ROIS

& = f (2), cette fonction possède en général sur le plan de la variable complexe z, des points de ramification au voisinage desquels elle peut prendre plusieurs valeurs distinctes. Uniformiser la fonction & — (2), c’est trouver une variable complexe # telle que & — + (£) et z — y (f) soient deux fonctions uniformes sur le plan complexe é. La résolution de ce problème exige non seulement la construction de la surface de RIEMANN F correspondant à la fonction € — f (3) mais la construction de la surface universelle de recouvrement F de la surface F. Il est possible en effet d’établir une correspondance conforme entre cette surface simplement connexe F et la totalité ou une portion du plan d’une variable complexe {. On déduit alors facilement de l'existence de cette correspondance conforme, l'existence sur le plan { des fonctions uniformes cherchées. Il existe à cet égard trois types de surfaces universelles de recouvrement : celles dont on peut faire la représentation conforme sur le plan complexe ouvert, celles dont on ne peut faire la représentation conforme que sur le plan complété par le point à l'infini, et qui sont topologiquement équivalentes à la sphère complexe et enfin celles dont on peut faire la représentation sur le cercle unité. Plaçons-nous dans ce dernier cas, en n’envisageant pour plus de simplicité qu’une correspondance entre points intérieurs de la surface et points intérieurs du cercle. La surface F admet un groupe discontinu de transformations internes, c’est-à-dire que l’on peut faire correspondre à un point P, de cette surface autant de points P,, P,... qu’il y a sur la surface de RIEMANN de la fonction donnée, de classes de chemins fermés, irréductibles les uns aux autres par déformation continue, et issus du point p, correspondant à P.. Au groupe des transformations internes de la surface F correspond le groupe discontinu des transformations linéaires de l’intérieur du cercle unité en lui-même, et il se trouve que la métrique invariante par ce groupe se confond avec la métrique de la géométrie de Lo-