble des éléments 4 qui «commutent »

(1) J. von NEUMANN, La théorie des anneaux d'opérateurs. Séminaire de mathématiques de l'Institut Poincaré, année 1934-1935.

(2) Rappelons brièvement qu’un anneau est un ensemble de nombres dans lequel sont définis deux procédés formels de composition : l'addition et la multiplication de deux éléments.

avec tous les autres, et la liaison entre la décomposition de l’anneau et celle de son centre et la suivante : Si l’anneau © se décompose en somme directe de sous-anneaux (jouissant de certaines propriétés particulières) (x)

le centre Z de l’anneau se décompose en somme directe des centres de différents sous-anneaux de la décomposition de O :

Nous avons montré au chapitre I comment les théories de l’algèbre moderne pouvaient être caractérisées par l’importance qu’y jouent les théorèmes de décomposition dimensionnelle, et nous voyons maintenant les relations étroites qui unissent l’existence de ces décompositions à la distinction de la multiplication commutative et de la multiplication non-commutative.

Nous nous proposons de montrer, dans la suite de ce chapitre, comment, grâce aux travaux de M. CARTAN et de ses devanciers, le mode de pensée essentiel à l’algèbre moderne qu'est le calcul des grandeurs non-commutatives a pénétré l’analyse contemporaine. Nous allons d’abord dé finir rapidement le calcul des formes de PFAFF et envisa gerons ensuite ses applications à l’analyse.

Etant donné deux séries de différentielles (2) :

(1) (OP PORN et (II) SX OA ds dt,

on pose, suivant la notation des produits extérieurs de GRASSMANN

[dx:;, dx;] = dx; 5x; — dx; 5x,

(x) Cf. les conférences de M. von NEUMANN, ainsi que VAN DER WAËRDEN : Moderne Algebra, t. II, chap. XVI.

(2) Tout ce paragraphe d’après : J. DUBOURDIEU, Questions topologiques de géométrie différentielle. Mémorial des Sc. Math., fasc. 78 ; cf. également : E. KAHLER, Ernführung 1n die Theorie der Systeme von Differentialgleich ungen. Leipzig, 1934.

ANNE TER Soient maintenant deux formes de PFAFF :

on appelle produit extérieur de ces deux formes, et l’on note par [w, w] l'expression bilinéaire par rapport aux deux séries de variables (I\ et (II) :

Le, &j =e(d) 5 (5) — «(8) o(d) —E a; db; [dx;, dx;]

Une pareille multiplication symbolique est essentiellement non-commutative et l’on a :

fo, o] = — [v,e]

M. CARTAN a également défini une « dérivation symbohque » des formes de PFAFF :

DORE (DEA die ie ce 4, 4%, une forme à n variables ; en définissant par de la dérivée symbolique ou dé. rivée extérieure de « (4) on à:

(III) do — do(s) — 5o(d) — > du; 8x; — Sa; dx,

k = } Air [dx;, dxx] .

es produits extérieurs Ya; b; [dx;, dx;]) et les dérivées extérieures > 4x [dx;, dx;} sont des formes différentielles de degré 2. On peut de même définir des formes différentielles de degré quelconque par des multiplications ou des dérivations successives, et l’ensemble de ces formes différentielles satisfaisant de façon univoque à une loi d’addition et à une loi de multiplication constitue un anneau comparable aux anneaux d'opérateurs et aux anneaux de nombres algébriques dont nous avons parlé plus haut. Nous allons voir maintenant le lien immédiat que M. CAR- TAN a établi entre l’algèbre des formes de PFAFF, telle que

Pere

nous venons de la définir et la théorie analytique des équations différentielles (x).

Considérons l'équation différentielle du second ordre

Posons :

O — dy LR y'ax o = dy" — F(x,y,y') dx

On obtient deux formes de PFAFF à 3 variables dy,d;" et dx; et l'équation différentielle est ramenée au système de PFAFF suivant :

oo — ©

Oo — O0

Cet exemple permet de comprendre comment M. CARTAN a pu, de façon générale, ramener l’étude des systèmes d’équations différentielles et d'équations aux dérivées partielles, à l’étude algébrico-géométrique des systèmes de PFAFF correspondants.C’est là un domaine immense où l’on voit de nouveau les méthodes de l’algèbre pénétrer le domaine de l'analyse ; nous allons essayer d’en donner une idée en envisageant tout d’abord les problèmes d’équivalence.

