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la somme étant étendue à tous les idéaux entiers du corps K différents de o, le produit à tous les idéaux premiers de K. Il est en général difficile de se servir de ces formules pour exprimer la fonction t;{s) d’un corps quelconque ; une ex-

. TI A # \ pression comme II ET peut en effet être formée à I1— N or :

partir de la fonction &(s) — Mere relative au corps des ne p°

rationnels que si l’on connaît les lois de la décomposition dans X des nombres premiers rationnels. Par contre, si l’on peut connaître la fonction &{s) d’un corps X ou tout au moins certaines de ses propriétés, autrement que par la connaissance de la façon dont se décomposent en idéaux premiers de X les nombres premiers rationnels, cette fonction peut alors justement servir à l’étude des lois relatives aux idéaux premiers de X. C’est ainsi par exemple que l’on peut démontrer au moyen de la fonction t(s\ et de certaines autres qui sont liées à elle, qu’il existe une infinité d’idéaux premiers dans toute classe d’idéaux (1) du corps K (2). Ce résultat est bien caractéristique de la théorie analytique des nombres ; on y voit en effet, une fonction ana-

(1) Rappelons que les deux idéaux entiers ou fractionnaires @ et G sont (ge équivalents : @ © GB, si leur quotient ä est un idéal principal (formé à par-

tir des multiples d’un seul nombre entier). Cette relation d'équivalence détermine une division en classes des idéaux du corps K.

(2) Voir pour tout ceci : E. HECKE, Theorie der algebraischen Zahlen. Leipzig, 1923.

lytique servir à la détermination de résultats relatifs à des: notions de l’arithmétique du discontinu : nombres et idéaux: premiers. Cette priorité de l’analyse par rapport à l’arithmétique n’est cependant qu’apparente, et nous allons voir comment l'utilisation arithmétique sur le corps K de la fonction tk(s) n’est possible que parce que la détermination: de cette fonction implique déjà la connaissance de certaines propriétés structurales et discontinues du corps de base. Ainsi par exemple le théorème cité plus haut et relatif à la répartition des idéaux premiers selon les classes d’idéaux de X, repose avons-nous dit sur une connaissance préalable de certaines propriétés de tk(s) ; ce sont celles qui résultent de la formule :

dam (S —- I) xs) = hx

où À est le nombre de classes du corps et x un autre invariant attaché également au corps K. Ce qui à notre point de vue est essentiel dans l’égalité précédente, c’est que la détermination de la fonction t(s) s'appuie ainsi sur la décomposition arithmétique préalable des idéaux de K en k classes d’idéaux. Ce n’est plus là à proprement parler de la théorie analytique des nombres, c’est bien plutôt un fait de la théorie des origines arithmétiques de certaines fonctions analytiques. En somme on obtient le schéma suivant : la décomposition en classes du corps K permet de conclure à l'existence de la fonction t (s) dont la connaissance peut, par choc en retour sur le corps de base, servir à une étude plus approfondie de ce corps.

L'exemple précédent ne montre encore qu’une relation globale entre le nombre de classes d’un corps et les fonctions analytiques t (s). I1 est possible, dans certains cas, d’associer de facon plus étroite la genèse de certaines fonctions analytiques au domaine discontinu qui résulte de la décomposition d’un ensemble en classes d'éléments équiva-

ALBERT LAUTMAN 4

a ML

lents. Il se peut alors que ces fonctions soient ultérieurement susceptibles de servir à explorer les propriétés arithmétiques plus cachées de ce corps dont elles dépendent, mais leur existence même comme fonctions analytiques liées à un domaine de discontinuité est d’un intérêt mathématique et philosophique considérable. Alors que WEYL décrit comme un fait caractéristique de la mathématique nouvelle, le primat d’un domaine par rapport aux êtres algébriques définis sur ce domaine, nous voyons au sein même de la théorie des fonctions, apparaître par analogie avec 1’ « Abhängigkeit vom Grundkürper » de l’algèbre, une dépendance par rapport à un domaine de base, où s’affirme également en analyse la priorité de l’idée géométrique de domaine par rapport à celle de nombre ou de fonction.

