CHAPITRE IV

Le continu et le discontinu.

L'analyse et la théorie des nombres.

Nous avons vu dans l’Introduction de cet ouvrage comment la distinction des deux mathématiques de WEYL pouvait être interprétée en termes d’une opposition entre la mathématique du fini et celle de l'infini ou plus exactement du dénombrable et du continu. Ce sont bien là deux mathématiques essentiellement distinctes puisque l’on peut définir dans le domaine du continu des opérations qui n’ont aucun sens dans le discontinu comme le prolongement analytique, en théorie des fonctions. C’est alors un problème fondamental pour la philosophie mathématique que d’établir une théorie des rapports du continu ou du discontinu, de l’arithmétique et de l’analyse.

On peut interroger à cet égard deux disciplines mathématiques différentes : la logique mathématique et la théorie des nombres, et l’on se trouve dans les deux cas en face d’une situation pareillement compliquée.

Un des faits les plus importants de la reconstruction des fondements des mathématiques entreprise par l’école « ensembliste » de DEDEKIND, CANTOR, FREGE et RUSSELL, fut certainement d'appuyer la définition des nombres entiers et finis de l’arithmétique ordinaire sur la considération d’ensembles infinis ou d’une infinité d’ensembles. C’est ainsi que la simple addition des nombres entiers repose chez

RUSSELL sur l’application de l’axiome de choix transfini. Tout en rendant hommage aux travaux de ses devanciers, HILBERT à jugé impraticable la voie dans laquelle ils s’étaient engagés et a montré comment l’axiomatisation de l'analyse présupposait l’axiomatisation de l’arithmétique, sans que celle-ci s’appuyât sur celle-là. On ne peut pourtant pas affirmer que la position d'HILBERT ait éliminé toute possibilité d'envisager le primat de l'infini sur le fini et ceci pour des raisons tirées tout d’abord de la logique mathématique elle-même. M. CAvAILLÈS a longuement étudié par ailleurs le sens des résultats de GüDEL qui a démontré qu’il était impossible de démontrer la non-contradiction de l’arithmétique en ne faisant appel qu’à des moyens empruntés à l’arithmétique. Cette découverte logique prend une importance singulière quand on la rapproche du développement historique de l’arithmétique effective. Un très grand nombre de résultats arithmétiques n'ont pu être obtenus qu’en faisant appel à des moyens analytiques très puissants. Il s’est ainsi développé depuis Dr- RICHLET une théorie analytique des nombres, et quel que soit l’espoir de certains arithméticiens d’éliminer un jour les démonstrations transcendantes de la théorie des nombres, le fait acquis subsiste de la liaison étroite de l’arithmétique et de l’analyse.

Le problème des rapports du continu et du discontinu se présente alors sous un aspect nouveau : il ne s’agit plus de savoir si l'existence d’une théorie analytique des nombres est compatible ou non avec la priorité logique des axiomes du discontinu par rapport aux axiomes du continu, mais bien d'étudier, au sein de la théorie analytique des nombres elle-même, le mécanisme des liaisons qui s’y affirment entre le continu et le discontinu.

Certains mathématiciens modernes distinguent à cet égard deux sortes de problèmes: il y aurait ceux, comme dit M. FUETER où les méthodes de la théorie des fonctions ser-

= LOL

vent à la solution de problèmes purement arithmétiques, et ceux où la théorie des idéaux (c’est-à-dire l’arithmétique et l'algèbre supérieures) est indispensable pour la construction de certaines fonctions analytiques (1). Il y aurait en somme à distinguer entre les problèmes où l'analyse sert à l’arithmétique et ceux où l’arithmétique sert à l'analyse. Il est bien certain que les deux sortes de problèmes existent, mais ils sont, comme nous verrons, à ce point réciproques l’un de l’autre, qu'il est impossible de les étudier séparément. Tel semble bien être l’avis d’autres auteurs, comme M. HECKE, qui étudiant certaines fonctions dont l’importance est considérable en arithmétique, estime que les progrès de la théorie analytique des nombres imposent maintenant de partir délibérément de l’arithmétique pour construire ces fonctions (2). Il nous est impossible de procéder ici à une étude d’ensemble de la théorie analytique des nombres qui est au rang des théories les plus difficiles de toutes les mathématiques. Nous voudrions simplement montrer sur quelques exemples précis, comment on peut soutenir que si certaines fonctions analytiques servent à l’arithmétique, c’est que la définition même de ces fonctions s'appuie déjà sur la structure arithmétique de ces corps à l’étude desquels ces fonctions contribuent. Les deux théories distinguées par M. FUETER, la théorie analytique des nombres et celle qu’on pourrait appeler la théorie des origines arithmétiques de certaines fonctions analytiques n’en font probablement qu’une parce que la seconde absorbe la première. En ce domaine, comme en la plupart de ceux que nous avons étudiés plus haut, l’unité de l’algèbre et de l’analyse s'opère par le rôle des caractéristiques structurales et finitistes de l’algèbre dans la genèse du continu.

Soit À le corps des nombres rationnels. RIEMANN a défini

(1) R. FUETER, 1dealtheorie und Funktionentheorie. Comptes-Rendus du Congrès des Math. Zurich, 1932, t. I, p. 83.

(2) E. HEcKE, Elliptische Modulformen. Math. Ann., t. 97, p. 213.

NAT ee

: Lars sur ce corps une fonction & (s) — » 7 Où # parcourt tous

N=TI les entiers rationnels > o de k, et où sest une variable complexe dont la partie réelle est toujours > r. Cette fonction admet encore une représentation sous forme de produit :

I 0 SU OÙ D parcourt tous les nombres premiers

de ». On devine par là le lien étroit qui unit la fonction &(s) à la répartition des nombres premiers p dans le corps k. C’est ainsi que RIEMANN a pu, au moyen de cette fonction, construire une fonction F (x) qui donne le nombre des nombres premiers inférieurs à un nombre positif arbitraire.

DIRICHLET et DEDEKIND ont généralisé la fonction {(s) en définissant pour un corps quelconque X une fonction &k(s) susceptible également d’être représentée comme une somme et comme un produit d’une infinité de termes. Ces termes sont les normes d’idéaux du corps X. Voici ce qu'il faut entendre par là : On appelle idéal d’un corps de nombres algébriques tout ensemble de nombres du corps tel que :

a) Si « fait partie de cet ensemble, il en est de même de xx, quel que soit l’entier 2.

b) Si 8 est un autre élément de cet ensemble, « + 8 en fait aussi partie.

c) Il y a un entier 4<0 tel que pour tout « de cet ensemble, u« soit entier.

Soit & un idéal d’un corps algébrique X. La norme N (@&) de cet idéal est un nombre fixe, attaché à & dans le

corps À où on le considère (1).

(x) Voici la définition la plus simple de la norme : deux nombres a et sont dits congrus entre eux modulo &, si leur différence a-8 est dans Œ; on écrit « = B (mod. Œ). Cette relation d'équivalence détermine une division en classes dans K et le nombre de ces classes est appelé la norme de l'idéal &.

Core

Ceci posé, on a pour la fonction &{s) d’un corps quelconque :