Considérons deux systèmes de formes de PFAFF &,... o,, m... On, Construites, les premières avec les variables x... x, et leurs différentielles, les secondes avec les variables x, ...x,, et leurs différentielles. Les systèmes sont dits équivalents s'ils sont transformables l’un dans l’autre par des transformations analytiques faisant passer des variables x; aux variables x,, c’est-à-dire telles que l’on ait x; = +; (x1...x,), les +, étant des fonctions analytiques. Ce problème est à

(1) Cf. pour toute la suite : Séminaire de Mathématiques de l’Institut H. Poincaré, année 1936-1937 ; E. CARTAN, Les problèmes d'équivalence.

tr —

double titre un problème d'analyse : tout d’abord par le caractère des fonctions »;, dont on cherche à démontrer l'existence, et ensuite parce que dans les applications, les formes de PFAFF envisagées correspondent toujours à des systèmes d'équations différentielles ou aux dérivées partielles. Les méthodes de M. CARTAN permettent alors de substituer à ce problème d'analyse un problème d’algèbre : Pour que les deux systèmes de PFAFF &, ...o,, 5... ©, Soient équivalents au sens de l’analyse, il faut qu’en deux points correspondants (x, x) les deux systèmes de formes, considérées comme formes algébriques en dx; et dx; soient transformables l’une dans l’autre par une substitution linéaire, c’est-à-dire que l’on ait :

(IV) CARE PANIERS ARS Ta

L'existence des fonctions *?; est donc liée aux conditions de résolubilité du système algébrique (IV). Il est même possible de substituer aux formes «; et s, de formes o;* et s,* telles que le problème (IV) se ramène à la recherche des conditions de compatibilité des équations :'

Conformément à la théorie générale des systèmes de PFAFF il faut ajouter aux équations (5) les équations entre dérivées

extérieures :

do,* — do;*

on encore en vertu de (III) :

(VI) sex [e*, 4%] = Et [o*, ci*]

On voit que les coefficients c; doivent être des invariants. Placons-nous dans le cas particulier le plus important, celui où ces invariants sont des constantes ; on démontre alors que la constance de ces coefficients algébriques est une condition nécessaire et suffisante de l’existence des transfor-

mations analytiques cherchées. Il y a même plus : Les transformations #; forment un groupe continu fini à # paramètres et les c; sont les constantes algébriques de structure de ce groupe au sens défini par S$. Lie et E. CARTAN. Les problèmes relatifs à l’'équivalence d'équations différentielles ou de formes différentielles, problèmes d’analyse, sont ainsi résolus par le 3€ théorème fondamental de la théorie algébrique des groupes de L1E : Etant donné un système de constantes Ca satisfaisant à certaines relations algébriques déterminées, il existe un groupe continu fini de transiormations admettant les c; comme constantes de structure et laissant invariantes les formes de PFAFF dont les dérivées extérieures ont ces mêmes constantes comme coefficients.

Nous allons montrer sur un exemple simple donné par M. CARTAN comment l’existence de transformations continues peut résulter des conditions algébriques de compatibilité de deux systèmes de PFAFF : Soit à trouver les conditions d’applicabilité de deux surfaces définies par leur ds?. Le ds? de chaque surface étant défini comme une forme différentielle quadratique des coordonnées x,, x, pour la première, 4, %2, pour la seconde, les surfaces sont applicables l’une sur l’autre avec conservation de la métrique, s’il existe des correspondances ponctuelles biunivoques et bicontinues entre les x; et les x,. Il est possible de trouver les conditions d’existence de ces correspondances continues par la considération des formes de PFAFF attachées au ds? des surfaces.

Le calcul de la dérivée extérieure de l’une de ces formes donne en effet :

dos* = — K[o,*, @ *]

La quantité X jouant le rôle des coefficients de structure de la formule (VI) il faut pour que les surfaces soient applicables, que cette quantité, formée à partir des coefficients du ds? de chaque surface, soit la même pour les deux sur-

CRT ie

faces. C’est la courbure totale au sens de la géométrie diffé. rentielle. Cette théorie donne ainsi d’une façon purement algébrique un résultat classique des applications de l’analyse à la géométrie.

Le rôle du calcul non-commutatif des formes de PFAFF en analyse est donc considérable. Il permet en bien des cas d'opérer une substitution de l'algèbre à l’analyse de la façon suivante : la théorie des équations différentielles se ramène à celle des formes de PFAFF : celle-ci se confond avec la théorie des groupes continus de LtE, et cette dernière est devenue, grâce à M. CARTAN, une théorie algébrique. La fécondité de ces méthodes algébriques se manifeste jusque dans les problèmes qui ont toujours paru être au centre de l'analyse : ceux qui se rapportent à l'intégration d’équations différentielles ou d'équations aux dérivées partielles. Les transformations infinitésimales qui constituent un groupe de LIE peuvent en effet dans certains cas (1) être définies comme solutions d’un système d’équations aux dérivées partielles donnant les variables transformées en fonction des variables primitives. Ce n’est pourtant pas directement par l'intégration de ces équations aux dérivées partielles que M. CARTAN s'assure de l'existence des fonctions cherchées, mais par l’étude algébrique préalable des coefficients de structure des formes de PFAFF attachées aux équations proposées. Nous rencontrons 1c1 des considérations qui seront plus amplement développées au chapitre IV : dans une certaine mesure, l'existence de fonctions continues dépend des propriétés de structure d’un système discontinu de grandeurs algébriques. Le calcul des grandeurs non-commutatives en analyse opère ainsi un rapprochement du continu et du discontinu où s’efface la distinction des deux mathématiques.

(x) Il s’agit ici de groupes continus infinis : cf. la conférence de E. Car- TAN sur la structure des groupes infinis, in Séminaire de l'Institut H. Poin-

caré, année 1936-1937.