Nous étudierons encore à cet égard le cas des fonctions automorphes. Considérons dans le plan de la variable complexe z les substitutions définies par les relations :

nn az + 6 RD EETT

«, 8, y, à étant des nombres entiers tels que a —8y = x.

On démontre que ces substitutions forment un groupe discontinu G, dit groupe nodulaire, et l’on appelle fonction automorphe par rapport à ce groupe toute fonction (2) telle ques

f() = (ES) xD — By — I.

Pour mieux voir la liaison entre la discontinuité du groupe et l'existence d’une fonction continue automorphe, nous allons définir ce qu’on appelle le domaine de discontinuité du groupe.

Le groupe opère une division en classes des points du plan complexe, et deux points appartiennent à la même classe, lorsqu'il existe une substitution S du groupe pour laquelle

on ait z' — Sz. L'ensemble des points transformables les uns dans les autres par une substitution du groupe forme évidemment un ensemble discontinu. Il est difficile de mettre en évidence un pareil ensemble, mais on peut néanmoins matérialiser la discontinuité du groupe de façon suivante : on envisage pour cela un domaine tel que tout point du plan complexe soit équivalent à un point et un seul de ce domaine. Un pareil domaine, qui ne contient que des points non équivalents entre eux, témoigne bien de la discontinuité du groupe modulaire puisque toute transformation du groupe portant sur un point du domaine de discontinuité, transforme ce point en un point qui n’appartient pas à ce domaine.

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La figure ci-dessus représente ainsi un domaine de discontinuité ou domaine fondamental du groupe modulaire. Il est situé en dehors du cercle unité et il est limité par les

iroites 2 — 7 + 2y.

Ce domaine de discontinuité permet immédiatement de définir une fonction automorphe liée au groupe modulaire.

Il existe en effet une fonction w — J (2) (la fonction modulaire) qui assure la représentation conforme du domaine

RTAR D) 2

de discontinuité du groupe modulaire sur la totalité du plan complexe w muni de deux coupures — æoetr1+, et cette fonction modulaire est une fonction automorphe du groupe G. Onaen effet J(:) — J (Sz), S étant une substitution de G.

La fonction modulaire /(z) dont la détermination repose ainsi sur la discontinuité d’un domaine de base, est, par ce que nous avons appelé une sorte de choc en retour, susceptible de très riches applications à la théorie des nombres. Soit en effet À’ un corps quadratique imaginaire (obtenu en adjoignant au corps des rationnels un nombre Vm, m <o). Chaque classe d’idéaux de ce corps est définie par un nombre

Pour que deux classes d’idéaux soient égales, 1l faut et il suffit que les nombres 6 et 8’ qui leur correspondent soient équivalents entre eux par rapport au groupe modulaire G. Il y a donc autant de nombres 6, 6, du corps k' dans le domaine de discontinuité de qu'il y a de classes d’idéaux dans le corps. Soit » ce nombre de classes. La fonction /(2) prend pour les k valeurs 6,.. 6, h valeurs « singulières » différentes 7 (6,).. 7 (6,) et l'intérêt algébrique de ces valeurs est considérable, elles appartiennent en effet à un sur-corps de k' d’une importance capitale : le corps de classes (x).

Nous obtenons donc bien là un schéma des rapports du continu et du discontinu analogue à celui que nous avons décrit plus haut. La fonction continue /(z2) sert, sans doute, à déterminer un ensemble discontinu de nombres d’un corps algébrique nouveau (2), mais l’existence même de

(x) Cf. notre thèse principale, chap. III.

(2) Les travaux de TAKAGI, ARTIN, HERBRAND, CHEVALLEY ont de façon générale éliminé l'analyse des théorèmes d'existence en théorie du corps de classes, mais dans le cas du corps quadratique imaginaire, la fonction J(e)

donne plus que l'existence du corps de classes, elle donne des nombres appartenant à ce corps.

LR AR

cette fonction repose déjà sur une discontinuité fondamentale : celle du domaine de discontinuité du groupe modulaire. On peut donc bien observer sur ce pur exemple de la théorie analytique des nombres, comment le moment essentiel de la théorie réside dans la genèse d’une fonction

continue à partir de la structure discontinue qui lui donne naissance.