LE. UE

BATCHEWSKY à l’intérieur de ce cercle [| z| < 1. En convenant alors arbitrairement d'appeler distance non-euclidienne de deux points de la surface F, la distance non-euclidienne des points correspondants à l’intérieur du cercle unité, PoINcARÉ obtenait ainsi sur la surface F une métrique «hyperbolique » liée au fait topologique que F était représentable sur le cercle unité.

Soient ds la longueur euclidienne d’un arc de la représentation conforme sur le cercle unité, 7 la distance de cet arc au centre du cercle et ds la longueur hyperbolique (ou non-euclidienne) de l'arc, on a :

ds TETE

às —

Dans le cas où la surface Fest de type elliptique et par conséquent représentable sur la sphère complexe, on peut appeler distance sphérique de deux points la distance des points

\ d correspondants sur lasphère, ds — en sl cette distance est

invariante par rapport au groupe des rotations de la sphère.

La longueur euclidienne d’un arc est évidemment unique, puisque la métrique n’est pas définie par rapport aux propriétés spéciales de la surface, mais les longueurs non-euclidiennes étant des nombres attachés par convention à un arc, 1l est parfaitement possible de conférer à un arc plusieurs métriques non-euclidiennes différentes. Considérons par exemple les surfaces simplement connexes représentables sur le cercle unité. On peut leur conférer à la fois plusieurs métriques différentes, en particulier une métrique

. as * :

hyperbolique ds — — invariante par le groupe des trans-

formations internes du cercle en lui-même et une métrique

sphérique ds — celle que reçoit le cercle unité lors-

qu'on l’envisage comme une portion de sphère. Le choix de la

métrique est alors commandé par la nature des invariants que l’on cherche à obtenir sur la surface.

Nous allons voir maintenant, d’après le livre de M. R. NE- VANLINNA : Eindeutige analytische Funktionen (x),comment de pareilles considérations s'imposent actuellement dans. un problème central de la théorie des fonctions analytiques, celui des vaieurs exceptionnelles de Picarp. Considérons: une fonction méromorphe à l’intérieur de tout cercle de rayon 7, (7<R<ow), avec pour centre le point origine o du plan complexe. I] s'agit d'étudier « l’affinité » de la fonction w(z) pour la valeur a de cette fonction. M. NEVAN- LINNA introduit pour cela deux expressions, dont l'une, N(r,a) est liée au nombre des valeurs de z intérieures au cercle 7 de centre o pour lesquelles w(z) prend effectivement la valeur a, et dont l’autre, » (7,a), mesure en quelque sorte l'intensité moyenne avec laquelle les valeurs de w(z) se serrent autour de a sur la circonférence | z| — 7. Il existe alors entre la fréquence avec laquelle la fonction w(2) atteint une valeur quelconque a et la moyenne de ses écarts par rapport à «, un balancement remarquable. M. NEVAN- LINNA a en effet démontré le théorème suivant :

m (r,a) + N{r,a) = T (n) + une quantité bornée ;

où T(r}est une constante relative au cercle | z | = 7.

Si dans le cercle | z | < +7, w (2) ne prend que rarement la valeur a, la fonction de fréquence N (r,a) a une valeur très faible qui peut être nulle dans le cas où a est une valeur exceptionnelle de PICARD ; par contre la fonction w(z) s’écarte alors très peu en moyenne de la valeur a sur le cercle|z| = y, la fonction " (r,a) en est d’autant plus grande et la somme N{(r, a) + m (r,a) atteint bien ainsi la valeur constante T(r). Ce théorème a une très grande importance puisqu'il montre qu’il ne suffit pas, dans l’étude des valeurs exceptionnelles,

(1) 1 vol. Berlin, Springer, 1937.

ALBERT LAUTMAN à:

ie in

de chercher les valeurs qu’une fonction n’atteint jamais, ce qu’on faisait jusqu’alors, mais qu’il faut considérer aussi la façon dont la fonction s’en approche.

Soit par exemple la fonction exponentielle & qui admet comme valeurs exceptionnelles les valeurs 40 eta =; on a, en appelant O (1) une quantité qui reste bornée (de l’ordre de 1):

N (r,a) = 0, m (r,a) — 2 pour a OAI OE N(ra)=2=+0({1), m(r,a) = 0 (1)

pour une valeur ordinaire de a, de sorte que dans tous les cas :

m(r,a) + N (r,a) = 2 + éventuellement O (1).

—— est la fonction caractéristique 7 (r) attachée à la fonc- T

tion &. Pour une valeur | 2] — 7 fixée, T(r) est un invariant et il a été possible à MM. AHLFORS et SHIMIZU de donner grâce à la notion de métrique non-euclidienne sur une surface de RIEMANN, une interprétation géométrique de cet invariant (1).

Considérons le plan complexe de la variable z et le plan complexe de la variable w dont les points représentent les valeurs de la fonction méromorphe w(z) pour [2] <R<o. Soit F l’aire qui correspond sur le plan w au cercle |z| <7du plan z. Introduisons sur le plan w une métrique sphérique. Cette métrique associe à l’aire F une valeur « sphérique », celle de la projection stéréographique de F sur la sphère unité. Soit A(r) la valeur sphérique (divisée par x) de cette aire F qui correspond sur le plan w au cercle| z }<7 du plan de la variable complexe z. À (r) est ainsi un invariant attaché

(x) Cf. pour tout ce paragraphe : R. NEVANLINNA, 0p. cit., chap. VI, $ 3.